Η αναζήτηση βρήκε 1425 εγγραφές

από Παύλος Μαραγκουδάκης
Σάβ Ιουν 23, 2018 8:56 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2018
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 1863

Re: JBMO 2018

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά της ελληνικής και της κυπριακής ομάδας, τους δασκάλους και τους προπονητές σας! Πάντα να προχωράτε στη γνώση και την αρετή!
Ορέστη, έχεις τις πιο θερμές ευχές μου για την κορυφαία σου επίδοση!
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κυρ Απρ 15, 2018 12:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Βρείτε το γινόμενο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 585

Re: Βρείτε το γινόμενο

Είναι $0<x\leq 4,$ $0<y\leq 5,$ $0<z\leq 6.$ Υπάρχουν οξείες γωνίες $a,b,c$ ώστε $x=4\sin a, y=5\sin b, z=6\sin c.$ Τότε $4\cos a+5\cos b+6\cos c=12$ και $4\sin a+5\sin b+6\sin c=9.$ Θεωρούμε τους μιγαδικούς $z_1=\cos a+i\sin a, z_2=\cos b+i\sin b, z_3=\cos c+i\sin c.$ Τότε $4z_1+5z_2+6z_3=12+9i$ οπ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Μαρ 26, 2018 10:39 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Του Ευαγγελισμού
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 387

Re: Του Ευαγγελισμού

Χρόνια Πολλά σε όλους τους εορτάζοντες και ιδιαιτέρως στον εξαίρετο συντονιστή μας Βαγγέλη Μουρούκο!
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τρί Μαρ 13, 2018 12:10 pm
Δ. Συζήτηση: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Παραγοντοποίηση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 502

Re: Παραγοντοποίηση

Πολύ καλή η παρατήρηση σου Γιώργο. Έτσι όπως μπήκε η ερώτηση, η απάντηση αυτή δεν μπορεί παρά να είναι δεκτή. Η απάντηση δεν είναι μονοσήμαντη και μπορούμε να φτιάξουμε εύκολα τέτοια παραδείγματα όπως το πολυώνυμο $P(x)=(x^2-1)(x^2+1)(x^2-2)(x^2+2)=x^8-5x^4+4$ γράφεται $P(x)=(x^4-3x^2+2)(x^4+3x^2+2)...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Μαρ 12, 2018 11:48 pm
Δ. Συζήτηση: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Παραγοντοποίηση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 502

Re: Παραγοντοποίηση

Γιώργο δεν έχω κάτι καλύτερο κατά νου. Όσο για την απορία που διατυπώνεις, έχεις δίκιο. Μια εναλλακτική διατύπωση που θα μπορούσε να σταθεί είναι: Να αναλύσετε σε γινόμενο δύο παραγόντων 4ου βαθμού το πολυώνυμο $x^8+2702x^4y^4+y^8.$ Η ιδέα είναι από ένα παλιό καλό βιβλίο του Μανόλη Μαραγκάκη "Αλγεβρ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κυρ Μαρ 11, 2018 10:35 am
Δ. Συζήτηση: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Παραγοντοποίηση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 502

Παραγοντοποίηση

Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο \rm x^8 +2702x^4y^4 +y^8.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Φεβ 19, 2018 9:41 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τριψήφιοι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 584

Re: Τριψήφιοι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους

Πολύ ωραία Γιώργο! Δεν έχω κάτι άλλο, ας πούμε αριθμοθεωρητικό, κατά νου, μοιάζει ότι πρέπει να δοκιμάσουμε 90 περιπτώσεις, όμως ο πίνακας κάνει εύκολες τις δοκιμές και με λίγη προσοχή δεν χάνουμε κάποια λύση. Άλλωστε οι πιο πολλές από τις περιπτώσεις είναι φανερό πως δεν δίνουν λύση. Ας προσθέσω δύ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Παρ Φεβ 16, 2018 12:24 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Είναι ακέραιος
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 583

Re: Είναι ακέραιος

Μια λύση εντός φακέλου μέσω της ταυτότητας $x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+...+y^{n-1}).$ Είναι $2^{2n-1}(a^{2n}+b^{2n})-4^na^nb^n=2^{2n-1}(a^n-b^n)^2=(a-b)^2k$ όπου $k$ ακέραιος $(a+b)^{2n}-4^na^nb^n=[(a+b)^2-4ab]m=(a-b)^2m$ όπου $m$ ακέραιος. Αφαιρώντας έπεται το ζητούμενο. Επίσης $2^{2n}(a^{2n+1}+b^{2n+1}...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τρί Φεβ 13, 2018 11:25 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τριψήφιοι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 584

Τριψήφιοι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους

Να βρεθούν όλοι οι τριψήφιοι οι οποίοι είναι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κυρ Φεβ 11, 2018 5:08 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 1138

Re: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

Μπάμπη, να είσαι πολύχρονος! Σου εύχομαι υγεία, δύναμη και δημιουργική διάθεση!
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κυρ Φεβ 11, 2018 2:44 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Για την εφαπτομένη των 89 μοιρών
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 580

Για την εφαπτομένη των 89 μοιρών

Ο πίνακας των τριγωνομετρικών αριθμών του σχολικού βιβλίου έχει στο τέλος την εντυπωσιακή τιμή \tan 89^o=57,2900...
Η αριθμομηχανή μου λέει πως \tan 89^o=57,289961...

Να αποδειχθεί ότι \tan 89^o>57
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τετ Φεβ 07, 2018 11:37 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Ελαφρώς αλλαγμένη
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 693

Re: Ελαφρώς αλλαγμένη

Μια ακόμα σκέψη: Η αρχική γράφεται $\left(\dfrac{a-2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{b+5}{3}\right)^2=1.$ Υπάρχει $\theta\in [0,2\pi)$ ώστε $\cos\theta=\dfrac{a-2}{3}$ και $\sin\theta=\dfrac{b+5}{3}$ οπότε $a-b-7=3(\cos\theta-\sin\theta)=3\sqrt2\cos(\dfrac{\pi}{4}-\theta).$ Άρα $a-b-7\in[-3\sqrt2,3\sqrt2]$
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τρί Φεβ 06, 2018 11:28 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Ελαφρώς αλλαγμένη
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 693

Re: Ελαφρώς αλλαγμένη

Θέτουμε x=a-b.
Απαλείφοντας το a από τη αρχική σχέση βρίσκουμε
2b^2+(2x+6)b+x^2-4x+20=0.
Η τελευταία έχει μη αρνητική διακρίνουσα οπότε x^2-14x+31\leq 0 και τελικά 7-3\sqrt2\leq a-b\leq 7+3\sqrt2.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Παρ Ιαν 26, 2018 1:38 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΓΡΗΓΟΡΗ
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 1188

Re: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΓΡΗΓΟΡΗ

Γρηγόρη, να είσαι πολύχρονος!
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Σάβ Ιαν 20, 2018 9:09 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018
Απαντήσεις: 95
Προβολές: 15205

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Διαβάζοντας τη λύση τoυ Αχιλλέα για το 4o θέμα της Α Λυκείου έκανα την εξής σκέψη: Μπορεί να λυθεί χωρίς να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης $2007x=10.000k+2008$ αλλά παρατηρώντας την μορφή των λύσεων. Εφόσον οι $2007,10.000$ είναι πρώτοι μεταξύ τους η εξίσωση έχει σίγουρα ακέραια λύση $(x_0,...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Πέμ Ιαν 18, 2018 11:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Του Αγίου Αθανασίου
Απαντήσεις: 23
Προβολές: 838

Re: Του Αγίου Αθανασίου

Χρόνια Πολλά σε όλους τους φίλους που γιορτάζουν σήμερα! Πολλές ευχές στους Μάγκο Θάνο, Κοντογεώργη Αθανάσιο, KARKAR και Μπεληγιάννη Αθανάσιο όλοι τους σπουδαίοι θεματοδότες και λύτες, έκαστος στο είδος του, που τους χρωστάω χάρη για όσα έμαθα είτε παλεύοντας να λύσω τα προβλήματα που ανεβάζουν είτε...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Σάβ Ιαν 06, 2018 10:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Φωτεινή-Φώτης-Φάνης
Απαντήσεις: 30
Προβολές: 1218

Re: Φωτεινή-Φώτης-Φάνης

Χρόνια Πολλά για την ημέρα σε όλους τους φίλους.
Πολλές ευχές ευχές στη Φωτεινή Καλδή, στο Φώτη Μαραντίδη, και στο Φάνη Θεοφανίδη.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τρί Δεκ 26, 2017 8:57 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Χρήστος - Χριστίνα
Απαντήσεις: 23
Προβολές: 703

Re: Χρήστος - Χριστίνα

Χρόνια Πολλά :logo: !
Ιδιαίτερες ευχές στον Χρήστο Κυριαζή και τον Χρήστο Τσιφάκη!
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Πέμ Δεκ 07, 2017 12:16 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Χρόνια πολλά
Απαντήσεις: 32
Προβολές: 1340

Re: Χρόνια πολλά

Χρόνια Πολλά σε όσους γιορτάζουν σήμερα.
Ιδιαίτερες ευχές στους:
Νίκο Μαυρογιάννη,
Νίκο Φραγκάκη και
Νίκο Ζανταρίδη.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κυρ Νοέμ 12, 2017 12:16 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Υπολογισμός λόγου.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 272

Re: Υπολογισμός λόγου.

Η δύναμη του σημείου $O$ ως προς τον κύκλο $C_2$ είναι $OE^2=R(R+2r)$ ενώ του $E$ ως προς τον $C_1$ είναι $E\Delta ^2=OE^2-O\Delta ^2=R(R+2r)-R^2=2Rr.$ Τέλος η δύναμη του σημείου $\Gamma$ ως προς τον $C_1$ είναι $\Gamma \Delta ^2=(R+2r)^2-R^2=4r(R+r).$ Είναι $BE\parallel O\Delta$ αφού και οι δύο είν...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση