Πρόβλημα. Δίδεται ἡ ἀναδρομικὴ ἀκολουθία



Δείξατε ὅτι .

Ἐπισυνάπτω ἀρχεῖο ὅπου παρουσιάζεται λύση τοῦ προβλήματος.

Πρόβλημα. Ἔστω $f:D\to\mathbb R,$ συνεχής, ὅπου $D\subset\mathbb R^2,\,$ ἀνοικτό, καὶ ἔστω $\,\varphi,\psi : [\tau:T]\to\R,\,$ διαφορίσιμες συναρτήσεις. Ἂν $\,\varphi(\tau)=\psi(\tau),\,$ καὶ διὰ κάθε $\,t\in [\tau,T],\,$ ἰσχύουν τὰ ἑξῆς$:$ $\displaystyle{ \varphi'(t)=f\big(t,\varphi(t)\big) \quad\...

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f:\mathbb R\setminus\mathbb Q\to \mathbb Q$ συνεχής. Δείξατε ὅτι ὑπάρχει ἀριθμήσιμη οἰκογένεια, ξένων ἀνὰ δύο ἀνοικτῶν διαστημάτων $\{I_n\}$, ὥστε: (i) Ἡ $f$ περιορισμένη στὸ $I_n\cap(\mathbb R\setminus\mathbb Q)$ εἶναι σταθερή, γιὰ κάθε τέτοιο διάστημα $I_n$, (ii) Ἡ ἕνωση τῶν $I_n$...

ΕΡΩΤΗΣΗ. Ἰσχύει ἢ δὲν ἰσχύει ὅτι:

Ἔστω τυχοῦσα νόρμα στὸν , . Ἂν , διὰ κάθε , τότε .

Ἁπλῶς, χρειάζεται νὰ δειχθεῖ ὅτι διαφορίσιμος.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Δείξατε ὅτι δὲν ὑπάρχουν θετικοὶ ἀκέραιοι γιὰ τοὺς ὁποίους νὰ ἰσχύει ὅτι

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ὑπάρχει , ὥστε



διὰ κάθε συνεχῆ;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $a_0,\ldots,a_{n-1}: I\to\mathbb R$, συνεχεῖς, ὅπου $I$ ἀνοικτὸ διάστημα, καὶ $\mathcal X$ τὸ σύνολο τῶν λύσεων τῆς ἐξισώσεως: $\displaystyle{ x^{(n)}+a_{n-1}(t)x^{(n-1)}+\cdots+a_0(t)x^{(0)}=0. }$ Ἔστω ἐπίσης ὅτι τὸ $\mathcal X$ ἔχει τὴν ἰδιότητα: $\displaystyle{ \varphi\in\mathcal ...

Κατ´ἀρχάς, ἔχομε ὅτι $\displaystyle{ 0 \le f(x) \le \int_a^x K(s)f(s)\,ds \le \int_a^x |K(s)|f(s)\,ds, \qquad |K|\in L^1[a,b]. }$ Ὁπότε, χωρίς βλάβη τῆς γενικότητος ὑποθέτομε ὅτι $K\ge 0$. Ἔστω $M=\|f\|_\infty$ (οὐσιῶδες μέγιστο) καὶ $g(x)=\int_a^x K(s)\,ds$. Τότε $g$ ἀπολύτως συνεχής καί $\displays...

Ἀπάντηση στὸ ἐρώτημα γ). Κατ᾽ἀρχὰς οἱ $f$ καὶ $g$ δὲν ἔχουν κοινὴ ρίζα. Ἂν $f(x)=g(x)=0$, τότε $\cos x=-\sin x$. Καθὼς οἱ $f$ καὶ $g$ μηδενίζονται μόνο γιὰ $x>0$, τότε $x_n=3\pi/4+n\pi$, $n=0,1,2,\ldots$. Ἂν $x_n=3\pi/4+n\pi$, τότε $e^{x_n}|\cos x_n|>e^{3\pi/4}/sqrt{2}/2>2$. Ἔστω $f(r_1)=f(r_2)=0$ κ...

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ ἡ ὁποία εἶναι $k$ φορές συνεχῶς διαφορίσιμη, καί $\varphi : (a,b)\to \mathbb R$ συνάρτηση ἡ ὁποία ἱκανοποιεῖ τὴν ἐξίσωση $\displaystyle{ \varphi'(t)=f\big(t,\varphi(t)\big), \quad t\in (a,b). }$ Ἂν τὸ διάστημα $(a,b)$ εἶναι φραγμένο καὶ ἡ $\varphi$ εἶναι φ...

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $E$ Lebesgue μετρήσιμο ὑποσύνολο τοῦ $\mathbb R$, καὶ $f:E\to\mathbb R$ μὁλοκληρώσιμη συνάρτηση (δηλ. $\int_E |f|\,dx<\infty$.) Ἂν $A$ καὶ $B$ μετρήσιμα ὑποσυνολα τοῦ $\mathbb R$, ὥστε $A,B\subset E$ καὶ $\displaystyle{ \int_A f\,dx < t<\int_B f\,dx, }$ τότε δείξατε ὅτι ὑπάρχει μετρήσ...

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω συνεχής. Δείξατε ὅτι

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω διάστημα καὶ συνάρτηση, μὲ τὴν ἰδιότητα ὅτι διὰ κάθε , τὸ ὅριο



ὑπάρχει στὸ . Δείξατε ὅτι ἡ εἶναι ἀσυνεχὴς σὲ τὸ πολὺ ἀριθμησίμου πλήθους σημεῖα.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω γραμμικὸς ὑπόχωρος τοῦ πεπερασμένης διαστάσεως καὶ . Ἄν ἡ ἀκολουθία συγκλίνει κατὰ σημεῖον, τότε συγκλίνει καὶ ὁμοιόμορφα.

Ἔστω , ὄχι ὅλοι ἴσοι, ὥστε . Δείξατε ὅτι

ΨΕΥΔΗΣ. Ἔστω $\{q_n\}$ μία ἀπαρίθμηση τῶν ρητῶν καί $\displaystyle{ F=\mathbb R\setminus\bigcup_{n\in\mathbb N}(q_n-2^{-n},q_n+2^{-n}) }$ Τότε τὸ $F$ εἶναι κλειστό, περιέχει μόνο ἀρρήτους καὶ ἔχει ἄπειρο μέτρο Lebesgue, ἄρα εἶναι μὴ κενό. Εὐκόλως κατασκευάζεται φραγμένο αὐτοῦ ὑποσύνολο μὲ θετικὸ μέτ...

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω ὅτι ἡ $f$ εἶναι ἀναλυτικὴ στὸν μοναδιαῖο δίσκο καὶ 1-1 στὸν δακτύλιο, $\displaystyle{ A_{r,1}=\{z: r<|z|<1\}, }$ γιὰ κάποιο $r\in (0,1)$. Δείξατε ὅτι ἡ $f$ εἶναι 1-1 σ᾽ὁλο τὸν μοναδιαῖο δίσκο. Παρατήρηση. Τὸ ἀνωτέρω ἀποδεικνύεται μὲ τὴν βοήθεια Ἀλγεβρικῆς Τοπολογίας, καὶ συγκεκριμένα...

Ἔστω ἀνοικτὸ, συνεκτικὸ καὶ φραγμένο ὑποσύνολο τοῦ , , καὶ ὁλόμορφη συνάρτηση, ὥστε



Δεἰξατε ὅτι , διὰ κάθε .