Σας ευχαριστώ πολύ! Πήρα πολλή χαρά από τις ευχές σας.
Με τη σειρά μου εύχομαι σε όλους καλές διακοπές, υγεία και δημιουργική διάθεση.

Η εξ Να λυθεί η εξίσωση $ \sqrt {2+x} + \sqrt {2-x} = x$ Αν θέλετε να υψώσετε τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στο τετράγωνο, μπορείτε να το κάνετε μόνο μία φορά. Χρόνια Πολλά! !Η εξίσωση γράφεται $ \sqrt {2+x} + \sqrt {2-x} = \dfrac{(\sqrt {2+x} + \sqrt {2-x})(\sqrt {2+x} - \sqrt {2-x} ) }{2}$ Απλοποιώντα...

α) Ένας παίκτης του μπάσκετ είχε κάποια στιγμή ποσοστό επιτυχίας στις βολές, κάτω από $75$%. Αργότερα είχε ποσοστό επιτυχίας πάνω από $75$%. Να αποδείξετε ότι κάποια στιγμή είχε ποσοστό επιτυχίας ακριβώς $75$%. β) Να δώσετε παράδειγμα κλάσματος $\dfrac {p}{q} $ από το $1$% μέχρι το $99$% από όπου ν...

Διατάξτε τα κομμάτια της διαγωνίου.png Το παραπάνω σχήμα είναι ένα τετράγωνο με εμβαδόν $30$ $cm^2.$ Χωρίστηκε στα δύο από μία διαγώνιό του και κατόπιν σε τρίγωνα όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα εμβαδά κάποιων τριγώνων δίνονται στο σχήμα. Να βάλετε στη σειρά από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τα τμήματα $...

Είναι

Επομένως

Καλημέρα σας!

Η μέγιστη τιμή της συνάρτηση στο είναι η Άρα



οπότε



Απλοποιώντας προκύπτει το ζητούμενο.

Πρόσθεσα ένα απόλυτο.

1. Υπάρχει άραγε μια συλλογή $2021$ διαφορετικών θετικών ακέραιων, που έχουν την παρακάτω ιδιότητα: αν διαλέξουμε από αυτή οποιοδήποτε αριθμό $a$, οι υπόλοιποι $2020$ αριθμοί μπορούν να χωρισθούν σε ζεύγη έτσι, ώστε ο $a$ να διαιρείται με την διαφορά των αριθμών κάθε ζεύγους; Οι αριθμοί $1,2,3,...,...

Γεια σας φίλοι! Χρόνια Πολλά!
Για και ισχύει το ίσον και στις δύο ανισώσεις.

Αγαπητέ Νίκο, Χρόνια Πολλά με υγεία και δημιουργική διάθεση! Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν τέτοιοι φυσικοί αριθμοί $x,y.$. Η πρώτη ανίσωση δίνει $x^2-\sqrt{5}xy+y^2\le 0$ ή $\left(\dfrac{y}{x}\right)^2-\sqrt{5}\dfrac{y}{x}+1\le 0.$ Λύνουμε την ανίσωση και βρίσκουμε $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\le \dfrac{y}{x...

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα $\dfrac{1+\sqrt{2+\dfrac{1}{x^2}}}{1+\sqrt{(x+1)^2+2}}=x(x+1)$ Προφανώς $x(x+1)>0.$ Έστω $a$ μια λύση της εξίσωσης. $\bullet$ Αν $a(a+1)>1$ τότε $\dfrac{1+\sqrt{2+\dfrac{1}{a^2}}}{1+\sqrt{(a+1)^2+2}}>1$ οπότε $\dfrac{1}{a^2}>(a+1)^2$ ή $[a(a+1)]^2<1,$ άτοπο. $\bullet$ Αν...

1o Θέμα Γ΄Λυκείου Έστω οι θετικοί ακέραιοι $a,b,c$ ώστε $4a^2=6b^2+5c^2+25$ και $13a=3b+2c+34.$ Η πρώτη ισότητα δίνει $4a^2>6b^2>4b^2$ οπότε $a>b.$ Ομοίως $4a^2>5c^2>4c^2$ οπότε $a>c.$ Επομένως $b,c\leq a-1.$ Τώρα η δεύτερη ισότητα δίνει $13a\leq 5(a-1)+34$ οπότε $8a\leq 29$ και άρα $a\leq 3.$ Αφού...

Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 Θέματα τάξεων 8-9, 4 Απριλίου 2021 4. Οι διαφορετικοί θετικοί αριθμοί $a,b,c$ είναι τέτοιοι, ώστε $a^{239}=ac-1$ και $b^{239}=bc-1$. Να αποδείξετε, ότι $238^{2}(ab)^{239} < 1$. Aπό υπόθεση, $c=a^{238}+\dfrac{1}{a}=b^{238}+\dfrac{1}{b}$ οπότε $a^{238}-b^{238}=\dfrac{1}{b}-\...

Αν θετικοί ακέραιοι έχουν άθροισμα και ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του

β) Να βρείτε 100 θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους. Θα προσπαθήσουμε να βρούμε $100$ αριθμούς με ΕΚΠ το $210$ και άθροισμα το $210$. (Γιατί διαλέξαμε το $210$; Γιατί ξεπερνάνει το 100 και στην ανάλυσή του σε γινόμενο πρώτω...

α) Να βρείτε τρεις θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους. β) Να βρείτε 100 θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους. γ) Να βρείτε 2020 θετικούς ακέραιους α...

Οι βάσεις ενός τραπεζίου έχουν μήκη και Οι προσκείμενες γωνίες της μεγάλης βάσης είναι και
Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος που ενώνει τα μέσα των βάσεών του.

Τρεις ομόκεντροι κύκλοι έχουν εμβαδά $2\pi, 3\pi, 4\pi.$ Από ένα σημείο Α του μεγαλύτερου κύκλου σχεδιάζουμε μία εφαπτομένη προς τον μεσαίο κύκλο με σημείο επαφής το $B$ και μια εφαπτομένη προς το μικρό κύκλο με σημείο επαφής το $C$, όπως το σχήμα. Πόσων μοιρών είναι η γωνία $\hat{BAC}$; Τρεις ομόκε...

Πόσοι ακέραιοι αριθμοί υπάρχουν τέτοιοι ώστε

.

H ισότητα πιάνεται μόνο όταν δηλαδή όταν

Καλησπέρα σας! Είδα καλή παρέα και μπήκα! Αισθάνθηκα σαν να περπατούσα στην παλιά μου γειτονιά και να είδα φίλους καλούς που με κάλεσαν στο τραπέζι τους! Θέτω $a=1-x,$ $b=x-y,$ $c=y-w,$ $d=w.$ Τότε $a+b+c+d=1.$ Άρα $4(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2$ οπότε $3(a^2+b^2+c^2+d^2)=2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$ $...