1) Έστω $f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ μια συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\int\limits_{a}^{b}\frac{f\left ( x \right )}{3+2\cos \left ( nx \right )}dx=\frac{3\sqrt{5}}{10}\int\limits_{0}^{\infty}\frac{dx}{\left ( e^{x} +x+1\right )^{2}...

(Ιστορική εξέλιξη των φόρουμ) Η περίοδος "δημιουργίας και ανάπτυξης" (1995-2010) των φόρουμ στο διαδίκτυο, παγκόσμια, βασίστηκε σε μεγάλο βαθμό στην εθελοντική εργασία πολλών, ικανότατων και εφευρετικών ανθρώπων, που συμμετείχαν, πολλές φορές, με μεγάλο ενθουσιασμό και αφοσίωση. Το mathematica.gr ή...

Έστω . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

Να δειχθεί ότι η εξίσωση



παριστάνει κύκλο διὰ για κάθε ο οποίος διέρχεται από δύο σταθερά σημεία.

Βρέθηκε το culprit. Είχα γράψει

Το σημείο είναι μία κορυφή ενός τετραγώνου του οποίου η μία πλευρά βρίσκεται στην ευθεία . Να υπολογιστεί το εμβαδόν του και οι κορυφές του.

Δίδεται η ευθεία $\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} =1$ με $\alpha, \beta>0$ και $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ τα σημεία τομής της με τους άξονες $\mathrm{O}x$, $\mathrm{O}y$ αντίστοιχα. Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από την αρχή των αξόνων και οι οποίες τριχοτομούν το $\mathrm{AB...

Να βρεθούν τέτοιοι ώστε

Να δειχθεί ότι η εξίσωση $\displaystyle{\left ( 1 + 3 \lambda - 2 \lambda^2 \right )x + \left ( 2 - \kappa + 5 \kappa^2 \right )y - \left ( 5 + \kappa + 8 \kappa \right )^2 =0 \quad, \quad \kappa, \lambda \in \mathbb{R}}$ παριστάνει για τις διάφορες τιμές του $\lambda \in \mathbb{R}$ ευθείες οι οπο...

Να δειχθεί ότι η εξίσωση $\displaystyle{\left ( 1 + 3 \lambda - 2 \lambda^2 \right )x + \left ( 2 - \kappa + 5 \kappa^2 \right )y - \left ( 5 + \kappa + 8 \kappa \right )^2 =0 \quad, \quad \kappa, \lambda \in \mathbb{R}}$ παριστάνει για τις διάφορες τιμές του $\lambda \in \mathbb{R}$ ευθείες οι οποί...

Δίδεται η δέσμη $\displaystyle{x^2 - y^2 + 4\lambda x + 2 \lambda y +3 \lambda^2 =0 \quad, \quad \lambda \in \mathbb{R} \quad (1)}$ Να δειχθεί ότι η $(1)$ παριστάνει δύο ευθείες $(\varepsilon_1)$, $(\varepsilon_2)$ που είναι κάθετες. Να βρεθεί το σημείο τομής $\mathrm{M}$ των ευθειών $(\varepsilon_1...

Όμορφα! :coolspeak: Είναι από το SSM. Δεν γνώριζα ότι είχε συζητηθεί ξανά. Ας είναι. Το πρώτο μέρος 1) είναι καλύτερη άσκηση πάντως! :) Ναι, τα περισσότερα προβλήματα από τα περιοδικά έχουν τεθεί στο παρελθόν και έχουν λυθεί από τους Κοτρώνη Αναστάσιο, Σεραφείμ, Μιχάλη Λάμπρου και άλλους. Οπότε, λί...

2) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο $n$ ισχύει $\displaystyle \sum_{n\geq 1}^{}\frac{\displaystyle \int\limits_{0}^{\infty}\frac{\arctan x}{\left ( x^{2}+1 \right )^{n}}dx}{n}=\zeta \left ( 2 \right ).$ Για το ολοκλήρωμα του Furdui έχομεν και λέμε. Από το DCT είναι: $\displaystyle{\begin{a...

Επαναφορά. Το αποτέλεσμα που έχω είναι . Δυστυχώς έχασα τη λύση.


Edit: Ίσως αυτή η ανάρτηση να βοηθάει.

Επαναφορά.

Δίδονται οι συναρτήσεις και . Να δειχθεί ότι οι και δεν έχουν παράλληλες εφαπτόμενες.


Μου δόθηκε από μαθήτρια. Δε μπόρεσα να τη λύσω.

Μιχάλη, τα σέβη μου.

Δεν ισχύει ο τύπος.

Έστω . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα


Χωρίς λύση...