Η αναζήτηση βρήκε 9523 εγγραφές

από Mihalis_Lambrou
Σάβ Ιουν 23, 2018 9:00 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 285

Re: ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!

Αλέξανδρε ευχαριστώ για τις διευκρινίσεις. Πάντως καλό είναι να μην δυσκολεύουμε τους συμβολισμούς και τους συλλογισμούς, χωρίς λόγο. Π.χ. άντε να καταλάβω τι θέλεις να πεις όταν γράφεις θέτω ως $(a^n-1)=a , (b^n-1)=b$ Ηχεί σαν να λες θέτω $(2^3-1)=2 $ Επίσης, δεν χρειάζεται ακροβασία του τύπου Γνωρ...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Ιουν 23, 2018 4:07 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 285

Re: ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!

Γνωρίζουμε ότι $ab= (\frac{a+b}{2})^2-(\frac{a-b}{2})^2$.Οταν $ a=b $ έχουμε ότι το αριστερο μέλος είναι τέλειο τετράγωνο. Άρα αφού $(a^n-1)(b^n-1)$ είναι τέλειο τετράγωνο τότε πρέπει ο όρος $(\frac{a-b}{2})^2=0 \Leftrightarrow a^n-1=b^n-1 \Leftrightarrow a=b.$ Με κάθε επιφύλαξη ότι δεν έχω κάνει κ...
από Mihalis_Lambrou
Πέμ Ιουν 21, 2018 9:09 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σύγκλιση σειράς 110
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 159

Re: Σύγκλιση σειράς 110

Για τις διάφορες τιμές του θετικού πραγματικού $\alpha$, να εξετασθεί η σύγκλιση της σειράς $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\frac{\log{n}}{n^{\alpha}}\,.$ Η απόκλιση για $a\le 1$ είναι άμεση (π.χ. με χρήση της $\ln n \ge 1$). Για σύγκλιση αν $a>1$ έχουμε: Είναι γνωστό και απλό ότ...
από Mihalis_Lambrou
Τετ Ιουν 20, 2018 1:37 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τετραψήφιοι αριθμοί
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 263

Re: Τετραψήφιοι αριθμοί

Χαιρετίσματα από Γιαννιτσά.
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Ιουν 18, 2018 7:32 pm
αν δεν ξέχασα καμία.
Χμμμ, τις 6600,7700,8800 και 9900,

όπως μου επεσήμανε σε μήνυμα Δημήτρης Χριστοφίδης, με το άγρυπνο βλέμμα του.

Τον ευχαριστώ θερμά.
από Mihalis_Lambrou
Δευ Ιουν 18, 2018 7:32 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τετραψήφιοι αριθμοί
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 263

Re: Τετραψήφιοι αριθμοί

Γεια σας, να βρεθούν όλοι οι τετραψήφιοι αριθμοί που έχουν την ιδιότητα όταν διαγράψεις οποιοδήποτε ψηφίο του αριθμού αυτού τότε ο αριθμός θα μετατραπεί σε τριψήφιο αριθμό ο οποίος θα διαιρεί τον αρχικό αριθμό. Δηλαδή αν $A=\overline{abcd}$ τότε οι αριθμοί $\overline{abc},\overline{abd},\overline{b...
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Ιουν 17, 2018 4:32 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Απειροσειρά
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 176

Re: Απειροσειρά

Να υπολογιστεί η σειρά: $\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \left ( 2 \sin^4 \frac{\pi}{2^n} - 6 \cos^2 \frac{\pi}{2^n} \sin^2 \frac{\pi}{2^n} \right )}$ O γενικός όρος είναι της μορφής $ \displaystyle{2 \sin^4 a - 6 \cos^2 a \sin^2 a= 2 \sin^2 a(\sin^2 a - 3 \cos^2 a ) = 2 \sin^2 a(4\...
από Mihalis_Lambrou
Παρ Ιουν 15, 2018 11:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο με ζήτα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 92

Re: Όριο με ζήτα

Σε συνέχεια του θέματος από δω ας δούμε τούτο. Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\lim \sqrt[n]{\zeta(n)-1} = \frac{1}{2}}$. Άμεσο από τις $\displaystyle{\sqrt[n]{\zeta(n)-1} =\sqrt [n] { \frac {1}{2^n} +\frac {1}{3^n}+...} \ge \sqrt [n] { \frac {1}{2^n} }= \frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{\sqrt[n]{\ze...
από Mihalis_Lambrou
Παρ Ιουν 15, 2018 11:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: 2o ΘΕΡΙΝΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ στα ΓΙΑΝΝΙΤΣΑ
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 113

2o ΘΕΡΙΝΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ στα ΓΙΑΝΝΙΤΣΑ

Πληροφορίες για το 2ο Θερινό Σχολείο Μαθηματικών στα Γιαννιτσά, από Τετάρτη 20 Ιουνίου έως Σάββατο 23 Ιουνίου 2018
βλέπε π.χ. σε ένα από τα λινκ

εδώ ή εδώ ή εδώ

Απευθύνεται σε μαθητές που μόλις τέλειωσαν την Γ Γυμνασίου και πάνω αλλά συνιστάται καλό Μαθηματικό υπόβαθρο.
από Mihalis_Lambrou
Πέμ Ιουν 14, 2018 11:07 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρά
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 465

Re: Σειρά

M.S.Vovos έγραψε:
Πέμ Ιουν 14, 2018 10:33 pm
Νομίζω πως ναι! Το είχα ρωτήσει και εγώ αυτό σε προσωπικό μήνυμα στο AoPS και η απάντηση ήταν θετική. Δεν έχω όμως, ιδέα για τη λύση.
Μάριε, θα μπορούσες να μας δώσεις την ακριβή παραπομπή στο AoPS για να δούμε τι ακριβώς γράφει ή πώς απαντήθηκε, αν απαντήθηκε;
από Mihalis_Lambrou
Τετ Ιουν 13, 2018 5:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 09
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 128

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 09

Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η ακολουθία συναρτήσεων $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}$ που ορίζεται ως $f_{n}(x)=\log_{\lfloor{x}\rfloor n}(x)\,, \quad n\in\mathbb{N}\,,\quad x\in[2,+\infty)\,.$ Για κάθε σταθερό $x$ είναι $\displaystyle { \log_{\lfloor{x}\rfloor n}(x) = \fr...
από Mihalis_Lambrou
Τρί Ιουν 12, 2018 6:30 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Μαύρα και άσπρα τετραγωνάκια
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 133

Μαύρα και άσπρα τετραγωνάκια

Βάφουμε καθένα από τα $16$ τετραγωνάκια ενός $4\times 4$ τετραγώνου είτε άσπρο είτε μαύρο. Κατόπιν μπορούμε να επιλέξουμε οποιοδήποτε $2\times 2$ ή οποιοδήποτε $3\times 3$ υποτετράγωνο και να αλλάξουμε τα χρώματα όλων των κελιών του. Επαναλάβουμε αυτή την διαδικασία όσες φορές θέλουμε. Δείξτε ότι υπ...
από Mihalis_Lambrou
Τρί Ιουν 12, 2018 5:16 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σύγκριση αριθμών
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 259

Re: Σύγκριση αριθμών

Ας το δούμε λίγο αλλιώς μια και κάνει κάπως πιο ορατή την αιτία της ανισότητας: Αν $X, Y $ δεκαψήφιοι, τότε ισχύει βέβαια $10^9 \le Y, \, X < 10^{10}$. Οπότε για οποιοδήποτε φυσικό $m$ έχουμε $X^{9m} < (10^{10})^{9m} = (10^{9})^{10m} \le Y^{10m}$. Τελειώσαμε. Γενικότερα, αν οι $X,Y $ έχουν από $n$ ψ...
από Mihalis_Lambrou
Τρί Ιουν 12, 2018 12:33 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σύγκριση αριθμών
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 259

Re: Σύγκριση αριθμών

Xriiiiistos έγραψε:
Δευ Ιουν 11, 2018 11:07 pm
Νομίζω πως η λύση μου έχει σχέση με την θεωρία αριθμών
Χρήστο, δεν βλέπω σχέση με Θεωρία Αριθμών στην λύση σου. Το μόνο που χρειάζεται είναι η γραφή των αριθμών
στο δεκαδικό σύστημα, πράγμα πολύ απλό (γνωστό π.χ. από το Δημοτικό) για να θεωρηθεί Θεωρία Αριθμών
από Mihalis_Lambrou
Δευ Ιουν 11, 2018 11:48 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Άλλος λόγος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 127

Re: Άλλος λόγος

Δύο κύκλοι $(O,r)$ και $(K,R)$ , με $OK=d$ , τέμνονται στα σημεία $A,B$ . Σημείο $S$ κινείται στον $(K)$ "ανατολικότερα" της κοινής χορδής , ώστε η $SB$ να τέμνει τον $(O)$ σε σημείο $T$ . Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{SA}{ST}$ παραμένει σταθερός . Από τον Νόμο των ημιτόνων $\dfrac{SA}{ST} = \dfrac {\...
από Mihalis_Lambrou
Δευ Ιουν 11, 2018 11:22 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σύγκριση αριθμών
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 259

Re: Σύγκριση αριθμών

Καταλάθος δεν πρόσεξα ότι είναι σε Α.Ε.Ι.. Νομίζω πως η λύση μου έχει σχέση με την θεωρία αριθμών αλλά πριν την δημοσιεύσω θα ήθελα να γενικεύσω την άσκηση Έστω δεκαψήφιος ακέραιος πραγματικός αριθμός $X$ και έστω δεκαψήφιος ακέραιος πραγματικός αριθμός $Y$ να αποδείξετε $X^{10^{11}+1}>Y^{9\cdot 10...
από Mihalis_Lambrou
Δευ Ιουν 11, 2018 10:19 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σύγκριση αριθμών
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 259

Re: Σύγκριση αριθμών

Γεια σας, ποιος από τους 2 αριθμούς είναι μεγαλύτερος $1234567809^{10^{11}+1}$ $9876543201^{9\cdot 10^{10}}$ Ενδιαφέρουσα άσκηση αλλά δεν νομίζω να κάνει για άσκηση Θεωρίας Αριθμών και μάλιστα σε επίπεδο Α.Ε.Ι. Πιο κοντά κάνει για άσκηση Αριθμητικής/Άλγεβρας σε επίπεδο Juniors. Θα δείξω ακόμα καλύτ...
από Mihalis_Lambrou
Δευ Ιουν 11, 2018 3:48 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Μαθηματικός για Αγγλία
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 948

Re: Μαθηματικός για Αγγλία

Δεν υπάρχει τέτοια διάθεση...άπλα τυγχάνει να είμαι εδώ και τα γνωρίζω...Φιλικά https://www.theguardian.com/education/2016/mar/22/teachers-plan-leave-five-years-survey-workload-england Πολύ ενδιαφέρον το άρθρο του Guardian, και ευχαριστούμε. Όμως δεν βλέπω πού λέει για ωράριο που μπορεί να ξεκινάει...
από Mihalis_Lambrou
Δευ Ιουν 11, 2018 12:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Μαθηματικός για Αγγλία
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 948

Re: Μαθηματικός για Αγγλία

Και έτσι πρέπει...αλλά πρέπει να έχουμε υπόψη ότι μπορεί να μιλάμε για ωράριο που μπορεί να ξεκινάει από τις 4 το πρωί ...μέχρι τις 6 το απόγευμα και βαρύ φόρτο εργασίας...που αναγκάζει σχεδόν το 50% των νεοεισερχομένων (κάθε έτος) να εγκαταλείπει μέσα στα 5 χρόνια... Καλύτερα να μην γράφουμε ανακρ...
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Ιουν 10, 2018 11:27 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 276

Re: Πολυώνυμο

Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $P(x)$ με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε $\displaystyle P(x)^3+P(y)^3+P(z)^3=3P(xyz)$ για κάθε $x,y,z\in \Bbb{R}$ με $x+y+z=0$ Απάντηση: Τα πολυώνυμα $0, \, 1, \, -1, \, x, \, -x$. Για σταθερά πολυώνυμα, $p(x)=c$, η δοθείσα γίνεται $3c^3=3c$, και άρα ως άνω. Για μη...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Ιουν 09, 2018 11:38 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: ένα προς ένα και επί συναρτήσεις
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 307

Re: ένα προς ένα και επί συναρτήσεις

:10sta10: Ένα πιο απλό παράδειγμα για το ... 3) Υποθέτω ότι το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών είναι το $\mathbb N$. Η απάντηση είναι όχι. Ένα αντιπαράδειγμα είναι $g(n)=n$ για $n$ μη αρνητικό ακέραιο και $f(n)=n$ αν $n$ άρτιος μη αρνητικός ακέραιος και $f(n)=n-1$ αν $n$ περιττός μη αρνητικός ακέρ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση