Γωνίες ειδικού τραπεζίου.png Δίνεται τραπέζιο $ABCD (AB||CD)$ με $CD=2AB=2AD=2a$ και $\dfrac{AC}{BD}=\sqrt 7.$ Να βρείτε την πλευρά $BC=x,$ συναρτήσει του $a,$ καθώς και τις γωνίες του τραπεζίου. Φέρνω από το $A$ παράλληλη στην $BD$ που τέμνει την $CD$ στο $E.$Αν $BD = k$ θα είναι $AC = k\sqrt 7 \,...

Παραβολή και κύκλος.pngΚύκλος με κέντρο $O$ και ακτίνα $r$ , τέμνει την παραβολή με εξίσωση : $f(x)=x^2-\dfrac{7}{2}x-2$ στα σημεία $A, B , C , D$ , με το $A$ στο $1o$ τεταρτημόριο , το $B$ στο $2o$ και τα $C , D$ , στο $4o$ . Αν τα $B , C$ είναι αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου , δείξτε ότι η γωνί...

Καλησπέρα σε όλους. Μετά τους μαθητές του :logo: , αν επιτρέπεται, μια διαφορετική προσέγγιση με ταυτότητα Euler που πριν λίγα χρόνια υπήρχε στο σχολικό βιβλίο της Α΄ Λυκείου. Πρέπει $\displaystyle x \geqslant \frac{{10}}{3}$ $\displaystyle \sqrt[3]{{3x + 10}} - \sqrt[3]{{3x - 10}} = 2 \Leftrightar...

Τμήμα και εφαπτομένη.pngΠροεκτείνω την χορδή $BA$ , του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , κατά τμήμα : $AS=BA$ και φέρω το εφαπτόμενο τμήμα $SP$ , το οποίο τέμνει την προέκταση της $OA$ στο σημείο $T$ . Υπολογίστε το τμήμα $AT$ ( συναρτήσει της ακτίνας $OA=r$ ) και την $\tan\theta$ . Ας είνα...

Καλημέρα, Να σας ρωτήσω πως βρέθηκε το σημείο $C$ καθώς δε μου είναι προφανές με τα στοιχεία που δίνονται; Σας ευχαριστώ Παρατηρήσεις Η άσκηση δόθηκε με ένα σχήμα αλλά χωρίς λόγια . Υποθέτω λοιπόν ότι άξονας συμμετρίας της παραβολής είναι ο $y'y$. Με βάση τα, $B\left( {6,8} \right)$, $BA \bot AC$, ...

Καλημέρα. Σε αμβλυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle {\rm A}{\rm B}C\,\,\left( {\widehat A > {{90}^0}} \right)$ με $\widehat {\rm B} = {45^0},\,\,BC = 10$, παίρνουμε στη $BC$ σημείο ${\rm E}$ ώστε ${\rm B}{\rm E} = 4$. Εγγράφουμε τετράγωνο $ADEZ$ πλευράς α με $Z \in AC$. Να υπολογισθεί το $\left( {ABC} \...

shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς $AB$. Το σημείο $D$ ανήκει στο ημικύκλιο κέντρου $O,\,\,$ διαμέτρου $BE = 4$. Έστω $M$ το μέσο του $OE$. Η μεσοκάθετη του $OE$ τέμνει το ημικύκλιο στο $K.$ Τα τρίγωνα $KOC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KEB$ είναι της μορφής : $\left( {90^\cir...

Τύπος παραβολής.pngΒρείτε την εξίσωση της παραβολής αξιοποιώντας στοιχεία του παρατιθέμενου σχήματος . $\boxed{y = a{x^2} - k\,}\,\,a,k > 0$ . $C\left( { - 4,3} \right)\,\,\varepsilon \iota \tau \varepsilon \,\,C\left( { - 3,4} \right)$ . Στην πρώτη περίπτωση : $\left\{ \begin{gathered} 8 = 36a - k...

Παράξενη ισότητα.pngΈνα από τα σημεία τομής των κύκλων $(O)$ και $(K)$ , είναι το $A$ . Οι εφαπτόμενες των δύο κύκλων στο σημείο $A$ , τους ξανατέμνουν στα σημεία $P , Q$ . Ονομάζω $S$ το συμμετρικό του $A$ , ως προς το μέσο $M$ της διακέντρου $OK$ . Δείξτε ότι : $SP=SQ$ . Παράξενη ισότητα_1new.png...

KARKAR έγραψε: ↑

Τετ Απρ 10, 2024 1:10 pm

Κόκκινη ακτίνα.pngΗ ευθεία εφάπτεται στους τρεις κύκλους . Υπολογίστε την ακτίνα του μεσαίου , συναρτήσει των ακτινών των ακραίων .

Αντιστροφή λόγου.pngΗ διάμεσος $CM$ του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο $S$ . α) Αν : $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{4}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{SA}{SB}$ ... β) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AC}{AB}$ , ώστε : $\dfrac{SA}{SB}=2$ . Επειδή $\vartriangle MCB ...

Ο πολυμήχανος.pngΤο $M$ είναι το μέσο της $AC$ . Ας δείξουμε με διάφορους τρόπους ότι : $BM\perp AQ$ . Παρακαλείται ο κάθε λύτης να δημοσιεύσει - σε μια πρώτη φάση - μόνο μία λύση ! Πολυμήχανος.png $MQ//AP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MQ = d$. Άρα $\vartriangle QMB = \vartriangle PQA$ ( κάθετες πλευρ...

Όλοι ακέραιοι.pngΤα μήκη όλων των τμημάτων που φαίνονται στο ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ , είναι ακέραια . Βρείτε τα ! Πρώτα-πρώτα πρέπει το ύψος του ισοπλεύρου τριγώνου να είναι μικρότερο ή ίσο του $BS$. Δηλαδή , $a - 2 > \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow a = \left\{ {15,16,...} \right\}$. Από Θ. συν...

Πλευρολογία.pngΣτην διαγώνιο $AC$ του - διαστάσεων $a\times b$ - ορθογωνίου $ABCD$ , εντοπίστε σημείο $K$ , τέτοιο ώστε , ο κύκλος $(K,KA)$ να εφάπτεται της πλευράς $DC$ . Αν ο κύκλος διέρχεται και από το μέσο $M$ της $AB$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{b}{a}$ . α) Αν φέρω την κάθετη στο $A$ επί τ...

Το τέταρτο τμήμα.pngΤο σημείο $S$ είναι ο νότιος πόλος του περικύκλου , του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ . Η $SA$ τέμνει την παράλληλη από το $B$ προς την πλευρά $CA$ , στο σημείο $P$ . Υπολογίστε το $(BP)$ . Προαιρετικό : Μπορείτε να γενικεύσετε για οποιεσδήποτε κάθετες πλευρές $b , c$ ; Ας είναι $N$...

Μεγάλο και μικρό τετράγωνο.png Έστω το τετράγωνο $ABCD$. Προεκτείνουμε την $AB$ προς το $B$ κατά τμήμα $BE$ και σχηματίζουμε το τετράγωνο $AEZH$. Στην προς το $C$ προέκταση της διαγώνιου $AC$ θεωρούμε τυχαίο σημείο $F$ και πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα $CE$, τυχαίο σημείο $K.$ Η ευθεία $FK$ τέμνει τις ...

Ερυθρά ακεραιότης.pngΟ μικρός κύκλος ακτίνας $r=3$ , εφάπτεται εσωτερικά του μεγάλου , ακτίνας $R=4$ , σε σημείο $S$ . Για κάθε σημείο $P$ του μεγάλου , θεωρούμε σημείο $Q$ του μικρού , τέτοιο ώστε : $\widehat{PSQ}=60^0$ . Το μήκος του τμήματος $PQ$ θα πάρει και ακέραιες τιμές . Βρείτε τις αντίστοι...

Ερυθρά ακεραιότης.pngΟ μικρός κύκλος ακτίνας $r=3$ , εφάπτεται εσωτερικά του μεγάλου , ακτίνας $R=4$ , σε σημείο $S$ . Για κάθε σημείο $P$ του μεγάλου , θεωρούμε σημείο $Q$ του μικρού , τέτοιο ώστε : $\widehat{PSQ}=60^0$ . Το μήκος του τμήματος $PQ$ θα πάρει και ακέραιες τιμές . Βρείτε τις αντίστοι...

2002.png Καλημέρα. Στο παραπάνω σχήμα, δείξτε ότι $(AED)=k(ADF)$. Φέρνω τις παράλληλες από τα $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F$ προς την $AD$ και τέμνουν τις $BF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE\,\,$ στα $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S$. Από το τραπέζιο $ETDA$ είναι ${E_1} = \left( {ATD} \right)$ $\lef...