Η αναζήτηση βρήκε 1469 εγγραφές

από Παύλος Μαραγκουδάκης
Παρ Μάιος 01, 2020 10:01 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Λόγος ορθογωνίων
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 101

Re: Λόγος ορθογωνίων

Λόγος ορθογωνίων.png Αν $x,y$ είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου και $\upsilon$ το ύψος του τραπεζίου τότε το εμβαδόν του τραπεζίου υπολογίζεται με δύο τρόπους: $(ABCD)=\dfrac{(a+b)\upsilon}{2}$ $(ABCD)=\dfrac{xy}{2}+\dfrac{b\upsilon}{2}$ Άρα $xy=a\upsilon$ οπότε $(BCEZ)=xy=a\upsilon.$ Διαιρώντας $...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Παρ Μάιος 01, 2020 8:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Για ένα τμήμα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 258

Re: Για ένα τμήμα

Για ένα τμήμα.png Πάνω στο τμήμα $AE$ παίρνουμε σημείο $Z$ ώστε $CZ=12.$ Τότε $ZE=3$ και τα τρίγωνα $ACD, CDZ$ είναι ίσα οπότε το τρίγωνο $CDZ$ είναι ορθογώνιο στο $Z.$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο $CDE$ ισχύει $DZ^2=CZ\cdot ZE$ οπότε $DZ=6.$ Άρα $AD=6.$ Υπολογίζοντας το εμβαδόν του τριγώνου $BCD$ με δύο ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Πέμ Απρ 30, 2020 1:21 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Πέντε τετράγωνα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 167

Πέντε τετράγωνα!

Πέντε τετράγωνα.png Στο παραπάνω σχήμα έχουμε πέντε τετράγωνα σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων. Γνωρίζουμε ότι το σημείο $K$ έχει τετμημένη το 15. α) Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων $A, B, \Gamma, K, \Lambda.$ β) Ποια είναι η περίμετρος και ποιο το εμβαδόν του κίτρινου πολυγωνικού χωρ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Πέμ Απρ 30, 2020 12:42 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Πύραυλος!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 172

Πύραυλος!

Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε, σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, πέντε ισόπλευρα τρίγωνα και ένα τετράγωνο. Γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο έχει πλευρά 2. Βρείτε τις συντεταγμένες όλων των σημειωμένων σημείων.
Πύραυλος (2).png
Πύραυλος (2).png (13.41 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τετ Απρ 29, 2020 11:57 pm
Δ. Συζήτηση: Εκπαιδευτικά Θέματα
Θέμα: ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ ΤΟΥ mathematica.gr ΓΙΑ ΤΟ ΠΟΛΥΝΟΜΟΣΧΕΔΙΟ
Απαντήσεις: 226
Προβολές: 5956

Re: ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ ΤΟΥ mathematica.gr ΓΙΑ ΤΟ ΠΟΛΥΝΟΜΟΣΧΕΔΙΟ

Υπογράφω την παραπάνω ανακοίνωση.
Παύλος Μαραγκουδάκης
Μαθηματικός
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τετ Απρ 29, 2020 11:51 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Υπολογισμός τριγωνομετρικού αριθμού από εξισώσεις.
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 221

Re: Υπολογισμός τριγωνομετρικού αριθμού από εξισώσεις.

Απαλείφουμε το a και προκύπτει x^3+\sin x=(-2y)^3+\sin(-2y) ή f(x)=f(-2y) όπου f(t)=t^3+\sin t.

Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}] και από την υπόθεση x,-2y\in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}] οπότε x=-2y.
Άρα \cos(x+2y)=1.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τετ Απρ 29, 2020 11:19 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Τριγωνομετρικές εκφράσεις
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 213

Re: Τριγωνομετρικές εκφράσεις

Οι δοσμένες ισότητες απλοποιούνται ως εξής: Είναι $\cos3x=4\cos^3x-3\cos x$ και $2\cos 2x-1=4\cos^2x-3$ οπότε το 1ο μέλος της πρώτης ισότητας γίνεται $\boxed{\dfrac{\cos x}{\cos y}=\dfrac{2}{3}+\cos^2(x-y)}.$ Με όμοιο τρόπο απλοποιείται και η 2η ισότητα: $\boxed{\dfrac{\sin x}{\sin y}=-\dfrac{1}{3}-...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τρί Απρ 28, 2020 10:55 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: 'Αλγεβρα με συνθήκη!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 355

Re: 'Αλγεβρα με συνθήκη!

Γεια σου Χρήστο!
Ας θεωρήσουμε το πολυώνυμο P(x)=(x-a)(x-b)(x-c).
Αν S=a+b+c, Q=ab+bc+ca, P=abc τότε P(x)=x^3-Sx^2+Qx-P.
Από υπόθεση, P=SQ οπότε P(x)=x^3-Sx^2+Qx-SQ=(x^2+Q)(x-S).
Άρα το S είναι μία ρίζα του P(x) δηλαδή S=a ή S=b ή S=c οπότε
b+c=0 ή a+c=0 ή c+a=0.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τρί Απρ 28, 2020 8:34 pm
Δ. Συζήτηση: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Μοιρασιά για την Α΄ Γυμνασίου!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 325

Re: Μοιρασιά για την Α΄ Γυμνασίου!

Το σίγουρο είναι πως ο Ιάσονας έχει καλό μαθηματικό γούστο! Νομίζω πως αξίζει το μπράβο του κ. Λάμπρου. Μοιρασιά.png Όταν συζητήσαμε την άσκηση στην τάξη, φτιάξαμε στον πίνακα τρεις άνισους κύκλους που παρίσταναν τα χρήματα των τριών παιδιών. Με τη βοήθεια αυτού του σχήματος, με λίγο κόπο καταλήξαμε...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Απρ 27, 2020 4:35 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Έξι τετράγωνα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 183

Έξι τετράγωνα!

Το μεγάλο ορθογώνιο χωρίζεται σε 6 τετράγωνα. Το μόνο που γνωρίζουμε είναι ότι η πλευρά του κόκκινου τετραγώνου είναι 1 cm. Βρείτε την πλευρά των υπολοίπων τετραγώνων.
6 τετράγωνα.png
6 τετράγωνα.png (3.22 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Απρ 27, 2020 4:17 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Μοιρασιά για την Β΄Γυμνασίου!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 205

Μοιρασιά για την Β΄Γυμνασίου!

Τρία αδέλφια, ο Αναστάσης, η Ευφροσύνη και ο Παναγιώτης μοιράστηκαν ένα ποσό χρημάτων . ⓵ Ο Αναστάσης πήρε το ένα τρίτο των χρημάτων που πήρε ο Παναγιώτης και ακόμη 13 ευρώ . ⓶ Η Ευφροσύνη πήρε το ένα τρίτο των χρημάτων που πήρε ο Αναστάσης και ακόμη 11 ευρώ. ⓷ Ο Παναγιώτης πήρε το ένα τρίτο των χρη...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Απρ 27, 2020 4:14 pm
Δ. Συζήτηση: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Μοιρασιά για την Α΄ Γυμνασίου!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 325

Μοιρασιά για την Α΄ Γυμνασίου!

Τρεις φίλοι ο Ανδρέας , ο Βασίλης και ο Γιώργος μοιράστηκαν ένα ποσό χρημάτων. ❶ Ο Ανδρέας πήρε το ένα τρίτο των χρημάτων που πήρε ο Βασίλης και ακόμη 15 ευρώ . ❷ Ο Βασίλης πήρε το ένα τρίτο των χρημάτων που πήρε ο Γιώργος και ακόμη 9 ευρώ. ❸ Ο Γιώργος πήρε το ένα τρίτο των χρημάτων που πήρε ο Ανδρέ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Απρ 27, 2020 4:02 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Εμβαδόν κίτρινης περιοχής!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 188

Εμβαδόν κίτρινης περιοχής!

Το κίτρινο εμβαδόν!.png
Το κίτρινο εμβαδόν!.png (15.88 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές
Τα M,N,Z,I είναι τα μέσα των πλευρών του τετραγώνου AB\Gamma\Delta. Nα βρείτε το εμβαδόν της κίτρινης περιοχής.
Το πρόβλημα προτάθηκε από τον μαθητή Άρη Τζοβάνη, της Β΄Γυμνασίου.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Απρ 27, 2020 3:33 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Ίδιο άθροισμα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 169

Ίδιο άθροισμα!

Ίδιο άθροισμα!.png α) Μπορείτε να τοποθετήσετε τους εννέα ακέραιους αριθμούς από το -6 έως το +2 μέσα στους παραπάνω κύκλους, έτσι ώστε σε κάθε γραμμή με τρεις κύκλους το άθροισμα των αριθμών να είναι -6 ; β) Μπορείτε να κάνετε το ίδιο ώστε το άθροισμα σε κάθε γραμμή να είναι -3 ; γ) Μπορείτε να κά...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Απρ 27, 2020 3:24 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Πολυγωνικό χωρίο!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 240

Πολυγωνικό χωρίο!

Πολυγωνικό χωρίο!.png
Πολυγωνικό χωρίο!.png (13.08 KiB) Προβλήθηκε 240 φορές


Κάθε τετραγωνάκι στο παραπάνω σχήμα έχει πλευρά 1 cm.
(α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του πολυγωνικού χωρίου ABCDEFGH.
(β) Να αποδείξετε ότι ∠EDC = 90°.
(γ) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες AH και EF είναι παράλληλες.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Απρ 27, 2020 1:57 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Quickie!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 343

Re: Quickie!

Γεια σου Θάνο! Αν $P(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$ τότε αρκεί να παραγοντοποιήσουμε το $P(605).$ Παρατηρούμε ότι αν $a=605$ τότε $a=5\cdot 11^2$ οπότε $5a=55^2.$ Το $P(x)$ γράφεται $P(x)=(x^2+3x+1)^2-5x(x+1)^2.$ Τώρα το $P(a)$ είναι διαφορά τετραγώνων. $P(a)=(a^2+3a+1)^2-55^2(a+1)^2=(a^2-52a-54)(a^2+58a+56)=3...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τετ Απρ 01, 2020 11:53 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ευρεση τυπου f
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 423

Re: Ευρεση τυπου f

Να βρεθεί η $f:(0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ που ικανοποιεί $x^2f''(x)+5xf'(x)+4f(x)=0,x>0$ $f(1)=1,f'(1)=-3$ Θέτουμε $g(x)=x^2f(x)$ Τότε $g'(x)=x^2f'(x)+2xf(x)$ $g''(x)=x^2f''(x)+4xf'(x)+2f(x)$ οπότε $\dfrac{g'(x)}{x}=xf'(x)+2f(x)$ Προσθέτοντας βρίσκουμε $g''(x)+\dfrac{g'(x)}{x}=x^2f''(x)+5xf'...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τετ Μαρ 25, 2020 9:03 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: ρίζα πολυωνύμου και συνθήκη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 268

Re: ρίζα πολυωνύμου και συνθήκη

Γράφουμε το πολυώνυμο στη μορφή $P(x)=ax^2(x-\dfrac{\beta}{a})+\gamma(x-\dfrac{\delta}{\gamma}).$ $\bullet$ Αν $x\leq \dfrac{\beta}{a}$ τότε $x<\dfrac{\delta}{\gamma}$ οπότε $P(x)<0.$ $\bullet$ Αν $x\geq \dfrac{\delta}{\gamma}$ τότε $x>\dfrac{\beta}{a}$ οπότε $P(x)>0.$ Άρα κάθε ρίζα του $P(x)$ είναι...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τρί Ιούλ 09, 2019 1:54 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Με παράμετρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 496

Re: Με παράμετρο

$f_a(x)=x\Leftrightarrow \dfrac{ln(1-x)}{lnx}=a$ Ορίζουμε $k(x)=\dfrac{ln(1-x)}{lnx},x\in\left ( 0,1 \right ).$ Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα με $k(\left ( 0,1 \right ))=\left ( 0,+\infty \right ).$ Ορίζεται η αντίστροφή της και είναι συνεχής. Επομένως $\displaystyle{\lim_{a\rig...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κυρ Ιούλ 07, 2019 8:48 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Με αφορμή το 2ο θέμα της JBMO 2019
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 647

Re: Με αφορμή το 2ο θέμα της JBMO 2019

Σταύρο, σε ευχαριστώ πολύ για τη λύση . Θα εξηγήσω πως προέκυψε το ερώτημα. Ας θυμίσω τη διατύπωση του προβλήματος. Πρόβλημα 2 (Σαουδική Αραβία) Έστω $a,b$ διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί και $c$ θετικός πραγματικός αριθμός. Αν ισχύει ότι $\displaystyle{a^4-2019a=b^4-2019b=c,}$ να αποδείξετε ότι $-...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση