Η αναζήτηση βρήκε 1864 εγγραφές

από rek2
Σάβ Φεβ 13, 2021 10:51 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Χρόνου φείδου
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 273

Re: Χρόνου φείδου

Με την CB στον άξονα συνημιτόνων, το τόξο SC έχει ημίτονο 1/2 άρα είναι τριάντα μοιρών κ.λπ.
από rek2
Πέμ Φεβ 04, 2021 4:11 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Η διχοτόμηση του μήνα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 311

Re: Η διχοτόμηση του μήνα

Ο Θανάσης κάνει πλακίτσα...

Είναι (ADCS) = (SBEZ) όταν (ABCD)=(AZE) άρα AB\cdot AD=\dfrac{AB+BE}{2}AD ή AB = BE κ.λπ.
από rek2
Κυρ Ιαν 31, 2021 8:40 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Τετραγωνικός μπελάς
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 179

Re: Τετραγωνικός μπελάς

20210131_203806.jpg
20210131_203806.jpg (70 KiB) Προβλήθηκε 107 φορές
Αρκεί να βρούμε το ελάχιστο του λόγου ομοιότητας

\lambda =\frac{AP}{AS}=\frac{\mu }{b}=\frac{a-k}{a}

Είναι \frac{ k}{a-b}=\frac{\mu }{a}

Από εδώ προκύπτει \lambda =\frac{a^2}{a^2-b^2+ab}

Έχουμε ελάχιστο όταν το -b^2+ab γίνει μέγιστο, δηλαδή για b=a/2 και λοιπά.
από rek2
Σάβ Ιαν 16, 2021 6:10 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ανοίγοντας παρενθέσεις
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 171

Re: Ανοίγοντας παρενθέσεις

Να, μία, διαφορετική, λύση. Ας πούμε ότι τα γράμματα είναι όλα ίσα με 1 και ότι στο ανάπτυγμα έχουμε k φορές το 1 και j φορές το -1. Ζητάμε το j. Το προκύπτον γινόμενο ισούται με $1x3x(-1)x1x2=-6. $ Οι όροι του αναπτύγματος του γινομένου είναι $3x3x3x3x2=162$. Επομένως $k+j=162, k-j=-6$ Από εδώ $j =...
από rek2
Σάβ Ιαν 16, 2021 5:18 pm
Δ. Συζήτηση: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Πόσα είναι τα θρανία
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 328

Re: Πόσα είναι τα θρανία

Μια τάξη έχει $34$ μαθητές. Παρατηρήσαμε ότι αν στα μισά θρανία καθίσουν από $2$ μαθητές και στα άλλα μισά από $3$, τότε μένουν όρθιοι $4$ μαθητές. Να βρείτε πόσα είναι τα θρανία. (Μόνο για μαθητές Δημοτικού ή Γυμνασίου και μόνο με πρακτική αριθμητική) (Μέχρι 12-1-21) Να μία λύση. Δημήτρη, Φίλε, κά...
από rek2
Σάβ Ιαν 16, 2021 12:32 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Σημεία σε τετράγωνο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 299

Re: Σημεία σε τετράγωνο

Τα σημεία $K,L,M,N$ με συντεταγμένες $(-2,3)$, $(1,4)$, $(3,2)$, $(-1,-1)$ βρίσκονται στις πλευρές $AB,BC,CD,DA$ αντίστοιχα ενός τετραγώνου $ABCD$. Να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου. Οι επόμενες, ας είναι οι εξισώσεις των πλευρών του τετραγώνου: $e1:y-3=p(x+2),\,\,\,e2:y-4=-\dfrac{1}{p}(x-1),\,\,...
από rek2
Πέμ Ιαν 14, 2021 12:15 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παραλληλία υπό συνθήκη
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 532

Re: Παραλληλία υπό συνθήκη

Παραλληλία υπό συνθήκη.png Έστω τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ με $\displaystyle{\angle A = {120^0}}$. Αν $\displaystyle{D}$ η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου $\displaystyle{ABDC}$ να δειχθεί ότι η ευθεία Euler του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ είναι παράλληλη προς την $...
από rek2
Σάβ Ιαν 09, 2021 11:06 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Γωνία Brocard
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 270

Re: Γωνία Brocard

Είναι γνωστό ότι $cot\omega =cotA+cotB+cotC$, οπότε αρκεί να δείξω $cotA+cotB+cotC=2$ Για ευκολία θέτω $a=cotA, b=cotB, c=cotC$. H υπόθεση, με ύψωση στο τετράγωνο, δίνει $a=b+c+2\sqrt{bc}$ ή $a+b+c= 2(a-\sqrt{bc})\,\,\,\,(1)$ Αλλά είναι γνωστό ότι $ab+bc+ca=1$, οπότε $a(b+c)+bc=1$. Aπαλείφουμε το $b...
από rek2
Τετ Δεκ 30, 2020 1:40 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Συνεπώς παράλληλες
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 541

Re: Συνεπώς παράλληλες

Αφού BA+AP=PC και αφού το Z είναι μέσο του τόξου BZC, από το αντίστροφο της σπασμένης χορδής , η ZP είναι κάθετη στην AC κ.λπ. η παραλληλία είναι προφανής.
από rek2
Τρί Δεκ 29, 2020 9:02 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Από σταθερό σημείο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 184

Re: Από σταθερό σημείο

Δηλαδή, Σωτήρη Φίλε, με άλλα λόγια, η ST τέμνει την ΟΑ στον πόλο της PQ, οπότε η PQ διέρχεται από τον πόλο της ΟΑ.
από rek2
Σάβ Δεκ 12, 2020 8:33 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Έλλειψη, υπερβολή και διχοτόμος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 389

Re: Έλλειψη, υπερβολή και διχοτόμος

Έστω $F_{1}F_{2}C$ ένα ορθογώνιο τρίγωνο με την ορθή γωνία να αντιστοιχεί στην κορυφή $F_{2}$, $E$ και $\Upsilon$ είναι συνεστιακές, με εστίες τα σημεία $F_{1}$ και $F_{2}$, έλλειψη και υπερβολή που διερχόνται από το σημείο $C$. (Εξετάζουμε μόνο τον ένα κλάδο της υπερβολής που διέρχεται από το σημε...
από rek2
Δευ Δεκ 07, 2020 9:56 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Με τα εργαλεία Μάστορας
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 281

Re: Με τα εργαλεία Μάστορας

Γράφω κύκλο με κέντρο C και ακτίνα 4

Το D ανήκει στην κοινή χορδή των δυο κύκλων ( λόγω π.χ. αντιστροφής), και στον κύκλο διαμέτρου BC κ.λπ.


Άλλη λύση: το ύψος από το  A είναι η κοινή χορδή των δύο κύκλων ( όχι του αρχικού) που αναφέρω στην παραπάνω λύση.
από rek2
Παρ Δεκ 04, 2020 9:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Έλλειψη, υπερβολή και διχοτόμος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 389

Re: Έλλειψη, υπερβολή και διχοτόμος

Ας βάλει κάποιος σχήμα και συνεχίζω! Σαν υπόδειξη έχουμε: Οι εφαπτόμενες της έλλειψης στα $A, C$ τέμνονται στο $I$ Οι εφαπτόμενες της υπερβολής στα $B,C$ τέμνονται στο $H$ Τα σημεία $F_1, I, H$ είναι στην ίδια ευθεία (την διχοτόμο της γωνίας $CF_1A$) που τέμνεται με την $F_2C$ στο $K$. Τα σημεία $F_...
από rek2
Παρ Δεκ 04, 2020 12:07 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Εντυπωσιακή σταθερότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 385

Re: Εντυπωσιακή σταθερότητα

Να είσαι καλά Γιώργο!

Να ξεσκουριάζουμε!!
από rek2
Δευ Νοέμ 30, 2020 11:07 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Εντυπωσιακή σταθερότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 385

Re: Εντυπωσιακή σταθερότητα

Έστω $f$ η γωνία των $MG, GA$. Θέτω $D=d^2+R^2$ και $B=2dR$ Είναι, από νόμο συνημιτόνων: ( στο σχήμα μου έχω το Μ πάνω αριστερά, αλλά δεν παίζει ρόλο) $ MA^2=D-Bcosf, MB^2=D-Bcos(120^o-f), MC^2=D-Bcos(120^o+f)$ Από τον τύπο του Ήρωνα, ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο, το τρίγωνο με πλευρές $a=MA, b=MB,c=...
από rek2
Κυρ Οκτ 18, 2020 8:42 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Ανισότητα πρόβλημα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 428

Re: Ανισότητα πρόβλημα

KARKAR έγραψε:
Σάβ Οκτ 17, 2020 6:54 pm
Έχω την ( γνήσια ) απορία , γιατί ο θεματοδότης δεν έγραψε : x^4+81\sin|x|\geq 0
viewtopic.php?f=53&t=68097#top
από rek2
Σάβ Οκτ 17, 2020 3:33 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Ανισότητα πρόβλημα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 428

Ανισότητα πρόβλημα

Nα αποδειχτεί ότι για κάθε πραγματικό x ισχύει 2x^4 +162 sin|x|\geq 0
από rek2
Δευ Σεπ 21, 2020 5:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Τριγωνομετρική με παράμετρο
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 833

Re: Τριγωνομετρική με παράμετρο

Να βρείτε τα $a$, για τα οποία η ανίσωση $\displaystyle{\sqrt{2\pi -|x|} \left ( \cot^2 \left ( \sin x \right)-2a \cot \left ( \sin x \right) -a\right ) \leq 0}$ έχει πεπερασμένο αριθμό λύσεων. Να βείτε αυτές τις λύσεις. Με επιφύλαξη για την δακτυλογράφηση... H ανίσωση ορίζεται στο σύνολο $A=(-2\pi...
από rek2
Σάβ Σεπ 19, 2020 9:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Περίεργη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 335

Re: Περίεργη

Για τους αριθμούς $\displaystyle{a_{1}, a_{2}, \dots , a_{42}}$ επαληθεύονται οι ισότητες $a_{n} = f\left (a_{n} \right)$ ,$ n=1,2, \dots , 41$. Να βρείτε την διαφορά $a_{13}-a_{10}$, αν $a_{42}=0$ και $f(x) = \left\{\begin{matrix} 7^x+4^{-\frac{6}{x+1}} -8 , \quad x \leq -4 \\ \dfrac{52}{x+4}-4 , ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση