Η αναζήτηση βρήκε 10698 εγγραφές

από Mihalis_Lambrou
Τρί Οκτ 15, 2019 9:05 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ειδικό ισοσκελές
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 255

Re: Ειδικό ισοσκελές

Βιαστικά χωρίς κάποιες λεπτομέρειες καθώς ετοιμάζομαι για πολύωρο ταξίδι στο εξωτερικό, στις $4$ το πρωί. Θα επανέλθω, αν χρειαστεί, αύριο βράδυ ώρα Ελλάδας όταν με το καλό φτάσω στον προορισμό μου. Σε ευθεία $BC$ παίρνουμε σημείο $D$ και $BD=DC= 2ab(m^2-n^2)$. Εδώ τα $m,n,a,b$ είναι φυσικοί με $m>n...
από Mihalis_Lambrou
Δευ Οκτ 14, 2019 8:44 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 472

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

H αύξουσα ακολουθία $1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, … $ αποτελείται από όλους τους θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις του $3$ ή ως άθροισμα διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του $3$. Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας. Την παραπάνω λύση του Δημήτρη είχα κατά νου, αλλά ας την...
από Mihalis_Lambrou
Δευ Οκτ 14, 2019 8:06 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 94
Προβολές: 6509

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Άσκηση 24 Δείξτε ότι δεν υπάρχει τρόπος να βάλουμε από έναν φυσικό αριθμό στα κυκλάκια έτσι ώστε το άθροισμα των τεσσάρων αριθμών σε κάθε ευθεία του σχήματος να είναι περιττός αριθμός.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τα παιδιά του Δημοτικού.
.
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Οκτ 13, 2019 11:58 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 94
Προβολές: 6509

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Κυρ Οκτ 13, 2019 11:12 am
Το προηγούμενο Σάββατο έβαλα την άσκηση στην τάξη
Νίκο,

Συγχαρητήρια σε 'σένα και τους μαθητές σου που Σαββατιάτικα ασχολούνται με καλά Μαθηματικά.

Εύχομαι να σας μιμηθούν πολλοί.
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Οκτ 13, 2019 9:51 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 94
Προβολές: 6509

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Ωραιότατα. Ας δούμε την ίδια λύση αλλά με μικρή παραλλαγή στο τελείωμα για να δουν οι μαθητές ένα δεύτερο χρήσιμο εργαλείο: Άσκηση 23 Εξετάστε αν μπορεί ένα άθροισμα διαφορετικών ανά δύο στοιχείων του συνόλου $\{2, \, 2^3, \, 2^5, \, 2^7, \, ... \}$ να είναι τέλειο τετράγωνο. Εξετάζουμε ένα άθροισμα...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Οκτ 12, 2019 10:57 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ομοιότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 116

Re: Ομοιότητα

Στα άκρα $B,C$ των πλευρών $AB,AC$ τριγώνου $\displaystyle ABC$ , φέρω κάθετες και θεωρώ τυχαίο σημείο $S$ του ύψους $AD$ . Οι ευθείες $BS , CS$ τέμνουν τις κάθετες , στα $T,P$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα τρίγωνα $ABP,ACT$ είναι όμοια . Με Αναλυτική είναι απλή, που δεν πρέπει να σκεφτούμε τίποτα ουσ...
από Mihalis_Lambrou
Πέμ Οκτ 10, 2019 5:37 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μικρός μέσος όρος
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 227

Μικρός μέσος όρος

Ένας μαθητής έγραψε μερικούς φυσικούς αριθμούς στον πίνακα, άγνωστον πόσους. Ξέρουμε ότι ήταν διαφορετικοί μεταξύ τους, ο μικρότερος ήταν ο 0 και ο μεγαλύτερος ήταν ο 100.

Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός μέσος όρος που μπορεί να έχουν οι αριθμοί αυτοί; Πόσοι είναι τότε οι αριθμοί;
από Mihalis_Lambrou
Πέμ Οκτ 10, 2019 4:32 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: διχοτόμος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 251

Re: διχοτόμος

Ας σχολιάσω ότι αν επικαλεστούμε την θεωρία μπορούμε να πούμε ότι εφόσον το $D$ χωρίζει το $BC$ σε λόγο $BD:DC= |\overrightarrow{a}| :|\overrightarrow{b}|$ έχουμε απευθείας $ \displaystyle \overrightarrow{c}=\dfrac{|\overrightarrow{b}| }{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|}\overrightarrow{a} +...
από Mihalis_Lambrou
Πέμ Οκτ 10, 2019 12:15 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 472

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Β1. The increasing sequence $1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, … $ consists of all the positive integers which can be expressed as powers of 3 or sums of distinct powers of 3. Find the 100th term of this sequence. H αύξουσα ακολουθία $1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, … $ αποτελείται από όλους τους θετικούς ακεραίους π...
από Mihalis_Lambrou
Τετ Οκτ 09, 2019 7:08 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Τετραψήφιος ανάποδα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 210

Re: Τετραψήφιος ανάποδα

Παραλλαγές: α) Να αποδειχθεί ότι η $\displaystyle{ 4 \times \overline {abc}=\overline {cba}}$ δεν έχει λύση. β) Να βρεθεί πενταψήφιος με $\displaystyle{ 4 \times \overline {abcde}=\overline {edcba}}$ Ας σημειώσω ότι δεν απαιτούμε τα γράμματα να δηλώνουν διαφορετικά ψηφία. Αυτό χρησιμοποιήθηκε στην π...
από Mihalis_Lambrou
Τρί Οκτ 08, 2019 8:40 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Τετραψήφιος ανάποδα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 210

Τετραψήφιος ανάποδα

Να βρεθεί τετραψήφιος με

\displaystyle{ 4 \times \overline {abcd}=\overline {dcba}}
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Οκτ 06, 2019 3:00 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Ισομετρία επί
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 238

Re: Ισομετρία επί

από Mihalis_Lambrou
Σάβ Οκτ 05, 2019 6:13 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 94
Προβολές: 6509

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Μάρκος Βασίλης έγραψε:
Σάβ Οκτ 05, 2019 4:13 pm
Ως μουσικός, μου άρεσε πολύ αυτό με το «τετράφωνο». Ωραία άσκηση, παρεμπιπτόντως!
Μάρκο, διόρθωσα την τυπογραφική αβλεψία. Ευχαριστώ.

Πάντως δείχνει ότι τα Μαθηματικά είναι πρωτίστως αρμονία.

Να 'σαι καλά.
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Οκτ 05, 2019 6:10 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 94
Προβολές: 6509

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Όμως αν βάλουμε στο σύνολο όλες τις δυνάμεις του 2 τότε γίνεται να γραφτεί το άθροισμα 2 τέτοιων στοιχείων ως τέλειο τετράγωνο. Όπως π.χ το 32+4=36. Νίκο έχεις δίκιο. Διάβασα απρόσεκτα το σχόλιό σου. Συνοψίζοντας: Η άσκηση όπως την είχα διατυπώσει αρχικά (περιττές δυνάμεις του $2$) είναι σωστή. Λύν...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Οκτ 05, 2019 3:48 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 94
Προβολές: 6509

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Διαβάζοντας απρόσεκτα την άσκηση του Κύριου Μιχάλη προσπάθησα να λύσω την άσκηση με όλες τις δυνάμεις του 2... Έτσι προέκυψε μια άλλη άσκηση αρκετά πιο δύσκολη που όμως δεν ξέρω αν έχει λύση!! Να σημειώσω πως έχω λύση για άθροισμα 2 στοιχείων (που δεν μου αρέσει γιατί χρησιμοποιώ θεώρημα "bazzoka")...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Οκτ 05, 2019 12:41 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Τριψήφιος από τα ψηφία του
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 126

Τριψήφιος από τα ψηφία του

Να βρεθεί τριψήφιος αριθμός \displaystyle{\over {ABC}} τέτοιος ώστε

\displaystyle{\over {ABC} }\displaystyle{= 4\times A \times B \times C}
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Οκτ 05, 2019 12:33 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Τελευταίο Θεώρημα του Fermat - Αντιπαράδειγμα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 356

Re: Τελευταίο Θεώρημα του Fermat - Αντιπαράδειγμα

Μία εξήγηση: Φταίει η προσέγγιση. Με το λογισμικό μου οι σωστές τιμές των $x^5,y^5,z^5$ είναι $429501655585462177439255951207$ $3550743579600176835616363546199$, $3980245235185639013290924656032$ που δεν συγκρούονται με το τελευταίο θεώρημα του Fermat, δεδομένου ότι η ακριβής τιμή είναι $-2353051586...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Οκτ 05, 2019 12:29 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Είναι ακέραιος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 144

Re: Είναι ακέραιος

Μάρκος Βασίλης έγραψε:
Σάβ Οκτ 05, 2019 12:02 am
Να δείξετε ότι ο παρακάτω αριθμός είναι ακέραιος:

\displaystyle\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{15-6\sqrt{6}}}{2}.
Αν και αρκετά κοινή άσκηση στο φόρουμ μας, οπότε πρέπει να την έχουν δει οι περισσότεροι, ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας που μπορεί να μην την είδαν.
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Οκτ 05, 2019 12:24 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παρολίγον το τελευταίο θεώρημα του Fermat
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 231

Re: Παρολίγον το τελευταίο θεώρημα του Fermat

Θαυμάσια.

Η μικρή παραλλαγή που έλεγα, εδώ.

Και μία παραλλαγή της λύσης: Χωρίς βλάβη x\ge y. Έστω λοιπόν n\ge x. Τώρα, επειδή z>x έχουμε z\ge x+1, οπότε από το ανάπτυγμα διωνύμου

z^n \ge (x+1)^n = x^n+nx^{n-1}+... > x^n+nx^{n-1} \ge x^n+x^{n}\ge x^n+y^{n}, άτοπο.
από Mihalis_Lambrou
Παρ Οκτ 04, 2019 11:05 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παρολίγον το τελευταίο θεώρημα του Fermat
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 231

Παρολίγον το τελευταίο θεώρημα του Fermat

Ως γνωστόν, ο Wiles απέδειξε το τελευταίο θεώρημα του Fermat, δηλαδή ότι η εξίσωση $x^n+y^n=z^n$ με $n\ge 3$ δεν έχει λύση στους θετικούς ακεραίους, και ότι η απόδειξη είναι απίστευτα δύσκολη. Ας του βάλουμε τα ... γυαλιά: Δείξτε στα γρήγορα (δυο τρεις γραμμές σχολικού επιπέδου) ότι η εν λόγω εξίσωσ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση