Είχα και εγώ παρόμοια ιδέα όμως δεν μπορώ να καταλάβω γιατί όταν σπάμε το ολοκλήρωμα γίνεται $\int_{1}^{e}(\int_{1}^{e}f(x)dx)dt = (e-1)\int_{1}^{e}f(t)dt$ Υπόδειξη: Το μέσα ολοκλήρωμα είναι ένας σταθερός αριθμός. Πες τον $k$. To $k$ βγαίνει έξω από το ολοκλήρωμα. Τι μένει μέσα; Πόσο θα βρεις αν κά...

Μία άλλη λύση σε άλλο μήκος κύματος . Ολοκληρώνεις τη σχέση από $1$ έως $e$. Οπότε: Σωστά αλλά πρέπει να κάνω μία ουσιαστική παρατήρηση για να μην μένουμε με εσφαλμένες εντυπώσεις: Δεν πρόκειται για λύση σε άλλο μήκος κύματος αλλά για ΑΚΡΙΒΩΣ την ίδια λύση. Η μόνη "διαφορά" είναι ότι η σταθερά $c$ ...

Δίνεται συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει $f(x)=lnx-1+\int_{1}^{e}f(x) dx$ Να αποδείξετε ότι $f(x)=lnx$ Κάποια υπόδειξη; Επειδή ο τελευταίος προσθετέος είναι κάποιος (σταθερός) αριθμός, η σχέση σου γράφεται $f(x)=\lnx-1+c$, ή αλλιώς $f(x)=\ln x + d$ Βάλε αυτό πίσω στην αρχική σχέση με σκοπό να...

Αν πάρω $x$ μεγαλύτερο από την μεγαλύτερη θετική ρίζα, τότε δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω κανόνα l' Hospital; Όχι ακριβώς. Κάτι πας να πεις, αλλά κάπου χάνεσαι στην λεπτομέρεια. Πρώτα απ' όλα μπορεί να μην έχει καμία ρίζα ή να έχει ρίζες αλλά να είναι όλες αρνητικές. Για δες το ξανά αλλά κάνοντας την ...

Ας προσθέσω ότι με ακριβώς τον ίδιο τρόπο δείχνουμε, γενικότερα, ότι



όπου η μεν αριστερή ανισότητα ισχύει για και η δεξιά για (αυτό βελτιώνεται κάπως).

το $ \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\left | P(x) \right |}{e^{x}} $ είναι $\frac{+\infty}{+\infty}$ , άρα εφαρμόζοντας Del'Hospital Μέσες άκρες σωστός (αλλά πλατειάζεις) όμως το παραπάνω σημείο θέλει επιδιόρθωση. Το πρόβλημα είναι ότι το $|P(x)|$ δεν είναι πάντα παραγωγίσιμο. Εύκολα διορθώνεται,...

lefsk έγραψε: ↑

Κυρ Μάιος 19, 2019 9:19 pm

Σωστά, αν παραλείψουμε πεπερασμένο πλήθος όρων, το αποτέλεσμα δεν αλλάζει. Κατάλαβα, σας ευχαριστώ πολύ! Καλό βράδυ!

Ακόμα καλύτερα: Και άπειρο πλήθος μηδενικών αν παραλείψεις, το άθροισμα δεν αλλάζει.

Το πρόβλημα είναι ότι το κριτήριο αναφέρεται σε θετικές ακολουθίες, όχι σε μη αρνητικές. Κάποια ιδέα; Ευχαριστώ πολύ! Αν $x_k=0$ για κάποιο $k$ τότε απλά παραλείπουμε αυτόν τον όρο από το $\sum x_n$ (δεν αλλάζει η τιμή του). Επειδή $f(0)=0$ δεν αλλάζει ούτε η τιμή του $\sum f(x_n)$. Έτσι η απόδειξή...

Δείξτε ότι : $201^{199} < 200^{200} <199^{201}$ . Δείξτε επιπλέον ότι οι τρεις αυτοί αριθμοί είναι ( στο περίπου :lol: ) διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και βρείτε το "λόγο" της . Από Bernoulli $\displaystyle{ \dfrac {200^{200}}{201^{199}}= 200 \left (1- \dfrac {1}{201}\right ) ^{199}\ge 200 \l...

Απλά διαβάζοντας βρήκα την παρακάτω άσκηση η οποία μου άρεσε και σας την προτείνω. Έστω $A,B$, $n\times n$ πίνακες που ικανοποιούν τη σχέση: $A^{2}=B^{2}=(AB)^{2}$ και επιπλέον ο πίνακας $A$ είναι αντιστρέψιμος. Να αποδείξετε ότι ισχύει: $A^{4}=B^{4}=I_n.$ Από $ (\det B)^2 = \det (B^2)= \det (A^2) ...

nikos_el έγραψε: ↑

Κυρ Μάιος 19, 2019 1:11 pm

Τι γίνεται αν τα δεν είναι απαραιτήτως θετικά;

Τότε το όριο μπορεί να μην υπάρχει. Π.χ. για για μεν άρτια είναι για δε περιττά,

Έστω $a_i \; , \; i =1, 2, \dots, k$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a_1\geq a_2\geq \cdots \geq a_k$ . Να δειχθεί ότι: $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_k^n} = \max\left \{ a_1, a_2 , \dots, a_k \right \}$ Ας κάνω μία βελτίωση στην εκφώνηση: ...

Δίνοντας τη συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \ln ({a^x})$ σου απαντάει: Alternate form assuming $a$ and $x$ are positive: $f(x) = x log(a)$ Γιώργο, ευχαριστώ. Φαίνεται ότι παρά το γεγονός ότι το μήνυμα της Wolfram απαιτεί $a>0,\, x>0$, στην πραγματικότητα χρησιμοποιεί (ορθά) μόνο τον περιορισμό $a>0...

Στην ιστοσελίδα εδώ θα βρείτε τα λινκ $127$ κορυφαίων Μουσείων ανά τον κόσμο. Μερικά είναι "Μουσεία Επιστημών" ή "Ιστορίας των Επιστημών" ή "Ερευνητικά Κέντρα". Μην παραλείψετε τα δείτε το Μουσείο Επιστημών της Φλωρεντίας (με εξαιρετικό υλικό για τον Γαλιλαίο) και το Μουσείο Da Vinci. Επίσης για το ...

Χάνω κάτι;

Τι ακριβώς κάνει το Wolfram Alfa;

Έβαλα να βρει την τιμή του και το βγάζει μια χαρά ()

εδώ

Μήπως δεν βλέπω κάτι;

Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα $[0,1]$ με $f'(x)<1$ στο $[0,1]$ Να αποδείξετε ότι: Α)$f(x)\leq f(0)+x$ , $x\in [0,1]$ Β)$\int_{0}^{1}f(x)dx\leq \frac{1}{2}+f(0)$ Γ)Αν $f(0)+1=0$,να αποδείξετε ότι η εξίσωση $1+\int_{0}^{x}f(t)dt=x$ έχει ακριβώς μια ρίζα στο $(0,1)$ Για να κλείνει (στ...

Εκτός του ότι είναι σε άσχετο φάκελλο η άσκηση έχει πολλά προβλήματα . Σωστά. H $f(x)=2x-1$ είναι αντιπαράδειγμα σε όλα. Ο λόγος που γράφω είναι άλλος: Επειδή μας διαβάζουν μαθητές, θέλω να επισημάνω ότι έχουμε και αδόκιμη χρήση συμβόλου. Καλό είναι να ακολουθούμε με ευλάβεια τα καθιερωμένα σύμβολα...

Ευχαριστώ για την απάντησή σας , με την οποία συμφωνώ. Η ερώτηση μου είναι αν στην ευθεία $y=\frac{x}{3}$ πρέπει να εξαιρεθεί το σημείο $(3,1)$.(Το θέμα είναι το περσινό δ θέμα του "είμαστε μέσα" και στη λύση τους , στον γεωμετρικό τόπο,δεν εξαιρούν το $(3,1)$). Βεβαίως πρέπει να εξαιρεθεί το $(3,1...

Στην παρακάτω άσκηση:"Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων της μορφής $x^{2}+y^{2}-10+\lambda (3x+y-10)=0,\lambda \neq -2$.", θέτοντας $x=-\frac{3\lambda }{2},y=-\frac{\lambda }{2}$, προκύπτει η ευθεία $y=\frac{x}{3}$. Τον περιορισμό $\lambda \neq -2$ δεν τον λαμβάνουμε υπόψιν, για ...

Ολοκλήρωση με ... αντικατάσταση.pngΚανονικά αυτό θα ήταν ένα θέμα για τα "σοβαρά" Μαθηματικά αλλά ..... Υπολογίστε λοιπόν το εμβαδόν του εγχρώμου ( πρασίνου ) χωρίου . Προφανώς ζητάς εμβαδόν...χωρίς ολοκλήρωση (αντικατάσταση με κάτι άλλο). Έχουμε: Η πάνω δεξιά κορυφή του πράσινου, αν ενωθεί με το κ...