Η αναζήτηση βρήκε 1316 εγγραφές

από silouan
Τρί Ιαν 11, 2022 9:43 am
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Υψηλή δύναμη
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 435

Re: Υψηλή δύναμη

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x+y) = f(x^{2012})+f(y^{2012}) ,$ για κάθε $x,y\in \Bbb{R}^+.$ Έστω $x>1$. Παίρνω $y=x^{2012}-x$ και τότε $f((x^{2012}-x)^{2012})=0$. Τώρα η πολυωνυμική συνάρτηση $g(x)=(x^{2012}-x)^{2012}$ παίρνει (λόγω σ...
από silouan
Δευ Ιαν 10, 2022 5:19 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Εξίσωση με δεκαδικό μέρος
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1635

Re: Εξίσωση με δεκαδικό μέρος

Θανάση και Σιλουανέ, εγώ βγάζω ότι κανένας θετικός φυσικός $n$ δεν ικανοποιεί τις συνθήκες. Συγκεκριμένα, για κάθε τέτοιο $n$ η εξίσωση έχει περιττό πλήθος λύσεων, πάντως όχι $2012$ Σωστό είναι αυτό, έχετε δίκιο. Εγώ τελικά έλυσα το ακόλουθο πρόβλημα: Να βρεθεί ο $n$ έτσι ώστε η εξίσωση να έχει 201...
από silouan
Δευ Ιαν 10, 2022 5:14 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Τομή κύκλων σε ευθεία 2
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 479

Re: Τομή κύκλων σε ευθεία 2

Στάθη, το αρχικό πρόβλημα είναι δική σου κατασκευής; Αν όχι, ποια είναι η πηγή του;
από silouan
Δευ Ιαν 10, 2022 3:49 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Εξίσωση με δεκαδικό μέρος
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1635

Re: Εξίσωση με δεκαδικό μέρος

Γράφω την εξίσωση στη μορφή: $\displaystyle{nx-\lfloor nx\rfloor-(x-\lfloor x\rfloor)=x}$ ή ισοδύναμα $\displaystyle{x(n-2)=\lfloor nx\rfloor-\lfloor x\rfloor.}$ Αυτό σημαίνει ότι ο $x$ είναι ρητός, έστω $x=\frac{a}{b}$ με $(a,b)=1$. Τότε, πρέπει $b\mid n-2$, δηλαδή $n-2=bk$. Αντικαθιστώντας παίρνου...
από silouan
Δευ Ιαν 10, 2022 11:53 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Σύνολο τιμών παράστασης!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 444

Re: Σύνολο τιμών παράστασης!

Από την αρχή της περιστεροφωλιάς έχουμε ότι τουλάχιστον δύο είναι ομόσημοι, έστω οι $x$, $y$. Τότε $\displaystyle{\frac{|x+y|}{|x|+|y|}=1,}$ οπότε $K(x,y,z)\geq 1$. Η ισότητα ισχύει για $x=y=-z$. Τώρα για να δείξουμε ότι η $K$ παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ 1 και 3, παίρνω $x=y$ και αρκεί να δείξω ότ...
από silouan
Δευ Ιαν 03, 2022 11:14 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πότε είναι τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 261

Re: Πότε είναι τέλειο τετράγωνο

matha έγραψε:
Δευ Ιαν 03, 2022 10:14 am
Άρα \displaystyle{n\leq 9.} Με έλεγχο βλέπουμε ότι μόνο η τιμή \displaystyle{n=6} "δουλεύει".
Ωραία Θάνο! :clap2:
Το πρόβλημα είναι παρόμοιο και με το https://artofproblemsolving.com/communi ... 620p358042 από την JBMO 2000.
από silouan
Δευ Ιαν 03, 2022 9:54 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Όχι τέλειο τετράγωνο.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 271

Re: Όχι τέλειο τετράγωνο.

Να δούμε και το γενικό πρόβλημα εδώ: viewtopic.php?f=175&t=70844
από silouan
Δευ Ιαν 03, 2022 9:53 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πότε είναι τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 261

Πότε είναι τέλειο τετράγωνο

Με αφορμή viewtopic.php?f=58&t=70835

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι n ώστε ο αριθμός n^2+2^n να είναι τέλειο τετράγωνο.
από silouan
Δευ Νοέμ 15, 2021 1:08 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2021
Απαντήσεις: 76
Προβολές: 7049

Re: ΘΑΛΗΣ 2021

.... Σωστά! Το παρέλειψα και αυτό :shock: . Ίσως με έσωζε το αν δεχόμασταν ως "λήμμα" την εξης πρόταση: Η διχοτόμος, το ύψος και η μεσοκάθετη μιας πλευράς ενός τριγώνου που δεν συμπίπτουν διέρχονται από κοινό σημείο ανν αυτό είναι ισόπλευρο. Πείτε μου αν είναι σωστό για να κάνω τις κατάλληλες τροπο...
από silouan
Δευ Νοέμ 08, 2021 4:05 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Άπειρες λύσεις
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 240

Re: Άπειρες λύσεις

Όταν $n=0$, έχουμε άπειρες λύσεις της μορφής $(k,1)$, με $k$ ακέραιο. Όταν $n=2$, έχουμε άπειρες λύσεις της μορφής $(k,-1)$, με $k$ ακέραιο. Υποθέτουμε τώρα ότι $n\neq 0,2$. Τότε εύκολα βλέπουμε ότι $y^2-1\neq 0$, οπότε $\displaystyle{\x=\frac{n+y-y^2}{y^2-1}.}$ Επειδή ο $x$ είναι ακέραιος πρέπει $y...
από silouan
Πέμ Οκτ 21, 2021 10:06 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ιδιοκατασκευούλα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 330

Re: Ιδιοκατασκευούλα

Η άσκηση είναι αρκετά γνωστή και υπάρχει και σε πολλά βιβλία. Σε απόκρυψη η αρχική πηγή:
Είναι άσκηση από την ΙΜΟ το 1990.
από silouan
Πέμ Οκτ 14, 2021 3:44 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστο εμβαδόν
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 275

Ελάχιστο εμβαδόν

Με αφορμή αυτό το θέμα https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=66021 Δίνεται ένας ρόμβος πλευράς $1$ και ένα σημείο $A$ εντός αυτού. Κάθε ευθεία που περνά από το $A$, χωρίζει τον ρόμβο σε δύο περιοχές, $E_1$ και $E_2$, και ας πούμε ότι η $E_1$ έχει μικρότερο εμβαδόν από την $E_2$. Για ποια ...
από silouan
Τρί Οκτ 05, 2021 11:36 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μια ανίσωση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 472

Re: Μια ανίσωση

Στη μορφή που τη γράφει ο Σταύρος είναι άμεση από την
από silouan
Σάβ Αύγ 28, 2021 12:59 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Εκθετική ανισότητα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 2862

Re: Εκθετική ανισότητα

gbaloglou έγραψε:
Τετ Απρ 15, 2020 11:40 am

Ας αποδείξουμε την παραπάνω ανισότητα για 0\leq x\leq y\leq 1.
Κατά τύχη βρήκα από πού είχα πάρει την άσκηση. https://artofproblemsolving.com/communi ... 18p3180649
από silouan
Παρ Αύγ 27, 2021 9:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Βάσεις Μαθηματικών Τμημάτων 2021
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 768

Re: Βάσεις Μαθηματικών Τμημάτων 2021

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Αύγ 27, 2021 9:21 pm
Τώρα, με το φετινό σύστημα υπήρχε και κατώτατος βαθμός εισαγωγής.
Ευχαριστώ κ. Μιχάλη. Στο μαθηματικό Θεσσαλονικής, ας πούμε, πώς υπολογίζεται το 14.485;
Βάζει ας πούμε κριτήριο το τμήμα ότι θα πρέπει να έχεις γράψει 10 μαθηματικά και ο 87ος είχε 14.485; Ή είναι πιο περίπλοκο;
από silouan
Παρ Αύγ 27, 2021 8:52 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Βάσεις Μαθηματικών Τμημάτων 2021
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 768

Re: Βάσεις Μαθηματικών Τμημάτων 2021

Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει τι θα πει "87 στις 131 θέσεις καλύφθηκαν";
Πώς καθορίζονται πλέον οι βάσεις;
από silouan
Τετ Αύγ 25, 2021 12:20 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Όμορφη Συνευθειακότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 347

Re: Όμορφη Συνευθειακότητα

Lymperis Karras έγραψε:
Τρί Αύγ 24, 2021 11:45 pm
Η άσκηση κατασκευάστηκε από τον κ. Νίκο Ραπάνο (την βρήκα στο περιοδικό Mathlinks)
Περιοδικό;
Μάλλον άλλη είναι η πηγή.
από silouan
Πέμ Αύγ 12, 2021 6:19 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2021/1/1
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 437

Re: IMC 2021/1/1

Ωραίο και απλό. Υποθέτουμε ότι το α) ισχύει για να βρούμε το $X$. Μετά απλώς επαληθεύουμε το α) και η μοναδικότητα είναι απλή. Πολλαπλασιάζοντας από δεξιά με $A$ βρίσκουμε $\displaystyle{XA+AXA=A^2.}$ Αν τώρα πολλαπλασιάσουμε από αριστερά με $A$ παίρνουμε $AXA+A^2XA=0$. Αντικαθιστώντας στην προηγούμ...
από silouan
Παρ Ιούλ 23, 2021 1:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2021-Γυμνάσιο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 499

Αρχιμήδης 2021-Γυμνάσιο

Πρόβλημα 1 Αν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί $x,y$ είναι τέτοιοι ώστε: $2(x+y)=1+xy$, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle{A=x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}.}$ Πρόβλημα 2 Η Άννα και ο Βασίλης παίζουν ένα παιγνίδι στον πίνακα με αριθμούς ως εξής: Οι δύο παίκτες παίζουν ο ένας μετά τον ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση