Καλησπέρα,

Δεν ξέρω αν υπάρχει ενημέρωση από το ίδιο το ΕΜΠ, αλλά ο διαγωνισμός του Σαββάτου αφορά και τους φοιτητές του ΕΜΠ. Μπορείτε να δείτε τη δεύτερη ανακοίνωση εδώ.

Καλησπέρα! Κατ' αρχάς Νίκο δε σε γνωρίζω προσωπικά αλλά όλα αυτά τα χρόνια στο mathematica σε έχω παρατηρήσει συχνά να εκφράζεσαι με αρκετά έντονο τρόπο σχετικά με το κύρος των διαγωνισμών και τη δυσκολία των θεμάτων που τίθενται σε αυτούς. https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=59&t=55056&p=2...

Καλησπέρα! Πριν από λίγο ολοκληρώθηκε στη Θεσσαλονίκη ο διαγωνισμός SEEMOUS 2020. Παραθέτω τα θέματα του διαγωνισμού. Θέμα 1 Θεωρούμε όλους τους πίνακες $A\in M_{2020}(\mathbb{C})$ τέτοιους ώστε να ισχύουν οι σχέσεις $A+adj(A)=I_{2020}$ και $A\cdot adj (A)=I_{2020} $. Να βρεθεί το μέγιστο δυνατό πλή...

Καλησπέρα. Ο μετρικός χώρος $(\mathbb{Q},|\cdot|)$ δεν είναι πλήρης άρα το θεώρημα του Cantor μας εξασφαλίζει την ύπαρξη τέτοιας ακολουθίας.Για να τη βρούμε σκεφτόμαστε την απόδειξη του εν λόγω θεωρήματος.Τη δουλειά θα μας την κάνει μια ακολουθία ρητών που συγκλίνει σε άρρητο (άρα βασική που δε συγκ...

Καλησπέρα. Μια όχι στοιχειώδης λύση. $\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.8cm,y=0.8cm] \clip(-6,-3.) rectangle (7.,6.); \draw [line width=0.8pt] (0.,0.) circle (2.4cm); \draw [line width=0.8pt] (4.,0.) circle (1.6cm); \draw [line width=1.6pt,color=blue] (-1.174724549...

Καλησπέρα.

Όσον αφορά το προβλημα της γεωμετρίας,ένα ακόμη στοιχείο που προκύπτει είναι το εξής:

Αν το σημείο τομής των και τότε οι τέμνονται πάνω στον κύκλο (όπως,λόγω συμμετρίας,και οι ).

Πρόβλημα 2 Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$, με $AB<AC$, εγγεγραμμένο σε κύκλο $c$ κέντρου $O$. Ονομάζουμε $G$ το βαρύκεντρο του τριγώνου$ABC$και $D,E,F$ τα ίχνη των υψών του από τις κορυφές $A,B,C$, αντίστοιχα. Αν οι ημιευθείες $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{GD}$ τέμνουν τον $c$ στα $M,N$ αντ...

Καλημέρα και καλή επιτυχία στους υποψήφιους. Η (μάλλον "λογική") απάντηση στο (δύσκολο) Δ4. Η $f$ είναι κυρτή στο διάστημα $[2,+\infty)$ άρα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της $C_f$ στο $(2,f(2))$.Η ευθεία αυτή έχει εξίσωση $y=-2-2(x-2)$. Συνεπώς $\int_{2}^{3} f(x)\sqrt{x-2}dx>\int_{2}^3 -2\sqrt{...

Καλησπέρα. $\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.8cm,y=0.8cm] \clip(-3.,-4.) rectangle (8.,6.2); \fill[line width=0.8pt,color=grey,fill=grey,fill opacity=0.20000000298023224] (2.227044847720962,5.422686871738195) -- (0.,0.) -- (7.3168158703100845,0.) -- cycle; \draw [...

Καλησπέρα. Είναι εύκολο να δούμε ότι η κάθετος από το $C$ προς την $A_1B_1$ είναι ισογώνια με τη $CC_1$ ως προς τις $CA,CB$.Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι η $CC_1$ είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου $\triangle{ABC}$.Θα χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω γνωστή ιδιότητα της συμμετροδιαμέσου: Η $C-$συμμε...

Καλημέρα. Θα χρησιμοποιήσω επαγωγή. Για $n=2$ έχουμε να αποδείξουμε ότι $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\geq \frac{x_2+1}{x_1+1}+\frac{x_1+1}{x_2+1}$.Μετά από πράξεις,αυτή ανάγεται στην $x_1^3+x_2^3\geq x_1^2x_2+x_1x_2^2$,η οποία είναι γνωστό ότι ισχύει (το βλέπουμε κάνοντας παραγοντοποίηση).Για το ...

Καλησπέρα. α. Παρατηρούμε ότι ,αν $k\geq 2$,τότε $k=\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdots \left(1+\frac{1}{k-1}\right)$,από όπου έπεται το ζητούμενο. β. Αν ο αριθμός $x$ γράφεται ως γινόμενο $f(x)$ στοιχείων και ο αριθμός $y$ ως γινόμενο $f(y)$ στοιχείων,τότε είναι προφανές ότι ...

Καλησπέρα. $\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.5cm,y=0.5cm] \clip(-14.,-8.3) rectangle (11.2,6.7); \fill[line width=0.8pt,color=white,fill=white,fill opacity=0.10000000149011612] (2.190384487963723,5.366910193221686) -- (0.,0.) -- (7.,0.) -- cycle; \draw [line width...

Καλησπέρα, Έστω $\left[a_1,b_1\right],\ldots,\left[a_{mn+1},b_{mn+1}\right]$ τα διαστήματα,όπου $a_1\leq a_2\leq \ldots \leq a_{mn+1}$,και έστω ότι δεν ισχύει η δεύτερη συνθήκη.Διατάσουμε τους αριθμούς $a_1,a_2,\ldots,a_{mn+1}$ σε αύξουσα σειρά.Η υπόθεσή μας,μας εξασφαλίζει ότι,αν επιλέξουμε δείκτες...

Ερώτηση 1: Αν το φετινό Δ3 ζητούσε να βρεθεί μία αρχική της $e^{x}sinx$ θα λέγατε ότι είναι εντός ύλης; Έτσι κι αλλιώς για να υπολογιστεί ένα ορισμένο αρκεί απλώς να βρούμε μία αρχική της παράστασης μέσα στο ολοκλήρωμα, σωστά; Θα συναντούσαν εκεί οι μαθητές δυσκολίες ή όχι; Ακούω... Ερώτηση 2&3: Αν...

Καλημέρα σε όλους. Όσον αφορά το ολοκλήρωμα $\int_{0}^{\pi} e^x \cdot \eta \mu x dx$ για το οποίο κάποιοι ισχυρίζονται ότι είναι εκτός ύλης: Ο υπολογισμός του ακολουθεί ακριβώς την ίδια διαδικασία με αυτή που χρειαζόταν το ερώτημα Δ1. των περσινών θεμάτων,μόνο που αντί για την $e^x$ υπήρχε τότε η $f...

Γεια σε όλους. Μια τριγωνομετρική απόδειξη.Θα χρησιμοποιήσω το λήμμα που αναφέρεται εδώ. $\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] \clip(-2.527500170436453,-2.2354760939864007) rectangle (13.665125403688739,6.9261410071633875); \fill[color=grey,fill=white,fil...

Καλησπέρα.Βάζω εδώ τα προβλήματα της γεωμετρίας. G.1 Έστω $\displaystyle{\triangle{ABC}}$ οξυγώνιο τρίγωνο με ορθόκεντρο $\displaystyle{H}$.Θεωρούμε σημείο $\displaystyle{G}$ έτσι ώστε το τετράπλευρο $\displaystyle{ABGH}$ να είναι παραλληλόγραμμο και σημείο $\displaystyle{I}$ της ευθείας $\displayst...

Γεια σε όλους. Ευχαριστώ τον κύριο Κώστα για το ενδιαφέρον του και τις λύσεις που μας παρουσίασε. Προτείνω τις εξής εφαρμογές του παραπάνω λήμματος ("Isogonal Line Lemma"): A. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{\triangle{ABC}}$ και σημεία $\displaystyle{DE}$ επί των πλευρών $\displaystyle{AB,AC}$ αντίστ...

Γεια σε όλους. Η κατασκευή είναι δική μου. Η λύση του κύριου Κώστα είναι η μόνη αμιγώς ευκλείδεια λύση που έχει εμφανιστει (η δική μου δεν είναι ευκλείδεια, ούτε στην ουσία και η λύση εδώ ). Ενδιαφέρον παρουσιάζει και μια γενίκευση που παρατήρησε ο Σιλουανός, και για την οποία δεν έχω λύση. Πιο συγκ...