Έστω $x \in \left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right) \cap \mathbb{Q}$. Να δειχθεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\log (1-x)}{\log x}}$ είναι υπερβατικός πάνω από το $\mathbb{Q}$. Δίνω λύση έτσι και αλλιώς, εν αναμονή της απάντησης του Τόλη: Δείχνω το ζητούμενο κάνοντας πρώτα την διόρθωση ότι ισ...

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Κυρ Ιούλ 14, 2019 9:41 am

Τόλη, κάτι δεν πάει καλά. Για , που βέβαια ανήκει στο , η παράσταση ισούται με .

Τόλη, δεν έχεις απαντήσει στην ένστασή μου. Κάποια διόρθωση πρέπει να γίνει. Ας γίνει πρώτα, και μετά θα αρχίσουμε να κοιτάμε την άσκηση.

Το κλειδί για τη γενική περίπτωση είναι αυτή η ισότητα $\displaystyle{\frac{1}{(n-1)\left ( n-1-x \right )\cdots (1-x) \cdot x} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{x-k} \cdot \frac{(-1)^k}{n!} \binom{n}{k}}$ η οποία είναι άμεση συνέπεια του Residue Theorem. Τα υπόλοιπα κυλούν ομαλά. Σωστά. Τέτοια ανάλυση σε ...

Να δειχθεί ότι για κάθε $n \in \mathbb{N}$ ισχύει: $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} \binom{n}{x} \, \mathrm{d}x = 2^n }$ Θα το κάνω μόνο για $n=1$ λόγω πληκτρολόγησης. Η γενική περίπτωση δεν φαίνεται να έχει διαφορά στην μέθοδο (αλλά δεν το έκανα μέχρι τέλους). Θα χρησιμοποιήσω τους τύπους $\...

"Έστω συνάρτηση $f$ για την οποία ισχύει: Αν $fof$ : γνησίως αύξουσα, τότε η $f$ γνησίως μονότονη ". Να χαρακτηρίσετε την παραπάνω πρόταση γράφοντας τη λέξη Σωστή, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Το παράδειγμα που έδωσα πρόσφατα ε...

Έστω $x \in \left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right) \cap \mathbb{Q}$. Να δειχθεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\log (1-x)}{\log x}}$ είναι υπερβατικός πάνω από το $\mathbb{Q}$. Τόλη, κάτι δεν πάει καλά. Για $x=\frac{1}{2}$, που βέβαια ανήκει στο $\left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right) \cap ...

margk έγραψε: ↑

Παρ Ιούλ 12, 2019 5:01 pm

Σύμφωνα με την ιστοσελιδα του τμήματος Μαθηματικών στην Καστοριά το πτυχίο οριοθετείται στο επίπεδο 6.
Μήπως γνωρίζει κάποιος το επίπεδο πτυχίου στα άλλα τμήματα Μαθηματικών ;

Εξ ορισμού όλα τα πτυχία Πανεπιστημίου στην χώρα μας είναι Επιπέδου .

Βλέπε εδώ.

Για μαθητές, διορία το Σαββατοκύριακο. Είναι αρκετά απλή ώστε να μην δυσκολέψει κανέναν μαθητή Γυμνασίου και πάνω. Να λυθεί στο $\mathbb R_+$ η εξίσωση $[x]= 5\{x\}$. To $[x]$ συμβολίζει το ακέραιο μέρος του $x$, και $\{x\}$ το κλασματικό. Για παράδειγμα αν $x=2,3$ τότε $[x]=2$ και $\{x\}=0,3$. Δεν ...

Έπεσα στην παρακάτω ιστοσελίδα για το νεοσύστατο Τμήμα Μαθηματικών στην Καστοριά. Εδώ Ας προσθέσω ότι το Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας έχει Τμήματα στην Κοζάνη, στα Γρεβενά, στην Καστοριά, στην Φλώρινα και στην Πτολεμαΐδα. Πανέμορφες πόλεις όλες αλλά η λειτουργία Πανεπιστημίου με τέτοιο διασκορπισ...

Να λυθεί, ως προς χ, η εξίσωση: $3sina cosx-cosa sinx =4cosa+ 3\sqrt{3}$ Καλό. H δοθείσα (συν Cauchy-Schwarz) δίνει $\displaystyle{3\sqrt{3}= 3\sin a \cos x-\cos a \sin x -4\cos a \le |3\sin a \cos x-\cos a \sin x -4\cos a|=}$ $\displaystyle{=|(3\sin a )\cos x-\cos a \sin x -(2\sqrt 2\cos a) \sqrt ...

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=+\infty} $ Το θέμα αυτό μου τέθηκε την άνοιξη του 1997 από υποψήφιο της Α' Δέσμης. Τότε δούλευα σε ένα φροντιστήριο... Πιστεύω να μην έχει ξανατεθεί στο :logo: ... Με χρήση του γεγονότος ότι $\displaystyle{\sqrt{x^{2...

Δίνονται οι συναρτήσεις $ f, g: [0,1] \rightarrow R$ με $f_a(x)=1-x^a$ και $g_a(x)=(1-x)^a,$ όπου $a\in (1,+\infty).$ (1) Να δείξετε ότι οι εξισώσεις $f_a(x)=x,g_a(x)=x$ έχουν μοναδική λύση στο $(0,1)$ για κάθε $a.$ (2) Αν με $x_1(a),x_2(a)$ συμβολίσουμε τις ρίζες των $f_a(x)=x$ και $g_a(x)=x$ αντί...

Ίσες διαδρομές.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος εξηγήστε γιατί : $AB+BD=AE+EB$ Επιπλέον υπολογίστε το τμήμα $ED$ συναρτήσει της πλευράς $BC=a$ . Και μία καθαρά Γεωμετρική. Φέρνουμε την $DF$ παράλληλη της $ BE$. Εύκολα βρίσκουμε τα μέτρα των γωνιών του σχήματος, από όπου βλέπουμε ότι τα τρίγωνα $AFD, ADB...

Ίσες διαδρομές.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος εξηγήστε γιατί : $AB+BD=AE+EB$ Επιπλέον υπολογίστε το τμήμα $ED$ συναρτήσει της πλευράς $BC=a$ . Υπάρχουν διάφορες λύσεις αλλά, για να κλείει, ας δούμε μία Τριγωνομετρική: Από τον Νόμο των Ημιτόνων στα τρίγωνα $ABE, ABD$ το αποδεικτέο ισοδυναμεί με $\displ...

Αλλιώς: Εστω $f$ μη σταθερή, οπότε υπάρχουν $c<d$ με $f(c)\ne f(d)$. Θα καταλήξουμε σε άτοπο. Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει $\xi$ μεταξύ τους με $f'(\xi) = \frac {f(d)-f(c)}{d-c} \ne 0$. Επίσης επειδή $A$ αριθμήσιμο ενώ $[c,d]$ μη αριθμήσιμο, υπάρχει $\eta \in [c,d]-A$, και άρα $f'(\eta)=0$. Από Darboux η $f'$...

Να αποδείξετε ότι αν $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty}$ τότε για κάθε φυσικό $n\geq1$ είναι $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^n(x)+g^n(x))=+\infty}.$ Με χρήση της Holder, στην ειδική περίπτωση $ab+cd \le (a^p+c^p)^{\frac {1}{p}} (b^q+d^q)^{\frac {1}{q}}$, για $a,b,c,...

Λίγο πιο απλό αντιπαράδειγμα: . Η απόδειξη άμεση.

Καλησπέρα, μπορούμε γενικά αν γνωρίζουμε τον τύπο της σύνθεσης της συνάρτησης $f$ με τον εαυτό της,να μπορούμε να βρούμε και τον τύπο της $f$; Γενικά υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις με $fof$ ίσον δοθείσα, οπότε δεν μπορούμε να βρούμε την $f$. Για παράδειγμα ποιές είναι οι $f$ με $f(f(x))=x$; Μία είναι...

Υπάρχει $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ γνησίως αύξουσα παραγωγίσημη παντού που το σύνολο $\left \{ x\in [a,b]:f'(x)=0 \right \}$ περιέχει το $\mathbb{Q}\cap [a,b]$. Σωστά. Τέτοιο παράδειγμα (όχι ιδιαίτερα δύσκολο) υπάρχει στην σελίδα $12$ του Α. Van Rooij, W. Schikhof, A second course on real func...