Είναι απλό να δείξουμε ότι και οι δύο παρενθέσεις που εμφανίζονται στην εξίσωση παίρνουν τιμές στο διάστημα $[-1/2a,1/2a]$ Αλλά αυτό το διάστημα περιέχεται στο διάστημα [-π, π]. Αυτό σημαίνει ότι η ισότητα των δύο συνημιτονων δίνει ότι οι δύο παρενθέσεις είναι ίσες ή αντίθετες. ( στον τύπο χ = 2κπ+-...

Από γνωστή πρόταση η είναι παράλληλη στη διχοτομο της γωνίας, οπότε κ.λπ. το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Η ισότητα δίνει άμεσα το συμπέρασμα.

Αλέξανδρε, εγώ πρέπει να σε ευχαριστήσω για τον κόπο σου και για τον χρόνο που διαθέτεις, ώστε να μεταφράζεις και να ανεβάζεις θέματα πραγματικά υψηλού επιπέδου!

Να είσαι πάντα καλά!

Καλό Πάσχα και καλή Ανάσταση!!

Έστω $\,\,\,g(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x},\,\,\, a \neq 0$ Αν υπολογίσουμε την δεύτερη παράγωγο και ζητήσουμε να μηδενίζεται για $x=1$ και $x=4$, θα βρούμε $c=0, b=-a$, οπότε $\,\,\,g(x)=a(x^2-x)e^{-x},\,\,\, a \neq 0$ Στην συνέχεια, η εφαπτομένη στην γραφική της παράσταση και το σημείο της $(t,g(t))$ έχει...

Ας γράψω κάποιες σκέψεις για ξεκίνημα... Η εξίσωση $cosx = a$ όταν $-1<a<1$ έχει δύο λύσεις στο εν λόγω διάστημα, ενώ με $ a=1 $ ή $a=-1$ έχει μία λύση. Επομένως για να έχουμε τρεις λύσεις πρέπει η εξίσωση $a^2-(c+2)^2a-c(c+2)(c+3)= 0 $ να έχει δύο λύσεις τέτοιες, ώστε: να είναι η μία το $1$, οπότε ...

.

Δεν υπάρχουν λόγια...

Αν $\displaystyle {\log _4}\left( {x + 2f(x)} \right) + {\log _4}\left( {x - 2f(x)} \right) = 1$ να ορίσετε τη συνάρτηση $f$ και να βρείτε σημείο $M(x,y)$ της γραφικής της παράστασης ώστε η διαφορά $|x|-|y|$ να είναι η ελάχιστη δυνατή. Για κάθε χ με $f(x)\ge -\dfrac{x}{2} $ και $f(x)\le\dfrac{x}{2}...

'

Ας είναι με οι αποστάσεις του από τις πλευρές αντιστοίχως. Για το εμβαδόν του τριγώνου είναι






Άρα σταθερό. (Ίσο με το ύψος από το Α)

Αρκεί να ελαχιστοποιήσουμε το τρίγωνο $OBC$ Αν η $BC$ εφάπτεται στην έλλειψη στο σημείο της $(x_0, y_0)$, τότε (απλό): $x_C=a^2/x_0, y_B=b^2/y_0$ και $(OBC)=(a^2b^2)/(2x_0y_0)$ Το $(OBC)$ γίνεται ελάχιστο όταν το γινόμενο $x_0y_0$ γίνει μέγιστο. Τότε γίνεται μέγιστο και το γινόμενο $(x_0/a)^2 (y_0/b...

Να αποδείξετε ότι για κάθε $a\in \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( -1,1 \right )$ η εξίσωση: $\displaystyle{x^{2}+\frac{x}{a^{2}-1}+\frac{1}{a-1}=0}$ έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες. Το $p(x)= x^{2}+\frac{x}{a^{2}-1}+\frac{1}{a-1}$ ικανοποιεί $ p(0) = \frac{1}{a-1} <0$ (για τα $a$ που ...

Έστω $\displaystyle f:R \to R$ μια συνάρτηση για την οποία ισχύει $\displaystyle {f^3}(x) + f(x) + \,1\, = \,x,\,x \in R$. Να βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle f$. Ας το δούμε κι αλλιώς. Θα δείξουμε ότι για κάθε πραγματικό $y$ υπάρχει $x\in R$ με $f(x)=y$, οπότε σύνολο τιμών είναι το $ R$. ...

Με ενδιαφέρει, αν γίνεται, κι άλλη διαπραγμάτευση. :coolspeak: Το ζητούμενο σύνολο συμπίμπτει με το σύνολο τιμών του $z$, για τα οποία είναι επιλύσιμο ως προς τα $x,y$ το σύνολο (σύστημα) $\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} z-y = \sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6} \\ z-y = - \sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6} \end...

Μιας και γίνεται η κουβέντα, να πω ότι δεν συζητάμε για εξίσωση με διπλή ρίζα, αλλά με μοναδική θετική ρίζα (π.χ. θα μας έκανε και μία δευτεροβάθμια εξίσωση με γινόμενο ριζών Ρ<0 (οπότε Δ>0))

Η πλάκα είναι ότι το συγκεκριμένο πρόβλημα το λύνει και μαθητής της Β' Λυκείου (χωρίς παραγώγους ;) Ακριβώς Στάθη , για τους "ψαγμένους" μαθητές της Β' Λυκείου προορίζεται η άσκηση , γι αυτό τοποθετήθηκε στον φάκελο "Άλγεβρα" και όχι σε κάποιο θέμα Ανάλυσης ... Είναι, άραγε, τόσο απλά τα πράγματα;;;

Θα ήθελα να κάνω μία παρατήρηση. Δεν είναι ανάγκη ένα τριώνυμο που έχει ακέραια ρίζα να έχει διακρίνουσα τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Για παράδειγμα το τριώνυμο $x^{2}-(\sqrt{3}+1)x+\sqrt{3}$ έχει ακέραια ρίζα το 1 χωρίς να έχει διακρίνουσα τετράγωνο ακεραίου. Επίσης δεν γνωρίζουμε ότι τα $a,b$ είναι...

Με ρ την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο και κάτι "ψιλά" προκύπτει

Nα υποθέσω ότι ο Στάθης ( Στάθη, να είσαι πάντα καλά!) βρήκε το ακρότατο της συνάρτησης

Άσκηση 36 Για κάθε $a$, για το οποίο η εξίσωση $\displaystyle x^3-x^2-4x-a=0$ έχει τρεις διαφορετικές μεταξύ τους ρίζες, συμβολίζουμε με $\displaystyle x_{1}=x_{1} \left ( a \right ), \quad x_{2}=x_{2}\left ( a \right ), \quad x_{3}=x_{3}\left ( a \right )$ αυτές τις ρίζες διατεταγμένες κατά φθίνου...

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/2019. 5. Στο μη ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ φέρουμε την διχοτόμο $BL$. Η προέκταση της διαμέσου, που φέρεται από την κορυφή $B$, τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο $\omega$, του τριγώνου $ABC$ στο σημείο $ D$. Από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγών...