Καλησπέρα. Θα μπορούσαν να αποδειχθούν, με γνώσεις Λυκείου, οι ιδιότητες των τεσσάρων βασικών πράξεων καθώς και η ισχύς των αλγόριθμων που χρησιμοποιούμε (αυτών που γράφουμε τους αριθμούς τον έναν κάτω από τον άλλον) για να υπολογίσουμε τα αποτελέσματα αυτών στους πραγματικούς αριθμούς; Αν στις γνώ...

Έστω τρεις μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει: $(\star) \left | a \right |=\left | b \right |=\left | c \right |=1$ $(\star \star) a^{3}+b^{3}+c^{3}=2abc$ Να αποδείξετε ότι οι $a,b,c$ είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου στο μιγαδικό επίπεδο. Έχουμε $a\bar a=b\bar b = c\bar c= 1$ οπότε $a= \dfr...

Έστω $\Delta \subseteq \mathbb{R}$ διάστημα και $f:\Delta \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη και κοίλη συνάρτηση. Ποια είναι η μονοτονία της $f'$; Είναι απλά φθίνουσα ή γνησίως φθίνουσα; Έχω άποψη για το ερώτημα, αλλά θέλω να ακούσω και τις γνώμες σας. Η ερώτηση είναι σε φάκελο που αναφέρεται στο...

Χρόνια Πολλά και Καλά στον αγαπητό φίλο μας Γρηγόρη Κωστάκο.

Το σχόλιο δεν προσθέτει κάτι στην λύση αλλά ίσως είναι χρήσιμο αν πρόκειται το θέμα να συζητηθεί στην τάξη δίνοντας μια γεωμετική ερμηνεία. Συνέπεια των επιχειρημάτων που ανέπτυξε ο Μιχάλης είναι ότι η γραφική παράσταση της μιας από τις δύο συναρτήσεις θα βρίσκεται επάνω από εκείνη της άλλης. Η συνά...

Κυκλοφόρησε το Φύλλο 25 του Εκθέτη με την εργασία των Γιάννη Θωμαΐδη & Θάνου Μάγκου με τίτλο: "Τετράγωνα επί των πλευρών τριγώνου: Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στις γεωμετρικές ανισότητες " Διατίθεται δωρεάν και μπορεί να μεταφορτωθεί από τον σύνδεσμο http://ekthetis.gr/archive.html όπου υπάρχουν και τ...

Πως περνούν τα χρόνια! Σήμερα είχα την τιμή, την τύχη, και την χαρά να παρακολουθήσω μια εκδήλωση με δύο ομιλίες που δόθηκαν στην Ευαγγελική Σχολή Σμύρνης με θέματα που είχαν σχέση με την κρυπτογραφία και την τεχνητή νοημσύνη, από την Κατερίνα Σωτηράκη και τον Μανώλη Ζαμπετάκη επίκουρους Καθηγητές σ...

Καλησπέρα σας, Εδώ και 2 μήνες σπουδάζω στο τμήμα ηλεκτρολόγων μηχανικών και μηχανικών υπολογιστών στο X πανεπιστήμιο. Θα ήθελα να εμβαθύνω τις γνώσης μου πάνω στα μαθηματικά σε πιο μεγάλο βάθος απ'ότι θα μάθω στο συγκεκριμένο τμήμα που σπουδάζω. Έχετε να μου προτείνετε κάποιο σύγγραμα? Συγκεκριμέν...

Έστω $p\geq q$ οι πλευρές του εγγεγραμμένου ορθογωνίου Για να μην διερευνούμε ποια είναι η μεγαλύτερη πλευρά του περιγεγραμμένου αρκεί να εξασφαλίσουμε ότι $\frac{p}{q}\geq \frac{p\cos x+q\sin x}{p\sin x+q\cos x}$ και $\frac{p}{q}\geq \frac{p\sin x+q\cos x}{p\cos x+q\sin x}$ Η πρώτη ισοδυναμεί με τη...

Γεια σας. Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις σας. Παραθέτω τρεις προσεγγίσεις που είχα ετοιμάσει. Όπως είναι φυσικό παρουσιάζουν ομοιότητες κα επικαλύψεις με άλλες που έχουν δοθεί. Η δεύτερη μοιάζει με μια που έδωσε στο fb ο συνάδελφος Γιάννης Πλατάρος ενώ η τρίτη με αυτή που έδωσε ο Γιώργος Μπαλόγλ...

Ξέρει κανείς που μπορώ να βρω τις αποδείξεις των ιδιοτήτων (2) (λ+μ)*𝙖=λ*𝙖+μ*𝙖 (3) λ*(μ*𝙖)=(λ*μ)*𝙖 του πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα στην παράγραφο 1.3 του βιβλίου κατεύθυνσης; Προσπαθώ μάταια εδώ και λίγο καιρό να τις κάνω μόνος μου, αλλά δεν τα κατάφερα. Ευχαριστώ. 'Ισως για αυτό που ρωτάτε...

Την ανεβάζω σε αυτό τον φάκελο για να επιτρέπονται τα πάντα. Την είδα κάπου αλλά δεν θυμάμαι που. Ελπίζω να μη την έχουμε δει. Έστω τετράγωνο $\rm{AB\Gamma \Delta} $. Γωνία $45^{\circ }$ με κορυφή το $\rm{A} $ περιέχεται στην $\widehat{BA\Delta }$ και οι πλευρές της τέμνουν την διαγώνιο $\rm{B\Delta...

Γράφω μια λύση χάριν ποικιλίας. Είναι προφανώς $c \neq 0$. Διαιρώντας την σχέση της υπόθεσης και του συμεράσματος με $c^2$ έχουμε ότι $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+1<0$ και θέλουμε $\left( \frac{b}{c}\right) ^{2}>4\frac{a}{c}$. Αν θέσουμε $x=\frac{b}{c}$ και $y=\frac{a}{c}$ θέλουμε να δείξουμε ότι: Αν $x...

Όσοι ενδιαφέρονται για τα Θεμέλια της Γεωμετρίας ίσως βρουν χρήσιμο to, κλασικό πλέον, έργο του Henrey George Forder: The Foundations of Euclidean Geometry Μπορεί να μεταφορτωθεί ιαπό τους συνδέσμους: https://archive.org/details/foundationsofeuc0000henr/page/n1/mode/2up https://drive.google.com/file...

Ευχαριστώ όλους όσους συμμετείχαν στην συζήτηση.
Η απόδειξη που είχα κατά νου ήταν εκείνη του Κώστα (abgd).

Η $f$ έχει μοναδικό σημείο καμπής με τετμημένη $x_0$ επομένως μπορούμε να υποθέσουμε ότι είναι κυρτή στο $(-\infty,x_0]$ και κοίλη στο $[x_0,+\infty)$. Δεν είναι σωστό το παραπάνω. Πάρε $\displaystyle f(x)=e^{-\frac{1}{x}}$ για $\displaystyle x>0$ $\displaystyle f(x)=0 $ για $\displaystyle x\leq 0$...

$\displaystyle (ABCD) = \frac{{AC \cdot BD}}{2}\sin \theta $ Νομίζω ότι η αντιμετώπιση του Γιώργου μας προσφέρει μία βέλτιστη λύση με τριγωνομετρία. Γενικά αν ξέρουμε τις γωνίες ξέρουμε, από τον νόμο των ημιτόνων, και τις αντίστοιχες διαγωνιους. Έτσι μπορούμε να έχουμε τα εξής δύο προβλήματα που πρ...

Επειδή

και το είναι η τετμημένη του μοναδικού σημείου καμπής μια σκέψη για τον αποκλεισμό της ισότητας μπορεί να προκύψει από την παρατήρηση που ως άσκηση διατυπώνεται εδώ.

Δεν θυμάμαι αν την έχουμε ξαναδεί. Με αφορμή αυτό το θέμα . Έστω $f$ δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ που έχει ( μοναδικό ) σημείο καμπής με τετμημένη το $x_0$ και στα $(-\infty, x_0)$, $(x_0,+\infty)$ η $f''$ διατηρεί πρόσημο. Να αποδειχθεί ότι για κάθε $a \neq b$ είναι $\frac{f\left( b\righ...

Έστω τετράπλευρο $A B\Gamma \Delta$ εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας $\sqrt{6} cm$ με $\widehat{A}=60^{o}, \widehat{B}=45^{o}.$ Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του τετραπλεύρου αυτού είναι το πολύ ίσο με $3\sqrt{6}cm^{2}$. Ας δούμε το θέμα κάπως γενικότερα. Ας υποθέσουμε ότι οι δοθείσες γωνίες είναι $\alp...