Διαγράφεται η απάντηση ως λανθασμένη

Καλημέρα. Σε συνέχεια του θέματος αυτού 4-8 λόγος εμβαδών.png Δίνεται το τετράγωνο $ABCD$. Το $E \in AC $ ώστε η κάθετη της $DE$ στο $E$ να τέμνει την $AB$ στο $L$. Αν ισχύει $\dfrac{AC}{EC}=k\dfrac{AB}{AL}$ τότε: Να βρεθεί συναρτήσει του $k$ , ο λόγος $\dfrac{\left ( ADEL \right )}{\left ( ABCD \r...

Χαίρετε ! Για την ισότητα των λόγων.png Δίνεται το τετράγωνο $ABCD$ και $P \in AB$ ώστε να είναι $\dfrac{AB}{AP}=3$. Το ημικύκλιο διαμέτρου $DP$ τέμνει την $AC$ στο $E\not\equiv A$. Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{AC}{EC}$ Ας επιτεθούμε στην άσκηση ... ποικιλοτρόπως! Σας ευχαριστώ, Γιώργος. λόγοι.PNG Ο κ...

Αξιοθαύμαστη παραλληλία.pngΣτην κάθετη στις βάσεις πλευρά $AB$ του ορθογωνίου τραπεζίου $ABCD$ , βρίσκεται σημείο $S$ , τέτοιο ώστε : $DS \perp SC$ . Φέρουμε : $ST \perp CD$ και ονομάζουμε $P,Q$ τις τομές των $AT , DS$ και $BT , CS$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $PQ \parallel AB $ . παραλληλία.PNG Τα τ...

Μεσότοπος.pngΟι κορυφές $A , D$ του τραπεζίου $ABCD , (AD \parallel BC )$ είναι σταθερές ενώ οι $B , C$ κινούνται , έτσι ώστε τα μήκη των $BC , AB$ να είναι σταθερά , δηλαδή : $BC=b , AB=a+b$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου $M$ της πλευράς $CD$ . μέσα.PNG Έστω $N$ το μέσο του $AB$. Τότε $B$ ...

Σταθερό άθροισμα.pngΣημείο $S$ κινείται στην προέκταση της διαμέτρου $AB$ , ενός ημικυκλίου . Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $ST$ και την τέμνουσα - διχοτόμο $SPQ$ . Αν $PP' \perp AB , QQ' \perp AB$ , υπολογίστε το άθροισμα : $PP'+QQ'$ . Σταθερό άθροισμα.PNG Έστω $M$ το μέσο της χορδής $PQ$. Είναι $K$...

Μέσο τμήματος.png Σε τυχαίο σημείο $S$, ημικυκλίου διαμέτρου $AB$, φέρνω εφαπτομένη και συναντά την κάθετη στο $B$ επί την $AB$ στο $T$. Ας είναι $D$ η προβολή του $S$ στην $AB$. Φέρνω και την κάθετη από το $S$ στην $AT$ και τέμνει την $AB$ στο $M$. Δείξτε ότι το $M$είναι μέσο του $DB$ Δεκτή κάθε λ...

Διπλή ισότητα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC ,( \hat{A}=90^0 ) $ , το ύψος $AS$ τέμνει την διχοτόμο $BE$ στο σημείο $P$ . Φέρουμε $AT \perp BE$ . Δείξτε ότι $AP=AE$ και επίσης $TA=TS$ . Μέχρι $15 $ Ιουλίου $2020$ . Διπλή ισότητα.png $\angle P_1=P_2=90^0-B_2=90^0-B_1=E_1 \rightarrow \triangle PAE$ ισ...

Χαιρετώ. 14-7 καθετότητα...png Δίνεται το τρίγωνο $ABC$ με $a=10..b=8$ και $c=6$. Ας είναι $M$ το μέσον της $BC$ , $H \in AB$ και $K,L \in AC$ ώστε $AK=1...BH=2...CL=3$. Το σημείο $P$ ανήκει στο ημικύκλιο διαμέτρου $KL$ -στο εξωτερικό του τριγώνου- για το οποίο είναι $HP=7$. I) Να δειχθεί ότι είναι...

Απρόοπτη ισότητα.pngΣτις πλευρές $AB , AC$ , τριγώνου $ABC$ , θεωρούμε σημεία $P ,Q$ αντίστοιχα , ώστε : $BP=CQ$ . Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα μέσα $M ,N$ των $BQ , CP$ , τέμνει τις $AB , AC$ στα σημεία $S , T$ , αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $BS=QT$ και : $AS=AT$ . ισότητα τμημάτων.png O μέσον τ...

Δίνεται τραπέζιο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ με ${\rm A}{\rm B}//\Gamma \Delta$ και ${\rm M}$, ${\rm N}$ τα μέσα των διαγωνίων του ${\rm B}\Delta$ και ${\rm A}\Gamma$ αντίστοιχα. Αν οι μη παράλληλες πλευρές ${\rm A}\Delta$ και ${\rm B}\Gamma$ τέμνονται στο ${\rm O}$, να δείξετε ότι $\left( {{\rm ...

Εμβαδόν τριγώνου απο τρίγωνο.png Στο σχήμα τα $K\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ είναι τα μέσα των διαμέσων $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ του $\vartriangle ABC$. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του $\vartriangle ABC$. 24 ώρες, μόνο για μαθητές . area from area.png Φέρω $DL|| BE$ και $EK||BC$ $DL\cap EK=...

Άλλη μια προσέγγιση του λήμματος

τότε και επειδή

δια μέσου.png Θεωρώ σημείο $ H$ επί της $BA$ έτσι ώστε$ BC=BH=a$. Τότε$ BD$ διχοτόμος της γωνίας $B$ του ισοσκελούς άρα και ύψος, συνεπώς $CH//MD \rightarrow DC:DA=MH:MA$ Από θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου $BC:BA=DC:DA=MH:MA=1:3$ Συνεπώς $AH =2/3 AB=2a \rightarrow MH=1/4 AH=1/4 \cdot 2a=a/2$ Επομένως...

καθετότητα.png $CZ //AN \;\;\; (N \in BA)$ συνεπώς $DA=AZ$ και επειδή $CA$ διάμεσος και ύψος του τριγώνου $DCZ$ συμπεραίνουμε ότι $CD=CZ\;$ ή $ \;\widehat{ADC}=\widehat{Z}$ (1) $\widehat{BDC}=\widehat{BEC} \rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{AEB}$ (2) Από 1 και 2 έχω $\widehat{AEB} = \widehat{Z}$ δη...

γωνία διαμέσου.png Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο $BDC$. Τότε $B_2=30^0$ και $C_2=45^0$. $AM$ διχοτόμος της $BDC$ άρα $ D_3=30^0$ και $DMC=90^0$ (1) Τα τρίγωνα $DBA , CBA$ είναι ίσα (π-γ-π) συνεπώς $AD=AC$ και επειδή $C_2=45^0$ έχουμε $DAC=90^0$. (2) Από 1 και 2 έχουμε $DAMC$ εγγράψιμο. Συνεπώς $...

stathero athroisma tmimatwn.png $BP, CT,$ ύψη του τριγώνου $BAC$ και $\widehat{TMP}=arc\; {TP} =180^0-arc\; {BT}- arc \; {PC}=180^0-2C_1-2B_1= 180^0-2A_1-2A_2=180^0-2A=ct$ συνεπώς $TP=ct$ (στο μέτρο) $APHT $ εγγράψιμμο $(P=T=90^0)$ συνεπώς$ AH$ διάμετρος του περιγγεγραμμένου κύκλου $e$. Το κέντρο τ...

Περίεργη ισότητα.png $\bigstar$Δίπλα στο τετράγωνο $ABCD$ προσθέσαμε το ορθογώνιο $BEZC$ . Το $S$ είναι σημείο της $AC$ . Η ευθεία $DS$ τέμνει την $ZE$ στο σημείο $P$ και η $ES$ την $DC$ στο $T$ . Δείξτε ότι : $DT=EP$ . Λύση με ευκλείδεια γεωμετρία .. κάτι παραπάνω από ευπρόσδεκτη . Ισότητα τμημάτω...

Οσο πιο απλή τόσο πιο καλή.png Έστω $AD$ το ύψος του $\vartriangle ABC$ και $G$ το βαρύκεντρό του . Η ημιευθεία $DG$ τέμνει το περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle ABC$ στο $S$. Δείξετε ότι : $AS//BC$ βαρύκεντρο ορθογώνιο.png H $AG$ τέμνει την $BC$ στο μέσον της $M$. Έστω $D’$ σημείο της $BC$ έτσ...

Τραπεζιακοί λογαριασμοί.pngΣτο ισοσκελές τραπέζιο $ABCD$ , τα σημεία $M , K , N $ , είναι τα μέσα των $AD , CD , BC$ αντίστοιχα και είναι γνωστό ότι : $AD=3 , MN=5 , BC=7$ . Ο κύκλος διαμέτρου $AB$ τέμνει το $MN$ στα σημεία $S , T$ . Υπολογίστε το $ST$ και δείξτε ότι : $DS \perp CS , KS \perp AB$ ....