Η αναζήτηση βρήκε 4608 εγγραφές

από Tolaso J Kos
Σάβ Ιουν 19, 2021 10:04 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο με πολλαπλά ολοκληρώματα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 153

Re: Όριο με πολλαπλά ολοκληρώματα

Υπόδειξη: Σειρά Taylor για τη συνάρτηση f(x) = \int_0^x e^{-t^2} \, \mathrm{d}t. Βέβαια πρέπει να φτιάξετε τις n συνθέσεις.
από Tolaso J Kos
Σάβ Ιουν 19, 2021 9:58 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Σε τρεις πράξεις
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 71

Re: Σε τρεις πράξεις

Για κάθε θετικό αριθμό $x$ , ορίζουμε : $f(x)=x+x , \:\: g(x)=x\cdot x ,\:\: h(x)=x^x$ . Λύστε τις εξισώσεις : $f(x)=g(x) \:\:, g(x)= h(x) , \:\: h(x)= f(x)$ . (α) $\displaystyle{\begin{aligned} f(x)=g(x) &\Leftrightarrow 2x = x^2 \\ &\Leftrightarrow x^2-2x=0 \\ &\Leftrightarrow x \left ( x -2 \rig...
από Tolaso J Kos
Δευ Ιουν 14, 2021 12:06 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Γινόμενο λογαρίθμων
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 506

Re: Γινόμενο λογαρίθμων

Το πρώτο απαντήθηκε σωστά από το Τόλη , ( το ερώτημά του , πάντως , δεν έγινε κατανοητό :?: ) Θανάση , είναι η πρώτη φορά στα $10$ χρόνια που γράφω τέτοια μακροστελέστατη απόδειξη για μονοτονία συνάρτησης. Δε λέω , στρωτές παραγώγους έχει , αλλά πρώτη φορά βλέπω απόδειξη μονοτονίας που απαιτεί σύνο...
από Tolaso J Kos
Κυρ Ιουν 13, 2021 1:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Γινόμενο λογαρίθμων
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 506

Re: Γινόμενο λογαρίθμων

Πρέπει $x>0$ και $\frac{x}{x-1} >0 \Leftrightarrow x > 1$. Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $(1, +\infty)$ με $\displaystyle{f'(x) = \frac{\ln \frac{x}{x-1} - \frac{\ln x}{x-1}}{x}}$ Η συνάρτηση $g(x) = \ln \frac{x}{x-1} - \frac{\ln x}{x-1}$ είναι παραγωγίσιμη στο $(1, +\infty)$ με παράγωγο $\displaysty...
από Tolaso J Kos
Πέμ Ιουν 10, 2021 9:25 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 242

Re: Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο

Η εξίσωση του κύκλου $\mathcal{C}$ είναι η $x^2+y^2=4$. $\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw (0, 0) circle(4cm); \draw[dashed] (-4.6, -2) -- (4.4, -2); \draw[dashed] (-2, -4) -- (-2, 4); \draw[fill=black] (0, 0) circle(2pt); \draw[line width=1.6pt, cyan] (-3.46, -2) -- (-2, 3.46) -- (3.46, -2) -...
από Tolaso J Kos
Πέμ Ιουν 10, 2021 1:36 am
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ένα θέμα ...
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 310

Ένα θέμα ...

Ένα σύρμα μήκους $20 \; \mathrm{m}$ διατίθεται για τη περίφραξη ενός ανθόκηπου σχήματος κυκλικού τομέα. $\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw (-1.7, -1) node[below]{O}; \draw[line width=1.6pt] (0, 0) arc(30:150:2); \draw[fill=black] (-1.7, -1) circle(2pt); \draw[dashed] (-1.7, -1) -- (-0.5, 0.6);...
από Tolaso J Kos
Δευ Ιουν 07, 2021 7:51 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 179

Re: Ολοκλήρωμα

Να υπολογιστεί το $\displaystyle \int \frac{\sqrt{x^2+2}}{x^2+1}dx$ Έχομεν και λέμε: $\displaystyle{\begin{aligned} \int \frac{\sqrt{x^2+2}}{x^2+1} \, \mathrm{d}x &= \int \frac{\sqrt{x^2+2} \sqrt{x^2+2}}{\sqrt{x^2+2} \left ( 1+x^2 \right ) } \, \mathrm{d}x \\ &= \int \frac{x^2+2}{\left ( 1+x^2 \rig...
από Tolaso J Kos
Δευ Ιουν 07, 2021 7:21 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Απλοποίηση παράστασης
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 294

Re: Απλοποίηση παράστασης

Ευτυχώς που η ουσία της άσκησης δε χάθηκε. Βέβαια να διορθώσω ότι τελικά τα a, b είναι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί.
από Tolaso J Kos
Δευ Ιουν 07, 2021 7:18 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα 2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 148

Re: Ολοκλήρωμα 2

Έστω $n \in \mathbb{N}$ . Τότε ισχύει $\displaystyle{\int_{0}^{1} \left ( \ln \frac{1}{x} \right )^n \, \mathrm{d} x = n!}$. Έχουμε διαδοχικά: $\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1} \left ( \ln \frac{1}{x} \right )^n \, \mathrm{d}x &= \int_{0}^{1} \left ( - \ln x \right )^n \, \mathrm{d}x \\ &\...
από Tolaso J Kos
Δευ Ιουν 07, 2021 1:52 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο με πολλαπλά ολοκληρώματα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 153

Όριο με πολλαπλά ολοκληρώματα

Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^3} \left ( x - \int_{0}^{\int_{0}^{\int_{0}^{\cdot^{\int_{0}^{x} e^{-x_n^2} \, \mathrm{d}x_n}\cdot} e^{-x_3^2}\, \mathrm{d}x_3} e^{-x_2^2}\, \mathrm{d}x_2} e^{-x_1^2} \, \mathrm{d}x_1 \right )}
από Tolaso J Kos
Κυρ Ιουν 06, 2021 1:43 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Απλοποίηση παράστασης
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 294

Απλοποίηση παράστασης

Έστω $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ τέτοιοι ώστε $\left ( \alpha + 2 \right ) \left ( \beta + 2 \right ) = 8 $. Να απλοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{\Pi = \alpha \beta + 2 \sqrt{\alpha^2 +\beta^2 + 8 - \sqrt{2 \left ( \alpha^2+4 \right ) \left ( \beta^2+4 \right )}}}$ Η άσκηση μπορεί να είναι κ...
από Tolaso J Kos
Κυρ Ιουν 06, 2021 1:40 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σύστημα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 238

Σύστημα

Να επιλυθεί το σύστημα:

\displaystyle{(\Sigma): \left\{\begin{matrix} 
x + \dfrac{1}{x^2+1} & = & y + \dfrac{1}{y^2+1} \\\\  
x^2 + 2x \sqrt{y+ \dfrac{1}{y}} &=  &  8 x -1 
\end{matrix}\right.}
από Tolaso J Kos
Πέμ Ιουν 03, 2021 5:03 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Δύο παραβολές 3
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 451

Re: Δύο παραβολές 3

Παρεμπιπτόντως αν πάρουμε τις συναρτήσεις $f(x)=\alpha x^2 \, , \; x \geq 0 $ και $g(x) = \sqrt{\frac{x}{\alpha}} \; , \; x \geq 0$ τότε το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ των γραφημάτων αυτών $\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw[->] (-1.5, 0) -- (4, 0) node[below]{x}; \draw[->] (0, -0.5) -- (0,...
από Tolaso J Kos
Πέμ Ιουν 03, 2021 4:26 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Δύο παραβολές 3
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 451

Re: Δύο παραβολές 3

Το μετασχηματισμό τον είχα σκεφτεί και εγώ. Μάλιστα , στην αρχή είπα ότι επειδή οι συναρτήσεις είναι αντίστροφες ... συμβαίνει αυτό που συμβαίνει. Φυσικά οι συναρτήσεις δεν είναι αντίστροφες. Y.Γ. Να προσθέσω ότι η καμπύλη $xy=1$ επίσης έχει αυτήν την ιδιότητα, δηλαδή το προφανές, τα ορθογώνια που σ...
από Tolaso J Kos
Πέμ Ιουν 03, 2021 12:50 pm
Δ. Συζήτηση: Πακέτα και γραφή σε TeX-κειμενογράφο
Θέμα: Εμβαδόν μεταξύ καμπυλών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 141

Re: Εμβαδόν μεταξύ καμπυλών

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw[->] (-3, 0) -- (5, 0) node[below]{x}; \draw[->] (0, -2 ) -- (0, 4) node[left]{y}; \draw[fill=lightgray, domain=0:1] plot(\x, {sqrt(\x)} ) -- (1, 0) -- (0, 0); \draw[line width=1.6pt, red] plot[smooth,domain=-2:2] (\x, {(\x)^2}); \draw[line width=1.6pt, cyan]...
από Tolaso J Kos
Τετ Ιουν 02, 2021 9:22 pm
Δ. Συζήτηση: Πακέτα και γραφή σε TeX-κειμενογράφο
Θέμα: Εμβαδόν μεταξύ καμπυλών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 141

Εμβαδόν μεταξύ καμπυλών

Ο παρακάτω κώδικας \begin{tikzpicture} \draw[->] (-3, 0) -- (5, 0) node[below]{x}; \draw[->] (0, -2 ) -- (0, 4) node[left]{y}; \draw[fill=lightgray, domain=0:1] plot(\x, {sqrt(\x)} ) -- (1, 0) -- (0, 0); \draw[line width=1.6pt, red] plot[smooth,domain=-2:2] (\x, {(\x)^2}); \draw[line width=1.6pt, cy...
από Tolaso J Kos
Τετ Ιουν 02, 2021 8:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Δύο παραβολές 3
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 451

Re: Δύο παραβολές 3

Παρατήρησε επίσης ότι ο γεωμετρικός τόπος του $A$ , είναι γνωστή καμπύλη ( ποια ; ) O γεωμετρικός τόπος είναι η $\frac{1}{x}$. Αυτό εξάλλου φαίνεται και από τις συντεταγμένες του σημείου $\mathrm{A}$ που βρήκα παραπάνω. Όσον αφορά το άλλο ερώτημα το ότι το εμβαδόν είναι σταθερό , η αλήθεια είναι το...
από Tolaso J Kos
Τρί Ιουν 01, 2021 7:04 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Δύο παραβολές 3
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 451

Re: Δύο παραβολές 3

(α) Είναι $\displaystyle{\begin{aligned} y_1 = y_2 &\Leftrightarrow \left ( ax^2 \right )^2 = ax \\ &\Leftrightarrow a^2 x^4 = ax \\ &\!\!\!\!\!\overset{a>0}{\Leftarrow \! =\! =\! \Rightarrow } a x^4 - x =0 \\ &\Leftrightarrow x \left ( ax^3 -1 \right ) =0 \\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x...
από Tolaso J Kos
Δευ Μάιος 31, 2021 11:07 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Δύο παραβολές 2
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 184

Re: Δύο παραβολές 2

Έχουμε διαδοχικά: $\displaystyle{\begin{aligned} f(x) = g(x) &\Leftrightarrow \left ( x + a \right )^2 -2a = 2a-\left ( x -a \right )^2 \\ &\Leftrightarrow \left ( x+a \right )^2 + \left ( x - a \right )^2 = 4a \\ &\Leftrightarrow \cdots \\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x & = & - \sqrt{2a-a...
από Tolaso J Kos
Σάβ Μάιος 29, 2021 8:24 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Όριο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 226

Όριο

Να υπολογιστεί το όριο

\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^{\sqrt{\ln x}}\left ( \sqrt{\ln x} \right )^x}{\left ( \sqrt{x} \right )^{\ln x} \left ( \ln x \right )^{\sqrt{x}}}}

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση