Η αναζήτηση βρήκε 10362 εγγραφές

από Mihalis_Lambrou
Παρ Απρ 26, 2019 11:26 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Καλόβολη
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 56

Re: Καλόβολη

Για την συνάρτηση : $f(x)=6x^2+6x+7$ , ισχύει : $\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=f(1)-f(0)$ . Βρείτε και σεις μία τέτοια "καλόβολη" συνάρτηση . Μην αγχώνεστε , υπάρχουν πολλές :lol: Η πιο απλή είναι η σταθερή $0$. Επίσης αν η $f$ είναι λύση, τότε και η $\lambda f$ είναι λύση. Οι πρωτοβάθμιες είναι...
από Mihalis_Lambrou
Πέμ Απρ 25, 2019 8:55 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Προοδευτική διανομή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 45

Re: Προοδευτική διανομή

Πολλοί τρόποι. Π.χ. γράφοντας $a,b,c,d,e,f$ στην θέση των $7,4,8,4,3,12$ του Γιώργου (και άρα $a=d+e, f=b+c$), η συνθήκη αριθμητικής προόδου γράφεται $A+C=2B$ δηλαδή $(d+e)b+e(b+c)=2de$. Λύνοντας ως προς $c$ είναι $c=\dfrac {(d+2e)b}{2d-e}$ Αν λοιπόν πάρουμε $2d-e=1$, τελειώσαμε. Π.χ. $e=2E+1, d=E+1...
από Mihalis_Lambrou
Πέμ Απρ 25, 2019 5:31 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: Μία ακριβώς ρίζα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 169

Re: Μία ακριβώς ρίζα

Αρχικά βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της $f$, η οποία είναι η $f'\left ( x \right )=e^x+2e^{2x}>0$, που σημαίνει ότι η συνάρτησή μας είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο $\mathbb{R}$. Μπορούμε και χωρίς παραγώγους, απλά παρατηρώντας ότι οι $e^x, e^{2x}$ είναι γνήσια αύξουσες (π.χ. διότι η βάση είναι $>1...
από Mihalis_Lambrou
Πέμ Απρ 25, 2019 5:21 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: Μία ακριβώς ρίζα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 169

Re: Μία ακριβώς ρίζα

Για την $f(x)=e^{x}+e^{2x}-2$, να δείξετε ότι η εξίσωση $f^{3}(x)=f(1)f(2)f(3)$ έχει μία ακριβώς ρίζα στο $(1,3)$. Ισοδύναμα $f(x)=\sqrt [3]{f(1)f(2)f(3)}$. Αφού η $f$ είναι γνήσια αύξουσα (άμεσο), έχει το πολύ μία ρίζα. Όμως έχει τουλάχιστον μία ρίζα αφού, για τον ίδιο λόγο, $ f(1) < \sqrt [3]{f(1...
από Mihalis_Lambrou
Πέμ Απρ 25, 2019 8:21 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ας εμβαδίσουμε μαζί
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 91

Re: Ας εμβαδίσουμε μαζί

Ας εμβαδίσουμε μαζί.pngΣε τυχόν σημείο της καμπύλης με εξίσωση : $f(x)=\dfrac{a}{\sqrt{x}} , a>0 , x >0$ , φέρω εφαπτομένη , η οποία τέμνει τους άξονες στα σημεία $A,B$ . Φέρω και το κάθετο προς τον $Ox$ τμήμα $ST$ . Να συγκρίνετε το εμβαδόν του τριγώνου $AST$ με εκείνο του τραπεζίου $OTSB$ . Για ν...
από Mihalis_Lambrou
Τρί Απρ 23, 2019 7:41 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Προσδιορισμός τιμής πολυωνύμου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 270

Re: Προσδιορισμός τιμής πολυωνύμου

Κλέβοντας ιδέες από τις δύο προηγούμενες λύσεις, ας δούμε και μία λύση ενδιάμεση των δύο. Ξανατονίζω, δεν λέω απολύτως τίποτα νέο: Είναι $(x+7)P(2x)=8xP(x+1)$ οπότε (όπως ο Αλέξανδρος) εξισώνοντας τους μεγιστοβάθμιους συντελεστές των δύο μελών βρίσκουμε ότι το $P$ είναι βαθμού $3$. Θέτοντας (όπως ο ...
από Mihalis_Lambrou
Δευ Απρ 22, 2019 9:50 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 171

Re: Ολοκλήρωμα

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle\int \sqrt{\sqrt{x^{2}+1}-x}dx$ Αν γράψουμε $y= \sqrt{\sqrt{x^{2}+1}-x}$ τότε, λύνοντας ως προς $x$ θα βρούμε $x= \dfrac {1-y^4}{2y^2}$. Με άλλα λόγια η προς ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη της $f(x)= \dfrac {1-x^4}{2x^2}$. Τώρα, από τον τύπο (γνωστός και βγ...
από Mihalis_Lambrou
Δευ Απρ 22, 2019 5:53 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Θέμα: ΠΕΖΟΣ ΕΛΚΩΝ ΒΑΡΚΑ
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 141

Re: ΠΕΖΟΣ ΕΛΚΩΝ ΒΑΡΚΑ

To θέμα είναι πολύ γνωστό και υπάρχει σε όλα τα βιβλία Θεωρίας Καμπύλων. Δεν υπάρχει λόγος να το επαναλάβουμε εδώ.
Βλέπε π.χ. εδώ ή βάλτε στο Google την λέξη "έλκουσα" ή "tractrix".
από Mihalis_Lambrou
Δευ Απρ 22, 2019 10:18 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Ίσες διαφορές.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 92

Re: Ίσες διαφορές.

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Απρ 21, 2019 10:22 pm

Στο παραπάνω σχήμα το O είναι κέντρο του κύκλου.

Δείξτε ότι MH-HN=LR-RJ.
Αν K το μέσον της MN τότε MH-HN= (MK+KH)-(KN-KH)=2KH= σταθερό (όσο η απόσταση του O από την AB).
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Απρ 21, 2019 8:46 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ύπαρξη σταθεράς
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 409

Re: Ύπαρξη σταθεράς

Υπάρχει και άλλη πιο μακροσκελή λύση αλλά και αυτή μας κάνει. Τόλη, κάτι έχεις παρανοήσει εδώ. Η λύση που γράφεις είναι ακριβώς η λύση του Σταύρου (μόνο που δεν έβαλε τις πράξεις) που με την σειρά της είναι η λύση που έγραψα με διόρθωση των εκθετών στα $x$ έξω από το ολοκλήρωμα (ώστε να βγει το σωσ...
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Απρ 21, 2019 8:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ύπαρξη σταθεράς
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 409

Re: Ύπαρξη σταθεράς

Μιχάλη , κάτι πήγε λάθος αφού το ισοδύναμο είναι: $\displaystyle{2\xi \int_0^\xi x f(x) \, \mathrm{d}x = 3\xi^2 \int_{0}^{\xi} f(x) \, \mathrm{d}x \Leftrightarrow \int_{0}^{\xi}x f(x) \, \mathrm{d}x = \frac{3\xi}{2} \int_0^\xi f(x) \; \mathrm{d}x }$ ενώ ζητάω $\frac{2\xi}{3}$. Ναι, αβλεψία μου εκ π...
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Απρ 21, 2019 1:40 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ύπαρξη σταθεράς
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 409

Re: Ύπαρξη σταθεράς

Έστω $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και $f(0)=0$. Αν είναι $\displaystyle{\int_0^1 f(x) \; \mathrm{d}x =\int_0^1 x f(x) \; \mathrm{d}x}$ τότε να δειχθεί ότι υπάρχει $\xi \in (0, 1)$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\int_0^\xi x f(x) \; \mathrm{d}x = \frac{2\xi}{3} \int_...
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Απρ 21, 2019 12:53 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ἀνάγωγο πολυώνυμο
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 805

Re: Ἀνάγωγο πολυώνυμο

Γενίκευση τοῦ http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=111&t=37111 Γιά ποιούς θετικούς ἀκεραίους $n$ τό πολυώνυμο $X^8+nX^4+1$ δέν εἶναι ἀνάγωγο στό ${\mathbb Z}[X]$ ; Δεν ξέρω πόσο εύκολο είναι να περιγράψουμε τα ζητούμενα $n$. Για παράδειγμα η απάντηση περιλαμβάνει τα $n=2 \pm 8c^2+4c^4$ γ...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Απρ 20, 2019 9:57 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ύπαρξη μετρικής
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 292

Re: Ύπαρξη μετρικής

Υπάρχει μετρική, ισοδύναμη της συνήθους μετρικής $|\cdot|$ του $\mathbb{R}$, τέτοια ώστε το σύνολο $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$, εφοδιασμένο με αυτήν την μετρική, να είναι πλήρης χώρος; Ένα επιπλέον ερώτημα: Να εξετασθεί το ίδιο πρόβλημα ύπαρξης μετρικής η οποία είναι ισχυρά ισοδύναμη(*...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Απρ 20, 2019 7:58 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 380

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Prodigy, εύγε που ασχολήθηκες αλλά κάτι δεν καταλαβαίνω εδώ: i)$\frac{(x^3-1)(x^3+1)(x^6+1)}{4}\geq \frac{x^3-1}{x}\Leftrightarrow (x^3+1)^2 x\geq 4$ Μπορείς να εξηγήσεις; Επίσης δεν καταλαβαίνω τον συλλογισμό Άρα $x^4-1\geq 0\Leftrightarrow (x-1)(x+1)(x^2+1)\geq 0$ που αληθεύει αφού προφανώς η αρχι...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Απρ 20, 2019 7:39 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ημιτονικό ... όριο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 161

Re: Ημιτονικό ... όριο

Τι μπορείτε να πείτε για το όριο: $\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n \sin n}}$ Θα δείξουμε ότι το όριο δεν υπάρχει. Έστω ότι το όριο υπάρχει και έστω $L$ η τιμή του. Από την πυκνότητα της $\cos n$, υπάρχει υπακολουθία $n_k$ τέτοια ώστε $\cos n_k \to 1$. Είναι τότε $\displ...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Απρ 20, 2019 6:04 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Είναι μετρική;
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 182

Re: Είναι μετρική;

Να εξεταστεί αν η $\rho(x, y) =\left | f(x)-f(y) \right |$ όπου $\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{matrix} \arctan x & , & x \in \mathbb{Q} \\ \arctan (x+1) & , & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{matrix}\right.}$ ορίζει στον $\mathbb{R}$ μετρική. Να γίνει το ίδιο για την $\rho(x, y) = \l...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Απρ 20, 2019 3:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 380

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Πρόβλημα 4[/color] Να βρεθούν $\displaystyle{10}$ διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί, οι οποίοι να διαιρούν τον αριθμό $\displaystyle{A=11111^{60}-10009^{60}}$. Εύκολα βλέπουμε ότι το $a^{60}-b^{60} $ έχει παράγοντα το $a^6-b^6=(a^2-b^2)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$. Ο πρώτος παράγοντας δείχνει ότι ο $11111^2...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Απρ 20, 2019 12:28 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σύνολο τιμών
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 120

Re: Σύνολο τιμών

Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου $k>2$ , βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{2x^2+4x+k}$ . Προτιμητέες λύσεις που δεν χρησιμοποιούν παραγώγους . Ας προσθέσω ότι η ωραία αυτή τεχνική με διακρίνουσα ήταν στάνταρ ύλη στα παλαιότερα σχολικά βιβλία. Π.χ. στο βιβλίο των Βα...
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Απρ 14, 2019 10:31 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Γινόμενο παραγοντικών
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 268

Re: Γινόμενο παραγοντικών

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Κυρ Απρ 14, 2019 9:37 pm
Εύκολα βλέπει κανείς ότι k=5\left ( 1+2+...+20 \right )=5\cdot \dfrac{20\cdot 21}{2}=50\cdot 21=1050

Άρα λήγει σε 1050 μηδενικά.
Πρόδρομε, μάλλον έχει παραβλέψει ότι οι 25, \, 50, \,75,\,100 έχουν από δύο πεντάρια.

Και εγώ βγάζω 1124, όπως ο Ορέστης.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση