Πιθανώς έχει ξανατεθεί: να δειχθεί ότι η εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση έχουν μοναδική κοινή εφαπτομένη* με κλίση μεταξύ και .
*συν την συμμετρική αυτής
Η αναζήτηση βρήκε 3264 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Κυρ Μαρ 24, 2024 1:14 pm
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- Θέμα: Μοναδική κοινή εφαπτομένη
- Απαντήσεις: 0
- Προβολές: 154
- Κυρ Μαρ 24, 2024 12:15 am
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- Θέμα: Δίκαιη ανισότητα
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 245
Re: Δίκαιη ανισότητα
Αρκεί να ισχύει η για ισοδύναμη προς την
που είναι σχεδόν προφανής για
που είναι σχεδόν προφανής για
- Σάβ Μαρ 23, 2024 1:13 am
- Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Τρίγωνο σε έλλειψη
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 1162
Re: Τρίγωνο σε έλλειψη
Με χρήση Λογισμού ... μία 'κατασκευαστική' απόδειξη που μας δίνει τα μέγιστα εγγεγραμμένα τρίγωνα: Έστω $ABC$ τρίγωνο μεγίστου εμβαδού εγγεγραμμένο στην έλλειψη $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ με $A=(x_0,y_0), B=(x_1, y_1), C=(x_2, y_2).$ Είναι φανερό ότι η $BC$ οφείλει να είναι παράλληλη προς...
- Πέμ Μαρ 21, 2024 4:14 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Μαθηματικές Διαδρομές_3_Στρεβλοί Κύκλοι
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 211
- Τρί Μαρ 19, 2024 5:48 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- Θέμα: Ανισότητα για αριθμούς που δεν υπερβαίνουν την μοναδα
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 586
Re: Ανισότητα για αριθμούς που δεν υπερβαίνουν την μοναδα
Aλεξανδρε πολύ ενδιαφέροντα όσα γράφεις, από πλευράς μου δίνω μία απόδειξη της τελικής ανισότητας χωρίς παραγώγους (βασισμένη στο ανάπτυγμα της ):
- Παρ Μαρ 15, 2024 2:15 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- Θέμα: Ανισότητα για αριθμούς που δεν υπερβαίνουν την μοναδα
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 586
Re: Ανισότητα για αριθμούς που δεν υπερβαίνουν την μοναδα
Υστερόγραφο: εύκολα βλέπουμε ότι η ανισότητα γενικεύεται για $n$ μεταβλητές στο $[0,1],$ αναγόμενη κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο στην $nt^n-nt^{n-1}+1>0$ για $0\leq t\leq 1:$ με χρήση παραγώγων -- φεύγουμε λίγο εκτός φακέλου εδώ, δεν το προσπάθησα και πολύ αλλιώς* -- λαμβάνουμε ελάχιστη τιμή συνάρτηση...
- Τετ Μαρ 13, 2024 10:30 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- Θέμα: Ανισότητα για αριθμούς που δεν υπερβαίνουν την μοναδα
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 586
Re: Ανισότητα για αριθμούς που δεν υπερβαίνουν την μοναδα
Με χρήση της ταυτότητας $g^2=(1-g)^2-2(1-g)+1$ για $g=a, b, c, d$ και των αντικαταστάσεων $x=1-a, y=1-b, z=1-c, w=1-d$ η ζητούμενη ανισότητα γράφεται ως $x^2+y^2+z^2+w^2+16xyzw+4(x^2+y^2+z^2+w^2)xyzw\leq 2(x+y+z+w)+8(x+y+z+w)xyzw.$ Λόγω της $0\leq x^2+y^2+z^2+w^2\leq x+y+z+w$ αρκεί να ισχύει η ανισό...
- Παρ Μαρ 08, 2024 11:45 pm
- Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Απόδειξη ανισότητας
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 419
Re: Απόδειξη ανισότητας
Κώστα σ' ευχαριστώ και εγώ, και κάνω δύο παρατηρήσεις: (Ι) Στην παραπάνω απόδειξη σου δεν χρειαζόμαστε παραγώγους στο τέλος, καθώς η $ln(x(2e-x))<2$ είναι ισοδύναμη προς την $e^{ln(x(2e-x))} <e^2$ και άρα προς την $x(2e-x)<e^2$ και την $0<(e-x)^2.$ [Ενδιαφέρον το ότι χρησιμοποιήθηκε ΔΥΟ φορές η $(a-...
- Παρ Μαρ 08, 2024 8:40 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ένα ακόμη όριο
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 199
Re: Ένα ακόμη όριο
Καλησπέρα κύριε Γιώργο! Μια σκέψη είναι η εξής: Το όριο γράφεται $\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{log\binom{2n}{n}}{n}$ και συνεπώς αρκεί να υπολογίσουμε το όριο της αντίστοιχης συνεχούς: $\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{log\Gamma (2x+1)-2log\Gamma (x+1)}{x}$, που ,επειδή αριθμητής και παρονομα...
- Παρ Μαρ 08, 2024 2:05 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ένα ακόμη όριο
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 199
Ένα ακόμη όριο
Με αφορμή όλως ανεπιτυχή προσέγγιση μου σε άλλο πρόβλημα (εδώ), προτείνω (χωρίς λύση):
Να δειχθεί ότι
Διόρθωση 8:45 μμ 8-3-24: αντί στον παρονομαστή
Να δειχθεί ότι
Διόρθωση 8:45 μμ 8-3-24: αντί στον παρονομαστή
- Πέμ Μαρ 07, 2024 11:57 pm
- Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Απόδειξη ανισότητας
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 419
Re: Απόδειξη ανισότητας
Αρκεί να δειχθεί ότι είναι φθίνουσα η συνάρτηση στο διάστημα Η ζητούμενη για προκύπτει από την
με την πρώτη ανισότητα να είναι ισοδύναμη προς την
με την πρώτη ανισότητα να είναι ισοδύναμη προς την
Re: Ένα όριο
Μία προσέγγιση βασισμένη στις $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\geq 2$ και $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{(a-b)^2}{ab}+2:$ Χρησιμοποιώντας την βασική ανισότητα $1=\dfrac{1}{n}\left(2+2+...\right)\leq \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{ln(n+1)}{ln2}+\dfrac{ln2}{ln(n+1)}+\dfrac{ln(n)}{ln3}+\dfrac{ln3}{ln(n)}+...\r...
- Κυρ Μαρ 03, 2024 12:20 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
- Θέμα: Μακριά απ' τον τοίχο
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 416
Re: Μακριά απ' τον τοίχο
Διόρθωση (απόλυτα ελεγμένη) στους τύπους της αμέσως προηγούμενης δημοσίευσης μου (τους οποίους διατηρώ ... για 'ιστορικούς' λόγους): η υπερβολή $x^2-2xy-y^2-x+y=0$ προέρχεται από αντιωρολογιακή στροφή κατά $\dfrac{3\pi}{8}$ της υπερβολής $\left(y+\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{4}\right)^2-\left(x-\dfrac{...
- Πέμ Φεβ 29, 2024 12:04 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
- Θέμα: Μακριά απ' τον τοίχο
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 416
Re: Μακριά απ' τον τοίχο
Άλλη προσέγγιση (χωρίς να υποθέτουμε ότι το ορθογώνιο είναι ισοσκελές): αν $P, Q$ είναι οι τομές των $AT, BT$ με τις $BC, AC,$ αντίστοιχα, τότε το $ABPQ$ είναι εγγράψιμο, άρα η $AP$ και η $BC$ είναι κάθετες, οπότε αρκετά εύκολα από τις $A=(0,0), B=(b,0), C=(0,c)$ προκύπτουν οι $P=\left(p,-\dfrac{c}...
- Σάβ Φεβ 24, 2024 2:56 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
- Θέμα: Μακριά απ' τον τοίχο
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 416
Re: Μακριά απ' τον τοίχο
Άλλη προσέγγιση (χωρίς να υποθέτουμε ότι το ορθογώνιο είναι ισοσκελές): αν $P, Q$ είναι οι τομές των $AT, BT$ με τις $BC, AC,$ αντίστοιχα, τότε το $ABPQ$ είναι εγγράψιμο, άρα η $AP$ και η $BC$ είναι κάθετες, οπότε αρκετά εύκολα από τις $A=(0,0), B=(b,0), C=(0,c)$ προκύπτουν οι $P=\left(p,-\dfrac{c}{...
- Δευ Φεβ 19, 2024 4:59 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ανισότητα από εφαπτόμενα τμήματα
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 555
Re: Ανισότητα από εφαπτόμενα τμήματα
Γρήγορες οι γεωμετρικές λύσεις Μιχάλη και Θάνου -- η πρώτη με δώρο (μπόνους) την πολύ όμορφη $ab=EZ.FH$ -- και με την επιπρόσθετη πληροφορία $c^2=a^2-ab+b^2,$ που δεν προσφέρει η δική μου αναλυτική λύση (αν και επιβεβαίωσα την ισότητα αλγεβρικά εκ των υστέρων). Όπως είχα γράψει, προσπάθησα αρχικά να...
- Παρ Φεβ 16, 2024 12:16 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ανισότητα από εφαπτόμενα τμήματα
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 555
Re: Ανισότητα από εφαπτόμενα τμήματα
Αντί επαναφοράς ... μια λύση με Αναλυτική: Επεκτείνουμε τις $AE, BF$ στο συνημμένο σχήμα του Θάνου ώστε να συναντηθούν στο $D,$ και θέτουμε$ A=(-u,0), B=(u,0), C=(p,q), D=(0,v).$ Aπό τις εξισώσεις των ευθειών $BC, AD$ και $AC, BD$ προκύπτουν αντίστοιχα οι $E=\left(\dfrac{-u^2v+uvp+u^2q}{uv-vp+uq},\...
- Τετ Φεβ 07, 2024 12:24 am
- Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
- Θέμα: Μιγαδικοί και Γεωμετρία.
- Απαντήσεις: 17
- Προβολές: 1045
Re: Μιγαδικοί και Γεωετρία.
Καλησπέρα Σωτήρη. Γιώργο, Σιλουανέ! Σας ευχαριστώ θερμά για την ανασχόληση. Από χτες κατάλαβα από μηνύματα φίλων πως υπάρχει σύγχυση με γνωστή άσκηση στην οποία στο δεύτερο μέλος υπάρχει τρία και αναφέρεται σε ισόπλευρο τρίγωνο ενώ αυτή σε ισοσκελές. Παράληψη μου είναι πως δεν ανέφερα πως δεν πιάνε...
- Κυρ Φεβ 04, 2024 1:57 pm
- Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
- Θέμα: Μιγαδικοί και Γεωμετρία.
- Απαντήσεις: 17
- Προβολές: 1045
Re: Μιγαδικοί και Γεωετρία.
Αντί λύσης (που νόμιζα πως είχα) ... μου προέκυψε αντιπαράδειγμα: $a\approx 0,173635+0,98481i, b\approx 0,5+0,866i, c\approx -0,173635+0,98481i $ :roll: Γενικότερα, αρχίζοντας με $a=u+vi, c=-u+vi$ και επιλέγοντας $b=x+yi$ με $x\neq 0$ ( μη ισοσκελές τρίγωνο ), προκύπτει λόγω των $u^2+v^2=1, x^2+y^2...
- Τετ Ιαν 31, 2024 11:26 pm
- Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
- Θέμα: Μιγαδικοί και Γεωμετρία.
- Απαντήσεις: 17
- Προβολές: 1045
Re: Μιγαδικοί και Γεωετρία.
Για το συγκεκριμένο βγαίνουν τρία τρίγωνα. Αυτά με γωνίες $\left (\frac{\pi}{18},\frac{\pi}{18},\frac{\pi}{9} \right )$, $\left (\frac{5\pi}{18},\frac{5\pi}{18},\frac{4\pi}{9} \right )$, $\left (\frac{7\pi}{18},\frac{7\pi}{18},\frac{2\pi}{9} \right )$. Χρήστο, όταν γράφεις τρία τρίγωνα, προφανώς, ε...