Η αναζήτηση βρήκε 116 εγγραφές

από giannimani
Τετ Φεβ 03, 2021 9:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διέρχεται από το κέντρο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 278

Re: Διέρχεται από το κέντρο

Pas_thr_mid.png Έστω $H=AD \cap BC$. Προφανώς το $H$ ορθόκεντρο του $\vartriangle PAB$. Επομένως, ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle PCD$. Στη συνέχεια, οι $OC$, $OD$ εφαπτομένες αυτού του κύκλου (π.χ για την $OD$ προκύπτει από την ισότητα των κίτρινων γωνιών στο σχήμα). Το ζητούμεν...
από giannimani
Κυρ Ιαν 24, 2021 11:08 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διχοτόμηση...
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 203

Διχοτόμηση...

bisect.png
bisect.png (25.71 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές
Έστω P τυχαίο σημείο του ημικυκλίου \Omega διαμέτρου AB, και PD κάθετος της AB, \quad D \in AB.
Τα σημεία C και E είναι τα σημεία τομής του κύκλου \omega, που έχει κέντρο το P και ακτίνα PD,
με το ημικύκλιο \Omega. Να αποδείξετε ότι η ευθεία CE διχοτομεί το PD.
από giannimani
Πέμ Ιαν 21, 2021 12:08 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά...
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 290

Re: Συνευθειακά...

col2.png Είναι γνωστό ότι το ορθόκεντρο $H$ του $\vartriangle ABC$ είναι το έγκεντρο του ποδικού του τριγώνου DEF . Επομένως, άμεσα προκύπτει ότι το $A$ είναι το $D-$παράκεντρο του $\vartriangle $ DEF . Αν $M$ το σημείο επαφής του $D-$παρεγγεγραμμένου κύκλου με την $EF$, και $P$ το αντιδιαμετρικό τ...
από giannimani
Τετ Ιαν 20, 2021 6:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά...
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 290

Συνευθειακά...

col1.png Σε οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ τα σημεία $D$, $E$ και $F$ είναι τα ίχνη των υψών στις πλευρές $BC$, $AB$ και $AC$ αντίστοιχα, και $H$ το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου. Αν $K$, $L$ οι προβολές των $H$, $D$ στην $EF$ αντίστοιχα, και $N$ το μέσο του $DL$, να αποδείξετε ότι τα σημεία $A$, $K$ και $...
από giannimani
Παρ Ιαν 15, 2021 8:06 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Εύκολη καθετότητα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 406

Re: Εύκολη καθετότητα

easy_perpend.png Από τον τρόπο του ορισμού του το σημείο $I$ είναι το $E-$παράκεντρο του $\vartriangle EAB$. Εφόσον $DA=CB$ σύμφωνα με το Λήμμα 1 ο κύκλος $\Omega \equiv (EAB)$ διέρχεται από το μέσο $N$ του τόξου $DEC$ του κύκλου $\omega_{1} \equiv (EDC)$. Έστω $P$, $Q$ τα μέσα των $AD$, $BC$ αντίσ...
από giannimani
Πέμ Ιαν 14, 2021 1:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παραλληλία υπό συνθήκη
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 513

Re: Παραλληλία υπό συνθήκη

Parallel_to_Euler1_001.png Έστω ότι η διχοτόμος της γωνίας $BAC$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο $\Omega$ του $\vartriangle ABC$ στο σημείο $A_{2}$. Προφανώς τα σημεία $M$, $O$ (περίκεντρο του $\Omega$) και $A_{2}$ ανήκουν στην ίδια ευθεία. Εφόσον $\displaystyle{\angle A = {120^0}}$, τότε στο ορθογ...
από giannimani
Πέμ Δεκ 31, 2020 1:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: εφάπτεται του εγγεγραμμένου...
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 211

Re: εφάπτεται του εγγεγραμμένου...

Η $AA_{1}$ είναι η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας $A$ του $\vartriangle ABC$, οπότε $\angle IAA_{1}\,=\angle PAI =\,90^{\circ}$. Για να αποδείξουμε ότι η $PD'$ εφάπτεται του κύκλου $\omega$, αρκεί $\angle PD'I=90^{\circ}$, που προκύπτει άμεσα όταν το τετράπλευρο $APID'$ είναι εγγράψιμο. Γι' αυτό αρκ...
από giannimani
Τετ Δεκ 30, 2020 9:54 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: εφάπτεται του εγγεγραμμένου...
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 211

εφάπτεται του εγγεγραμμένου...

Οι κύκλοι $\Omega$ και $\omega$ είναι αντίστοιχα ο περιγεγραμμένος και ο εγγεγραμμένος ενός σκαληνού τριγώνου $ABC\;(AB < AC)$. Συμβολίζουμε με $A_{1}$ το μέσο του τόξου $BAC$ τού κύκλου $\Omega$, με $I$ το έγκεντρο του τριγώνου $ABC$, με $D$ το σημείο επαφής του $\omega$ με την πλευρά $BC$, με $D'$...
από giannimani
Σάβ Δεκ 26, 2020 5:26 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Διέρχεται από το έγκεντρο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 261

Re: Διέρχεται από το έγκεντρο

exera1.png Έστω ότι η εφαπτομένη $EF$, και η παράλληλος της $AD$ από το $F$, τέμνουν την ευθεία της πλευράς $BC$ στα σημεία $P$ και $K$ αντίστοιχα. Σημειώνουμε ότι το έγκεντρο $I$ του $\vartriangle ABC$ ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας $EPD$. Έστω $I'$ το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας $EPD$ μ...
από giannimani
Παρ Δεκ 25, 2020 8:35 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Διέρχεται από το έγκεντρο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 261

Διέρχεται από το έγκεντρο

exerc.png Έστω $AM$ η διάμεσος του μη ισοσκελούς τριγώνου $ABC$, $D$ το σημείο επαφής της πλευράς $BC$ με το εγγεγραμμένο κύκλο $\omega$ του $\vartriangle ABC$, $E$ το δεύτερο σημείο τομής του $\omega$ με το ευθύγραμμο τμήμα $AD$. Η εφαπτομένη του $\omega$ στο $E$ τέμνει τη διάμεσο $AM$ στο σημείο ...
από giannimani
Κυρ Μάιος 10, 2020 7:53 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μια παραλληλία
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 313

Μια παραλληλία

Σε μη ισοσκελές τρίγωνο ABC, O είναι το περίκεντρο, H το ορθόκεντρο, G το κέντρο βάρους, N το μέσο του HO,
και M το μέσο της πλευράς BC. Αν G' το σημείο τομής των ευθειών HO και AN, να αποδείξετε ότι GG' \parallel AH.
paral.png
paral.png (31.9 KiB) Προβλήθηκε 313 φορές
από giannimani
Σάβ Ιαν 11, 2020 4:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά από παραλληλίες
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 340

Re: Συνευθειακά από παραλληλίες

Για την επιβεβαίωση του ισχυρισμού: είναι ο Πάππος στην $ABC$ και στην ευθεία στο άπειρο, δίνουμε το επόμενο σχήμα, όπου η προβολή του επιπέδου $\pi$ του σχήματος του θεωρήματος Πάππου, στο επίπεδο $\pi '$ από το σημείο $O$, με την ευθεία $ABC$ να είναι η ειδική ευθεία του επιπέδου $\pi$, δίνει την ...
από giannimani
Τετ Απρ 24, 2019 1:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Στοχεύοντας το σημείο Miquel
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 627

Re: Στοχεύοντας το σημείο Miquel

cycl_miquel.png Το σημείο $O'$ είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των $BD$ και $CE$, εποµένως, είναι το ένα από τα δύο σηµεία των δύο ποδηλατιστών $(*)$ για τους κύκλους $(ADE)$ και $(ABC)$. Ως εκ τούτου, το $O'OLT$ (όπου $L$ το κέντρο του κύκλου $(ADE)$, και $T$ το δεύτερο κοινό σημείο των κύκλ...
από giannimani
Τρί Απρ 23, 2019 12:24 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άλλη μία όμορφη καθετότητα
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1361

Re: Άλλη μία όμορφη καθετότητα

perp2.png Η προηγούμενη προσπάθεια είναι λανθασμένη . Δίνω μια δεύτερη. Έστω $M$ το μέσο της πλευράς $BC$. Τότε $OM \bot BC$. Είναι γνωστό ότι, οι περιγεγραμμένοι κύκλοι $(\Omega)$ του $\vartriangle ABC$, και $(\Omega ')$ του τριγώνου $BHC$, είναι συμμετρικοί ως προς την πλευρά $BC$. Έστω $O'$ το κ...
από giannimani
Δευ Απρ 22, 2019 10:11 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άλλη μία όμορφη καθετότητα
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1361

Re: Άλλη μία όμορφη καθετότητα

perp1.png Έστω $M$ το μέσο της πλευράς $BC$. Τότε $OM \bot BC$. Είναι γνωστό ότι, οι περιγεγραμμένοι κύκλοι $(\Omega)$ του $\vartriangle ABC$, και $(\Omega ')$ του τριγώνου $BHC$, είναι συμμετρικοί ως προς την πλευρά $BC$. Έστω $O'$ το κέντρο του $(\Omega ')$, και $H'$ το συμμετρικό του $H$ ως προς...
από giannimani
Τετ Απρ 17, 2019 9:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Και οι τέσσερις συντρέχουν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 678

Re: Και οι τέσσερις συντρέχουν

concur_sol.png Έστω $D$ το αντιδιαμετρικό του $C_{3}$. Τότε είναι γνωστό ότι τα σημεία $B$, $D$ και $C_{4}$ ανήκουν στην ίδια ευθεία. Τώρα, στη δέσμη $B(C_{1}C_{3}C_{2}C_{4})$ η $DC_{3}\parallel BC_{1}$ και το $I$ είναι το μέσο του $DC_{3}$, δηλαδή, το $DC_{3}$ διχοτομείται από τις ακτίνες $BC_{3}$...
από giannimani
Τετ Απρ 17, 2019 12:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Και οι τέσσερις συντρέχουν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 678

Και οι τέσσερις συντρέχουν

Να αποδείξετε ότι, σε ένα τρίγωνο $ABC$ οι τέσσερις ευθείες που περιέχουν $\bullet$ τα σημεία $B_{3}$, $C_{3}$ επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις πλευρές του $AB$, $AC$ αντίστοιχα, $\bullet$ τα σημεία επαφής $B_{4}$, $C_{4}$ αυτών των πλευρών με τους αντίστοιχους παρεγγεγραμμένους κ...
από giannimani
Κυρ Μαρ 31, 2019 9:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Και οι παράλληλες ... συντρέχουν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 538

Re: Και οι παράλληλες ... συντρέχουν

thr_p.png Υποθέτουμε ότι $AB\, <BC\,<\, CA$. Έστω $P$ σημείο της τεθλασμένης γραμμής που τη διχοτομεί, δηλαδή, $BA+AP=PC$. Αποδεικνύεται ότι το $P$ είναι η προβολή του μέσου $A'$ του τόξου $BAC$ του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου (*). Έστω $D$ και $E$ τα ίχνη της διχοτόμου της γωνίας $BAC$ και...
από giannimani
Σάβ Μαρ 30, 2019 10:26 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Και οι παράλληλες ... συντρέχουν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 538

Και οι παράλληλες ... συντρέχουν

Δίνεται σκαληνό τρίγωνο $ABC$. Από σημείο της τεθλασμένης γραμμής $BAC$ που διχοτομεί αυτήν, θεωρούμε ευθεία $\ell_{A}$ παράλληλο προς τη διχοτόμο της γωνίας $BAC$. Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι ευθείες $\ell_{B}$ και $\ell_{C}$. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\ell_{A}$, $\ell_{B}$ και $\ell_{C}$ διέ...
από giannimani
Πέμ Μαρ 21, 2019 10:07 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Κομψή καθετότητα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 521

Re: Κομψή καθετότητα

perp.png Στο τρίγωνο $CAB$ το $S$ είναι το βαρύκεντρο, οπότε, αν $N=(AS)\cap CB$, η $AN$ διάμεσος. Θεωρούμε τη στροφή με κέντρο $K$ (κέντρο του τετραγώνου) και γωνία $90^{\circ}$. Τότε $D\rightarrow A$, $A\rightarrow B$, $B\rightarrow C$, δηλαδή το τρίγωνο $DAB$ μετασχηματίζεται στο $ABC$. Επομένως...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση