Να εξετασθεί αν είναι Αληθής ή Ψευδής ο παρακάτω ισχυρισμός. Αν είναι αληθής να αποδειχθεί, αν είναι ψευδής να δοθεί αντιπαράδειγμα. Ισχυρισμός: Για κάθε ρητό αριθμό $x=\frac{p}{q}$ με $p\in\mathbb{Z}$, $q\in\mathbb{N}$ και $\mathrm{MK}\Delta(p,q)=1$ υπάρχει $\delta_{x}>0$, έτσι ώστε για κάθε ρητό ...

Να εξετασθεί αν είναι Αληθής ή Ψευδής ο παρακάτω ισχυρισμός. Αν είναι αληθής να αποδειχθεί, αν είναι ψευδής να δοθεί αντιπαράδειγμα. Ισχυρισμός: Για κάθε ρητό αριθμό $x=\frac{p}{q}$ με $p\in\mathbb{Z}$, $q\in\mathbb{N}$ και $\mathrm{MK}\Delta(p,q)=1$ υπάρχει $\delta_{x}>0$, έτσι ώστε για κάθε ρητό α...

Μετά από τις πολύ όμορφες λύσεις του κ. Λάμπρου και του Κώστα, παραθέτω και την δική μου, (μιας και διαφέρει κάπως). Σχετικά εύκολα αποδεικνύεται ότι $\lim_{x\to +\infty}x\big({x^{\frac{1}{x}}-1}\big)=+\infty$. Επομένως υπάρχει $x_0\in({2,+\infty})$ τέτοιο ώστε, για κάθε $x\in({x_0,+\infty})$, να ι...

Να υπολογισθεί το
.

Καλησπέρα σας και καλή χρονιά! Θα εκτιμούσα την βοήθεια σας σε μια απορία. Μια σταθερή συνάρτηση έχει ακρότατα ; Ευχαριστώ εκ των προτέρων για τον χρόνο σας. Ναι. Σύμφωνα με τον ορισμό. μια σταθερή συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, αλλά και ολικό μέγιστο σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. Φ...

Πάρα πολύ ωραία! Τον παραπάνω (δικό μου) τρόπο κατασκευής τον σκέφτηκα ψάχνοντας να βρω μια συνεχή συνάρτηση* της οποίας το πρόσημο εναλλάσσεται υπεραριθμήσιμα πολλές φορές. Για το πρόβλημα που συζητάμε εδώ φαίνεται ότι δεν λειτουργεί (Σταύρο ευχαριστώ!)

(*) Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

Δίνεται μια απάντηση σε συνημμένο αρχείο, λόγω της σχετικά μεγάλης έκτασής της. Ελπίζω να βρω χρόνο ώστε να την μεταφέρω και στην απαιτούμενη μορφή LaTeX, όπως (σωστά) απαιτείται από τον κανονισμό. contin_func_uncount_irratio_roots_mathca.pdf Καλή χρονιά Γρηγόρη. Αυτό που δεν βλέπω είναι γιατί το τ...

Οι συντελεστές $2^{n(n+1)}$ παίζουν κάποιο ρόλο ή θα μπορούσαμε να βάλουμε κάποιες άλλες μη-μηδενικές σταθερές στις συναρτήσεις $f_{n,m}$ που φτιάχνεις ; Καλησπέρα Βαγγέλη. Οι συντελεστές $2^{n(n+1)}$ έχουν εντελώς τεχνικό χαρακτήρα. Αν παρατηρήσεις στο σχήμα, ακόμα και με αυτούς τους "εκθετικά αυξ...

Θα κατασκευασθεί, με μέθοδο ανάλογη εκείνης της κατασκευής του συνόλου Cantor, συνεχής συνάρτηση $f\colon[{0,\pi}]\longrightarrow{\mathbb{R}}$ η οποία έχει σύνολο ριζών ένα υπεραριθμήσιμο σύνολο άρρητων αριθμών. 1ο βήμα: Στο διάστημα $\big[{\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}}\big]$ ορίζουμε την συνάρτηση ...

Μια διαφορετική προσέγγιση: Για $x\in({2,+\infty})$ : $\begin{aligned} ({x-1})\,{\rm{e}}^{\frac{2}{x}}-({x-2})\,{\rm{e}}^{\frac{1}{x}}&<{\rm{e}}&&\stackrel{x>2}{\Longleftrightarrow}\nonumber\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \frac{\cancel{({x-1})}\,{\rm{e}}^{\frac{2}{x}}}{\cancel{({x-1})}({x-2})}-\frac{\ca...

Να αποδειχθεί, για , ότι

.


Σημείωση: Είναι εφικτή η απόδειξη με ύλη του Λυκείου.

Να εξετασθεί αν είναι Αληθής ή Ψευδής ο παρακάτω ισχυρισμός: Ισχυρισμός: Δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f\colon \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ με σύνολο ριζών ακριβώς ένα υπεραριθμήσιμο σύνολο $A\subseteq \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, και μόνο αυτό. Edit: 25/12/2024, 4:45π.μ. : Διόρθωση δια...

Σας ευχαριστώ για τις ωραίες λύσεις! ... και $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} O \left (\dfrac{1}{(n+1)^2} \right )$....συγκλίνει λόγω της σύγκλισης της αρμονικής σειράς $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^p}$ για $p>1$. Επιτρέψτε μου να εξηγήσω εκτενέστερα την σύγκλιση της σειράς που...

Δεν υπάρχει ουσιαστική διαφορά με την λύση του κ. Λάμπρου, αλλά δίνουμε την λύση της γενικής περίπτωσης: Οι υπακολουθίες $({\alpha_{\mu n+k}})_{n\in\mathbb{N}}$, $k=0,1,\ldots,\mu-1$, διαμερίζουν, δηλαδή $\bigcup_{k=0}^{\mu-1}\{{\mu n+k\;|\; n\in\mathbb{N}}\}=\mathbb{N}$, $\bigcap_{k=0}^{\mu-1}\{{\...

Να εξετασθεί αν ισχύει η παρακάτω πρόταση. Αν ισχύει, να αποδειχθεί, ενώ αν δεν ισχύει, να δοθεί αντιπαράδειγμα. Έστω $({\alpha_{n}})_{n\in\mathbb{N}}$ ακολουθία θετικών πραγματικών. Αν για τυχόν πάγιο $\mu\in\mathbb{N}$ ισχύει $\lim_{{n}\to+\infty}\frac{\alpha_{n+\mu}}{\alpha_{n}}<1$, τότε η σειρά...

Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, η σειρά


ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Δεν έχω λύση.

Ως συνέχεια αυτής της συζήτησης Κυρτή συνάρτηση : Έστω συνάρτηση $f\colon I \subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ κυρτή στο ανοικτό διάστημα $I$. Να αποδειχθεί ότι: Για κάθε $x\in I$ υπάρχουν τα όρια $\lim\limits_{h \to 0^{-}}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ και $\lim\limits_{h \to 0^{+}}\dfrac{f(...

Κατ' αρχήν, να ευχαριστήσω όλους τους συμμετέχοντες στην συζήτηση που με την συνεισφορά τους διαφώτισαν το συγκεκριμένο θέμα. Η διερεύνηση του Ιάσωνα Κωνσταντόπουλου είναι πλήρης και ακριβής. Για το ερώτημα του αριθμήσιμου πλήθους, μια ακόμα ενδιαφέρουσα συζήτηση μπορεί να βρεθεί στο a-convex-functi...

Αν $f\colon I \subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα $I$ και για οποιαδήποτε δύο σημεία $x_1$, $x_2$ του $I$ με $x_1<x_2$ ισχύει $f'_{-}({x_1})\leqslant f'_{+}({x_1})\leqslant f'_{-}({x_2})\leqslant f'_{+}({x_2})\,,$ τότε η $f$ είναι κυρτή στο $I$. Στα...

Ο παρακάτω είναι ένας ισχυρισμός, αφού δεν έχω ούτε απόδειξη, ούτε ανταπόδειξη της ισχύος του. Ισχυρισμός. Έστω $f\colon I \subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα $I$, η οποία είναι παραγωγίσιμη παντού στο $I$ εκτός από ένα αριθμήσιμο σύνολο $P=\{{a_n\;...