Η αναζήτηση βρήκε 5778 εγγραφές

από socrates
Τρί Σεπ 10, 2019 7:51 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μετρική σε τρίγωνο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 143

Μετρική σε τρίγωνο

Δίνεται τρίγωνο ABC και I το σημείο τομής των διχοτόμων του. Από το I φέρνουμε παράλληλη προς την AC η οποία τέμνει την AB στο M και την BC στο N. Να δείξετε ότι \displaystyle{MN=\frac{b(a+c)}{a+b+c}.}
από socrates
Τρί Σεπ 10, 2019 7:51 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ισεμβαδικά
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 151

Ισεμβαδικά

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $ABC \ (B= 90^{\circ})$ και εξωτερικά αυτού κατασκευάζουμε τετράγωνο $ABDE.$ Η κάθετη στο $A$ προς την $AC$ τέμνει την $DE$ στο $Z$ και στην προέκταση της $ZA$ παίρνουμε $AI=ZA.$ Στην προέκταση του ύψους $BH$ παίρνουμε σημείο $K$ ώστε το $AHKI$ να είναι ορθογώνιο παραλληλόγ...
από socrates
Τρί Σεπ 10, 2019 7:24 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Eσωτερικό γινόμενο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 225

Eσωτερικό γινόμενο

Αν O είναι το περίκεντρο του τριγώνου ABC με AB = 8 και AC = 10,
να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων \vec{OA} και \vec{BC}.
από socrates
Σάβ Σεπ 07, 2019 2:30 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Γρίφος
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 180

Γρίφος

Τέσσερις φίλοι, ο Αντώνης, ο Βασίλης, ο Γιώργος και ο Δημήτρης έκαναν τις παρακάτω δηλώσεις: Αντώνης: ο Δημήτρης και ο Βασίλης είναι ψεύτες. Βασίλης: ο Γιώργος είναι ψεύτης. Γιώργος: ο Αντώνης είναι ψεύτης. Δημήτρης: ο Βασίλης είναι ψεύτης. Καθένας τους είτε λέει πάντα την αλήθεια είτε πάντα ψέματα....
από socrates
Σάβ Σεπ 07, 2019 2:29 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σκακιέρα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 120

Σκακιέρα

Σε μια σκακιέρα $8\times 8$ στην οποία όλα τα τετράγωνα $1\times 1$ είναι λευκά τοποθετήσαμε, χωρίς επικαλύψεις, $8$ μαύρα ντόμινο (δηλαδή σχήματα της μορφής $1\times 2$ ή $2\times 1$). Να δείξετε ότι, ανεξάρτητα από την τοποθέτηση των ντόμινο, υπάρχει τετράγωνο $2\times 2$ το οποίο είναι τελείως λε...
από socrates
Σάβ Σεπ 07, 2019 2:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Υποσύνολα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 120

Υποσύνολα

Πόσα υποσύνολα του συνόλου \{1,2,3,...,11,12,13\} έχουν ακριβώς τρία στοιχεία και το άθροισμα των στοιχείων τους διαιρείται με το 3;
από socrates
Σάβ Σεπ 07, 2019 2:27 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διέρχεται από το περίκεντρο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 112

Διέρχεται από το περίκεντρο

Έστω BH το ύψος από την κορυφή B οξυγώνιου τριγώνου ABC και D,E τα μέσα των πλευρών AB και AC, αντίστοιχα. Αν F είναι το συμμετρικό του H ως προς την ευθεία ED, να αποδείξετε ότι η ευθεία BF διέρχεται από το περίκεντρο του τριγώνου ABC.
από socrates
Σάβ Σεπ 07, 2019 2:27 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παραλληλία
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 313

Παραλληλία

Θεωρούμε τετράγωνο ABCD. Έστω P σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου ABCD που βρίσκεται στο κυρτογώνιο τόξο AB (διαφορετικό από τα A και B). Έστω M το σημείο τομής της DP με τη διαγώνιο AC και N το σημείο τομής της CP με την AB.
Να δείξετε ότι MN \parallel BD.
από socrates
Σάβ Μαρ 30, 2019 3:15 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΝΕΩΝ ( Junior ) - 2019
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 2523

Re: Επιλογη Junior 2019

Πρόβλημα 3:

Θέτω x=a+b+c, \ y=ab+bc+ca, \ z=abc οπότε η ανισότητα γίνεται

(x+y)(1-z+z^2)\geq 3z(z+1).

Από την ανισότητα των μέσων έχουμε

x+y\geq 6\sqrt{z}\geq \frac{12z}{z+1}

οπότε αρκεί να είναι

1-z+z^2\geq \frac{(z+1)^2}{4},

που ισχύει (καταλήγει στο 3(z-1)^2\geq0).
από socrates
Σάβ Μαρ 30, 2019 3:10 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΝΕΩΝ ( Junior ) - 2019
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 2523

Re: Επιλογη Junior 2019

Πρόβλημα 4:
https://www.math.wisc.edu/talent/sites/ ... 1-3q_1.pdf

Άλλο ένα πρόβλημα δανεισμένο από το εξαιρετικό
WISCONSIN MATHEMATICS, ENGINEERING AND SCIENCE TALENT SEARCH
από socrates
Σάβ Φεβ 23, 2019 3:54 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 9206

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Το πρόβλημα 3 των μικρών υπάρχει και εδώ (junior olympiad, θέμα 2):

https://drive.google.com/drive/folders/ ... 3YEwkASJSr
από socrates
Σάβ Φεβ 23, 2019 3:29 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 9206

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Το πρόβλημα 4 των μεγάλων είναι ουσιαστικά αυτό (και οι παραπομπές)

viewtopic.php?f=111&t=16380
από socrates
Σάβ Φεβ 23, 2019 12:44 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 37687

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 109 Πόσοι διαιρέτες του αριθμού $2012^{2011}$ αφήνουν υπόλοιπο $1$ όταν διαιρεθούν με το $3;$ Άσκηση 110 Ο Γιώργος επιλέγει τυχαία έναν αριθμό από το σύνολο $[0, 2017]$ και η Μαρία επιλέγει τυχαία και ανεξάρτητα από τον αριθμό του Γιώργου έναν αριθμό από το σύνολο $[0,4034]$. Ποια η πιθανότη...
από socrates
Κυρ Ιαν 27, 2019 11:25 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 37687

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 103 Να βρείτε πόσοι θετικοί ακέραιοι της μορφής: $\displaystyle A = \overline{xxxabc} =x\cdot 10^5 + x\cdot 10^4 + x \cdot 10^3 + a\cdot 10^2 + b\cdot 10 + c $ όπου $x,a,b,c$ ψηφία με $x\neq 0,$ διαιρούνται με το $37.$ Άσκηση 104 Οι πραγματικοί αριθμοί $x$ και $y$ επιλέγονται τυχαία και ανεξ...
από socrates
Παρ Ιαν 25, 2019 9:30 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 37687

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 100 Τρεις διαφορετικές κορυφές ενός κύβου επιλέγονται στην τύχη. Ποια η πιθανότητα το επίπεδο που ορίζουν οι τρεις αυτές κορυφές να περιέχει σημεία στο εσωτερικό του κύβου; Άσκηση 101 Οι ακέραιοι $a$,$b$,$c$ και $d$, όχι απαραίτητα διαφορετικοί, επιλέγονται τυχαία και ανεξάρτητα από το σύνολ...
από socrates
Τρί Ιαν 22, 2019 1:08 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 37687

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 97 Οι θετικοί ακέραιοι $a,b,$ και $c$ επιλέγονται τυχαία και ανεξάρτητα, με επανάθεση, από το σύνολο $\{ 1,2,3,\dots,2010 \}.$ Ποια η πιθανότητα ο αριθμός $abc + ab + a$ να διαιρείται με το $3$; Άσκηση 98 Τρεις κόκκινοι βόλοι, δύο άσπροι και ένας μπλε είναι τοποθετημένοι τυχαία στη σειρά. Πο...
από socrates
Κυρ Ιαν 20, 2019 3:04 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 37687

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 95 Επιλέγουμε τυχαία έναν παλινδρομικό αριθμό από το $1000$ μέχρι το $10.000.$ Ποια η πιθανότητα να διαιρείται με το $7;$ Άσκηση 96 Στα κελιά ενός πίνακα $3\times3$ υπάρχουν οι αριθμοί 1 έως 9, μια φορά ο καθένας, έτσι ώστε σε κάθε γραμμή και κάθε στήλη οι αριθμοί να είναι σε αύξουσα σειρά. ...
από socrates
Τρί Ιαν 15, 2019 1:44 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 37687

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 93
Δύο πραγματικοί αριθμοί επιλέγονται τυχαία και ανεξάρτητα από το διάστημα [-20, 10].
Ποια η πιθανότητα το γινόμενό τους να είναι μεγαλύτερο του μηδενός;


Άσκηση 94
Πόσες συναρτήσεις f : A \rightarrow A ικανοποιούν τη σχέση f(f(a)) = a για κάθε a \in A=\{1,2,3,4,5,6,7\};
από socrates
Κυρ Ιαν 13, 2019 2:33 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 37687

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 91 Πόσοι διαφορετικοί πενταψήφιοι θετικοί ακέραιοι αριθμοί υπάρχουν, που το καθένα από τα ψηφία τους, εκτός του τελευταίου, είναι μεγαλύτερο ή ίσο του επόμενου ψηφίου τους; Άσκηση 92 Να βρείτε το πλήθος των τριάδων $\displaystyle{(A, B, C)}$, για τις οποίες ισχύουν όλες οι πιο κάτω συνθήκες:...
από socrates
Σάβ Ιαν 12, 2019 12:18 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 37687

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 89 O Α επιλέγει τυχαία έναν αριθμό $a$ από το σύνολο $\{0,1\}.$ O Β επιλέγει τυχαία έναν αριθμό $b$ από το σύνολο $\{0,1,2\}.$ O C επιλέγει τυχαία έναν αριθμό $c$ από το σύνολο $\{0,1,2,3\}.$ O D επιλέγει τυχαία έναν αριθμό $d$ από το σύνολο $\{0,1,2,3,4\}.$ O E επιλέγει τυχαία έναν αριθμό $...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση