Στο λικκ https://digi.vatlib.it/ θα βρείτε το ψηφιακό τμήμα μιας από τις σημαντικότερες βιβλιοθήκες του κόσμου, με τεράστιο υλικό. Ο ιστότοπος έχει, βέβαια, την δυνατότητα για search. Αν την χειριστείτε σωστά θα βρείτε άπειρο υλικό που θα σας καθηλώσει. Την ίδια την βιβλιοθήκη του Βατικανού την επισ...

Ευχαριστώ για τις υποδείξεις μελέτησα και τις 10 σελίδες των κανονισμών (πολύ δουλειά. Πάλι όμως δεν μπορώ να τη λύσω μήπως μπορείς να την ολοκλήρώσεις. Κολάω γιατί μετά τις τρείς εξισώσες (μαζί με το $d1=d2^{2}$)δεν μπορώ να τη λύσω Δεν φαίνεται να κατάλαβες την ουσία της υπόδειξή μου. Δεν μίλησα ...

Δίνεται η εξίσωση: χ^2 - (λ-3) x -(λ+3) = 0, λ ανήκει στο R . Να βρείτε το λ και τις δύο ρίζες της, αν γνωρίζετε ότι η μία ισούται με το τετράγωνο της άλλης. Καλώς ήλθες στο φόρουμ. Πριν σου δώσω υπόδειξη ας τονίσω ότι οι κανονισμοί μας ζητούν, ορθότατα, να γράφουμε τα μηνύματα σε latex. Παρακαλώ κ...

Θεωρούμε τώρα την $\displaystyle g(x)=\sin x\int_{0}^{x}f(u)\cos u du-\cos x \int_{0}^{x}f(u)\sin u du,x \in \mathbb{R}.$ ... $\displaystyle{g}'(x)=\cos x\int_{0}^{x}f(u)\cos u du +f(x)\sin x \cos x +\sin x \int_{0}^{x}f(u)\sin u du-f(x)\sin x \cos x$ Λίγο αλλιώς προς το τέλος (δεν χρειάζεται να βρ...

Υπέρδιπλο.pngΤο $OACB$ είναι τετράγωνο , πλευράς $a$ . Επί της ευθείας $y=2a$ κινείται σημείο $S$ . Οι $SA , SC$ τέμνουν τον $x'x$ τα σημεία $P,T$ . Υπολογίστε το : $(SPT)$ . Αν το $S$ ( υπό το όνομα $S'$ ) βρεθεί χαμηλότερα ή ψηλότερα από την $y=2a$ , τι θα συμβεί με το $(S'P'T')$ ; Παράδειγμα : $...

Ας συνεχίσουν οι μαθητές με την επίλυση της άσκησης, δεδομένης της υπόθεσης Bertrand, έστω χωρίς απόδειξη αλλά από την διατύπωση στην παραπομπή που παραθέτω. Επαναφορά, σε μαθητές Γυμνασίου, Λυκείου ή φοιτητές. Αν θέλουμε να δούμε μία (τρόπος του λέγειν) απλή απόδειξη της υπόθεσης Bertrand, βλέπε ε...

Γιάννη, για ξαναδες αυτό: Ωραία άσκηση! Δεν βλέπουμε συχνά τέτοιου είδους θέματα αλλά έχουν ενδιαφέρον! Θεωρούμε $\displaystyle G(x)=\int_{0}^{x}g(t)dt$ μια παράγουσα της $g$ όπου $g(t)=f(x-t)sin(t)$. Ισχύει $G(x)=0$ άρα $G'(x)=g(x)=0$ για κάθε $x$ Είναι σαν να ισχυρίζεσαι ότι $\displaystyle{\left (...

Έστω $C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$ και $S = \{4, 5, 9, 14, 23, 37\}.$ Βρείτε δύο σύνολα $A$ και $B$ τέτοια ώστε (α) $A \cap B = \emptyset$ (β) $A \cup B = C$ (γ) το άθροισμα δύο διαφορετικών στοιχείων του $A$ δεν ανήκει στο $S$ (δ) το άθροισμα δύο δ...

Καλησπέρα!Οι λύσεις είναι οι: $x=1,x=2,x=3,x=4$ Καλό είναι να βάζουμε πλήρεις λύσεις, όπως άλλωστε λένε οι Κανονισμοί μας. Τους διάβασες, άραγε. Η συγκεκριμένη άσκηση αλλά με διαφορετικά νούμερα εμφανίστηκε χθες, εδώ , όπου πάλι έβαλες την απάντηση χωρίς την λύση. Ας προσθέσω ότι ο εκεί θεματοθέτης...

Έστω $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ συνεχής συνάρτηση με την ιδιότητα $\displaystyle{\int _0^x f(x-t) \sin (t)\,dt=0}$ για κάθε $x \in \mathbb R$. Δείξτε ότι $f(x)=0$ για κάθε $x \in \mathbb R$. (Προσθήκη αργότερα: Δεν είμαι βέβαιος ότι είναι εντός ύλης όπως αυτή έχει διαμορφωθεί τα τελευταία χ...

Αν ο $\displaystyle \alpha\in\Bbb{R}^{*}$ ικανοποιεί την σχέση $\alpha^2-2^{n}\cdot \alpha-1=0$, όπου $n\in\Bbb{N}$, να αποδείξετε ότι: $(\alpha^{2}+ \frac{1}{\alpha^2})\cdot$ $(\alpha^{4}+ \frac{1}{\alpha^4})\cdot$ $(\alpha^{8}+ \frac{1}{\alpha^8})$ $\cdot\cdot\cdot$ $(\alpha^{2^n}+ \frac{1}{\alph...

Ισχύει διότι και τα δύο είναι ίσα με . Άρα έχουμε από άλλη μία φορά το Πυθαγόρειο ότι



Η πρώτη και η τελευταία μετά την απλοποίηση δίνουν . Άρα το εμβαδόν είναι .

Συμφωνώ κι εγώ ότι είναι λίγο επιπόλαιο να βάζεις ένα πρόβλημα που είναι ανοικτό και να μην το διευκρινίζεις! Άλλωστε οι κανονισμοί μας γράφουν 17) Για κάθε άσκηση που στέλνετε αναλαμβάνετε και την υποχρέωση, αν δεν δοθεί λύση, να στείλετε σε εύλογο χρονικό διάστημα ή εφόσον σας ζητηθεί την δική σα...

Να δείξετε οτι δεν υπάρχει άλλος πρώτος αριθμός εκτός απο το 29 που να είναι της μορφής $\displaystyle{p^p+2}$ όπου $\displaystyle{p}$ πρώτος Καμία πρόοδος σε αυτή? Έχω την αίσθηση ότι δεν λύνεται ούτε με γνώσεις μεταπτυχιακού επιπέδου. O λόγος που είχα βάλει το σχόλιο δύο ποστ παραπάνω, δηλαδή το ...

Ας συγκεντρώσουμε εδώ, όσους περισσότερους τρόπους μπορούμε για να αποδείξουμε τη γνωστή πρόταση: Η διχοτόμος τριγώνου κείται μεταξύ του ύψους και της διαμέσου που άγονται από την ίδια κορυφή. Ας κάνω την αρχή. Για ευκολία ας θεωρούμε χωρίς βλάβη ότι $B\ge C$ και άρα $b\ge c$. Έχουμε $\angle BAD= \...

Μικρή γενίκευση, και χωρίς να υπολογίσουμε το εμβαδόν. Παίρνουμε ισοσκελές τρίγωνο αντί ισόπλευρο. Εργαζόμαστε στο μισό του, αφού φέρουμε το ύψος του $AK$, όπως στο σχήμα. Βλέπουμε δηλαδή το μισό τρίγωνο και το μισό τετράγωνο αλλά θα γενικεύσουμε σε "ορθογώνιο παραλληλόγραμμο" αντί τετράγωνο. Είναι ...

Άσκηση 25 Χρησιμοποιώντας από μία φορά τα ψηφία $1,2,3,4,6,7,8,9$ σχηματίστε δύο τετραψήφιους αριθμούς . Ποια είναι η μικρότερη δυνατή ( θετική ) διαφορά μεταξύ των δύο αυτών αριθμών ; Ξεχάστηκε. Γράφω λύση αλλά δεν βλέπω ποια είναι η συνάφεια του ερωτήματος με τον φάκελο "μονά-ζυγά". Ίσως κάποια ά...

Με αφορμή αυτή . Για $x>0$ και για $a=1 ,a=2$ , ισχύει : $e^x>x^a+1$ , ενώ δεν ισχύει για $a=3$ ( δείξτε το ! ) . Μπορούμε άραγε να βρούμε το μέγιστο άνω φράγμα για τον $a$ , ώστε να είναι : $e^x>x^a+1 , \forall x>0$ ; Σημείωση : Στο σχήμα φαίνεται ότι για $a=\dfrac{5}{2}$ ισχύει , αντίθετα δεν ισχ...

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: $\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^1 \arcsin x \arccos x \, \mathrm{d}x}$ H αλλαγή μεταβλητής $y=\arcsin x$ δίνει $\arccos x= \frac {\pi}{2} -y$ , $\sin y=x, \cos y \dfrac {dy}{dx}=1$. Άρα $\displaystyle{\mathcal{J}= \int_0^{\pi /2} y\left ( \frac {\pi}{2} -y \right )...