Η αναζήτηση βρήκε 5770 εγγραφές

από socrates
Σάβ Μαρ 30, 2019 3:15 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΝΕΩΝ ( Junior ) - 2019
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 2211

Re: Επιλογη Junior 2019

Πρόβλημα 3:

Θέτω x=a+b+c, \ y=ab+bc+ca, \ z=abc οπότε η ανισότητα γίνεται

(x+y)(1-z+z^2)\geq 3z(z+1).

Από την ανισότητα των μέσων έχουμε

x+y\geq 6\sqrt{z}\geq \frac{12z}{z+1}

οπότε αρκεί να είναι

1-z+z^2\geq \frac{(z+1)^2}{4},

που ισχύει (καταλήγει στο 3(z-1)^2\geq0).
από socrates
Σάβ Μαρ 30, 2019 3:10 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΝΕΩΝ ( Junior ) - 2019
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 2211

Re: Επιλογη Junior 2019

Πρόβλημα 4:
https://www.math.wisc.edu/talent/sites/ ... 1-3q_1.pdf

Άλλο ένα πρόβλημα δανεισμένο από το εξαιρετικό
WISCONSIN MATHEMATICS, ENGINEERING AND SCIENCE TALENT SEARCH
από socrates
Σάβ Φεβ 23, 2019 3:54 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 8151

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Το πρόβλημα 3 των μικρών υπάρχει και εδώ (junior olympiad, θέμα 2):

https://drive.google.com/drive/folders/ ... 3YEwkASJSr
από socrates
Σάβ Φεβ 23, 2019 3:29 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 8151

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Το πρόβλημα 4 των μεγάλων είναι ουσιαστικά αυτό (και οι παραπομπές)

viewtopic.php?f=111&t=16380
από socrates
Σάβ Φεβ 23, 2019 12:44 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 36210

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 109 Πόσοι διαιρέτες του αριθμού $2012^{2011}$ αφήνουν υπόλοιπο $1$ όταν διαιρεθούν με το $3;$ Άσκηση 110 Ο Γιώργος επιλέγει τυχαία έναν αριθμό από το σύνολο $[0, 2017]$ και η Μαρία επιλέγει τυχαία και ανεξάρτητα από τον αριθμό του Γιώργου έναν αριθμό από το σύνολο $[0,4034]$. Ποια η πιθανότη...
από socrates
Κυρ Ιαν 27, 2019 11:25 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 36210

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 103 Να βρείτε πόσοι θετικοί ακέραιοι της μορφής: $\displaystyle A = \overline{xxxabc} =x\cdot 10^5 + x\cdot 10^4 + x \cdot 10^3 + a\cdot 10^2 + b\cdot 10 + c $ όπου $x,a,b,c$ ψηφία με $x\neq 0,$ διαιρούνται με το $37.$ Άσκηση 104 Οι πραγματικοί αριθμοί $x$ και $y$ επιλέγονται τυχαία και ανεξ...
από socrates
Παρ Ιαν 25, 2019 9:30 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 36210

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 100 Τρεις διαφορετικές κορυφές ενός κύβου επιλέγονται στην τύχη. Ποια η πιθανότητα το επίπεδο που ορίζουν οι τρεις αυτές κορυφές να περιέχει σημεία στο εσωτερικό του κύβου; Άσκηση 101 Οι ακέραιοι $a$,$b$,$c$ και $d$, όχι απαραίτητα διαφορετικοί, επιλέγονται τυχαία και ανεξάρτητα από το σύνολ...
από socrates
Τρί Ιαν 22, 2019 1:08 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 36210

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 97 Οι θετικοί ακέραιοι $a,b,$ και $c$ επιλέγονται τυχαία και ανεξάρτητα, με επανάθεση, από το σύνολο $\{ 1,2,3,\dots,2010 \}.$ Ποια η πιθανότητα ο αριθμός $abc + ab + a$ να διαιρείται με το $3$; Άσκηση 98 Τρεις κόκκινοι βόλοι, δύο άσπροι και ένας μπλε είναι τοποθετημένοι τυχαία στη σειρά. Πο...
από socrates
Κυρ Ιαν 20, 2019 3:04 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 36210

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 95 Επιλέγουμε τυχαία έναν παλινδρομικό αριθμό από το $1000$ μέχρι το $10.000.$ Ποια η πιθανότητα να διαιρείται με το $7;$ Άσκηση 96 Στα κελιά ενός πίνακα $3\times3$ υπάρχουν οι αριθμοί 1 έως 9, μια φορά ο καθένας, έτσι ώστε σε κάθε γραμμή και κάθε στήλη οι αριθμοί να είναι σε αύξουσα σειρά. ...
από socrates
Τρί Ιαν 15, 2019 1:44 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 36210

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 93
Δύο πραγματικοί αριθμοί επιλέγονται τυχαία και ανεξάρτητα από το διάστημα [-20, 10].
Ποια η πιθανότητα το γινόμενό τους να είναι μεγαλύτερο του μηδενός;


Άσκηση 94
Πόσες συναρτήσεις f : A \rightarrow A ικανοποιούν τη σχέση f(f(a)) = a για κάθε a \in A=\{1,2,3,4,5,6,7\};
από socrates
Κυρ Ιαν 13, 2019 2:33 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 36210

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 91 Πόσοι διαφορετικοί πενταψήφιοι θετικοί ακέραιοι αριθμοί υπάρχουν, που το καθένα από τα ψηφία τους, εκτός του τελευταίου, είναι μεγαλύτερο ή ίσο του επόμενου ψηφίου τους; Άσκηση 92 Να βρείτε το πλήθος των τριάδων $\displaystyle{(A, B, C)}$, για τις οποίες ισχύουν όλες οι πιο κάτω συνθήκες:...
από socrates
Σάβ Ιαν 12, 2019 12:18 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 36210

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 89 O Α επιλέγει τυχαία έναν αριθμό $a$ από το σύνολο $\{0,1\}.$ O Β επιλέγει τυχαία έναν αριθμό $b$ από το σύνολο $\{0,1,2\}.$ O C επιλέγει τυχαία έναν αριθμό $c$ από το σύνολο $\{0,1,2,3\}.$ O D επιλέγει τυχαία έναν αριθμό $d$ από το σύνολο $\{0,1,2,3,4\}.$ O E επιλέγει τυχαία έναν αριθμό $...
από socrates
Παρ Ιαν 11, 2019 1:53 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 36210

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 87 Επιλέγουμε τυχαία δύο διαφορετικούς αριθμούς από το σύνολο $\{2,2^2,...,2^{25}\}.$ Ποια η πιθανότητα ο αριθμός $\log_ab$ να είναι ακέραιος; https://brilliant.org/problems/probably-algebra/ Άσκηση 88 Επιλέγουμε τυχαία πέντε διαφορετικούς ανά δύο ακέραιους από το σύνολο $\{1,2, ..., 20.\}$ ...
από socrates
Σάβ Σεπ 08, 2018 1:12 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή εξίσωση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 547

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Επαναφορά!
από socrates
Σάβ Σεπ 08, 2018 1:11 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή εξίσωση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 517

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Επαναφορά!
από socrates
Σάβ Σεπ 08, 2018 1:07 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σε 15-γωνο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 329

Σε 15-γωνο

Θεωρούμε κυρτό 15-γωνο με περίμετρο 21. Να δείξετε ότι υπάρχουν τρεις (διαφορετικές ανά δύο) κορυφές του 15-γώνου που σχηματίζουν τρίγωνο με εμβαδό μικρότερο από 1.
από socrates
Σάβ Σεπ 08, 2018 1:04 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 418

Συναρτησιακή

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} για τις οποίες ισχύει

f(x)f(x+y)\leq f(x^2)+xy,

για κάθε x,y\in \mathbb{R}.
από socrates
Σάβ Σεπ 08, 2018 12:57 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εύρεση γωνίας
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 257

Εύρεση γωνίας

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $\angle A=90^\circ.$ Έστω $I$ το έγκεντρό του και $H$ η προβολή του $I$ στην $AB.$ Η κάθετη από το $H$ στην $BC$ τέμνει την $BC$ στο $E$ και την διχοτόμο της γωνίας $∠ABC$ στο $D$ ενώ η κάθετη από το $A$ στην $BC$ τέμνει την $BC$ στο $F.$ Να βρείτε το μέτρο της γωνίας $∠EFD. $
από socrates
Σάβ Σεπ 08, 2018 12:52 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διαιρετότητα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 293

Διαιρετότητα!

Έστω m και n θετικοί ακέραιοι και p πρώτος έτσι, ώστε m < n < p.
Επιπλέον ισχύει ότι p | m^2  + 1 και p | n^2  + 1. Να δείξετε ότι p | mn - 1.
από socrates
Σάβ Σεπ 08, 2018 12:49 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πρώτοι
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 313

Πρώτοι

Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς που μπορούν να γραφούν τόσο ως άθροισμα όσο και ως διαφορά δύο πρώτων.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση