Καλησπέρα :logo: Συμβολίζουμε με $C([0,1])$ το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων που ορίζονται στο διάστημα $[0,1]$ και παίρνουν τιμές στο $\mathbb R$. Να αποδείξετε ότι ο γραμμικός τελεστής $T:C([0,1]) \rightarrow C([0,1])$ με $T(f(t))(x)=f(x)-\int_{0}^{x}f(x-t)e^{-t^2}dt$ είναι 1-1, επί και αμφισυνεχ...

Καλημέρα. Θα εξετάσουμε το γενικότερο πρόβλημα για $n=2k+1$ σημεία στην περιφέρεια του κύκλου. Παρατηρούμε ότι δε γίνεται δύο διαδοχικοί αριθμοί(της περιφέρειας) να είναι και οι δύο περιττοί ή και οι δύο να αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο διαιρούμενοι με το $3$. α)Βάζουμε τους αριθμούς $(2,3,2,3,...,2,3,4)...

Καλησπέρα. Δίνεται ακολουθία $A_1,A_2,...,A_n,...$ Lebesgue μετρήσιμων υποσυνόλων του $\mathbb{R}$ με τις εξής ιδιότητες: α) $\lambda(A_n)\geq \frac{1}{2}$ για κάθε $n$ φυσικό. β)Για κάθε $m\neq n$ φυσικούς ισχύει $\lambda(A_n\cap A_m)\leq \frac{1}{4}$. Να αποδείξετε ότι $\lambda(\cup_{n=1}^{+\infty...

G2. (Σαουδική Αραβία) Έστω $ABC$ τρίγωνο με περιγεγραμμένο κύκλο $\cal C$ . Το σημείο $D$ ανήκει στο $\wideparen{BC}$ του $\cal C$ και είναι διαφορετικό από τα $B,C$ και το μέσον του τόξου $\wideparen{BC}$. Η εφαπτομένη του $\cal C$ στο $D$ τέμνει τις ευθείες $BC,CA,AB$ στα $A',B',C'$, αντίστοιχα. ...

Δίνω κι εγώ μια σκέψη-μετά από καιρό.Η ιδέα μου μοιάζει(στο τελείωμα) αρκετά με τις δύο προηγούμενες. Θεωρώ $A'$ το αντιδιαμετρικό του $A$,$T$ το μέσο της $BC$ και $P\equiv OT\cap AN$. Τα τρίγωνα $\vartriangle AKL,A'BC$ είναι όμοια κι έχουν τις αντίστοιχες πλευρές του παράλληλες,άρα οι διάμεσοι $AN,...

Έστω πολυώνυμο βαθμού .Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει το πολύ ακέραιες λύσεις.

Ας βάλω κι εγώ μια λύση. Εύκολα από γωνίες προκύπτει ότι $AQPB,DQPC$ εγγράψιμα. Απ'αυτά, αφενός έχουμε $EQ\cdot EB=EA\cdot EP$ και αφετέρου $FP\cdot FD=FQ\cdot FC$. Επομένως, τα $E,F$ ανήκουν στο ριζικό άξονα των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\vartriangle ADP,QBC$, δηλαδή η $EF$ είναι η κοινή...

Μετά την ωραία(και διδακτική) λύση του κ.Μιχάλη,ας δούμε και τη δική μου σκέψη. Θέτω $z_{2n+1}=cos\frac{2\pi}{2n+1} +i\cdot sin\frac{2\pi}{2n+1}$. Παρατηρώ ότι $|1-z_{2n+1}^k|^2=2^2sin^2\frac{k\pi}{2n+1}$,για κάθε $k$ φυσικό. Πολλαπλασιάζοντας από $1$ έως $n$ λαμβάνω: $\prod_{k=1}^{n}|1-z_{2n+1}^k|^...

Υπάρχει και μια πολύ σύντομη λύση με αντιστροφή. Η αντιστροφή με πόλο το $I$(έγκεντρο) που στέλνει το εγγεγραμμένο κύκλο στον εαυτό του,απεικονίζει τον περιγεγραμμένο κύκλο στον κύκλο Euler του $KLM$ κι αντίστοιχα του $K'L'M'$.Όμως αφού τα δύο αρχικά τρίγωνα έχουν τον ίδιο περιγεγραμμένο κύκλο,άρα α...

$Problem 3$ Έστω $ABC$ oξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο με $AB > AC$ .Έστω $\Gamma$ ο περίκυκλος και $H$ το ορθόκεντρο και $F$ το ίχνος του ύψους από το $A$.Ας είναι $M$ το μέσον της $BC$ και $Q$ σημείο στον $\Gamma$ ώστε $<HQA=90$ και $K$ στον $\Gamma$ ώστε $<HKQ=90$. Tα σημεία$A,B,C,K,Q$ είναι όλα διαφορ...

Πολύ ωραία! :coolspeak: Προσθέτω και το δεύτερο σκέλος της άσκησης. Έστω $A'$ το αντιδιαμετρικό του $A$.Η κάθετη απ'το $D$ στην $AA'$ τέμνει τον $(O)$ στα $K,L$.Αν $X,Y$ τα μέσα των $A'K,A'L$,δείξτε ότι στον περιγεγραμμένο κύκλο του $PQST$(όπως ορίστηκε στο 1ο σκέλος) ανήκουν και τα σημεία $X,Y$ κι ...

Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο .Το ύψος () τέμνει τον στο .Αν είναι τα συμμετρικά του ως προς τις ,αντίστοιχα,και τα μέσα των ,να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

Καλησπέρα. Πολύ ωραία η λύση του κ. Στάθη! Δίνω και μια διαφορετική με αναλογίες. Χρησιμοποιώ το σχήμα λίγο πιο πάνω. Θα αποδείξω ότι οι χορδές $NM,\ EZ$ τέμνουν την $AB$ σε ίσους λόγους. Αρκεί, λοιπόν, να αποδείξω ότι $\displaystyle \frac{MA\cdot NA}{MB\cdot NB}=\frac{EA\cdot ZA}{EB\cdot ZB}$. Έστω...

Γεια.

Θα ήθελα να μου δώσεις μια υπόδειξη για το πώς μπορώ να αποδείξω τη 2η ιδιότητα που χρησιμποιήσες.

Geometry 7 Έστω $ABC$ ένα τρίγωνο με περίκυκλο $\Omega$ και έκκεντρο $I.$ Η κάθετη από το $I$ στην $CI$ τέμνει τέμνει το τμήμα $BC$ και το τόξο $BC$ (που δεν περιέχει το $A$) στα σημεία $U,V.$ Η παράλληλη από το $U$ στην $AI$ τέμνει την $AV$ στο $X$ και η από το $V$ παράλληλη στην $AI$ τέμνει την $...

Ορίζω μια συνάρτηση $f:\{ 1,2,...,2014,2015 \}\rightarrow \{ 10,01,11 \}$. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν $x$ νομίσματα στο τραπέζι κι αυτός που είναι η σειρά του να παίξει έχει μαζέψει ως τώρα άρτιο αριθμό νομισμάτων.Τότε αν έχει στρατηγική νίκης θα βάζω $1$ στο πρώτο ψηφίο του $f(x)$(μηδέν αλλιώς).Όμο...

Βάζω κι εγώ μια ιδέα-ελπίζω πλήρη. Αρχικά ορίζω για ένα σύνολο $X$ με στοιχεία $x_i$ ότι το $kX+l$ είναι το σύνολο με στοιχεία $kx_i+l$. Έστω $f(n)$ ο ζητούμενος πληθάριθμος αν $T_n=\{ 1,2,...,2^n \}$. Χωρίζω το $T$ σε $4$ σύνολα ανάλογα με το υπόλοιπο που αφήνει κάθε στοιχείο διαρούμενο με το $4$.Α...

Γεια σας κύριε Στάθη.Ας δούμε μια λύση. α)Θα δείξω μόνο τη διχοτόμο της $\angle DAC$,διότι για την άλλη η πορεία σκέψης είναι ίδια. Έστω $T$ το σημείο επαφής του κύκλου $(L)$ με την $AD$.Προφανώς αρκεί να αποδείξω ότι $BA=BZ$.Κάνω αντιστροφή με πόλο το $B$ και δύναμη $BA^2=BC \cdot BD$.Ο κύκλος $(O)...

Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$. Θεωρούμε 2 σημεία $P,\ Q\in BC$ τέτοια ώστε $PB = CQ = x$, με $x<\frac{BC}{2}$. Η κάθετη από το $P$ στη $BC$ τέμνει την $AB$ στο $X$. Η κάθετη από το $Q$ στη $BC$ τέμνει την $AC$ στο $Y$. Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $\vartriangle AXY$ διέρ...

Γεια σου Δημήτρη. Οι αριθμοί $x=5 ,y=8 , z=18 , w=57$ ικανοποιούν. Πράγματι,$x^2+1=26=2\cdot 13$ $y^2+1=65=5\cdot 13$ $z^2+1=325=5^2\cdot 13$ $w^2+1=3250=2\cdot 5^3\cdot 13$ Άρα,έχουν όλα μέγιστο πρώτο διαιρέτη το 13. Εξηγώ τη σκέψη μου. Αρχικά,βρήκα τους μέγιστους πρώτους διαιρέτες των πρώτων 20 πα...