Τομή εφαπτομένων.pngΗ καμπύλη είναι η παραβολή $f(x)=x^2$ . Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής $S$ των εφαπτομένων στα σημεία $A , B$ ( συναρτήσει των συντεταγμένων των $A , B$ ) . Το επιπλέον ζητούμενο είναι ένα σχόλιο για τα αποτελέσματα . Όταν ήμουν μαθητής, που παράλληλα με το Ελληνικό ...

Όσο για τις απαντήσεις που λέτε, ψάξαμε και δεν τις βρήκαμε πουθενά. Αυτό που εννοεί ο Δημήτρης είναι ότι δεν είχε προσέξει αμέσως ότι αναρτήθηκαν ποστ μετά το δικό του. Γι' αυτό δεν είχε απαντήσει στην απορία σου, αυτοστιγμί. Να αλλάξω θέμα. Έχω και δεύτερη λύση, με γράφημα "χρόνου έναντι απόσταση...

Πρόβλημα Κάθε πρωί, ένας εργάτης παίρνει το λεωφορείο στις 7:00 από τη στάση Α και κατεβαίνει στη στάση Β, από την οποία τον παραλαμβάνει αυτοκίνητο το οποίο ξεκινά από το εργοστάσιο στο οποίο εργάζεται. Ο οδηγός του αυτοκινήτου φροντίζει να φτάνει στη στάση Β ταυτόχρονα με το λεωφορείο που έρχεται...

KDORTSI έγραψε: ↑

Πέμ Φεβ 25, 2021 6:24 pm

Αν

τότε να δείξετε ότι:

Να το βελτιώσουμε: Δείξτε ότι .

Έχω σχετικά σύντομες αποδείξεις και των δύο ανισοτήτων που έγραψα.

Κύριε Λάμπρου νομίζω ότι απαντήσατε λάθος στο α). Αν πάρουμε την $f(x)=e^x$ για $x \neq 0$ και $f(0)=-1$ τότε η $f$ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το $a=0$. Χρειαζόμαστε συνέχεια για να αποφανθούμε. Κωνσταντίνε, έχεις δίκιο. Παρανάγνωσα την άσκηση. :oops: Απάντησα σε άλλη ερώτηση. Συνοψίζοντας: Η απάντ...

Έστω : $a\in \mathbb{R}$ . Αν μια συνάρτηση $f$ είναι γν. αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα $(-\infty , a)$ και $(a , +\infty )$ , τότε : α) Υπάρχει περίπτωση η $f$ να παρουσιάζει ολικό ελάχιστο , στο $x_{0}=a$ β) Υπάρχει περίπτωση η $f$ να παρουσιάζει ολικό μέγιστο , στο $x_{0}=a$ . Σε κάθε ερώτ...

Δίνεται η παρακάτω εκφώνηση: "Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας $e$ που διέρχεται από το σημείο $M(0,1)$ και τέμνει τις ευθείες $e_1: y=\frac{1}{2}x$ και $e_2:y=\frac{1}{2}x+1$ στα σημεία $A$ και $B$ αντίστοιχα, έτσι ώστε $(AB)=1$." Γνωρίζω πως λύνεται η άσκηση, έχω λύσει και άλλες ασκήσεις αυτού τ...

Άλλος τόπος.png Θεωρώ τα σημεία $A(4,0), B(6,0)$ και γράφω μεταβλητό κύκλο $(K)$ που εφάπτεται στον ημιάξονα $Ox$ στο σημείο $B.$ Από τα σημεία $O, A$ φέρνω τις δεύτερες εφαπτόμενες του κύκλου. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής τους $M.$ $OM+MA=OM+MS+SA =OM+MT+SA= OT+SA=OT+AB=OB + AB=6...

20. Ορισμός : Ένας προσεταιριστικός δακτύλιος με μονάδα $R$ λέγεται πεπερασμένος κατά Dedekind αν ισχύει: $\forall\,x\,,y\in R: (x\,y=1\implies y\,x=1)$ Κλασικά παραδείγματα τέτοιων δακτυλίων είναι οι μεταθετικοί δακτύλιοι καθώς και οι $\mathbb{M}_{n}(\mathbb{K})$ όπου $\mathbb{K}$ σώμα. Άσκηση : Έ...

Υπολογίστε τον θετικό αριθμό $k$ , ώστε : $\displaystyle \int_{2k}^{20k}\frac{xdx}{\sqrt{kx+1}}=57k$ Θέτοντας $\sqrt {kx+1}=y$, το αόριστο ολοκλήρωμα γίνεται $\displaystyle{\dfrac {2}{k^2} \int (y^2-1)dy}$ (απλό τώρα). Οπότε το δοθέν ισούται με μία μεγάλη παράσταση που δεν αξίζει το μελάνι της να τ...

Να βρεθεί η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε η εξίσωση παρακάτω να έχει λύση ως προς χ (πραγματικός). Tα $a$ και $b$ είναι θετικοί πραγματικοί Να γραφτεί η λύση δεδομένου ότι η συνθήκη ικανοποιείται . $\displaystye \sqrt{x+a}-\sqrt{x}=b$ (Με επαρκή αιτιολόγηση) Πεδίο ορισμού $x\ge 0$. Πολλαπλασιάζον...

Καλημέρα σας, θεωρείτε ότι μια συνάρτηση όπως στο παράδειγμα που έθεσε ο κ. Κώστας Ζερβός θα μπορούσε να τεθεί στις εξετάσεις μιας και δεν είναι συνεχής στο σημείο αλλαγής του τύπου; Ευχαριστώ! Θα έλεγα ότι θα μπορούσε. Θα ήταν χρήσιμο να συζητάγαμε στον μάθημα την εν λόγω περίπτωση ασυνεχούς $f$ γ...

Σίγουρα η οπτικοποίηση βοηθάει στην απόδοση της γεωμετρικής ερμηνείας, όπως αναφέρθηκε. Βέβαια αρνούμαι να πιστέψω ότι οι μαθητές πρέπει να αποστηθίζουν μια τυχαία γραφική παράσταση ή να συγκεκριμενοποιούν μια γεωμετρική ερμηνεία και ότι αυτό είναι αναντικατάστατο και επισύρει "ποινές". Σας ευχαρισ...

KARKAR έγραψε: ↑

Δευ Φεβ 22, 2021 12:46 pm

Για τις τιμές του για τις οποίες ορίζεται , βρείτε την παράγωγο

της συνάρτησης : .

Γράφοντας , εύκολα βλέπουμε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή. Άρα έχει παράγωγο ...

Σωστό είναι αλλά πλατειάζει. Μπορεί να αποτρέψει τον μαθητή γιατί κάνει τα εύκολα, δύσκολα. Τα ίδια πιο άμεσα: $\displaystyle{f'(0)-2 = \lim_{x \rightarrow 0} ( f'(x) - \sqrt {x^2+4})= \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac { f'(x) - \sqrt {x^2+4}}{x} \cdot x = 1\cdot 0 =0}$, δηλαδή $f'(0)=2$. Άρα $\displays...

Δεν νομίζω ότι βρίσκεται στα βιβλία προπτυχιακής άλγεβρας. Έχω αρκετά βιβλία αφηρημένης προπτυχιακής άλγεβρας και δεν αναφέρεται ως θεωρία. Ίσως αναφέρεται ως άσκηση όχι όμως στη θεωρία. Μην παραλλάσουμε αυτό που έγραψα. Αναφέρθηκα σε Θεωρίες Δακτυλίων ή βιβλία που περιέχουν Θεωρία Δακτυλίων. Για π...

19) Έστω $R$ ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα. Το Jacobson radical είναι η τομή όλων των μέγιστων ιδεωδών του $R$. Δείξτε ότι αν κάποιο $x$ ανήκει στο Jacobson radical τότε το στοιχείο $1+x$ είναι αντιστρέψιμο. Το αποτέλεσμα αυτό βρίσκεται ως θεωρία σε όλα τα βιβλία Θεωρίας Δακτυλίων ή στο αντί...

Έστω $f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{f \left ( xy \right ) = \frac{f(x)}{y} + \frac{f(y)}{x} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x , y >0}$ Αν $f'(1)=1$ τότε να δειχθεί ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$. Ένας εύκολος τρόπος να λύσουμε την άσκηση είναι να ...

Κάνοντας στο graphing calculator τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που έχετε δώσει, φαίνεται ότι αλλάζει μονοτονία σε δύο σημεία Ενδεχομένως ο graphing calculator να μπερδεύεται στο $x=1$ γιατί μηδενίζεται ο παρονομαστής. Δεν έχω graphing calculator για να ελέγξω αλλά τέτοια προβλήματα είναι αναμ...