Η αναζήτηση βρήκε 1004 εγγραφές

από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Ιουν 24, 2019 11:51 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ώρα για ένα ημίτονο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 79

Re: Ώρα για ένα ημίτονο

Καλό βράδυ! Ελαφρά παραλλαγή , συνοπτικά και με τη βοήθεια του σχήματος Ώρα για ημίτονο.PNG Τα τόξα $TE,ES$ είναι ίσα λόγω συμμετρίας άρα $\widehat{BOS}=\widehat{BAS}=\theta $ . Έχουμε $cosx=3/5$ και $SC=2MC=2\cdot 3cosx=18/5\Rightarrow BS=5-18/5=7/5$. Άρα $sin\theta =\dfrac{BS}{AB}=\dfrac{7}{25}$....
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Ιουν 24, 2019 6:04 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: H 36άρα
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 424

Re: H 36άρα

Χαιρετώ. Συγχαρητήρια στις αποστολές και βεβαίως σε όλους τους μαθητές Ελλάδας και Κύπρου που συμμετείχαν στην JBMO 2019 !! Μια ακόμη με ..περιπλάνηση και χρήση του σχήματος: Η 36-άρα.PNG Αν $BE=BD=AC=k$ τότε $DE \parallel AC$ και $AE=ED=DC=y$ Δείχνω την σχέση $AB^{2}=AB\cdot BD+AD^{2}..\left ( 1 \r...
από Γιώργος Μήτσιος
Πέμ Ιουν 20, 2019 12:57 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Εντός τετραγώνου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 189

Re: Εντός τετραγώνου

Καλημέρα! Ευχαριστώ τους Πρόδρομο και Γιώργο για τις απαντήσεις τους!
Ας δούμε τον υπολογισμό της ακτίνας μ' ένα ακόμη τρόπο
Εντός τετραγώνου.PNG
Εντός τετραγώνου.PNG (10.23 KiB) Προβλήθηκε 66 φορές
Με το Πυθαγόρειο στο ορθογώνιο τρίγωνο KLM παίρνουμε δεκτή τιμή R=5. Η συνέχεια έχει καλυφθεί.
Φιλικά Γιώργος.
από Γιώργος Μήτσιος
Πέμ Ιουν 20, 2019 12:13 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: H 36άρα
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 424

Re: H 36άρα

Καλό βράδυ σε όλους! Για τον Ορέστη να είμαστε καλά για να τον :clap2: και να τον θαυμάζουμε ! Μια απαγωγή.. Η 36άρα.PNG Είναι $\theta +4\omega =180^{0}$. Αν $\theta > 36^{0}\Leftrightarrow \omega < 36^{0}< \theta $ τότε στο τρίγωνο $BAD$ παίρνουμε $k< AD$ ενώ στο $DAC$ προκύπτει $k > AD$ δηλ. ΑΤΟΠ...
από Γιώργος Μήτσιος
Τρί Ιουν 04, 2019 11:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Λόγος και κατασκευή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 233

Re: Λόγος και κατασκευή

Καλό βράδυ σε όλους. Σ' ευχαριστώ πολύ Πρόδρομε για την ωραία αντιμετώπιση του παρόντος!!
Ας δώσω μόνο την εικόνα για τον εντοπισμό του σημείου D.
Κατασκευή και λόγος ΙΙ.PNG
Κατασκευή και λόγος ΙΙ.PNG (17.11 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές
Φιλικά , Γιώργος.
από Γιώργος Μήτσιος
Τρί Ιουν 04, 2019 11:09 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Ποσοστό κάλυψης
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 161

Re: Ποσοστό κάλυψης

Καλό βράδυ. Ακόμη ένα ευχαριστώ στον Γιώργο για την $100 % $ % κάλυψη της ...επιφάνειας του θέματος! Λίγα λόγια κυρίως για τα ερείσματα της άσκησης. Ι) Η $AH$ είναι διχοτόμος της $\widehat{A}$ σύμφωνα και με το θέμα ΤΟΥΤΟ . ΙΙ) Η σχέση $3\widehat{A}+\widehat{B}=360^{0}$ ισοδυναμεί με την $\widehat{...
από Γιώργος Μήτσιος
Τρί Ιουν 04, 2019 1:52 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Με τον καλό το λόγο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 141

Re: Με τον καλό το λόγο

Καλημέρα! Παρόμοια με τη λύση του Πρόδρομου Τον λόγο τον καλό.PNG Φέρω $DN \perp AF$. Ας είναι $AM=1$. Τότε $BE=2$ , $a=AB=2cos27^{0}$ και $AF=2AN=2a\cdot sin27^{0}=2\left ( 2cos27^{0} sin27^{0}\right )=2sin54^{0}=\Phi $ Άρα $\dfrac{AF}{AM}=\Phi $ οπότε και $\dfrac{AM}{MF}=\Phi $. $\Phi $ιλικά , Γι...
από Γιώργος Μήτσιος
Σάβ Ιουν 01, 2019 10:42 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Εντός τετραγώνου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 189

Εντός τετραγώνου

Καλόν Ιούνιο σε όλους!
Βάλτε βαθμό στον ..αετό.PNG
Βάλτε βαθμό στον ..αετό.PNG (8.4 KiB) Προβλήθηκε 189 φορές
Η EL είναι διάμετρος του εγγεγραμμένου κύκλου στο τετράγωνο ABCD και το G η επαφή του κύκλου με την BC.

Το BOLI είναι ορθογώνιο με BO=2 και BI=1 . Να υπολογιστεί το \left ( EGL \right ). Ευχαριστώ , Γιώργος.
από Γιώργος Μήτσιος
Τετ Μάιος 29, 2019 2:00 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γωνιαίο ζήτημα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 468

Re: Γωνιαίο ζήτημα

Χαιρετώ και πάλι. Ας δείξουμε λοιπόν τις σχέσεις $\dfrac{EN}{CE}=\dfrac{OI}{IC}\cdot \dfrac{OC}{CE}-\dfrac{OE}{CE}\cdot \dfrac{OC}{IC}..(a)$ και $\dfrac{CN}{CE}=\dfrac{OC}{IC}\cdot \dfrac{OC}{CE}+\dfrac{OE}{CE}\cdot \dfrac{OI}{IC}..(b)$ γενικότερα καλύπτοντας βεβαίως και το ως άνω ζήτημα Γωνιαίο ζή...
από Γιώργος Μήτσιος
Τρί Μάιος 28, 2019 11:47 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Τρίγωνο προς ορθογώνιο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 216

Re: Τρίγωνο προς ορθογώνιο

Χαιρετώ τους φίλους! Μια ακόμη , κατά το δυνατόν ..εικονική λύση: Τρίγωνο προς ορθογώνιο.PNG Έστω $\left ( PAN \right )=m$ . Τότε $\left ( PDN \right )=m...\left ( PDM \right )=3m$ και $\left ( MCK \right )=\left ( DMN \right )=4m$ . Είναι $\left ( ABCD \right )=4\left ( MCK \right )=32m$ οπότε $(M...
από Γιώργος Μήτσιος
Τρί Μάιος 28, 2019 3:05 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γωνιαίο ζήτημα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 468

Re: Γωνιαίο ζήτημα

Καλημέρα σε όλους! Μια προσπάθεια στα πλαίσια -θεωρώ- της Ευκλείδειας Γεωμετρίας με χρήση του σχήματος: Γωνιαίο ζήτημα G.V.PNG Φέρω $FQ,IEO \perp DC$ και $EN \perp ACI$.Αν $DC=1$ τότε $AC=\sqrt{2} ...CF=\Phi $. Όπως έχει δειχθεί και Γεωμετρικά είναι $sin18^{0}=1/2\Phi $ οπότε και $cos18^{0}=..=\dfr...
από Γιώργος Μήτσιος
Πέμ Μάιος 23, 2019 3:10 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τον πρώτο λόγο έχουν οι λόγοι
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 134

Re: Τον πρώτο λόγο έχουν οι λόγοι

Καλό απόγευμα! Τον πρώτο λόγο...Ν.Φ.PNG Άρση απόκρυψης ,αιτιολόγηση. Το τρίγωνο $PST$ είναι ορθογώνιο με $30$άρα οπότε $PT=2ST$. Με το θ. διχοτόμου προκύπτει $\dfrac{SK}{KP}=\dfrac{TS}{TP}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow AS=SP=3SK$. Αν $\widehat{AKC}=\omega $ τότε $\omega =90^{0}-\left ( 45^{0}-\theta \rig...
από Γιώργος Μήτσιος
Τετ Μάιος 22, 2019 2:34 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Κωνσταντίνου - Ελένης
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 443

Re: Κωνσταντίνου - Ελένης

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε καθένα και καθεμιά που γιορτάζει! Θερμές ευχές στους Κώστα Βήττα, Κώστα Δόρτσιο, Κώστα Ρεκούμη, Κώστα Τηλέγραφο, Κώστα Ζυγούρη, Κώστα Αθανασιάδη, Κώστα Καλαφάτη,Κώστα Μαλλιάκα, Κώστα Παππέλη ,Κώστα Σερίφη , Κώστα Γαρεδάκη, Κώστα Παπαδόπουλο και βεβαίως στην Ελένη Μήτσιου.
από Γιώργος Μήτσιος
Τρί Μάιος 21, 2019 11:52 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γωνία και λόγος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 158

Re: Γωνία και λόγος

Καλό βράδυ. Νίκο ,Γιώργο και Αλέξανδρε χαιρετώ! Μια παραλλαγή για το β΄ερώτημα Γωνία και λόγος.PNG Όπως βρήκε ο Γιώργος $sin\omega =\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.Φέρω $EH \perp AM$ . Έστω $EH=2x$ τότε $AM=ME=x\sqrt{5}$ με Π.Θ $MH=x$ άρα $AH=\left ( \sqrt{5}-1 \right )x$. Συνεπώς $\dfrac{AZ}{AE}=tan\theta =\...
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Μάιος 20, 2019 1:37 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Λόγος και κατασκευή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 233

Λόγος και κατασκευή

Καλή εβδομάδα σε όλους. Το θέμα ΑΥΤΟ αφετηρία για το παρόν: Για την κατασκευή..χρυσοθήρας.PNG Δίνεται τρίγωνο $ABC$. Θεωρούμε σημείο $D \in AB$ και $F$ στην ημιευθεία $DB$ ώστε να ισχύει $\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{DF}{AC}=\lambda $. Φέρουμε από το $F$ την κάθετη στην διχοτόμο της $\widehat{A}$ που τέμν...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Μάιος 19, 2019 12:42 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Είναι το μέσο...
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 414

Re: Είναι το μέσο...

Χαιρετώ τους φίλους! Από το αρχικό σχήμα έχουμε $\widehat{AEM}\equiv \widehat{AEK}=90^{0}-\theta ..\left ( 1 \right )$. Είναι το μέσο Β..Λ.Κ.PNG Έστω $\Lambda $ ( όπως λέμε Λ άμπρος!) το μέσον της $BC$. Τότε $D\Lambda \parallel AC$ και $D\Lambda =AC/2=DE$ , έτσι $\widehat{DE\Lambda }=\dfrac{180^{0}...
από Γιώργος Μήτσιος
Σάβ Μάιος 18, 2019 2:25 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Ποσοστό κάλυψης
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 161

Ποσοστό κάλυψης

Καλημέρα. Ποσοστό κάλυψης..PNG Για το τρίγωνο $ABC$ ισχύουν $BC=2AB$ και $3\widehat{A}+\widehat{B}=360^{0}$ . Από το $H \in BC $ φέρω $HN \perp AB$ . Η $CN$ τέμνει το ύψος $AD$ στο $F$ και η $BF$ τέμνει την $AC$ στο $M$ . Αν είναι και $HM \perp AC$ τότε Να βρεθεί το ποσοστό κάλυψης της επιφάνειας τ...
από Γιώργος Μήτσιος
Παρ Μάιος 17, 2019 5:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Είναι το μέσο...
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 414

Re: Είναι το μέσο...

Καλό απόγευμα σε όλους. Θέτω σχήμα στο ωραίο θέμα του Λάμπρου.
Είναι το μέσο..Λ.Κ.PNG
Είναι το μέσο..Λ.Κ.PNG (10.83 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές
Φιλικά Γιώργος.
από Γιώργος Μήτσιος
Πέμ Μάιος 16, 2019 12:57 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Τριχοτομείται και αυτή!
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 303

Re: Τριχοτομείται και αυτή!

Καλημέρα! Η δική μου προσέγγιση βασίζεται στη σχέση $a^{2}=ab+c^{2}\Leftrightarrow \widehat{A}=90^{0}+\widehat{C}/2$ που αποκάλυψε .. :coolspeak: .. ο Γιώργος! Αυτή ισοδυναμεί με την $\widehat{A}+\widehat{B}/3=120^{0}$ και η τριχοτόμηση της $\widehat{B}$ είναι δυνατή. Στη συνέχεια δίνω την κατασκευ...
από Γιώργος Μήτσιος
Τετ Μάιος 15, 2019 1:06 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 783

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Καλημέρα σε όλους. Μου άρεσε το παρόν θέμα. Μια απόδειξη στην τελευταία πρόταση του Γιώργου , όπου το $ABC$ είναι (μόνο) ισοσκελές. Μεταβλητή ευθεία...PNG Το $A'$ είναι το συμμετρικό του $A$ ως προς την $BC$ και $Q$ η τομή των $ED,CB$. Αρκεί η ευθεία $A'PZ$ να είναι κάθετη στην $EDQ$. Εύκολα βρίσκο...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση