Η αναζήτηση βρήκε 1436 εγγραφές

από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κυρ Δεκ 09, 2018 3:15 pm
Δ. Συζήτηση: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Σύγκριση αθροίσματος κλασμάτων με τη μονάδα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 219

Re: Σύγκριση αθροίσματος κλασμάτων με τη μονάδα

Μια άλλη λύση, με κάποιες πράξεις, βασίζεται στο ότι από δύο ή περισσότερα κλάσματα με ίδιο αριθμητή μικρότερο είναι αυτό με τον μεγαλύτερο παρανομαστή. Έτσι $\dfrac{1}{34}+\dfrac{1}{35}+...+\dfrac{1}{40}>\dfrac{7}{40}=0,175$ $\dfrac{1}{41}+\dfrac{1}{42}+...+\dfrac{1}{50}>\dfrac{10}{50}=\dfrac{1}{5}...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κυρ Δεκ 09, 2018 1:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Τρίγωνο-110.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 210

Re: Τρίγωνο-110.

φανης.png Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο $ABK.$ Ας είναι $\{ O \}=AK\cap BC.$ Τότε $A\hat{D}B=70^o$ από το ισοσκελές τρίγωνο $ABD$ και επιπλέον $K\hat{A}D=10^o$ οπότε $D\hat{A}C=30^o.$ Από την παραλληλία της υπόθεσης $E\hat{B}C=40^o$ οπότε το $AODE$ είναι εγγράψιμο. Άρα $O\hat{E}A=70^o.$ Από το ισοσ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τετ Νοέμ 28, 2018 1:42 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Τρίγωνα-108.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 132

Re: Τρίγωνα-108.

Φανης.png
Φανης.png (99.35 KiB) Προβλήθηκε 85 φορές
Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο CDE. Τότε B\hat{C} E=10^o. Το σημείο A ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας \hat{C} οπότε AD=AE και επομένως το τραπέζιο ABEC είναι ισοσκελές με AC=BE. Τα τρίγωνα BEC,ACD είναι ίσα αφού έχουν και τις τρεις πλευρές ίσες οπότε \theta =10^o.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τρί Νοέμ 27, 2018 2:23 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μήκος τμήματος.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 304

Re: Μήκος τμήματος.

ΦΑΝΗΣ3.png Κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο $\Gamma ZE.$ Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα $\Gamma E\Delta A$ και $\Gamma BA\Delta$ προκύπτει ότι και το $BA\Delta E$ είναι εγγράψιμο οπότε το τρίγωνο $BE\Delta$ είναι ισόπλευρο. Τα τρίγωνα $ZBE$ και $\Gamma E\Delta $ είναι επομένως ίσα και έτσι $\Gamma...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Νοέμ 26, 2018 12:25 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μήκος τμήματος-10.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 150

Re: Μήκος τμήματος-10.

Fanis2.png Θεωρούμε το ορθογώνιο $ABGH$ όπως στο σχήμα. Τα τρίγωνα $ABE, EHD$ είναι όμοια οπότε αν $HD=x$ τότε $HE=2x.$ Τα τρίγωνα $HDE,DCG$ είναι ίσα, άρα $DG=2x$ και έτσι $x+2x=6$ δηλαδή $x=2.$ Επομένως $CG=2$ και $BC=5.$ Αν $L$ το μέσο του $AB$ τότε $OL=4$ ως διάμεσος του τραπεζίου $EABC.$ Απο τ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:30 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Γωνία εντός παραλληλογράμμου.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 142

Re: Γωνία εντός παραλληλογράμμου.

Έστω H το σημείο τομής της CE και της AD. Τότε AH=BC=AD οπότε η AF είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου DFH. Επομένως D\hat AF=2\cdot 35^o=70^o.
Fanis.png
Fanis.png (82.71 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Νοέμ 19, 2018 12:55 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τρίγωνο-106.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 158

Re: Τρίγωνο-106.

Πολύ ωραία Γιώργο!
Το τελικό επιχείρημα θα μπορούσε να συντομευθεί αν παρατηρήσουμε ότι τα τρίγωνα BCE και CDE είναι ισοσκελή με κοινή μια γωνία της βάσης, άρα \hat B=D\hat E C.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Σάβ Νοέμ 17, 2018 10:48 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ορθογώνιο τρίγωνο, ισόπλευρα και κύκλος.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 115

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο, ισόπλευρα και κύκλος.

Φάνης.png Έστω $O$ το μέσο του $BC$ και $P$ το μέσο του $BD.$ Τα τρίγωνα $ABE$ και $ACD$ είναι ίσα οπότε $BE=CD.$ Τα μισά τους είναι επίσης ίσα, δηλαδή $OP=OK.$ Τα τρίγωνα $OBP,OAN$ είναι ίσα οπότε $OP=ON.$ Ομοίως τα τρίγωνα $OAM,OKC$ είναι ίσα οπότε $OM=OK.$ Επομένως $OP=ON=OM=OK.$ Άρα το τρίγωνο ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Σάβ Νοέμ 17, 2018 9:19 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Εμβαδόν ισοσκελούς τραπεζίου
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 216

Re: Εμβαδόν ισοσκελούς τραπεζίου

Μιχάλης2.png
Μιχάλης2.png (132.53 KiB) Προβλήθηκε 139 φορές
Με το πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε τη διαγώνιο AC=13. Το τραπέζιο είναι ισοσκελές οπότε και BD=13. Άρα

(ABCD)=\dfrac{BD(AE+CZ)}{2}=78.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Πέμ Νοέμ 15, 2018 1:07 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Απλή και όμορφη
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 275

Re: Απλή και όμορφη

Κατασκευάζουμε τα ορθογώνια AEFC και CGDF. Τότε FB=2 και E\hat BF=60^0.
Αν \omega η ζητούμενη γωνία τότε \omega+2\omega=60^0 οπότε \omega=20^0.
Μιχάλης.png
Μιχάλης.png (235.5 KiB) Προβλήθηκε 210 φορές
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Σάβ Ιουν 23, 2018 8:56 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2018
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 2198

Re: JBMO 2018

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά της ελληνικής και της κυπριακής ομάδας, τους δασκάλους και τους προπονητές σας! Πάντα να προχωράτε στη γνώση και την αρετή!
Ορέστη, έχεις τις πιο θερμές ευχές μου για την κορυφαία σου επίδοση!
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κυρ Απρ 15, 2018 12:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Βρείτε το γινόμενο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 667

Re: Βρείτε το γινόμενο

Είναι $0<x\leq 4,$ $0<y\leq 5,$ $0<z\leq 6.$ Υπάρχουν οξείες γωνίες $a,b,c$ ώστε $x=4\sin a, y=5\sin b, z=6\sin c.$ Τότε $4\cos a+5\cos b+6\cos c=12$ και $4\sin a+5\sin b+6\sin c=9.$ Θεωρούμε τους μιγαδικούς $z_1=\cos a+i\sin a, z_2=\cos b+i\sin b, z_3=\cos c+i\sin c.$ Τότε $4z_1+5z_2+6z_3=12+9i$ οπ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Μαρ 26, 2018 10:39 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Του Ευαγγελισμού
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 506

Re: Του Ευαγγελισμού

Χρόνια Πολλά σε όλους τους εορτάζοντες και ιδιαιτέρως στον εξαίρετο συντονιστή μας Βαγγέλη Μουρούκο!
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τρί Μαρ 13, 2018 12:10 pm
Δ. Συζήτηση: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Παραγοντοποίηση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 593

Re: Παραγοντοποίηση

Πολύ καλή η παρατήρηση σου Γιώργο. Έτσι όπως μπήκε η ερώτηση, η απάντηση αυτή δεν μπορεί παρά να είναι δεκτή. Η απάντηση δεν είναι μονοσήμαντη και μπορούμε να φτιάξουμε εύκολα τέτοια παραδείγματα όπως το πολυώνυμο $P(x)=(x^2-1)(x^2+1)(x^2-2)(x^2+2)=x^8-5x^4+4$ γράφεται $P(x)=(x^4-3x^2+2)(x^4+3x^2+2)...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Μαρ 12, 2018 11:48 pm
Δ. Συζήτηση: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Παραγοντοποίηση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 593

Re: Παραγοντοποίηση

Γιώργο δεν έχω κάτι καλύτερο κατά νου. Όσο για την απορία που διατυπώνεις, έχεις δίκιο. Μια εναλλακτική διατύπωση που θα μπορούσε να σταθεί είναι: Να αναλύσετε σε γινόμενο δύο παραγόντων 4ου βαθμού το πολυώνυμο $x^8+2702x^4y^4+y^8.$ Η ιδέα είναι από ένα παλιό καλό βιβλίο του Μανόλη Μαραγκάκη "Αλγεβρ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κυρ Μαρ 11, 2018 10:35 am
Δ. Συζήτηση: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Παραγοντοποίηση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 593

Παραγοντοποίηση

Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο \rm x^8 +2702x^4y^4 +y^8.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Φεβ 19, 2018 9:41 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τριψήφιοι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 662

Re: Τριψήφιοι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους

Πολύ ωραία Γιώργο! Δεν έχω κάτι άλλο, ας πούμε αριθμοθεωρητικό, κατά νου, μοιάζει ότι πρέπει να δοκιμάσουμε 90 περιπτώσεις, όμως ο πίνακας κάνει εύκολες τις δοκιμές και με λίγη προσοχή δεν χάνουμε κάποια λύση. Άλλωστε οι πιο πολλές από τις περιπτώσεις είναι φανερό πως δεν δίνουν λύση. Ας προσθέσω δύ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Παρ Φεβ 16, 2018 12:24 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Είναι ακέραιος
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 665

Re: Είναι ακέραιος

Μια λύση εντός φακέλου μέσω της ταυτότητας $x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+...+y^{n-1}).$ Είναι $2^{2n-1}(a^{2n}+b^{2n})-4^na^nb^n=2^{2n-1}(a^n-b^n)^2=(a-b)^2k$ όπου $k$ ακέραιος $(a+b)^{2n}-4^na^nb^n=[(a+b)^2-4ab]m=(a-b)^2m$ όπου $m$ ακέραιος. Αφαιρώντας έπεται το ζητούμενο. Επίσης $2^{2n}(a^{2n+1}+b^{2n+1}...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τρί Φεβ 13, 2018 11:25 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τριψήφιοι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 662

Τριψήφιοι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους

Να βρεθούν όλοι οι τριψήφιοι οι οποίοι είναι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση