Καλημέρα σε όλους, Στη δημοσίευση αυτή θα αναρτηθούν και θα συζητηθούν τα θέματα του διαγωνισμού "Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ" που διεξάγεται σήμερα στα κατά τόπους εξεταστικά κέντρα της χώρας και μετά τη λήξη του διαγωνισμού. Εύχομαι καλή επιτυχία και καλά αποτελέσματα στα παιδιά που συμμετέχουν! Edit (14:45) Ανεβ...

Α Λυκείου Πρόβλημα 1 Είναι $A=\dfrac{n^6(n^4-1)-(n^4-1)}{n^6(n-1)-(n-1)}=\dfrac{(n^4-1)(n^6-1)}{(n-1)(n^6-1)}=\dfrac{(n-1)(n+1)(n^2+1)}{n-1}=(n+1)(n^2+1)$ άρα ο $A$ είναι σύνθετος αφού αποτελείται από γινόμενο δύο παραγόντων κάθενας από τους οποίους είναι $>1$. Πρόβλημα 2 Έστω $T$ το σημείο τομής τ...

Μια και πέρασε ο χρόνος διεξαγωγής του διαγωνισμού ανεβάζω τα σημερινά θέματα του διαγωνισμού για να σχολιάσουμε τις λύσεις τους εδώ.

Καλά αποτελέσματα σε όλους τους υποψηφίους

Αλέξανδρος

Πολλές ευχές κι από μένα στο Λευτέρη Πρωτοπαπά! Λευτέρη να είσαι γερός και δημιουργικός πάντα!
Αλέξανδρος

Να βρεθεί κλειστός τύπος για το άθροισμα $1^{2}x+2^{2}x^{2}+3^{2}x^{3}+...+n^{2}x^{n}$ όπου $x$ πραγματικός αριθμός διαφορετικός του $1.$ Καλημέρα σε όλους τους φίλους. Είναι $1+x+x^2+x^3+\cdots + x^n=\dfrac{x^{n+1}-1}{x-1}$. Το δεύτερο μέλος ας το συμβολίσουμε με $A(x)$. Παραγωγίζοντας και τα 2 μέ...

Χρόνια πολλά στους συναδέλφους που γιορτάζουν σήμερα! Ιδιαίτερα στους καλούς φίλους:

Δημήτρη Χριστοφίδη
Δημήτρη Σκουτέρη
Δημήτρη Ιωάννου

Αλέξανδρος

Άσκηση 25 . Δίνονται πραγματικοί αριθμοί $a, b$ με $a\ne b$ τέτοιοι ώστε οι $a + \sqrt {ab}$ και $b+\sqrt {ab}$ είναι ρητοί και οι δύο. Δείξτε ότι οι $a$ και $b$ είναι ρητοί. Για ευκολία θέτω $x=\sqrt{a}$ και $y=\sqrt{b}$ και θέλουμε να δείξουμε ότι οι $x^2$ και $y^2$ είναι ρητοί με δεδομένο ότι οι...

Με χρήση μιγαδικών, αν τα σημεία Α και Β είναι εικόνες των μιγαδικών $z_1$ και $z_2$ αντίστοιχα, τότε $z_1=z_2(cos60^{\circ}+isin60^{\circ})$ Άρα αν $z_2=x_2+y_2i$ τότε $z_1=\left(\dfrac{1}{2}x_2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}y_2\right) + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}x_2+\dfrac{1}{2}y_2\right)i$ οπότε η σχέση $\df...

Άσκηση 24 . Να βρεθούν όλοι οι άρρητοι αριθμοί $a$ για τους οποίους οι $a^2 + a$ και $a^3-2a$ είναι και οι δύο ρητοί αριθμοί. Και λίγο διαφορετικά: Αν $a^2+a=q$ και $a^3-2a=r$, τότε αφού $a^2+a-q=0$ και $a\notin\mathbb{Q}$ άρα $\left[\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}\right]=2$ οπότε αφού επιπλέον ισχύει $a^...

