Η αναζήτηση βρήκε 1433 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Σάβ Μαρ 02, 2024 8:40 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Γωνία διαμέσου - διχοτόμου
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 267
Re: Γωνία διαμέσου - διχοτόμου
Βασίζομαι στο σχήμα του Γιώργου. Γνωρίζουμε ότι η γωνία που σχηματίζει το ύψος με τη διχοτόμο μιας γωνίας τριγώνου, ισούται με την απόλυτη τιμή της ημιδιαφοράς των δύο άλλων γωνιών του τριγώνου. Από αυτό το θεώρημα προκύπτει ότι: Γωνία $\widehat{ACD} = \frac{90-2\vartheta }{2}=45-\vartheta $. Άρα, γ...
- Δευ Φεβ 26, 2024 12:33 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 17717
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Για το θέμα 1β των μικρών. Μία λύση που δεν αξιοποιεί το πρώτο ερώτημα-δεδομένο. Σημειώνουμε ότι οι αριθμοί $a, b$ είναι θετικοί από τα δεδομένα. Ονομάζουμε για συντομία $x + y + z = A$, $xy + yz + zx = B$, $xyz = C$. Από τα δεδομένα έχουμε $aA = bB = C$ , (1). Το ζητούμενο $a \geq 3\cdot b^{2}$ εί...
- Κυρ Φεβ 25, 2024 2:32 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 17717
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Για το 3ο θέμα των μικρών. Οι διαιρέτες του $2024$ είναι οι αριθμοί: $1, 2, 4, 8, 11, 22, 23, 44, 46, 88, 92, 194, 253, 506, 1012, 2024$. Από αυτούς προφανώς κανείς δεν διαιρείται με το $3$. Οι μισοί αν διαιρεθούν με το $3$ αφήνουν υπόλοιπο $1$ και οι άλλοι μισοί αφήνουν υπόλοιπο $2$. Αυτό σημαίνει ...
- Κυρ Φεβ 25, 2024 12:49 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 17717
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Για το 2ο θέμα των μικρών.
Έχω εκφράσει όλες τις γωνίες του σχήματος συναρτήσεις των γωνιών x, φ, ω.
Η γωνία α ισούται με α = 90 - χ- φ - ω.
Με πρόσθεση των γωνιών στο τρίγωνο ΔΚΕ προκύπτει ότι χ = φ.
Αυτό σημαίνει ότι η ΑΚ είναι κάθετη στην ΒΓ.
Έχω εκφράσει όλες τις γωνίες του σχήματος συναρτήσεις των γωνιών x, φ, ω.
Η γωνία α ισούται με α = 90 - χ- φ - ω.
Με πρόσθεση των γωνιών στο τρίγωνο ΔΚΕ προκύπτει ότι χ = φ.
Αυτό σημαίνει ότι η ΑΚ είναι κάθετη στην ΒΓ.
- Παρ Φεβ 09, 2024 10:17 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- Θέμα: Μπλε περιοχή
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 333
Re: Μπλε περιοχή
Μία λύση που δεν απαιτεί καθόλου φαντασία και δημιουργικότητα. Σύμφωνα με το σχήμα του Μιχάλη έχουμε Τα βασικά σημεία στο ορθοκανονικό σύστημα έχουν συντεταγμένες. $A(0, 0)$ $ B(-8, 0)$ $C(0, 15)$ $F(15, 0)$ $K(-23, 8)$. Βρίσκουμε τις εξισώσεις των ευθειών BC και FK και από αυτές προσδιορίζω τις συν...
- Πέμ Φεβ 08, 2024 10:34 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
- Θέμα: Για κατασκευαστές.
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 584
Re: Για κατασκευαστές.
Πάλι η ίδια τεχνική εφαρμόζεται,
όπως φαίνεται στο συνημμένο σχήμα.
όπως φαίνεται στο συνημμένο σχήμα.
- Τετ Φεβ 07, 2024 10:48 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
- Θέμα: Για κατασκευαστές.
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 584
Re: Για κατασκευαστές.
Σήμερα που λύσαμε το θέμα αυτό στον Όμιλο,
στους μαθητές η πιο απλή και κατανοητή λύση τους φάνηκε αυτή του Μιχάλη Τσουρακάκη.
Επίσης, διαπίστωσαν ότι είναι εύκολο το πρόβλημα αν οι κύκλοι έχουν ίσες ακτίνες
και για πιο λόγο ο κατασκευαστής ζήτησε ακτίνες άνισες.
στους μαθητές η πιο απλή και κατανοητή λύση τους φάνηκε αυτή του Μιχάλη Τσουρακάκη.
Επίσης, διαπίστωσαν ότι είναι εύκολο το πρόβλημα αν οι κύκλοι έχουν ίσες ακτίνες
και για πιο λόγο ο κατασκευαστής ζήτησε ακτίνες άνισες.
- Τρί Φεβ 06, 2024 10:44 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
- Θέμα: Για κατασκευαστές.
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 584
Re: Για κατασκευαστές.
Σωτήρη, αυτό διαπίστωσα κι εγώ σε σχέση με τη συνθήκη επαφής των δύο κύκλων. Η δική μου ιδέαγια στη λύση βασίστηκε στο γεγονός ότι αν φέρουμε την κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων, θα έχουμε χρήση του γνωστού θεωρήματος "γωνίας χορδής και εφαπτομένης", το οποίο κάποιοι άσχετοι στο Ι.Ε.Π. το ...
- Τρί Φεβ 06, 2024 2:38 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
- Θέμα: Για κατασκευαστές.
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 584
Re: Για κατασκευαστές.
Κι αυτή είναι μια λύση που προέκυψε μετά από υπολογισμούς γωνιών.
Η ιδέα της είναι η κατασκευή των δύο ισόπλευρων τριγώνων που φαίνονται στο συνημμένο σχήμα.
Η ιδέα της είναι η κατασκευή των δύο ισόπλευρων τριγώνων που φαίνονται στο συνημμένο σχήμα.
- Πέμ Δεκ 07, 2023 10:10 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
- Θέμα: Δύσκολο ορθογώνιο
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 975
Re: Δύσκολο ορθογώνιο
Δεν ξέρω αν έχει ενδιαφέρον για το πρόβλημα που έθεσε ο KARKAR,
το γεγονός ότι αν ονομάσουμε το σημείο τομής των ευθειών και ,
τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές και χωρίζεται από τις και σε δύο επίσης ίσα τρίγωνα.
το γεγονός ότι αν ονομάσουμε το σημείο τομής των ευθειών και ,
τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές και χωρίζεται από τις και σε δύο επίσης ίσα τρίγωνα.
- Πέμ Δεκ 07, 2023 12:30 am
- Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- Θέμα: Μονοψήφιοι θετικοί ακέραιοι
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 615
Re: Μονοψήφιοι θετικοί ακέραιοι
Από τις σχέσεις που βρήκε ο Δημήτρης Ιωάννου $AB^2 = (m+n+2)^2 -(m+n)^2 , AB^2 = (m+n)^2 -m^2$ προκύπτει ότι $4(n+ m + 1) = n^2 + 2mn$. (1) Αφού πρόκειται για φυσικούς μονοψήφιους, σημαίνει ο $n$ άρτιος και ότι οι τιμές του θα είναι $2$ ή $4$ ή $6$ ή $8$. Με αντικατάσταση στον τύπο (1) προκύπτει ότι...
- Σάβ Σεπ 09, 2023 9:24 am
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Αλέξανδρος Μαυροκορδάτος ο εξ Απορρήτων (1641-1709)
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 320
Re: Αλέξανδρος Μαυροκορδάτος ο εξ Απορρήτων (1641-1709)
Αγαπητέ Μιχάλη, ευχαριστούμε για την ανάρτηση σου που εμπλουτίζει και ολοκληρώνει την εικόνα για τους σημαντικούς Έλληνες -μέλων Ακαδημιών - εκτός των σημερινών συνόρων μας. Για την οικογένεια Μαυροκορδάτου είναι χρήσιμη (και έχει και φωτογραφικό υλικό) η δημοσίευση στην εφημερίδα "Απλωταριά" της Χί...
- Σάβ Αύγ 12, 2023 9:18 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Περί ονομασίας του Θεωρήματος του MacLaurin
- Απαντήσεις: 23
- Προβολές: 2593
Re: Περί ονομασίας του Θεωρήματος του MacLaurin
Μιχάλη, μερικές φορές ερωτήματα του τύπου, ποιος, πότε, και γιατί, έχουν ισοδύναμο ενδιαφέρον με το ίδιο το σχετικό θεώρημα. Αν κάποιος έχει επαφές με τον Α. Δημητρίου, καλό είναι να τον ρωτήσει πού βρήκε το όνομα "θεώρημα MacLaurin"; Ο Β. Βισκαδουράκης για παράδειγμα μπορεί να τον ξέρει, διότι το 2...
- Σάβ Αύγ 12, 2023 9:46 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Περί ονομασίας του Θεωρήματος του MacLaurin
- Απαντήσεις: 23
- Προβολές: 2593
Re: Περί ονομασίας του Θεωρήματος του MacLaurin
Για το ερώτημα αν το γνωστό γεωμετρικό θεώρημα που αφορά σημεία Α, Β που ανήκουν στις πλευρές της γωνίας xOy και ικανοποιούν τη σχέση $kOA ± mOB = a $ όπου a σταθερή θετική ποσότητα είναι πραγματικά του Collin Maclaurin (1698-1746). Με την ευκαιρία, ο Maclaurin ήταν παιδί ιδιοφυία και φοίτησε στο Πα...
- Σάβ Αύγ 12, 2023 1:58 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Περί ονομασίας του Θεωρήματος του MacLaurin
- Απαντήσεις: 23
- Προβολές: 2593
Re: Περί ονομασίας του Θεωρήματος του MacLaurin
Νομίζω ότι βρήκα την απάντηση στο ερώτημα που τέθηκε.
Έψαχνα από τις 21:00. Θα δημοσιεύσω αύριο αυτά που βρήκα.
Έψαχνα από τις 21:00. Θα δημοσιεύσω αύριο αυτά που βρήκα.
- Δευ Ιούλ 17, 2023 1:23 pm
- Δ. Συζήτηση: Ελεύθερα ηλεκτρονικά Βιβλία (free e-books)
- Θέμα: Παγκράτιος Βατοπαιδινός, Τριγωνομετρικαί ασκήσεις εξ απόψεως Γεωμετρικής (1912)
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1341
Re: Παγκράτιος Βατοπαιδινός, Τριγωνομετρικαί ασκήσεις εξ απόψεως Γεωμετρικής (1912)
Αγαπητέ Μιχάλη, πολύ ενδιαφέρουσα η ανάρτησή σου. Ο συγκεκριμένος Αρχιμανδρίτης σίγουρα γνώριζε Μαθηματικά. Το ερώτημα είναι που σπούδασε. Σε ένα άλλο του βιβλίο για την Μουσική Κλίμακα (έκδοση του 1916) τονίζει τα εξής: "Η μουσική κλίμαξ, ήτοι Επιστημονική διαίρεσις της μουσικής κλίμακος και προσδι...
- Δευ Μάιος 15, 2023 12:03 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
- Θέμα: Μέσο τόξου
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 632
Re: Μέσο τόξου
Επαναφέρω το θέμα.
Μπορείτε να βρείτε τουλάχιστον μία λύση και στο Διαδίκτυο.
Αναφέρομαι όπως και ο Tolaso J Kos σε κατασκευή μόνο με διαβήτη.
Μπορείτε να βρείτε τουλάχιστον μία λύση και στο Διαδίκτυο.
Αναφέρομαι όπως και ο Tolaso J Kos σε κατασκευή μόνο με διαβήτη.
- Τετ Μάιος 10, 2023 10:35 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
- Θέμα: Μέσο τόξου
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 632
Re: Μέσο τόξου
Προφανώς, εννοεί μόνο με τη χρήση διαβήτη. Αν είναι έτσι, η λύση είναι γνωστή.
- Παρ Απρ 14, 2023 11:45 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
- Θέμα: Εντυπωσιακή εικασία
- Απαντήσεις: 10
- Προβολές: 1145
Re: Εντυπωσιακή εικασία
Γιώργο,
θα ελέγξω αν έχω κάνει λάθος σε υπολογισμούς. Πάντως, δεν χρησιμοποιώ λογισμικά κλπ.
θα ελέγξω αν έχω κάνει λάθος σε υπολογισμούς. Πάντως, δεν χρησιμοποιώ λογισμικά κλπ.
- Παρ Απρ 14, 2023 8:07 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
- Θέμα: Εντυπωσιακή εικασία
- Απαντήσεις: 10
- Προβολές: 1145
Re: Εντυπωσιακή εικασία
Για την κατασκευή δίνω μια βοήθεια.
Αρκεί να αποδείξουμε ότι το τόξο , σε μοίρες.
Αρκεί να αποδείξουμε ότι το τόξο , σε μοίρες.