Η αναζήτηση βρήκε 1635 εγγραφές

από rek2
Παρ Φεβ 22, 2019 5:01 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 439

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/2019. 5. Στο μη ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ φέρουμε την διχοτόμο $BL$. Η προέκταση της διαμέσου, που φέρεται από την κορυφή $B$, τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο $\omega$, του τριγώνου $ABC$ στο σημείο $ D$. Από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγών...
από rek2
Πέμ Φεβ 07, 2019 9:01 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 861

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)

Ζόρικη. Αναρωτιέμαι πόσοι την έλυσαν. .... Το πρόβλημα 5 λύθηκε από ένα μαθητή (+-) ... Μου αρέσει που οι θεματοδότες τολμούν! Το πρόβλημα 5 έχει ζόρικο σχήμα. Έχει και εκπληκτική σύλληψη, σαν ιδέα. Χωρίς σχεδιαστικό πρόγραμμα απαιτεί φαντασία και χρόνο! Να δώσω συγχαρητήρια στον νεαρό μας λύτη!!!
από rek2
Πέμ Φεβ 07, 2019 12:34 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 861

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)

LXXV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2012. Θέματα της 9ης τάξης. Πρόβλημα 5. Δίνεται τρίγωνο $ABC$. Η ευθεία $l$ εφάπτεται του εγγεγραμμένου κύκλου του. Συμβολίζουμε με $l_{a}, l_{b}, l_{c}$ τις ευθείες, συμμετρικές της $l$ ως προς τις εξωτερικές διχοτόμους των γωνιών του τριγώνου. Να αποδείξετε, ότι ...
από rek2
Τετ Ιαν 30, 2019 10:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Σύνθεση ομοιοθεσιών
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 571

Re: Σύνθεση ομοιοθεσιών

... Το ακόλουθο σχήμα δείχνει πιο παραστατικά την προηγούμενη ιδέα, γιατί από σημείο η σύνθεση δουλεύει σε τρίγωνο. Σύνθεση ομοιοθεσιών 2.png Κώστας Δόρτσιος ...Και βέβαια, αν θέλουμε να δουμε την σύνθεση σε ευθύγραμμα τμήματα, τότε αν γράψουμε τους κύκλους που εφάπτονται στους άξονες ομοιοθεσίας, ...
από rek2
Τετ Ιαν 30, 2019 8:33 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σύνολο τιμών
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1051

Re: Σύνολο τιμών

Altrian έγραψε:
Τρί Ιαν 29, 2019 3:36 pm
Μια προσπάθεια.

.....
Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι.
Πολύ καλό!

Στα ίδια αποτελέσματα καταλήγω.

Με ενδιαφέρει, αν γίνεται, κι άλλη διαπραγμάτευση. :coolspeak:
από rek2
Κυρ Ιαν 27, 2019 3:45 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σύνολο τιμών
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1051

Re: Σύνολο τιμών

Επαναφορά. :coolspeak:
από rek2
Τρί Ιαν 22, 2019 12:15 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 444

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά για το 2019. 29. Δίνεται τρίγωνο $ABC$ εμβαδού $9$ και έστω $P,Q$ και $R$ σημεία που κινούνται στις πλευρές $AB, BC$ και $CA$, αντίστοιχα. Ο λόγος, του εμβαδού του σχήματος που ορίζουν τα σημεία $X$ του επιπέδου του τριγώνου που δίνονται από την σχέση...
από rek2
Δευ Ιαν 21, 2019 8:39 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 444

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά για το 2019. 28. Δίνεται η έλλειψη $\displaystyle \dfrac{x^2}{49} +\dfrac{y^2}{33} =1$ με εστίες τα σημεία $F^{\prime}, F$. Η ευθεία $ F^{\prime}P$ τέμνει την έλλειψη σε σημείο $Q$ με θετική $y$ συντεταγμένη, όπου $P$ σημείο του κύκλου $\displaystyle ...
από rek2
Δευ Ιαν 14, 2019 10:55 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Σύνθεση ομοιοθεσιών
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 571

Σύνθεση ομοιοθεσιών

Έστω δύο ομοιοθεσίες. Να αποδειχτεί ότι η σύνθεσή τους

1. είναι ομοιοθεσία,

2. έχει λόγο το γινόμενο των λόγων τους, και

3. το κέντρο της βρίσκεται στην ευθεία των κέντρων τους.

Για μαθητές. :-)
από rek2
Δευ Ιαν 14, 2019 2:24 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1623

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

2. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με περίκεντρο $\displaystyle{O}$ και $\displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1}$ τα μέσα των πλευρών $\displaystyle{B\Gamma ,\Gamma A,AB}$ αντίστοιχα. Θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{A_2,B_2,\Gamma_2}$ έτσι ώστε $\displaystyle{\vec{OA_2} = \lambda\vec{OA_1},\vec...
από rek2
Σάβ Ιαν 12, 2019 10:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: εφιάλτης
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 858

Re: εφιάλτης

Δηλαδή, διά Ανοπαίας ατραπού...
από rek2
Σάβ Ιαν 12, 2019 10:11 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Κάθετες διχοτόμοι
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 528

Re: Κάθετες διχοτόμοι

Ενδιαφέρον παρουσιάζει η κατασκευή ενός τέτοιου σημείου O. Ομοίως και ο γεωμετρικός του τόπος.

