Η αναζήτηση βρήκε 1476 εγγραφές

από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τετ Ιούλ 08, 2020 10:50 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Ελάχιστο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο ισοπλεύρου τριγώνου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 402

Ελάχιστο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο ισοπλεύρου τριγώνου

Ελάχιστο τμήμα που διέρχεται από κέντρο ισοπλεύρου τριγώνου.png Μια μεταβλητή ευθεία $\epsilon$ διέρχεται από το κέντρο $O$ ενός ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ πλευράς $1$ και τέμνει τις πλευρές του $CA,CB$ στα σημεία $P,Q.$ Να βρείτε τη θέση της ευθείας για την οποία το μήκος του τμήματος $PQ$ γίνεται ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Ιούλ 06, 2020 12:35 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Ενώ τους αυξάνουμε κατά 1, το άθροισμα των ψηφίων τους υποδιπλασιάζεται!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 330

Ενώ τους αυξάνουμε κατά 1, το άθροισμα των ψηφίων τους υποδιπλασιάζεται!

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειρα ζευγάρια διαδοχικών φυσικών αριθμών με όλα τα ψηφία του μικρότερου διαφορετικά του μηδενός, τέτοιοι ώστε το άθροισμα των ψηφίων του μικρότερου αριθμού να είναι ίσο με το διπλάσιο του αθροίσματος των ψηφίων του μεγαλύτερου αριθμού.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Ιούλ 06, 2020 11:58 am
Δ. Συζήτηση: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Πλήθος λύσεων εξίσωσης με ακέραιους
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 336

Πλήθος λύσεων εξίσωσης με ακέραιους

Να βρείτε το πλήθος των ζευγών των θετικών ακεραίων x,y που ικανοποιούν την εξίσωση

x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3=2^{30}
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Ιούλ 06, 2020 11:51 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Βρείτε το 2020ο όρο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 519

Βρείτε το 2020ο όρο

Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί 2,6. Διαιρούμε το δεύτερο αριθμό με τον πρώτο και γράφουμε το αποτέλεσμα της διαίρεσης. Φυσικά θα βρούμε 3. Στον πίνακα έχουμε τώρα τους αριθμούς 2,6,3. Διαιρούμε τον τελευταίο με τον προτελευταίο και σημειώνουμε το αποτέλεσμα της διαίρεσης. Θα βρούμε το κλάσμα...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Ιούλ 06, 2020 11:36 am
Δ. Συζήτηση: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Δεκαψήφιοι, πολλαπλάσια του 2009 με συγκεκριμένο άθροισμα ψηφίων!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 342

Δεκαψήφιοι, πολλαπλάσια του 2009 με συγκεκριμένο άθροισμα ψηφίων!

Να βρείτε 10 δεκαψήφιους αριθμούς οι οποίοι να είναι όλοι τους πολλαπλάσια του 2009 ώστε: α) ο πρώτος να έχει άθροισμα ψηφίων 20 β) ο δεύτερος να έχει άθροισμα ψηφίων 21 γ) ο τρίτος να έχει άθροισμα ψηφίων 22 δ) ο τέταρτος να έχει άθροισμα ψηφίων 23 ε) ο πέμπτος να έχει άθροισμα ψηφίων 24 στ) ο έκτο...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Ιούλ 06, 2020 11:18 am
Δ. Συζήτηση: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Τέσσερις εξισώσεις με τέσσερις αγνώστους
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 379

Τέσσερις εξισώσεις με τέσσερις αγνώστους

Για τους αριθμούς $x,y,z,w$ ισχύουν οι παρακάτω ισότητες: $\begin{cases}x+y+z+w=10\\x^2+y^2+z^2+w^2=30\\x^3+y^3+z^3+w^3=100\\xyzw=24\end{cases}$ A. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων: 1) $xy+xz+xw+yz+yw+zw$ 2) $x^2y+x^2z+x^2w+y^2x+y^2z+y^2w+z^2x+z^2y+z^2w+w^2x+w^2y+w^2z$ 3) $xyz+xyw+...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τρί Ιουν 23, 2020 12:05 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: quickie
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 869

Re: quickie

Η $f(x)=x+\cos x$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb R$ με σύνολο τιμών το $\mathbb R$. Υπάρχει μοναδικός $a$ ώστε $f(a)=0$ και μάλιστα $-1<a<0$ αφού $f(-1)=-1+\cos(-1)<0$ και $f(0)=1>0.$ Θα χρησιμοποιήσουμε δύο συμπεράσματα από την άσκηση 3, σελ. 151 του σχολικού βιβλίου: Για $x>0$ ισχύει ότι $\cos...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Παρ Μάιος 01, 2020 10:01 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Λόγος ορθογωνίων
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 437

Re: Λόγος ορθογωνίων

Λόγος ορθογωνίων.png Αν $x,y$ είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου και $\upsilon$ το ύψος του τραπεζίου τότε το εμβαδόν του τραπεζίου υπολογίζεται με δύο τρόπους: $(ABCD)=\dfrac{(a+b)\upsilon}{2}$ $(ABCD)=\dfrac{xy}{2}+\dfrac{b\upsilon}{2}$ Άρα $xy=a\upsilon$ οπότε $(BCEZ)=xy=a\upsilon.$ Διαιρώντας $...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Παρ Μάιος 01, 2020 8:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Για ένα τμήμα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 645

Re: Για ένα τμήμα

Για ένα τμήμα.png Πάνω στο τμήμα $AE$ παίρνουμε σημείο $Z$ ώστε $CZ=12.$ Τότε $ZE=3$ και τα τρίγωνα $ACD, CDZ$ είναι ίσα οπότε το τρίγωνο $CDZ$ είναι ορθογώνιο στο $Z.$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο $CDE$ ισχύει $DZ^2=CZ\cdot ZE$ οπότε $DZ=6.$ Άρα $AD=6.$ Υπολογίζοντας το εμβαδόν του τριγώνου $BCD$ με δύο ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Πέμ Απρ 30, 2020 1:21 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Πέντε τετράγωνα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 491

Πέντε τετράγωνα!

Πέντε τετράγωνα.png Στο παραπάνω σχήμα έχουμε πέντε τετράγωνα σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων. Γνωρίζουμε ότι το σημείο $K$ έχει τετμημένη το 15. α) Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων $A, B, \Gamma, K, \Lambda.$ β) Ποια είναι η περίμετρος και ποιο το εμβαδόν του κίτρινου πολυγωνικού χωρ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Πέμ Απρ 30, 2020 12:42 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Πύραυλος!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 527

Πύραυλος!

Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε, σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, πέντε ισόπλευρα τρίγωνα και ένα τετράγωνο. Γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο έχει πλευρά 2. Βρείτε τις συντεταγμένες όλων των σημειωμένων σημείων.
Πύραυλος (2).png
Πύραυλος (2).png (13.41 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τετ Απρ 29, 2020 11:57 pm
Δ. Συζήτηση: Εκπαιδευτικά Θέματα
Θέμα: ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ ΤΟΥ mathematica.gr ΓΙΑ ΤΟ ΠΟΛΥΝΟΜΟΣΧΕΔΙΟ
Απαντήσεις: 226
Προβολές: 8560

Re: ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ ΤΟΥ mathematica.gr ΓΙΑ ΤΟ ΠΟΛΥΝΟΜΟΣΧΕΔΙΟ

Υπογράφω την παραπάνω ανακοίνωση.
Παύλος Μαραγκουδάκης
Μαθηματικός
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τετ Απρ 29, 2020 11:51 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Υπολογισμός τριγωνομετρικού αριθμού από εξισώσεις.
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 537

Re: Υπολογισμός τριγωνομετρικού αριθμού από εξισώσεις.

Απαλείφουμε το a και προκύπτει x^3+\sin x=(-2y)^3+\sin(-2y) ή f(x)=f(-2y) όπου f(t)=t^3+\sin t.

Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}] και από την υπόθεση x,-2y\in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}] οπότε x=-2y.
Άρα \cos(x+2y)=1.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τετ Απρ 29, 2020 11:19 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Τριγωνομετρικές εκφράσεις
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 573

Re: Τριγωνομετρικές εκφράσεις

Οι δοσμένες ισότητες απλοποιούνται ως εξής: Είναι $\cos3x=4\cos^3x-3\cos x$ και $2\cos 2x-1=4\cos^2x-3$ οπότε το 1ο μέλος της πρώτης ισότητας γίνεται $\boxed{\dfrac{\cos x}{\cos y}=\dfrac{2}{3}+\cos^2(x-y)}.$ Με όμοιο τρόπο απλοποιείται και η 2η ισότητα: $\boxed{\dfrac{\sin x}{\sin y}=-\dfrac{1}{3}-...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τρί Απρ 28, 2020 10:55 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: 'Αλγεβρα με συνθήκη!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 679

Re: 'Αλγεβρα με συνθήκη!

Γεια σου Χρήστο!
Ας θεωρήσουμε το πολυώνυμο P(x)=(x-a)(x-b)(x-c).
Αν S=a+b+c, Q=ab+bc+ca, P=abc τότε P(x)=x^3-Sx^2+Qx-P.
Από υπόθεση, P=SQ οπότε P(x)=x^3-Sx^2+Qx-SQ=(x^2+Q)(x-S).
Άρα το S είναι μία ρίζα του P(x) δηλαδή S=a ή S=b ή S=c οπότε
b+c=0 ή a+c=0 ή c+a=0.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τρί Απρ 28, 2020 8:34 pm
Δ. Συζήτηση: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Μοιρασιά για την Α΄ Γυμνασίου!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 715

Re: Μοιρασιά για την Α΄ Γυμνασίου!

Το σίγουρο είναι πως ο Ιάσονας έχει καλό μαθηματικό γούστο! Νομίζω πως αξίζει το μπράβο του κ. Λάμπρου. Μοιρασιά.png Όταν συζητήσαμε την άσκηση στην τάξη, φτιάξαμε στον πίνακα τρεις άνισους κύκλους που παρίσταναν τα χρήματα των τριών παιδιών. Με τη βοήθεια αυτού του σχήματος, με λίγο κόπο καταλήξαμε...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Απρ 27, 2020 4:35 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Έξι τετράγωνα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 519

Έξι τετράγωνα!

Το μεγάλο ορθογώνιο χωρίζεται σε 6 τετράγωνα. Το μόνο που γνωρίζουμε είναι ότι η πλευρά του κόκκινου τετραγώνου είναι 1 cm. Βρείτε την πλευρά των υπολοίπων τετραγώνων.
6 τετράγωνα.png
6 τετράγωνα.png (3.22 KiB) Προβλήθηκε 519 φορές
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Απρ 27, 2020 4:17 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Μοιρασιά για την Β΄Γυμνασίου!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 509

Μοιρασιά για την Β΄Γυμνασίου!

Τρία αδέλφια, ο Αναστάσης, η Ευφροσύνη και ο Παναγιώτης μοιράστηκαν ένα ποσό χρημάτων . ⓵ Ο Αναστάσης πήρε το ένα τρίτο των χρημάτων που πήρε ο Παναγιώτης και ακόμη 13 ευρώ . ⓶ Η Ευφροσύνη πήρε το ένα τρίτο των χρημάτων που πήρε ο Αναστάσης και ακόμη 11 ευρώ. ⓷ Ο Παναγιώτης πήρε το ένα τρίτο των χρη...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Απρ 27, 2020 4:14 pm
Δ. Συζήτηση: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Μοιρασιά για την Α΄ Γυμνασίου!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 715

Μοιρασιά για την Α΄ Γυμνασίου!

Τρεις φίλοι ο Ανδρέας , ο Βασίλης και ο Γιώργος μοιράστηκαν ένα ποσό χρημάτων. ❶ Ο Ανδρέας πήρε το ένα τρίτο των χρημάτων που πήρε ο Βασίλης και ακόμη 15 ευρώ . ❷ Ο Βασίλης πήρε το ένα τρίτο των χρημάτων που πήρε ο Γιώργος και ακόμη 9 ευρώ. ❸ Ο Γιώργος πήρε το ένα τρίτο των χρημάτων που πήρε ο Ανδρέ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Απρ 27, 2020 4:02 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Εμβαδόν κίτρινης περιοχής!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 501

Εμβαδόν κίτρινης περιοχής!

Το κίτρινο εμβαδόν!.png
Το κίτρινο εμβαδόν!.png (15.88 KiB) Προβλήθηκε 501 φορές
Τα M,N,Z,I είναι τα μέσα των πλευρών του τετραγώνου AB\Gamma\Delta. Nα βρείτε το εμβαδόν της κίτρινης περιοχής.
Το πρόβλημα προτάθηκε από τον μαθητή Άρη Τζοβάνη, της Β΄Γυμνασίου.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση