Κέντρα κύκλων Euler .png Έστω $ABCD$ ένα τετράπλευρο. Αν ${{N}_{a}},\,\,{{N}_{b}},\,\,{{N}_{c}}$ και ${{N}_{d}}$ είναι τα κέντρα των κύκλων Euler των τριγώνων $BCD,\,\,CDA,\,\,DAB$ και $ABC$, αντίστοιχα, αποδείξτε ότι τα δύο τετράπλευρα $ABCD$ και ${{N}_{a}}{{N}_{b}}{{N}_{c}}{{N}_{d}}$ είναι όμοια....

Γεια σου Κύριε Κώστα. Εγγεγραμμένο εξάγωνο .png Έστω $AB\cap CD=\left\{ X \right\}$ και $DE\cap AF=\left\{ Y \right\}$. Επειδή $AXDY$ παραλληλόγραμμο θα είναι: $\widehat{YDX}=\widehat{YAX}=\widehat{FAB}=\widehat{EDC}$. Όμως $\widehat{EFC}=180{}^\circ -\widehat{EDC}=180{}^\circ -\widehat{FAB}=\wideh...

Ας το δούμε κι αλλιώς. Τα σημεία A, H ανήκουν στην ίδια υπερβολή με εστίες τα B, C. Επομένως, ή το H συμπιπτει με το A, οπότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο A, ή το H είναι το δεύτερο σημείο τομής της υπερβολής με το ύψος AH, το οποίο είναι συμμετρικό του Α, ως προς την BC και έχουμε αμβλειγώνιο τρί...

Αφού παράλληλες ευθείες αποκόπτουν ίσα τόξα και αντιστρόφως, έχουμε τις ισότητες τόξων $AF+FE=BC+CD$ $FE+ED=AB+BC$ Αυτές δίνουν $AF+AB= CD+ ED$ ή $FB=CE$, άρα FE//BC. Ας το δούμε και αλλιώς με Pascal. Οι απέναντι πλευρές του εξαγώνου τέμνονται σε συνευθειακά σημεία. Αφού τα δύο ζεύγη πλευρών είναι π...

Φορσέ το πολυώνυμο $x^3-x^2-x+a$ έχει διπλή ρίζα οπότε γράφεται στην μορφή $(x-r)(x-k)^2$. Φέρνουμε το τελευταίο στην ανηγμένη του μορφή, εξισώνουμε συντελεστές ομοίων όρων και βρίσκουμε $k=1, r=-1, a=1.$ $k=-1/3, r=5/3, a=-5/27$ Έτσι ζητάμε τα ολοκληρώματα $ \int_{-1}^{1}(x^3-x^2-x+1)dx $ $ - \int_...

Πράξεις ρουτίνας...

Ας το δούμε κι αλλιώς. Γράφουμε $b- c=IC-IB$ Αυτό σημαίνει ότι τα $ A, I $ ανήκουν στην ίδια υπερβολή με εστίες $B, C$. Αλλά η διχοτόμος $AI$ είναι εφαπτομένη της υπερβολής (ανακλαστική ιδιότητα) και επειδή τα $A, I$ είναι διαφορετικά σημεία, τα οποία ανήκουν και στην υπερβολή και στην εφαπτομένη τη...

Στην πρώτη μου διαπραγμάτευση (#2), αποδείχτηκε ότι $\boxed{b=c}$ ή $\boxed{\widehat A=90^\circ}$ Εξετάστηκε η περίπτωση το τρίγωνο να είναι οξυγώνιο, ενώ απορρίφθηκαν άμεσα η $A$ να είναι αμβλεία ή μία από τις $B, C$ να είναι ορθή. Θα εξετάσω τι συμβαίνει αν μία από τις $B,C$ είναι αμβλεία, έστω η...

Από το θεώρημα της διχοτόμου προέκυψε στο σχήμα το

Από ομοιότητα

Λύνουμε και βρίσκουμε

Αν είναι η γωνία και η ακτίνα, αντίστοιχα, του τομέα, και η ακτίνα του κόκκινου κύκλου, τότε από νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο είναι



Άρα το είναι σταθερό κ.λπ.

Αν $h$ είναι το ύψος του τριγώνου και $a, b$ τα τμήματα στα οποία χωρίζει την υποτεινουσα, τότε $ k^2=ha$ και $ h^2=ab$ Με απαλοιφή του ύψους παίρνουμε $k^2=a^{3/2}b^{1/2}$, σταθερό. Η υποτεινουσα είναι ίση με το άθροισμα $ a+b$ και γίνεται ελάχιστη όταν τα $a, b$ είναι ανάλογα των εκθετών τους 3/2 ...

Μπορούμε συνθετικά να το δούμε, μεταξύ των άλλων, με σύνθεση αντιστροφών: Η αντιστροφή 1, με κέντρο Α, που στέλνει τον εγγεγραμμένο στον μικτοεγγεγραμμένο έχει ακτίνα $AI$. Αρκεί να αποδείξουμε ότι η ακτίνα $R$ της αντιστροφής 2, με κέντρο Α, που στέλνει τον μικτοεγγεγραμμένο στον παρεγγεγραμμένο κύ...

Αρκεί να δείξουμε ότι η αντιστροφή με κέντρο το $A$, που αντιστρέφει τον Α-παρεγεγραμμένο κύκλο στον Α-έσω-μικτοεγεγραμμένο κύκλο (προφανές ότι υπάρχει τέτοια αντιστροφή), έχει δύναμη $SB^2-SA^2$. Ας το δούμε με τριγωνομετρία. Έστω $I_m, I_a$ και $r_m, r_a$ και $D,E$, κατά σειρά, τα κέντρα, οι ακτίν...

Ας δειχτεί, για αρχή, ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει $r_ar=4R^2sin^2\frac{A}{2}sinBsinC=4R^2sin^2\frac{A}{2} \left ( cos^2\frac{A}{2}-cos^2\left ( \frac{A}{2}+B\right ) \right )$ Υπόψη: $r=4Rsin\frac{A}{2} sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$ $r_a=4Rsin\frac{A}{2} cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$ $p=4Rcos\frac{A}...

Εύκολα, τα ισοσκελή τρίγωνα είναι ίσα (οι ίσες γωνίες τους είναι ίσες με την γωνία ), (και στα δύο σχήματα).

Έτσι οι χορδές είναι ίσες, και το συμπέρασμα έπεται άμεσα.

Θα βρούμε τα

Έστω η συμμετρική της , ως προς την

H κάθετη στην τέμνει την στο , και, το ίχνος της κάθετης από αυτό στην είναι το . κ.λπ.

Προφανώς τα δύο τραπέζια είναι ομοιόθετα στην ομοιοθεσία με κέντρο την τομή των και λόγο . Αυτό αιτιολογεί την ομοιότητά τους και τις ζητούμενες παραλλήλιες.

Έστω $I$ το έγκεντρο του $\vartriangle ABC$ . Η κοινή χορδή , $EZ$, των κύκλων : $\left( {A,B,C} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {A,AI} \right)$ δείξετε ότι εφάπτεται του εγγεγραμμένου κύκλου του $\vartriangle ABC$ . Με δεδομένο, ότι ο $A$ μικτοεγγεγραμμένος κύκλος Manheim, στην αντιστροφ...

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑

Πέμ Αύγ 24, 2023 9:34 pm

5001.png


Στο παραπάνω σχήμα να βρεθεί η μεγαλύτερη ακέραια τιμή
που μπορεί να πάρει το τμήμα .

Ενδιαφέρον έχει να δούμε -αποδεικνύεται με πολλούς τρόπους- ότι:



Στη συνέχεια είναι

ή , άρα , κ.λπ.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 68#p124752

Εδώ έχουμε δύο λύσεις για την συγγραμμικότητα των ορθόκεντρων.

Μία με Simson από τον κ. Κερασαρίδη, και μία με Πάππο, όπου η μία ευθεία είναι αυτή στο άπειρο.