Με ... αλχημείες έδειξα ότι οι γωνίες AOD και BOC είναι παραπληρωματικές, που δίνει γρήγορα το ζητούμενο. Αναζητείται ιδέα!!
από rek2
Παρ Ιαν 11, 2019 6:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Το χαμηλότερο σημείο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 400

Re: Το χαμηλότερο σημείο

Ξεχάστηκε;;
από rek2
Τετ Ιαν 09, 2019 4:22 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: όριο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 419

όριο

Ζητάμε, με όσο πιο απλά μέσα γίνεται, το όριο στο μηδέν του κλάσματος:

\dfrac{(cosx)^{sinx}-\sqrt{1-x^3}}{x^6}
από rek2
Σάβ Ιαν 05, 2019 11:13 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Μιγαδικοί και ισόπλευρο τρίγωνο!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 469

Re: Μιγαδικοί και ισόπλευρο τρίγωνο!

Μετά τις ωραίες αποδείξεις του Αλέξανδρου και του Κώστα, παραθέτω και μία πιο γεωμετρική. Ας είναι $\displaystyle{ABC}$ το τρίγωνο Η σχέση γράφεται $\displaystyle{\left|z_1-\frac{z_1+z_2+z_3}{2}\right|+\left|z_2-\frac{z_1+z_2+z_3}{2}\right|+\left|z_3-\frac{z_1+z_2+z_3}{2}\right|=3}$. Η απόδειξη βασ...
από rek2
Σάβ Ιαν 05, 2019 8:32 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Μιγαδικοί και ισόπλευρο τρίγωνο!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 469

Re: Μιγαδικοί και ισόπλευρο τρίγωνο!

Είναι γνωστή η ταυτότητα $|z_1+z_2+z_3|^2+|z_1+z_2-z_3|^2+|z_3+z_1-z_2|^2+|z_2+z_3-z_1|^2=4\left(|z_1|^2+|z_2|^2+|z_3|^2\right) \ \ (1)$ Επίσης εφαρμόζοντας την ανισότητα $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$ για $a=|z_1+z_2-z_3|$, $b=|z_3+z_1-z_2|$, $c=|z_2+z_3-z_1|$ και αξιοποιώντας τα δεδομένα της εκφώ...
από rek2
Σάβ Ιαν 05, 2019 4:09 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Απάτητη κορυφή
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 294

Re: Απάτητη κορυφή

H τέταρτη κορυφή.pngΒρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής $C$ του παραλληλογράμμου $ABCD$ . Ενδιαφέρομαι για τις λύσεις που θα εμφανισθούν μετά τις τρεις πρώτες :lol: Οι κύκλοι με κέντρα τα $D, B$ και ακτίνες $ AB, AD$, αντίστοιχα, έχουν εξισώσεις $(x-3)^2+(y+3)^2=4^2+5^2$ $(x-2)^2+(y-4)^2=5^2+2^2$ ...
από rek2
Σάβ Ιαν 05, 2019 3:18 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Μιγαδικοί και ισόπλευρο τρίγωνο!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 469

Re: Μιγαδικοί και ισόπλευρο τρίγωνο!

Οι διαφορετικοί ανά δύο μιγαδικοί $\displaystyle{z_1,z_2,z_3}$ ικανοποιούν τις σχέσεις $\displaystyle{|z_1|=|z_2|=|z_3|=1}$ και $\displaystyle{|z_1+z_2-z_3|+|z_2+z_3-z_1|+|z_3+z_1-z_2|=6.}$ Να αποδείξετε ότι οι εικόνες τους είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου. Έχουμε, λοιπόν, τα μοναδιαία διανύσματα ...
από rek2
Σάβ Ιαν 05, 2019 1:35 am
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Παραμετρικά δυνατή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 305

Re: Παραμετρικά δυνατή

Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου $a$, για τις οποίες έχει λύση η εξίσωση $\displaystyle \sqrt{3a+\sqrt{3a+2x-x^2}} = 2x-x^2$. Ας είναι $2x-x^2=y$. Πρέπει $y\geq 0.$ Ακόμα είναι $ x^2-2x+y=0, $ οπότε $ 4-4y\geq 0\Leftrightarrow y\leq 0$. Επομένως $0\leq y\leq 1$ Ας είναι $\sqrt{3a+y}=z.$ Η εξίσωση...
από rek2
Σάβ Ιαν 05, 2019 1:08 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ζητείται λόγος-1.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 217

Re: Ζητείται λόγος-1.

Επειδή τα τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους στην κορυφή C παραπληρωματικές, ο ζητούμενος λόγος ισούται με  \dfrac{AC}{DC} που ισούται κατά σειρά με

 \dfrac{BC}{CD}=  \dfrac{sin75°}{sin15°}   =tan75° =  2+ \sqrt{3}

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση