Ισότητες τμημάτων στο mathematica.png Δίδεται $\vartriangle ABC$ με , $AD,BE,CZ$ τα ύψη του . Ας είναι $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ οι προβολές των $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ στις $ZD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ED$. Αν $M$ το μέσο του $BC$ δείξετε ( με όποια σειρά θέλετε) ότι , $ZK = EL\,...

Αποχρώντες λόγοι.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά $AB=a$ , του τετραγώνου $ABCD$ και προς τις δύο κατευθύνσεις , κατά τμήματα $AS=BP=x$ . α) Βρείτε το $x$ , ώστε : $\dfrac{SC}{SP}=1$ β) Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{SC}{CP}$ ( και αυτονόητα , το τότε $x$ ) . Αλλιώς για το πρώτο ερώτημα...

2024.04.13 mathematica.jpg Οι τριχοτόμοι της ορθής γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, διαιρούν την υποτείνουσα σε τμήματα, κατά σειρά $m, x, n$ Δείξτε ότι: $x²+x(m+n)-2mn=0$ Το θ.εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο $ABE $ δίνει $ \dfrac{c}{AE}= \dfrac{m}{x} \Rightarrow \dfrac{c}{ \dfrac{AE}{2} }= \dfrac{2m}{...

2024.04.21 symmedian mathematica r.jpg Έστω παραλληλόγραμμο $ABCD$. Αν $E, F, G$ οι ορθές προβολές του $A$ στις $BC, CD, BD$ αντίστοιχα, δείξτε οτι η $AG$ είναι $A-$συμμετροδιάμεσος του $AEF$ Λόγω των εγγράψιμμων $ABEG,AGFD$ κι επειδή $AF\bot AB,AE\bot AD$ όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες όπως κα...

Εντοπισμός σημείου.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $OAB$ , είναι : $OA=2OB=2a$ . Στο εξωτερικό ημικύκλιο , διαμέτρου $OB$ , εντοπίστε σημείο $S$ , τέτοιο ώστε : $(BSA)=\dfrac{1}{2}(OAB)$ . Με $M$ μέσον της $OA$ θα είναι $ (BMA)=\dfrac{(OAB)}{2}= (BSA) \Rightarrow MS//AB$ Το $S$ προσδιορίζεται λοιπόν ως η ...

shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου $ABCD.$ Ο περίκυκλος του $\triangle EKM$ τέμνει την $AB$ στο $N$ και την $CD$ στο $P$ Είναι $\angle KPB=45^0 \Rightarrow PB=BK=x$ κι έστω $AK=y$.Επειδή οι κόκκινες γωνίες προφανώς είναι ίσες και $\angle AMK=45^0 \Rightarrow \angle NMB...

Γωνίες ειδικού τραπεζίου.png Δίνεται τραπέζιο $ABCD (AB||CD)$ με $CD=2AB=2AD=2a$ και $\dfrac{AC}{BD}=\sqrt 7.$ Να βρείτε την πλευρά $BC=x,$ συναρτήσει του $a,$ καθώς και τις γωνίες του τραπεζίου. Αν $E$ συμμετρικό του $A$ ως προς $B $ και $BC \cap DA=Z$ έχουμε $AECD$ παραλ/μμο. Επιπλέον ,θα είναι $...

Τμήμα και εφαπτομένη.pngΠροεκτείνω την χορδή $BA$ , του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , κατά τμήμα : $AS=BA$ και φέρω το εφαπτόμενο τμήμα $SP$ , το οποίο τέμνει την προέκταση της $OA$ στο σημείο $T$ . Υπολογίστε το τμήμα $AT$ ( συναρτήσει της ακτίνας $OA=r$ ) και την $\tan\theta$ . Αν η εφ...

Καλημέρα. Σε αμβλυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle {\rm A}{\rm B}C\,\,\left( {\widehat A > {{90}^0}} \right)$ με $\widehat {\rm B} = {45^0},\,\,BC = 10$, παίρνουμε στη $BC$ σημείο ${\rm E}$ ώστε ${\rm B}{\rm E} = 4$. Εγγράφουμε τετράγωνο $ADEZ$ πλευράς α με $Z \in AC$. Να υπολογισθεί το $\left( {ABC} \...

shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς $AB$. Λόγω της παραλληλίας $AB//ZE$ του χαρταετού $ADEN$ και του εγγράψιμμου $ZNEC$, όλες οι μαύρες γωνίες είναι $\theta $ . Έτσι,$ZC=ZE=ZA=a$ άρα ο κύκλος $(Z,a)$ περνά από το $C$ και η $AB$ είναι εφαπτόμενή του Άρα,$AB^2=BE.BC=24\Rightar...

Το μέγιστο τραπέζιο.png Δίνεται τετράγωνο $ABCD$ πλευράς $a.$ Στα τεταρτοκύκλια $B\overset\frown{AC}, A\overset\frown{BD}$ θεωρούμε τα σημεία $S, T$ αντίστοιχα ώστε $ST||AB.$ $(\rm I)$ Να εκφράσετε το εμβαδόν του τραπεζίου $STBA$ ως συνάρτηση του ύψους του $SE=x.$ $(\rm II)$ Να δείξετε ότι το μέγισ...

Παράξενη ισότητα.pngΈνα από τα σημεία τομής των κύκλων $(O)$ και $(K)$ , είναι το $A$ . Οι εφαπτόμενες των δύο κύκλων στο σημείο $A$ , τους ξανατέμνουν στα σημεία $P , Q$ . Ονομάζω $S$ το συμμετρικό του $A$ , ως προς το μέσο $M$ της διακέντρου $OK$ . Δείξτε ότι : $SP=SQ$ . $AOSK$ είναι παραλ/μμο,άρ...

Ο πολυμήχανος.pngΤο $M$ είναι το μέσο της $AC$ . Ας δείξουμε με διάφορους τρόπους ότι : $BM\perp AQ$ . Παρακαλείται ο κάθε λύτης να δημοσιεύσει - σε μια πρώτη φάση - μόνο μία λύση ! Με $BE \bot AC \Rightarrow 45^0+ \phi = \angle ABQ= \angle AQB=45^0+ \theta \Rightarrow \phi = \theta \Rightarrow AT ...

Αντιστροφή λόγου.pngΗ διάμεσος $CM$ του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο $S$ . α) Αν : $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{4}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{SA}{SB}$ ... β) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AC}{AB}$ , ώστε : $\dfrac{SA}{SB}=2$ . $ \dfrac{(ACS)}{(BSC)}= \...

2024.04.07 mathematica.jpg Στο τετράγωνο του σχήματος, αν τα τμήματα $a, b$ είναι περιττοί αριθμοί με $a> b\geq 3$, δείξτε ότι το εμβαδόν $S$, του σκιασμένου τριγώνου είναι άρτιος αριθμός Ας είναι $ K,M $ οι προβολές του $L$ στις διαγωνίους $AC,BD$. Στο τρίγωνο $BLD$ με 2ο θ.διαμέσου έχουμε $a^2-b^...

Είναι γνωστό ότι $\displaystyle \widehat B = 2\widehat C \Leftrightarrow {b^2} = c(a + c).$ Αναρωτήθηκα τι μπορεί να συμβαίνει αν $\displaystyle 2{b^2} = c(a + c)$ και έτσι προέκυψε η παρακάτω άσκηση. Σχέση πλευρών ειδικού τριγώνου.png $CM$ είναι η διάμεσος τριγώνου $ABC$ με $\displaystyle 2{b^2} =...

Πλευρολογία.pngΣτην διαγώνιο $AC$ του - διαστάσεων $a\times b$ - ορθογωνίου $ABCD$ , εντοπίστε σημείο $K$ , τέτοιο ώστε , ο κύκλος $(K,KA)$ να εφάπτεται της πλευράς $DC$ . Αν ο κύκλος διέρχεται και από το μέσο $M$ της $AB$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{b}{a}$ . Η διχοτόμος της γωνίας $DAC$ τέμνει...

2002.png Καλημέρα. Στο παραπάνω σχήμα, δείξτε ότι $(AED)=k(ADF)$. Από CEVA παίρνουμε $ \dfrac{BQ}{QC}=k^2 $ $ \dfrac{Y}{X}=k \Rightarrow(ABD)=(k+1)X$ $ \dfrac{S}{V}=k \Rightarrow V=\dfrac{1}{k}S \Rightarrow (ADC)= \dfrac{k+1}{k}S $ $ \dfrac{(ABD)}{(ADC)}= \dfrac{BQ}{QC} =k^2 \Rightarrow \dfrac{(k+1...

2002.png Καλημέρα. Στο παραπάνω σχήμα, δείξτε ότι $(AED)=k(ADF)$. Μενέλαος στο τρίγωνο $ABF$ με διατέμνουσα $EDC$: $ \dfrac{FD}{DB}. \dfrac{BE}{EA}. \dfrac{CA}{ CF }= 1 \Rightarrow \dfrac{FD}{DB}.k.(k+1) \Rightarrow \dfrac{FD}{DB}= \dfrac{1}{k(k+1)} $ Μενέλαος στο τρίγωνο $EFB$ με διατέμνουσα $DZA$...

Ενδιάμεσο τμήμα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ οι κάθετες πλευρές $AB , AC$ έχουν μήκη $12 $ και $16$ αντίστοιχα . Η υποτείνουσα $BC$ , τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ στο σημείο $P$ , από το οποίο φέρουμε παράλληλη προς την $BA$ , η οποία τέμνει το τόξο στο σημείο $T$ . Τέλος , η $BT$ τέμνει τη...