Η συνάρτηση $f : [1, 2] \rightarrow \mathbb{R}$ είναι συνεχής στο $[1, 2]$, παραγωγίσιμη στο $(1, 2)$ και ισχύουν $f (1) = 1$, $f (2) =2$. Να δειχθεί ότι υπάρχουν $\xi_1, \xi_2 \in (1, 2)$ με $\xi_1 \neq \xi_2$ τέτοια ώστε $\xi_1^2 \xi_2^2 f'(\xi_1) f'(\xi_2) =4 $. Βάζω λύση αλλά χωρίς την συνθήκη ...

orestisgotsis έγραψε: ↑

Τρί Σεπ 26, 2023 9:54 pm

... και η διακρίνουσα της παραπάνω να είναι μηδέν.

Ορέστη, γιατί ισχύει αυτό; Ίσως δεν βλέπω κάτι προφανές.

Tolaso J Kos έγραψε: ↑

Τρί Σεπ 26, 2023 10:08 pm

Επαναφορά !

Είναι βέβαιο ότι μπορούμε να επιλέξουμε ; Έχω απόδειξη του αποδεικτέου αλλά με , οπότε ρωτάω για να μην καταπιαστώ για το ζητούμενο αν δεν βεβαιωθώ ότι ισχύει.

Για να μην πάει χαμένο το σχήμα που έφτιαξα με Geogebra, παραθέτω μία περίπτωση που δείχνει (ακριβέστερα, "δείχνει") ότι η εγγραψιμότητα του $ABCD$ είναι απαραίτητη για να βγουν όμοια τα δύο τετράπλευρα. Εδώ το αρχικό και το κόκκινο δεν είναι όμοια (π.χ. παρατηρούμε ότι η μικρότερη γωνία του κόκκινο...

Στο ίδιο μήκος κύματος, με ελάχιστη παραλλαγή των δύο προηγούμενων λύσεων. Ορίζουμε $g(x)=f(x)-xf'(\xi)$. H συνάρτηση αυτή είναι $1-1$ γιατί αλλιώς θα υπήρχαν $a\ne b$ με $g(b)=g(a)$. Δηλαδή $f(b)-bf'(\xi) = f(a)-af'(\xi)$, ισοδύναμα $\displaystyle{\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}= f'(\xi)}$. Άτοπο. Συνεπώς ...

Εάν $m,\,\,{m}',\,\,n,\,\,{n}'$ είναι φυσικοί αριθμοί και ισχύει η σχέση: $(m+n)(m+n-1)+2m=({m}'+{n}')({m}'+{n}'-1)+2{m}'$, δείξτε ότι $m={m}'$ και $n={n}'$. Aφού διαιρέσουμε με το $2$ και γράψουμε $N=m+n, \, M=m , N'=m'+n', \, M'=m'$, η δοθείσα γράφεται $ \dfrac {1}{2} N(N-1) + M = \dfrac {1}{2} N...

Μεσοκάθετη χορδή.pngΣτο διαστάσεων $a \times b$ ορθογώνιο $ABCD$ , προεκτείνουμε την βάση $AB$ κατά τμήματα : $AP=BQ=x$ . Η μεσοκάθετη της $AD$ ( και της $BC$ ) , τέμνει τον κύκλο που διέρχεται από τα $P , D , C , Q$ , στα σημεία $S , T$ . Υπολογίστε το μήκος $m$ της χορδής $ST$ . Εφαρμογή : Στο πα...

Μία συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και υπάρχει τέτοιο ώστε για κάθε με ισχύει



α) Βρείτε παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης.

β) Δείξτε ότι .

orestisgotsis έγραψε: ↑

Τρί Σεπ 26, 2023 12:09 am

εγγράψιμο είναι.

Σωστά. Άλλωστε η λύση του Κώστα (rek2) χρησιμοποιεί την εγγραψιμότητα, στο πρώτο κιόλας βήμα.

έκανα διορθώσεις. Σας ευχαριστώ. Ορέστη, ευχαριστώ. Όμως νομίζω ότι όπως είναι διατυπωμένη η άσκηση, δεν ισχύει το συμπέρασμα (*). Πρέπει να προστεθεί η υπόθεση ότι το $ABCD$ είναι εγγράψιμο. Υπόψη ότι όταν είναι εγγράψιμο το $ABCD$ τότε οι $4$ κύκλοι Euler της εκφώνησης είναι ίσοι (και η ακτίνα το...

orestisgotsis έγραψε: ↑

Δευ Σεπ 25, 2023 2:27 pm

τετράπλευρο, αν και μόνο αν, τετράπλευρο.

Ορέστη, μήπως εννοείς κάτι άλλο; Το δεν είναι εξ υποθέσεως τετράπλευρο;

Για να βγάλουμε ασφαλή συμπεράσματα θα πρέπει να συγκρίνουμε και τους αντίστοιχους πληθυσμούς των διαφόρων χωρών. Ενδεικτικά αναφέρω ότι ο πληθυσμός της Δημοκρατίας της Κορέας είναι περίπου $52$ εκατομμύρια, ενώ της Κίνας $1,412$ δισεκατομμύρια. Και όχι μόνο αυτό αλλά και το νομικό πλαίσιο της έγκρ...

Αν $\dfrac {x}{x^2+x+1}=a$, να βρεθεί συναρτήσει του $a$ η τιμή της παράστασης $\dfrac {x^2}{x^4+x^2+1}$. Σχόλιο: Θα μπορούσαμε να λύναμε ως προς $x$ την δοθείσα και μετά να αντικαταστήσουμε στην δεύτερη την παράσταση που βρήκαμε. Ο τρόπος αυτός, αν και σωστός, έχει πολλές πράξεις. Αυτό που ζητώ είν...

Άσκηση 128

Να βρεθεί το

Σχόλιο: Πρόκειται για το ξαδελφάκι της προηγούμενης. Άλλαξε μόνο ένας από τους εκθέτες, αλλά τώρα αλλάζει και η τεχνική αντιμετώπισης.

Βρείτε την τιμή του $a$ για την οποία ελαχιστοποιείται το $\displaystyle\int_{0}^{\pi }{{{\left\{ ax\left( {{\pi }^{2}}-{{x}^{2}} \right)-\sin x \right\}}^{2}}}dx$. Χωρίς τις επίπονες πράξεις ρουτίνας: Αν $I(a)$ το ολοκλήρωμα, πρέπει να βρούμε την τιμή του $a$ για την οποία ισχύει $\dfrac {d}{da} I...

Το είναι στο εσωτερικό παραλληλογράμμου έτσι ώστε οι γωνίες είναι ίσες. Δείξτε ότι

α) Οι γωνίες είναι ίσες.

β) Οι γωνίες είναι παραπληρωματικές.
.

Όταν η Άννα ήταν χρονών, η Βάσω ήταν . 'Οταν η Άννα ήταν χρονών, ο Γιάννης ήταν . Πόσο χρονών ήταν η Βάσω όταν ο Γιάννης ήταν χρονών;

(Απευθύνομαο σε μαθητές των μικρών τάξεων του Δημοτικού, για να τους κινήσω το ενδιαφέρον για ενεργή συμμετοχή στο φόρουμ.)

Βρείτε διαφορετικούς φυσικούς αριθμούς τέτοιους ώστε το άθροισμα οποιωνδήποτε και οσωνδήποτε από αυτούς να μην είναι τέλειο τετράγωνο.

(Κάνει και για δυνατούς Junior).