4. Να προσδιοριστούν τα $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ ώστε η συνάρτηση $\displaystyle{y=\frac{2\alpha x+\beta}{x^2+1}}$ να έχει μέγιστο $\displaystyle{4}$ και ελάχιστο $\displaystyle{-1}$. Μια απόπειρα. Πρέπει οι $\displaystyle \frac{2ax+b}{x^2+1}\leq 4 \Leftrightarrow 4x^2-2ax...

Τις καλύτερες ευχές και από μένα σε όσους γιορτάζουν. Να έχετε υγεία και να είστε δημιουργικοί.

parmenides51 έγραψε: 4. Να υπολογισθεί το εαν δίνεται οτι

Μια ιδέα. Ισχύει

Αφού $\displaystyle D=b^2-4a>0$ τότε το τριώνυμο έχει 2 διαφορετικές πραγματικές ρίζες. Από $\displaystyle b^2<b|a|+2a^2\Leftrightarrow (b+|a|)(b-2|a|)<0\Leftrightarrow -|a|<b<2|a|$ και αφού $\displaystyle -2|a|\leq -|a|$ προκύπτει $\displaystyle b^2<4a^2$ Αρκεί ισοδύναμα να αποδειχθεί $(|x_1|-|x_2|...

2. Να λυθεί η εξίσωση

Για την 2η, όμορφη ταυτότητα.

Μια σκέψη. Ο λόγος των εμβαδών ισούται με μιας και οι γωνίες, ως παραπληρωματικές, έχουν το ίδιο ημίτονο. Εφαρμόζοντας τα 2 θεωρήματα Πτολεμαίου έχουμε σύστημα με ...

Για το 3ο θέμα.

Από την δεύτερη προκύπτει

Τότε η πρώτη γίνεται:



Η έχει θετική λύση το 16, άρα

Για το 1ο θέμα. Εύκολα για τον παρονομαστή καταλήγει κανείς στο $\displaystyle (x-y)(x-y-1)$ Ασχολούμαστε με τον αριθμητή. $\displaystyle 2x^2-4xy+2y^2-x^2+4x-4+y^2-2y+1-2=2(x-y)^2-2+(y-1)^2-(x-2)^2=2(x-y-1)(x-y+1)-(x+y-3)(x-y-1)=(x-y-1)(x-3y+5)$ Τελικά το κλάσμα ισούται με: $\displaystyle \frac{x-3...

Για το 4ο θέμα. $\displaystyle 1+\sin 2x -1 -\cos^2 x +\sin^2 x -\sin x + \cos x=0\Leftrightarrow (\sin x + \cos x)^2 -1+(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)-(\sin x-\cos x)=0\Leftrightarrow (\sin x+\cos x-1)(\sin x+\cos x+1)+(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x-1)=0\Leftrightarrow (\sin x+\cos x-1)(2\sin x+1)=0...

Για το πρώτο θέμα. Έστω $\displaystyle \triangle ABC$, και $\displaystyle AK$ η διάμεσος του, $\displaystyle M$ τυχαίο σημείο αυτής και $\displaystyle ME\ ,\ MZ$ οι αποστάσεις του $\displaystyle M$ από τις $\displaystyle AB\ ,\ AC$ αντίστοιχα. Αρκεί $\displaystyle ME\cdot AB=MZ\cdot AC$ το οποίο ισχ...

Για την 246 (το πρώτο της ερώτημα). Φέρνω τη $\displaystyle CE$ που καταλήγει στο $\displaystyle Z$ και σημείο $\displaystyle S$ της $\displaystyle AB$ ώστε $\displaystyle C\hat ZS=60^0$. Θα δείξουμε ότι $\displaystyle Z\hat CS=60^0$. $\displaystyle \triangle BEC$ ισοσκελές με $\displaystyle E\hat B...

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο η υποτείνουσα είναι τετραπλάσια από το ύψος .

Βρείτε το

Αν μου επιτρέπεις, παίξε με το τρίτομο του Σκομπρή ή το δίτομο του Παπαδάκη σε συνδυασμό με το κίτρινο επαναληπτικό του Παπαδάκη, όλα εκδόσεις Σαββάλα και άσε αυτά για αργότερα. Τα παραπάνω που ανέφερα, αν λυθούν όλες μα όλες οι ασκήσεις τους, σε καλύπτουν και σε κρατούν στο πνεύμα των σχολικών εξετ...

Ο κύκλος κέντρου $\displaystyle K$ έχει ακτίνα $\displaystyle R=\frac{a}{2}\sqrt{2}$ Έστω $\displaystyle L$ το κέντρο του άλλου κύκλου και $\displaystyle E$ η προβολή του $\displaystyle K$ στην $\displaystyle AB$ Γνωρίζουμε ότι η διάκεντρος διέρχεται από το σημείο επαφής τους και εφαρμόζουμε Π. Θ. σ...

Έστω κυρτό τετράπλευρο και τα μέσα των αντίστοιχα. Να βρείτε τον λόγο:

Έστω $\displaystyle O$ το μέσο της υποτείνουσας, άρα και περίκεντρο. Γνωρίζουμε ότι η διχοτόμος της $\displaystyle \angle C$ και η μεσοκάθετος της $\displaystyle AB$ τέμνονται στον περίκυκλο, δηλαδή στο $\displaystyle S$. Από την ισότητα των $\displaystyle \triangle OST\ ,\ OMB$ (όπου $\displaystyle...

Αν επιτρέπει ο κύριος Μπάμπης, μόνο για τους μικρούς μας φίλους να γράψω πώς κατασκευάζονται αυτές οι πανέμορφες ασκήσεις για να πονηρεύονται αυτόματα όταν τους τύχουν. Διαλέγουν ίδιο πλήθος προσθετέων στα κλάσματα (όσους θέλουμε), κάθε όρος έχει το ίδιο πλήθος παραγόντων (όσους θέλουμε), οι όροι αν...

Απλώς να πώ, ως γενίκευση, ότι στο ίδιο συμπέρασμα θα καταλήγαμε αν το τετράπλευρο ήταν παραλληλόγραμμο. Επίσης, νομίζω ότι θα ήταν ενδιαφέρουσα άσκηση και αν αρχικά είχαμε τραπέζιο (γνωστού εμβαδού) και γνωρίζαμε το λόγο των βάσεων.

Δεν ξέρω αν είναι ο κατάλληλος φάκελος. Γνωρίζουμε (το έχουμε συζητήσει και στο :logo: ) ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο οι πλευρές είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε: Οι πλευρές έχουν τη μορφή: $\displaystyle 3x\ ,\ 4x\ ,\ 5x$ Ο επόμενος όρος είναι η ημιπερίμετρος Η ακτίνα του εγγεγραμμένου...

Θεωρώντας γνωστά τα:





η δοθείσα μετά τις πράξεις (με επιφύλαξη και ζητώντας συγνώμη που δεν τις γράφω) οδηγεί στην:



η οποία ισχύει αφού το 2ο μέλος είναι αρνητικό.