Η αναζήτηση βρήκε 104 εγγραφές

από giannimani
Τετ Απρ 24, 2019 1:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Στοχεύοντας το σημείο Miquel
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 489

Re: Στοχεύοντας το σημείο Miquel

cycl_miquel.png Το σημείο $O'$ είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των $BD$ και $CE$, εποµένως, είναι το ένα από τα δύο σηµεία των δύο ποδηλατιστών $(*)$ για τους κύκλους $(ADE)$ και $(ABC)$. Ως εκ τούτου, το $O'OLT$ (όπου $L$ το κέντρο του κύκλου $(ADE)$, και $T$ το δεύτερο κοινό σημείο των κύκλ...
από giannimani
Τρί Απρ 23, 2019 12:24 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άλλη μία όμορφη καθετότητα
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1190

Re: Άλλη μία όμορφη καθετότητα

perp2.png Η προηγούμενη προσπάθεια είναι λανθασμένη . Δίνω μια δεύτερη. Έστω $M$ το μέσο της πλευράς $BC$. Τότε $OM \bot BC$. Είναι γνωστό ότι, οι περιγεγραμμένοι κύκλοι $(\Omega)$ του $\vartriangle ABC$, και $(\Omega ')$ του τριγώνου $BHC$, είναι συμμετρικοί ως προς την πλευρά $BC$. Έστω $O'$ το κ...
από giannimani
Δευ Απρ 22, 2019 10:11 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άλλη μία όμορφη καθετότητα
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1190

Re: Άλλη μία όμορφη καθετότητα

perp1.png Έστω $M$ το μέσο της πλευράς $BC$. Τότε $OM \bot BC$. Είναι γνωστό ότι, οι περιγεγραμμένοι κύκλοι $(\Omega)$ του $\vartriangle ABC$, και $(\Omega ')$ του τριγώνου $BHC$, είναι συμμετρικοί ως προς την πλευρά $BC$. Έστω $O'$ το κέντρο του $(\Omega ')$, και $H'$ το συμμετρικό του $H$ ως προς...
από giannimani
Τετ Απρ 17, 2019 9:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Και οι τέσσερις συντρέχουν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 522

Re: Και οι τέσσερις συντρέχουν

concur_sol.png Έστω $D$ το αντιδιαμετρικό του $C_{3}$. Τότε είναι γνωστό ότι τα σημεία $B$, $D$ και $C_{4}$ ανήκουν στην ίδια ευθεία. Τώρα, στη δέσμη $B(C_{1}C_{3}C_{2}C_{4})$ η $DC_{3}\parallel BC_{1}$ και το $I$ είναι το μέσο του $DC_{3}$, δηλαδή, το $DC_{3}$ διχοτομείται από τις ακτίνες $BC_{3}$...
από giannimani
Τετ Απρ 17, 2019 12:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Και οι τέσσερις συντρέχουν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 522

Και οι τέσσερις συντρέχουν

Να αποδείξετε ότι, σε ένα τρίγωνο $ABC$ οι τέσσερις ευθείες που περιέχουν $\bullet$ τα σημεία $B_{3}$, $C_{3}$ επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις πλευρές του $AB$, $AC$ αντίστοιχα, $\bullet$ τα σημεία επαφής $B_{4}$, $C_{4}$ αυτών των πλευρών με τους αντίστοιχους παρεγγεγραμμένους κ...
από giannimani
Κυρ Μαρ 31, 2019 9:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Και οι παράλληλες ... συντρέχουν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 422

Re: Και οι παράλληλες ... συντρέχουν

thr_p.png Υποθέτουμε ότι $AB\, <BC\,<\, CA$. Έστω $P$ σημείο της τεθλασμένης γραμμής που τη διχοτομεί, δηλαδή, $BA+AP=PC$. Αποδεικνύεται ότι το $P$ είναι η προβολή του μέσου $A'$ του τόξου $BAC$ του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου (*). Έστω $D$ και $E$ τα ίχνη της διχοτόμου της γωνίας $BAC$ και...
από giannimani
Σάβ Μαρ 30, 2019 10:26 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Και οι παράλληλες ... συντρέχουν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 422

Και οι παράλληλες ... συντρέχουν

Δίνεται σκαληνό τρίγωνο $ABC$. Από σημείο της τεθλασμένης γραμμής $BAC$ που διχοτομεί αυτήν, θεωρούμε ευθεία $\ell_{A}$ παράλληλο προς τη διχοτόμο της γωνίας $BAC$. Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι ευθείες $\ell_{B}$ και $\ell_{C}$. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\ell_{A}$, $\ell_{B}$ και $\ell_{C}$ διέ...
από giannimani
Πέμ Μαρ 21, 2019 10:07 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Κομψή καθετότητα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 464

Re: Κομψή καθετότητα

perp.png Στο τρίγωνο $CAB$ το $S$ είναι το βαρύκεντρο, οπότε, αν $N=(AS)\cap CB$, η $AN$ διάμεσος. Θεωρούμε τη στροφή με κέντρο $K$ (κέντρο του τετραγώνου) και γωνία $90^{\circ}$. Τότε $D\rightarrow A$, $A\rightarrow B$, $B\rightarrow C$, δηλαδή το τρίγωνο $DAB$ μετασχηματίζεται στο $ABC$. Επομένως...
από giannimani
Κυρ Φεβ 10, 2019 9:52 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Γωνίες με κοινή διχοτόμο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 624

Re: Γωνίες με κοινή διχοτόμο

sm_bis_sol.png Θεωρούμε τη διχοτόμο της γωνίας $PXQ$ η οποία τέμνει την ευθεία $MN$ στο σημείο $K$. Θα αποδείξουμε ότι η $XK$ είναι διχοτόμος και της γωνίας $MXN$. Έστω ότι οι ευθείες των ακτίνων $MP$ και $NQ$ τέμνονται στο σημείο $Y$. Τότε, εφόσον $\angle XPY\,=\,\angle XQY\,=\,90^{\circ}$, τα σημ...
από giannimani
Σάβ Φεβ 09, 2019 6:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Γωνίες με κοινή διχοτόμο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 624

Γωνίες με κοινή διχοτόμο

Δύο άνισοι κύκλοι με κέντρα M και N τέμνονται στα σημεία P και Q. Η εφαπτομένη του πρώτου κύκλου, που άγεται στο σημείο P, τέμνει
την εφαπτομένη στο Q του δεύτερου κύκλου, στο σημείο X. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες PXQ και MXN έχουν κοινή διχοτόμο.
sm_bis.png
sm_bis.png (47.99 KiB) Προβλήθηκε 624 φορές
από giannimani
Πέμ Δεκ 13, 2018 10:45 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Η προβολή του Έγκεντρου...
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 317

Η προβολή του Έγκεντρου...

Η πλευρά $BC$ ενός τριγώνου $ABC$ εφάπτεται του εγγεγραμμένου του κύκλου στο σημείο $D$, και του $A-$παρεγγεγραμμένου κύκλου στο σημείο $E$. Το σημείο $P$ είναι η προβολή του έγκεντρου του $\vartriangle ABC$ στη μεσοκάθετο της πλευράς $BC$. Να αποδείξετε ότι τα σημεία $A$, $P$ και $E$ ανήκουν στην ί...
από giannimani
Παρ Νοέμ 30, 2018 9:30 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Στην ίδια ευθεία
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 470

Re: Στην ίδια ευθεία

Με την ίδια αφετηρία... Έστω $P_{a}$, $P_{b}$, $P_{C}$ και $Q_{a}$, $Q_{b}$, $Q_{C}$ τα συμμετρικά των $P$, $Q$ ως προς τις $BC$, $AC$, $AB$ αντίστοιχα. Είναι γνωστό ότι καθεμία από τις δύο παραπάνω τριάδες των σημείων, ανήκει στην ίδια ευθεία, και συγκεκριμένα στις ευθείες Steiner των σημείων $P$, ...
από giannimani
Πέμ Νοέμ 29, 2018 6:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Στην ίδια ευθεία
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 470

Στην ίδια ευθεία

Στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $ABC$, θεωρούμε τα σημεία $P$ και $Q$. Το σημείο $A '$ της ευθείας της πλευράς $BC$ είναι τέτοιο, ώστε οι ευθείες $PA'$ και $QA '$ να είναι συμμετρικές ως προς τη $BC$. Τα σημεία $B '$, $C'$ ορίζονται με ανάλογο τρόπο. Να αποδείξετε ότι τα $A '$, $B'$, $C '$ αν...
από giannimani
Τετ Νοέμ 28, 2018 10:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διάκεντρος παράλληλη σε διχοτόμο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 364

Re: Διάκεντρος παράλληλη σε διχοτόμο

Dspar.png Με μικρές διαφορές... Θα χρησιμοποιήσουμε το επόμενο λήμμα: Στις πλευρές $AB$ και $AC$ ενός σκαληνού τριγώνου $ABC$, θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία $E$ και $Z$. Το σημείο $A_{1}$ είναι το μέσο του τόξου $BAC$ του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$. Να αποδείξετε ότι η ισότητα $BE = ...
από giannimani
Τετ Νοέμ 28, 2018 8:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουν...
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 538

Re: Συντρέχουν...

Με λίγες διαφορές... Εφόσον το τετράπλευρο είναι αρμονικό, γνωρίζουμε ότι οι διχοτόμοι $BI_{1}$ και $DI_{2}$ αντίστοιχα των γωνιών $ABC$ και $ADC$, θα τέμνονται στο σημείο $E$ της διαγωνίου $AC$. Επίσης, το σημείο τομής $S$ των εξωτερικών διχοτόμων των γωνιών $BAD$ και $BCD$ θα ανήκει στην ευθεία τη...
από giannimani
Τρί Νοέμ 27, 2018 10:14 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουν...
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 538

Συντρέχουν...

Δίνεται το αρμονικό τετράπλευρο ABCD. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που ορίζεται από τα έγκεντρα I_{1} και I_{2} αντίστοιχα των τριγώνων ABC και ACD, διέρχεται από το σημείο τομής S των εξωτερικών διχοτόμων των γωνιών BAD και BCD.
line_incenters.png
line_incenters.png (56.67 KiB) Προβλήθηκε 538 φορές
από giannimani
Δευ Νοέμ 12, 2018 9:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Και πάλι ορθή γωνία
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 400

Και πάλι ορθή γωνία

Ο εγγεγραμμένος κύκλος του σκαληνού τριγώνου $ABC$ εφάπτεται των πλευρών $BC$, $AC$, $AB$ στα σημεία $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ αντίστοιχα. Η κάθετος της $C_{1}B_{1}$ που άγεται από το $A_{1}$ τέμνει την $AB$ στο σημείο $X$. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $ABC$ και $AB_{1}C_{1}$ τέμνονται για...
από giannimani
Παρ Οκτ 26, 2018 2:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ορθή γωνία
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 465

Ορθή γωνία

Στις πλευρές $BC$, $CA$, $AB$ ενός οξυγώνιου μη ισοσκελούς τριγώνου $ABC$ θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ έτσι, ώστε $\angle AA_{1}B= \angle BB_{1}C=\angle CC_{1}A$ Έστω ότι οι κύκλοι $(BA_{1}C_{1})$ και $(CA_{1}B_{1})$ τέμνονται στο σημείο $P$. Να αποδείξετε ότι $\angle HPG ...
από giannimani
Τρί Οκτ 16, 2018 9:15 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουσες Ευθείες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 841

Re: Συντρέχουσες Ευθείες

homothety_exer8.png Έστω $\omega_{1}$, $\omega_{2}$ οι εγγεγραμμένοι κύκλοι των κέντρων $I_{1}$, $I_{2}$ αντίστοιχα. Συμβολίζουμε με $E$ και $F$ τα σημεία επαφής της $AC$ με τους κύκλους $\omega_{1}$, $\omega_{2}$, και με $\tau_{1}$, $\tau_{2}$ τις ημιπεριμέτρους των τριγώνων $ABC$ και $ADC$ αντίστ...
από giannimani
Παρ Οκτ 12, 2018 8:02 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουσες Ευθείες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 841

Συντρέχουσες Ευθείες

Στο κυρτό τετράπλευρο ABCD δίνεται ότι AB+AD = CB+CD.
Έστω I_{1}, I_{2} τα κέντρα των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων ABC, CDA αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες AC, BD, I_{1}I_{2} διέρχονται από το ίδιο σημείο.
exer8.png
exer8.png (35.81 KiB) Προβλήθηκε 841 φορές

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση