Για τους αριθμούς $\displaystyle{a_{1}, a_{2}, \dots , a_{42}}$ επαληθεύονται οι ισότητες $a_{n} = f\left (a_{n} \right)$ ,$ n=1,2, \dots , 41$. Να βρείτε την διαφορά $a_{13}-a_{10}$, αν $a_{42}=0$ και $f(x) = \left\{\begin{matrix} 7^x+4^{-\frac{6}{x+1}} -8 , \quad x \leq -4 \\ \dfrac{52}{x+4}-4 , ...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑

Κυρ Σεπ 06, 2020 9:49 am

προφανής λύση η και προφανώς μοναδική..

...και p=1/2...

Οι ρίζες της εξίσωσης $x^3-\left( \log_{p/8} p\right) x^2 + \left | \dfrac{5}{2} \log_{4} p \ \right | x-\dfrac{15}{8} = 0$ αποτελούν τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου και οι ρίζες της εξίσωσης $x^3 -\dfrac{2}{3} \sqrt{p} x^2 +\dfrac{2p}{15} x- \dfrac{p}{p+14} = 0$ τα μήκη των υψών του ίδιου τριγών...

Οι ρίζες της εξίσωσης $x^3-\left( \log_{p/8} p\right) x^2 + \left | \dfrac{5}{2} \log_{4} p \ \right | x-\dfrac{15}{8} = 0$ αποτελούν τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου και οι ρίζες της εξίσωσης $x^3 -\dfrac{2}{3} \sqrt{p} x^2 +\dfrac{2p}{15} x- \dfrac{p}{p+14} = 0$ τα μήκη των υψών του ίδιου τριγών...

Αλέξανδρε, σαν μια πρώτη ιδέα, λύσε μου την εξίσωση:

,

Η αδύνατη δεν θεωρείται πεπερασμένου πλήθους λύσεων; Θυμόμουν για μια τιμή του $a$ για αυτό το έγραψα λίγο βιαστικά παραπάνω. Για $a=0$ εύκολα βλέπουμε ότι δεν υπάρχουν λύσεις. Τώρα αν είναι πεπερασμένη το πλήθος λύση, η μη λύση, το θεωρώ λεπτομέρεια. Αρκεί να αναφέρει κανείς τι γίνεται σε κάθε περ...

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑

Παρ Αύγ 21, 2020 9:38 pm

rek2 έγραψε: ↑

Παρ Αύγ 21, 2020 9:17 pm

Αλεξ, για να αρχίσει παιχνίδι, a=-1,0 ;;

Νομίζω μόνο , αλλά πρέπει να το ξανακοιτάξω...

Η αδύνατη δεν θεωρείται πεπερασμένου πλήθους λύσεων;

Αλεξ, για να αρχίσει παιχνίδι, a=-1,0 ;;

george visvikis έγραψε: ↑

Τετ Αύγ 19, 2020 8:01 pm

Για σχολική χρήση (στο φάκελο που βρισκόμαστε) θα πρέπει να ορίζεται η αποδεικτέα σχέση, δηλαδή

(έτσι κι αλλιώς δεν αληθεύει για ). Τότε όμως δεν ισχύει η υπόθεση.

Για μη αρνητικά x, y η ισοτητα της υπόθεσης είναι ψευδής...

Γι αυτό, μάλλον, ο Σταύρος μιλάει για παράπονα.

Υπάρχει t ώστε

Τότε
κ.λπ.

$a=(2/3)^{0.5}$ $ (x-log_e3)[(x-1-a) (3x^2-6x+1) \leq 0$ κ.λπ . Αν δεν κάνω λάθος η λύση της παραπάνω ανίσωσης είναι $ \left [1-\sqrt{\dfrac{2}{3}}, \ln 3 \right ] \cup \left \{1+\sqrt{\dfrac{2}{3}} \right \}$ δηλαδή, ένωση κλειστού διαστήματος με μεμονωμένο σημείο. Σωστό κι αυτό!! Τι λες για αυτή:...

κ.λπ
.

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑

Σάβ Αύγ 15, 2020 4:21 pm

rek2 έγραψε: ↑

Σάβ Αύγ 15, 2020 2:37 pm

Αλέξανδρε ;;;

Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά!

Η απάντηση είναι .

Οκ! Αυτό εννοούσα!

Να βρείτε όλες τις θετικές τιμές της παραμέτρου $a$, για τις οποίες το άθροισμα των διαφορετικών ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{\log_{2} \left ( ax \right ) +\log_{2} \left ( 1-x \right ) = \cos \left ( \left ( x-x^2\right) a \pi \right)}$ είναι μέγιστο. (Για Γ' Λυκείου). Πηγή: Εισαγωγικές εξετά...

Έστω $a, b, c, d$ οι αποστάσεις των σημείων $A, B, C, D$ από τον κατακόρυφο άξονα. Τα $a,d$ και το ύψος $h$ του τραπεζίου είναι σταθερά. Το εμβαδόν του τραπεζίου είναι $E=( a+b+c+d)h/2$ Από το θεώρημα κεντρικής δέσμης είναι $ bc=ad $ σταθερό. Επομένως το άθροισμα $b+c$ γίνεται ελάχιστο όταν $b=c=\sq...

Εντυπωσιάζει η ... μη απλότητα! Νομίζω είναι καλή - και γνωστή- άσκηση Α Λυκείου, ότι η ΑΤ διέρχεται από το μέσο , έστω Κ, της SD, και, ομοίως είναι καλή άσκηση για την ίδια τάξη η παραλληλία των KM, SB, που ξεκλειδώνουν το πρόβλημα. Θεωρώ αιτία της μη απλότητας την κατ' έξιν ... Geogebra. Εδώ ταιρι...

Υπάρχουν αναπάντητες; Με ένα κάπως πρόχειρο ψάξιμο βρήκα τις $12,13,20,25,26,29,38,39,42,43,48,49,50,55,57,58,61,63,64,71,72$. Βέβαια υπάρχει περίπτωση να ξέχασα κάποιες ή κάποιες από αυτές να λύθηκαν αλλά να μην το πρόσεξα. Άλυτες παραμένουν οι: $12,13,20,26,29,38,50,55,58,61,63,64,71$. Λύση για τ...

Οι συντεταγμένες του $C$ είναι λύσεις του συστήματος: $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1, \,\,\, x\sqrt{3}=2-y, \,\, y<0,\,\,x>0$ Προκύπτει $y=-\dfrac{46}{31},\,\,\,\,x=\dfrac{108}{31\sqrt{3}}$ Εύκολα, πλέον, τα $B, C$ δεν ανήκουν στον κύκλο $(O).$ Για τα υπόλοιπα, η χορδή $BC$ έχει μεγαλύτερο απόστημ...

Υπάρχουν αναπάντητες;

Να μια εκδοχή ακόμη:

Ποινική δίωξη, για βία κατά των δύο συλληφθέντων για την επίθεση, στον Κώστα Μπακογιάννη