Η αναζήτηση βρήκε 1220 εγγραφές

από silouan
Τετ Ιούλ 17, 2019 8:44 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1237

Re: IMO 2019

Επί του πιεστηρίου μία άποψη για το δεύτερο της γεωμετρίας: Αν η $QP$ τμήσει τις $AC, BC$ στα σημεία $B_1 , A_1$ αντίστοιχα, τότε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα $ABC, A^' \ C B^’$ που εφάπτονται στο $C$ και στα τρίγωνα $PB^' \ {P_1} {C}$ και $Q {A^’} Q_1 {C}$, οδηγούν στην λύση. Θα μπορούσατ...
από silouan
Δευ Ιούλ 15, 2019 11:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Υπολογισμός λόγου από καθετότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 481

Re: Υπολογισμός λόγου από καθετότητα

Καλησπέρα Στάθη, ευχαριστώ για την ενασχόληση! Ο λόγος για τον "λόγο" ήταν ότι επιχείρησα μια διαφορετική προσέγγιση σε αυτό το πρόβλημα https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=185&t=64441&p=311708#p311708 Ήλπιζα ότι θα γίνονται απλοποιήσεις σε αυτό που έβγαζα με κάποια διαφορετική προσέγγι...
από silouan
Κυρ Ιούλ 14, 2019 12:34 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Είναι απαραίτητα σταθερή;
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 584

Re: Είναι απαραίτητα σταθερή;

Μου θύμισε κάτι από πολύ παλιά αυτό.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 01p1073419
από silouan
Δευ Ιούλ 01, 2019 5:04 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 841

Re: Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.

Η παραπάνω λύση (όπως μπορείτε να δείτε και εδώ https://artofproblemsolving.com/communi ... ry_problem) είναι ελλιπής.
από silouan
Κυρ Ιουν 23, 2019 10:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2019
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 2983

Re: JBMO 2019

Αλέξανδρε, πολύ ωραία νέα μας φέρνεις! Πολλά συγχαρητήρια σε όλους τους μαθητές, αλλά και σε εσένα και τον Ανδρέα, που ως αρχηγός και υπαρχηγός παλέψατε και καταφέρατε τη μέγιστη δυνατή συγκομιδή μεταλλίων. Σε ευχαριστώ και προσωπικά για την υποστήριξη και την επιλογή του προβλήματος που είχα στείλε...
από silouan
Σάβ Ιουν 22, 2019 6:28 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2019
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 2983

Re: JBMO 2019

Μία διαφορετική λύση για το δεύτερο πρόβλημα με λίγο πιο προχωρημένα (για τους μικρούς εννοώ) μέσα. Γράφουμε τους τύπους του Vieta και τελειώνουμε. Προφανώς η συνάρτηση $f(x)=x^4-2019x-c$ είναι γνήσια φθίνουσα και μετά γνήσια αύξουσα, οπότε έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, αυτές είναι οι $a,b$ κα...
από silouan
Τρί Ιουν 18, 2019 2:31 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: "Ολοκληρωτική" γενίκευση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 535

Re: "Ολοκληρωτική" γενίκευση

Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε την ανισότητα Holder.
από silouan
Κυρ Ιουν 16, 2019 3:50 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 617

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Ιουν 16, 2019 10:50 am

Θέμα σε παλιά JBMO νομίζω.
Όχι ακριβώς, αλλά μοιάζει πολύ. https://artofproblemsolving.com/communi ... 653p874754
από silouan
Σάβ Ιουν 15, 2019 7:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 617

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1

ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι αν οι $x,y,z$ είναι θετικοί αριθμοί, τότε $\displaystyle \dfrac{x^3}{z^3+x^2y}+\dfrac{y^3}{x^3+y^2z}+\dfrac{z^3}{y^3+z^2x}\geq \frac{3}{2}. $ Άλλη μια λύση. Από C-S έχουμε ότι το αριστερό μέλος είναι μεγαλύτερο ή ίσο από $\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(x^3y+y^3z+z^3x)}$, οπότε μέν...
από silouan
Σάβ Ιουν 15, 2019 6:57 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019
Απαντήσεις: 55
Προβολές: 7646

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Προφανώς με το παραπάνω υπονοώ ότι αν χρειάζεται απόδειξη, θα είναι απόδειξη μιας γραμμής, πχ για την παράγωγο της \sqrt{x}.
Δεν είναι και πολύ δύσκολο αυτό που λέω. Δείτε ενδεικτικά τον τρόπο αυτό στη σελίδα 1 και 2.
http://users.uoa.gr/~apgiannop/AP1-2009-askiseis.pdf
από silouan
Σάβ Ιουν 15, 2019 10:02 am
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019
Απαντήσεις: 55
Προβολές: 7646

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Για μένα τα σωστό λάθος πρέπει να ξεκινάνε ως εξής:
Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις με Σ ή Λ. Αν επιλέξετε σωστό, δώστε απόδειξη για τον ισχυρισμό σας. Αν επιλέξετε λάθος, δώστε αντιπαράδειγμα που να καταρρίπτει τον ισχυρισμό.
από silouan
Πέμ Ιουν 13, 2019 2:11 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 57
Προβολές: 7014

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Αυτή τη λύση έχει γράψει και ο Αλέξανδρος σε μια από τις πρώτες δημοσιεύσεις.
από silouan
Πέμ Ιουν 13, 2019 12:39 am
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 57
Προβολές: 7014

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Πως μπορείς να αποδείξεις ότι δεν ισχύει το ίσον; Αυτό μπορείς να το διαπιστώσεις μόνο γραφικά. Το απέδειξε ο Σταύρος στη δημοσίευση υπ' αριθμόν #28. Ζήτησα στη συνέχεια το ελάχιστο, το οποίο απέδειξε ο Γιώργος στο #39 και στη συνέχεια εγώ έδωσα εναλλακτική στο #41. Κανονικές αποδείξεις, χωρίς γράφ...
από silouan
Τετ Ιουν 12, 2019 3:40 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 57
Προβολές: 7014

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Δύο ακόμη πράγματα από εμένα για το συγκεκριμένο ερώτημα.

1) Δεν καταλαβαίνω γιατί ο θεματοδότης ζήτηση το \lambda+\frac{1}{2}. Δεν βλέπω πουθενά το ρόλο του \frac{1}{2}.

2) Μπορούμε με το ΘΜΤ και κάποια επιπλέον δουλειά να απαντήσουμε στο ερώτημα με το ελάχιστο που έδωσα νωρίτερα;
από silouan
Τετ Ιουν 12, 2019 2:20 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 57
Προβολές: 7014

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

paylos έγραψε:
Τετ Ιουν 12, 2019 9:26 am
Η άσκηση ζητάει να αποδείξουμε ανισοϊσότητα. Δεν θα πρέπει να απαντήσουμε πότε ισχύει το ίσον;
Όχι, δεν προβλέπεται κάτι τέτοιο. Επίσης το ίσον δεν ισχύει.
από silouan
Τρί Ιουν 11, 2019 7:45 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 57
Προβολές: 7014

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Από την $f'(x)=ln(x(x-2)+2)+\dfrac{x(x-2)}{x(x-2)+2}$ και την $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(x+\dfrac{1}{2}-2\right)=x(x-2)\leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}$ προκύπτει η $\displaystyle f'\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}\right)=\displaystyle f'\left(\dfrac{3}{4}\right)$. Ωραία! Και γω κινήθηκα παρόμο...
από silouan
Τρί Ιουν 11, 2019 5:17 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 57
Προβολές: 7014

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Να δούμε μήπως υπάρχει και καμιά καλή απόδειξη γι'αυτό.
από silouan
Τρί Ιουν 11, 2019 1:54 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 57
Προβολές: 7014

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Στο Δ3ii δείξαμε ότι f\left(x+\frac{1}{2}\right)-f(x)\geq -\frac{1}{2}. Επίσης, οι λύσεις του Σταύρου και του Αλέξανδρου δείχνουν ότι η ανισότητα είναι γνήσια. Ποιό είναι λοιπόν το ελάχιστο της παραπάνω παράστασης;
από silouan
Σάβ Μάιος 25, 2019 2:44 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 217

Re: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Οι περιπτώσεις όπου τα $x,y$ είναι αρνητικά ή ένας εκ των δύο είναι αρνητικός, είναι τετριμμένες. Αν τώρα $x,y>0$ έχουμε $\mod 3$ ότι $y^2\equiv (-1)^y\pmod{3}$, άρα πρέπει $y$ άρτιος. Τότε όμως από την αρχική εξίσωση $3^x$ άρτιος, άτοπο. Αν τώρα $x=0$, έχουμε $1+y^2=2^y$, που για $y\geq 2$ είναι άτ...
από silouan
Τετ Μάιος 08, 2019 11:07 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συνθήκη για διάμεσο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 291

Συνθήκη για διάμεσο

Έστω ABCD ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ώστε AD^2 + BC^2 = AB^2. Οι διαγώνιοί του τέμνονται στο E και P είναι σημείο της πλευράς \overline{AB} ώστε \angle APD = \angle BPC. Να αποδείξετε ότι η PE διχοτομεί το τμήμα \overline{CD}.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση