Η αναζήτηση βρήκε 6439 εγγραφές

από socrates
Δευ Ιουν 26, 2023 12:34 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2023 - ΘΕΜΑΤΑ
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 1874

Re: JBMO 2023 - ΘΕΜΑΤΑ

Πρόβλημα 1. Να βρείτε όλα τα ζεύγη $(a,b)$ θετικών ακέραιων αριθμών τέτοια ώστε οι αριθμοί $a!+b$ και $b!+a$ να είναι και οι δύο δυνάμεις του $5$. Αρχικά ελέγχουμε τις περιπτώσεις $a=1,2,3,4$ όπου πρέπει επίσης $1\leq b\leq 4.$ Αν $a\geq 5$ τότε προκύπτει ότι τα $a,b$ είναι πολλαπλάσια του 5. Έστω ...
από socrates
Δευ Ιουν 26, 2023 12:05 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2023 - ΘΕΜΑΤΑ
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 1874

Re: JBMO 2023 - ΘΕΜΑΤΑ

Πρόβλημα 2. Να αποδείξετε ότι για όλους τους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς $x,y$ και $z$, οι οποίοι δεν είναι όλοι ίσοι με $0$, ισχύει η παρακάτω ανισότητα: $\displaystyle \dfrac{2x^2-x+y+z}{x+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2+x-y+z}{x^2+y+z^2}+\dfrac{2z^2+x+y-z}{x^2+y^2+z}\geqslant 3.$ Να προσδιορίσετε ό...
από socrates
Δευ Ιουν 05, 2023 6:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Συνάρτηση 1-1
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1374

Re: Συνάρτηση 1-1

Επαναφορά!
από socrates
Πέμ Απρ 13, 2023 10:56 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (58), Μικροί
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 387

Τεστ Εξάσκησης (58), Μικροί

ΘΕΜΑ 1 Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a, b$ και $c$ είναι τέτοιοι, ώστε $a + b + c = 3.$ Να αποδείξετε ότι $a^2 + b^2 + c^2 + a^2b + b^2c + c^2a\geq 6.$ ΘΕΜΑ 2 Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακέραιους $k$ για τους οποίους υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $a_1, a_2, . . . , a_8$ τέτοιοι, ώστε $\disp...
από socrates
Πέμ Μαρ 30, 2023 2:02 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πέτρες στον κουβά
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 1458

Re: Πέτρες στον κουβά

Επαναφορά!
από socrates
Τετ Μαρ 29, 2023 1:48 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Αριθμοί στον πίνακα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 596

Re: Αριθμοί στον πίνακα

Επαναφορά!
από socrates
Τετ Μαρ 29, 2023 1:46 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (18), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 429

Re: Τεστ Εξάσκησης (18), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 2 Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(xy + f(x)) = xf(y) + f(x)$, για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$. Πηγή: https://artofproblemsolving.com/community/c6h152023p855649 Η κεντρική ιδέα είναι: $\displaystyle{f(a)=f(b) \implies a=b \ \ \vee \ \ f(...
από socrates
Τρί Μαρ 28, 2023 2:16 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Σημεία σε τετράγωνο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 3556

Re: Σημεία σε τετράγωνο

Επαναφορά!
από socrates
Τρί Μαρ 28, 2023 2:15 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (52), Μικροί
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 642

Re: Τεστ Εξάσκησης (52), Μικροί

socrates έγραψε:
Κυρ Φεβ 20, 2022 5:03 pm
ΘΕΜΑ 2
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη μη αρνητικών ακεραίων αριθμών (x,y) τέτοια, ώστε \displaystyle{\sqrt{x+y}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0.}
Πηγή:
https://artofproblemsolving.com/communi ... 08p3416672
από socrates
Σάβ Μαρ 25, 2023 2:24 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (18), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 429

Τεστ Εξάσκησης (18), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 1 Ποιοι θετικοί ακέραιοι γράφονται ως άθροισμα (δύο τουλάχιστον) διαδοχικών θετικών ακεραίων; ΘΕΜΑ 2 Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(xy + f(x)) = xf(y) + f(x)$, για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$. ΘΕΜΑ 3 Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)=(x+1)^p(...
από socrates
Τετ Μαρ 22, 2023 12:45 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (17), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 644

Τεστ Εξάσκησης (17), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 1 Να βρείτε το μέγιστο κοινό διαιρέτη των αριθμών $E(1), E(2), E(3),..., E(2009)$, όπου$E(n)=n(n + 1)(2n + 1)(3n + 1)...(10n + 1)$. ΘΕΜΑ 2 Αν $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να δείξετε ότι $\displaystyle{\frac{a}{\sqrt{3a+2b+c}}+\frac{b}{\sqrt{3b+2c+a}}+\frac{c}{\sqrt{3c+2a+b}}\leq \frac{...
από socrates
Τετ Μαρ 22, 2023 12:41 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (16), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 544

Τεστ Εξάσκησης (16), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 1 Για ποιους ακεραίους $x$ είναι ο αριθμός $x^{2009}+x^{2008}+x^{2}+x+1$ πρώτος; ΘΕΜΑ 2 Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της πραγματικής σταθερής $M$ έτσι ώστε $\displaystyle{ (a+bc)(b+ac)(c+ab)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge(Mabc) }$ για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση