Αν προσθέσουμε την πληροφορία ότι πουλήθηκε τουλάχιστον ένα αυτοκίνητο σε κάθε εβδομάδα, τότε έχουμε μεν δύο τριάδες λύσεων, αλλά και οι δύο έχουν την τρίτη εβδομάδα.

Μπορείς να μας γράψεις την λύση που βασίζεται στην ισότητα με τους λογαρίθμους; Καλησπέρα Σιλουανέ. Μεταφέρω την λύση χωρίς να την έχω μελετήσει διεξοδικά, οπότε ζητώ την κατανόηση για πιθανά λάθη. Η απόδειξη είναι από το προαναφερθέν βιβλίο με τα προβλήματα της ολυμπιάδας. Ευχαριστούμε για άλλη μι...

Λόγω της απλότητας στην διατύπωση η ανισότητα διαδόθηκε γρήγορα. Ο καθένας, που έμαθε, για αυτήν συνήθως έλεγε ότι μια τέτοια ανισότητα δεν μπορεί να είναι πολύ δύσκολη, απλά δεν ασχολήθηκαν έντονα. Παρότι μεταξύ αυτών ήταν και υψηλού επιπέδου μαθηματικοί, η ανισότητα αποδείχθηκε μόνο για ειδικές π...

Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πετρούπολης Θέματα των τάξεων 10η και 11η για το έτος 2002. 7. Να αποδείξετε ότι για τους θετικούς αριθμούς $a_{1}, a_{2}, a_{3},a_{4}, a_{5}$ ισχύει η ανισότητα: $\dfrac{a_{1}+a_{2}}{2} \cdot \dfrac{a_{2}+a_{3}}{2} \cdot \dfrac{a_{3}...

miltosk έγραψε: ↑

Κυρ Φεβ 25, 2024 12:46 am

Πρόβλημα 4:
Αν κανουμε λιγες πραξεις, φτανουμε στην:

Θα πρέπει λοιπόν η διακρινουσα αυτης να ειναι τελειο τετραγωνο.

Εκτός από τέλειο τετράγωνο για την διακρίνουσα, πρέπει και οι λύσεις να είναι ακέραιες (όχι ρητές).

Να λυθεί και το ακόλουθο

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑

Σάβ Φεβ 24, 2024 3:20 pm

Πρόβλημα 1 Αν οι είναι πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε δύο από αυτούς να έχουν διαφορά μεγαλύτερη του , να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος αριθμός , ώστε .

Πολύ καλές σημειώσεις εδώ (Κεφ.3): https://www.scribd.com/document/406603027/Lecture-notes-Christos-A-Athanasiadis-%CE%A7%CF%81%CE%AE%CF%83%CF%84%CE%BF%CF%82-%CE%91-%CE%91%CE%B8%CE%B1%CE%BD%CE%B1%CF%83%CE%B9%CE%AC%CE%B4%CE%B7%CF%82-%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BA%CF%81%CE%B9%CF%84%CE%AC-%CE%9C%CE%B1%CE%B8%...

mick7 έγραψε: ↑

Τετ Φεβ 07, 2024 5:56 pm

Πάντως δεν μπορεί να αποφύγει κάνεις να παρατηρήσει την ισχυρή παρουσία των ιδιωτικών σχολείων...

Νομίζω είναι πιο ισχυρή η παρουσία των πρότυπων-πειραματικών, αν κρίνουμε από το πλήθος των σχολείων αυτών (σε σχέση με τα ιδιωτικά, ας πούμε).

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑

Τετ Φεβ 07, 2024 12:22 am

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά!!! Ελπίζω ο Αρχιμήδης να γίνει Αθήνα για να γίνει η "γιορτή" όπως της αρμόζει!!!

Έχει ανακοινωθεί από τον Ιούνιο ότι θα γίνει κατά τόπους. http://www.hms.gr/sites/default/files/s ... %20EME.pdf

Καλό θα ήταν να δούμε πως ετοιμάζονται και ομάδες άλλων χωρών, αν έχει κάποιος πληροφορίες θα μπορούσε να τις μοιραστεί. Αλέξανδρε, ευχαριστούμε πολύ για τις πληροφορίες. Αντίστοιχη είναι και η επιλογή της ομάδας στην Αμερική. Ουσιαστικά οι 20 διαλέγονται από την ολυμπιάδα της χρονιάς Χ και ο τελευ...

Ή κάτι δεν βλέπω ή υπάρχει λάθος. Αν πάρουμε , , , τότε η συνθήκη ικανοποιείται, αλλά το τρίγωνο που σχηματίζεται δεν είναι ισόπλευρο (γεωμετρικά).

EDIT: Η άσκηση ζητάει ισοσκελές!

Νομίζω ότι υπάρχουν $a,b$ και το ζεύγος είναι μοναδικό. Για $x=1$ παίρνουμε ότι $\displaystyle{1+b-a\leq \frac{1}{8}}$ Για $x=2$ παίρνουμε $\displaystyle{4-2a+b\leq \frac{1}{8}}$ Τέλος, για $x=\frac{3}{2}$ έχουμε $\displaystyle{9/4-3a/2+b\geq -1/8}$ Με πρόσθεση των δύο πρώτων παίρνουμε $\displaystyl...

Dimessi έγραψε: ↑

Σάβ Ιαν 20, 2024 9:06 pm

Υποθέτουμε λόγω κυκλικότητας χωρίς βλάβη ότι

Όταν το σύστημα (ή η ανισότητα) είναι κυκλικό πρέπει να διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: και .

Εδώ υπονόησες ότι υπήρχε λάθος, εγώ αυτό εξέλαβα. Στο artofproblemsolving.com παρέθεσες το post του arqady, του είπες ότι κάνει λάθος, αλλά μετά το διέγραψες. Μια συμβουλή θα σου δώσω και αν θες την κρατάς: -- Αναφέρουμε τις πηγές μας. -- Δεν κάνουμε πέρα- δώθε σε δύο διαφορετικά φόρουμ στο ίδιο θέμ...

orestisgotsis έγραψε: ↑

Παρ Ιαν 19, 2024 6:46 pm

Εσείς που τα ψάχνετε δεν το προσέξατε;

Τι να προσέξω δηλαδή; Υπήρχε λάθος;

Δείτε και εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... 5p29626068

Υποθέτουμε ότι τα $X_1,X_2,\ldots, X_n$ είναι ισόνομες και ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με συνεχή πυκνότητα $f(x)$, η οποία ορίζεται σε όλο το $\mathbb{R}$. Έστω $s(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log\mathbb{P}(\overline{X}>x)$ και $t(x)=\log\mathbb{P}(X_1>x)$ Είναι πάντα σωστό ότι $\displaystyle{...

Το ότι υπήρχε λάθος πριν, μπορούσαμε να το φανταστούμε από την περίπτωση της ισότητας. Πράγματι, τώρα η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $(x - 1/2)^2 + (y + 5/2)^2 = 25/2$, δηλαδή αν και μόνο αν το σημείο $(x,y)$ ανήκει στον κύκλο που περνάει από τα τρία δοθέντα σημεία. Υ.Γ. Με προλάβατε με την πλήρη λ...

Αν $a,b,c$ θετικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\dfrac {(a+b)^6}{a^2b^2 } + \dfrac {(b+c)^6}{b^2c^2 } + \dfrac {(c+a)^6}{c^2a^2 } \ge 64(a^2+b^2+c^2)}$ (κάνει και για καλούς Junior) Θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle{(a+b)^6\geq 32a^2b^2(a^2+b^2).}$ Με πρόσθεση κατά μέλη της όμοιας με α...

Συνεπώς η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή στο $(0,+\infty)$. Μπορούμε τώρα να ολοκληρώσουμε την απόδειξη ως εξής: Από την ανισότητα Karamata (εφόσον $(s+t,0)\succ (s,t)$), θα έχουμε ότι $f(s+t)+f(0)\geq f(s)+f(t)$, και επειδή $f(0)=0$, παίρνουμε το ζητούμενο. (Η ισότητα δεν μπορεί να ισχύει, αφού πήραμε ...