Αλέξανδρε ευχαριστώ για τις διευκρινίσεις. Πάντως καλό είναι να μην δυσκολεύουμε τους συμβολισμούς και τους συλλογισμούς, χωρίς λόγο. Π.χ. άντε να καταλάβω τι θέλεις να πεις όταν γράφεις θέτω ως $(a^n-1)=a , (b^n-1)=b$ Ηχεί σαν να λες θέτω $(2^3-1)=2 $ Επίσης, δεν χρειάζεται ακροβασία του τύπου Γνωρ...

Γνωρίζουμε ότι $ab= (\frac{a+b}{2})^2-(\frac{a-b}{2})^2$.Οταν $ a=b $ έχουμε ότι το αριστερο μέλος είναι τέλειο τετράγωνο. Άρα αφού $(a^n-1)(b^n-1)$ είναι τέλειο τετράγωνο τότε πρέπει ο όρος $(\frac{a-b}{2})^2=0 \Leftrightarrow a^n-1=b^n-1 \Leftrightarrow a=b.$ Με κάθε επιφύλαξη ότι δεν έχω κάνει κ...

Για τις διάφορες τιμές του θετικού πραγματικού $\alpha$, να εξετασθεί η σύγκλιση της σειράς $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\frac{\log{n}}{n^{\alpha}}\,.$ Η απόκλιση για $a\le 1$ είναι άμεση (π.χ. με χρήση της $\ln n \ge 1$). Για σύγκλιση αν $a>1$ έχουμε: Είναι γνωστό και απλό ότ...

Χαιρετίσματα από Γιαννιτσά.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Δευ Ιουν 18, 2018 7:32 pm

αν δεν ξέχασα καμία.

Χμμμ, τις και ,

όπως μου επεσήμανε σε μήνυμα Δημήτρης Χριστοφίδης, με το άγρυπνο βλέμμα του.

Τον ευχαριστώ θερμά.

Γεια σας, να βρεθούν όλοι οι τετραψήφιοι αριθμοί που έχουν την ιδιότητα όταν διαγράψεις οποιοδήποτε ψηφίο του αριθμού αυτού τότε ο αριθμός θα μετατραπεί σε τριψήφιο αριθμό ο οποίος θα διαιρεί τον αρχικό αριθμό. Δηλαδή αν $A=\overline{abcd}$ τότε οι αριθμοί $\overline{abc},\overline{abd},\overline{b...

Να υπολογιστεί η σειρά: $\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \left ( 2 \sin^4 \frac{\pi}{2^n} - 6 \cos^2 \frac{\pi}{2^n} \sin^2 \frac{\pi}{2^n} \right )}$ O γενικός όρος είναι της μορφής $ \displaystyle{2 \sin^4 a - 6 \cos^2 a \sin^2 a= 2 \sin^2 a(\sin^2 a - 3 \cos^2 a ) = 2 \sin^2 a(4\...

Σε συνέχεια του θέματος από δω ας δούμε τούτο. Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\lim \sqrt[n]{\zeta(n)-1} = \frac{1}{2}}$. Άμεσο από τις $\displaystyle{\sqrt[n]{\zeta(n)-1} =\sqrt [n] { \frac {1}{2^n} +\frac {1}{3^n}+...} \ge \sqrt [n] { \frac {1}{2^n} }= \frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{\sqrt[n]{\ze...

Πληροφορίες για το 2ο Θερινό Σχολείο Μαθηματικών στα Γιαννιτσά, από Τετάρτη 20 Ιουνίου έως Σάββατο 23 Ιουνίου 2018
βλέπε π.χ. σε ένα από τα λινκ

εδώ ή εδώ ή εδώ

Απευθύνεται σε μαθητές που μόλις τέλειωσαν την Γ Γυμνασίου και πάνω αλλά συνιστάται καλό Μαθηματικό υπόβαθρο.

M.S.Vovos έγραψε: ↑

Πέμ Ιουν 14, 2018 10:33 pm

Νομίζω πως ναι! Το είχα ρωτήσει και εγώ αυτό σε προσωπικό μήνυμα στο AoPS και η απάντηση ήταν θετική. Δεν έχω όμως, ιδέα για τη λύση.

Μάριε, θα μπορούσες να μας δώσεις την ακριβή παραπομπή στο AoPS για να δούμε τι ακριβώς γράφει ή πώς απαντήθηκε, αν απαντήθηκε;

Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η ακολουθία συναρτήσεων $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}$ που ορίζεται ως $f_{n}(x)=\log_{\lfloor{x}\rfloor n}(x)\,, \quad n\in\mathbb{N}\,,\quad x\in[2,+\infty)\,.$ Για κάθε σταθερό $x$ είναι $\displaystyle { \log_{\lfloor{x}\rfloor n}(x) = \fr...

Βάφουμε καθένα από τα $16$ τετραγωνάκια ενός $4\times 4$ τετραγώνου είτε άσπρο είτε μαύρο. Κατόπιν μπορούμε να επιλέξουμε οποιοδήποτε $2\times 2$ ή οποιοδήποτε $3\times 3$ υποτετράγωνο και να αλλάξουμε τα χρώματα όλων των κελιών του. Επαναλάβουμε αυτή την διαδικασία όσες φορές θέλουμε. Δείξτε ότι υπ...

Ας το δούμε λίγο αλλιώς μια και κάνει κάπως πιο ορατή την αιτία της ανισότητας: Αν $X, Y $ δεκαψήφιοι, τότε ισχύει βέβαια $10^9 \le Y, \, X < 10^{10}$. Οπότε για οποιοδήποτε φυσικό $m$ έχουμε $X^{9m} < (10^{10})^{9m} = (10^{9})^{10m} \le Y^{10m}$. Τελειώσαμε. Γενικότερα, αν οι $X,Y $ έχουν από $n$ ψ...

Xriiiiistos έγραψε: ↑

Δευ Ιουν 11, 2018 11:07 pm

Νομίζω πως η λύση μου έχει σχέση με την θεωρία αριθμών

Χρήστο, δεν βλέπω σχέση με Θεωρία Αριθμών στην λύση σου. Το μόνο που χρειάζεται είναι η γραφή των αριθμών
στο δεκαδικό σύστημα, πράγμα πολύ απλό (γνωστό π.χ. από το Δημοτικό) για να θεωρηθεί Θεωρία Αριθμών

Δύο κύκλοι $(O,r)$ και $(K,R)$ , με $OK=d$ , τέμνονται στα σημεία $A,B$ . Σημείο $S$ κινείται στον $(K)$ "ανατολικότερα" της κοινής χορδής , ώστε η $SB$ να τέμνει τον $(O)$ σε σημείο $T$ . Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{SA}{ST}$ παραμένει σταθερός . Από τον Νόμο των ημιτόνων $\dfrac{SA}{ST} = \dfrac {\...

Καταλάθος δεν πρόσεξα ότι είναι σε Α.Ε.Ι.. Νομίζω πως η λύση μου έχει σχέση με την θεωρία αριθμών αλλά πριν την δημοσιεύσω θα ήθελα να γενικεύσω την άσκηση Έστω δεκαψήφιος ακέραιος πραγματικός αριθμός $X$ και έστω δεκαψήφιος ακέραιος πραγματικός αριθμός $Y$ να αποδείξετε $X^{10^{11}+1}>Y^{9\cdot 10...

Γεια σας, ποιος από τους 2 αριθμούς είναι μεγαλύτερος $1234567809^{10^{11}+1}$ $9876543201^{9\cdot 10^{10}}$ Ενδιαφέρουσα άσκηση αλλά δεν νομίζω να κάνει για άσκηση Θεωρίας Αριθμών και μάλιστα σε επίπεδο Α.Ε.Ι. Πιο κοντά κάνει για άσκηση Αριθμητικής/Άλγεβρας σε επίπεδο Juniors. Θα δείξω ακόμα καλύτ...

Δεν υπάρχει τέτοια διάθεση...άπλα τυγχάνει να είμαι εδώ και τα γνωρίζω...Φιλικά https://www.theguardian.com/education/2016/mar/22/teachers-plan-leave-five-years-survey-workload-england Πολύ ενδιαφέρον το άρθρο του Guardian, και ευχαριστούμε. Όμως δεν βλέπω πού λέει για ωράριο που μπορεί να ξεκινάει...

Και έτσι πρέπει...αλλά πρέπει να έχουμε υπόψη ότι μπορεί να μιλάμε για ωράριο που μπορεί να ξεκινάει από τις 4 το πρωί ...μέχρι τις 6 το απόγευμα και βαρύ φόρτο εργασίας...που αναγκάζει σχεδόν το 50% των νεοεισερχομένων (κάθε έτος) να εγκαταλείπει μέσα στα 5 χρόνια... Καλύτερα να μην γράφουμε ανακρ...

Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $P(x)$ με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε $\displaystyle P(x)^3+P(y)^3+P(z)^3=3P(xyz)$ για κάθε $x,y,z\in \Bbb{R}$ με $x+y+z=0$ Απάντηση: Τα πολυώνυμα $0, \, 1, \, -1, \, x, \, -x$. Για σταθερά πολυώνυμα, $p(x)=c$, η δοθείσα γίνεται $3c^3=3c$, και άρα ως άνω. Για μη...

:10sta10: Ένα πιο απλό παράδειγμα για το ... 3) Υποθέτω ότι το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών είναι το $\mathbb N$. Η απάντηση είναι όχι. Ένα αντιπαράδειγμα είναι $g(n)=n$ για $n$ μη αρνητικό ακέραιο και $f(n)=n$ αν $n$ άρτιος μη αρνητικός ακέραιος και $f(n)=n-1$ αν $n$ περιττός μη αρνητικός ακέρ...