Άσκηση 24 . Να βρεθούν όλοι οι άρρητοι αριθμοί $a$ για τους οποίους οι $a^2 + a$ και $a^3-2a$ είναι και οι δύο ρητοί αριθμοί. Έστω $a^2+a=q$ και $a^3-2a=r$. Τότε $a^2=q-a$ οπότε $r=a(a^2-2)=a(q-a-2)=a(q-2)-a^2=a(q-2)-(q-a)=(q-1)a-q$. Αν ήταν $q\neq 1$ τότε θα παίρναμε $a\in \mathbb{Q}$, άτοπο. Άρα ...

Καλησπέρα σε όλους, Έστω $(x_0,y_0)$ τυχαίο σημείο της παραβολής $y=x^2+m$ από το οποίο φέρνουμε την εφαπτομένη. Τότε η εξίσωσή της είναι $y-(x_0^2+m)=2x_0(x-x_0) \Leftrightarrow y=2x_0x-x_0^2+m$. Οι τετμημένες $x_1,x_2$ των σημείων τομής της παραπάνω με την $y=x^2$ προκύπτουν από τη λύση της δευτερ...

Αγαπητέ Στάθη χρόνια σου πολλά! Να χαίρεσαι το όνομά σου και να είσαι πάντα δημιουργικός!

Αλέξανδρος

Ευχαριστώ πολύ τους αγαπητούς φίλους για τις ευχές τους! Ευχές και σε όλους τους (συν)εορτάζοντες του forum!

Αλέξανδρος

Πολλά πολλά συγχαρητήρια στους μαθητές μας!! Εξαιρετική επίδοση!

Αλέξανδρος

Πιστεύω πως ήταν κάπως έτσι: Το Π2 πολύ εύκολο για ΙΜΟ. Τα Π1,Π2,Π4 εύκολα , το Π3 οκ, το Π5 δύσκολο και το Π6 πολύ δύσκολο . Με ποια κριτήρια αποφασίζουμε για το αν ένα πρόβλημα είναι εύκολο ή δύσκολο; Σιλουανε καλησπέρα . :) Απλά είπα την άποψη μου. Που ακριβώς έχεις ένσταση ; Νομίζω ότι ο Σιλουα...

Καλησπέρα σε όλους τους φίλους! Τα σημερινά θέματα μου άρεσαν. Η συντριπτική πλειοψηφία ήταν στο πνεύμα των θεμάτων που υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο και ένας καλά προετοιμασμένος μαθητής θα μπορούσε να πάρει αρκετές μονάδες. Μου άρεσε επιπλέον που οι μονάδες ήταν μοιρασμένες σε πολλά ερωτήματα κι έτσ...

Καλησπέρα σε όλους! Ολοκληρώθηκε χθες η 40ή Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα στην Αττάλεια της Τουρκίας και σήμερα επιστρέφουμε στην Ελλάδα! Η εμφάνιση των μαθητών μας εξαιρετική, οι διακρίσεις τους πολλές (όλοι τους πήραν μετάλλιο), η γενική κατάταξη της χώρας υψηλή (4η ανάμεσα σε 23 χώρες που συμμετ...

Καλησπέρα σας από την Αττάλεια όπου διεξάγεται η 40ή Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα. Σήμερα διεξήχθη ο διαγωνισμός και αύριο ξεκινάει η διόρθωση των γραπτών. Εύχομαι από καρδιάς καλή επιτυχία στην Ελληνική και Κυπριακή αποστολή. Περισσότερες πληροφορίες θα βρείτε στη σελίδα https://bmo2023.tubitak.g...

Άλλη μία λύση για το πρώτο των μικρών: Από την ταυτότητα $(a+b+c)(ab^2+bc^2+ca^2)=(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+(ab^3+bc^3+ca^3)+(abc^2+bca^2+cab^2)$ και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι $a+b+c=0$ αυτή είναι ισοδύναμη με την $0=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc(a+b+c) \Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=0$ απ' όπου ...

Χρόνια πολλά στο μεγάλο μας σχολείο!!