Η αναζήτηση βρήκε 1196 εγγραφές

από silouan
Κυρ Απρ 21, 2019 7:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ἀνάγωγο πολυώνυμο
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 802

Re: Ἀνάγωγο πολυώνυμο

Νομίζω έχω έναν γρήγορο τρόπο να αποφύγουμε την περίπτωση δευτέρου επί έκτου ως εξής. Λόγω μεγιστοβάθμιου και σταθερού όρου, το δευτεροβάθμιο είναι $x^2+ax-1$ ή $x^2+ax+1$. Στην πρώτη περίπτωση το $f(0)=-1$ συνεπάγεται πραγματική ρίζα, άτοπο. Στη δεύτερη περίπτωση από τις $f(1), f(-1)>0$ παίρνουμε $...
από silouan
Κυρ Απρ 21, 2019 3:44 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ἀνάγωγο πολυώνυμο
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 802

Re: Ἀνάγωγο πολυώνυμο

Γιώργο, βέβαια η πρώτη μάς ενδιαφέρει τετριμμένα μόνο για c=1, ενώ η δεύτερη καθόλου, γιατί ζητάμε τους θετικούς ακεραίους n.
Νομίζω επίσης ότι η διαδικασία αυτή με την εξίσωση των συντελεστών μας δίνει το αν και μόνο αν.
από silouan
Κυρ Απρ 21, 2019 1:32 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ἀνάγωγο πολυώνυμο
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 802

Re: Ἀνάγωγο πολυώνυμο

silouan έγραψε:
Κυρ Απρ 21, 2019 11:56 am
Δεν βλέπω τρόπο να γλιτώσουμε τις πράξεις.
Να πω εδώ ότι απορρίπτεται αμέσως η περίπτωση το πολυώνυμο να γράφεται σαν πρώτου επί εβδόβου, γιατί το πολυώνυμο δεν έχει ακέραια ρίζα. Απορρίπτεται και το τρίτου επί πέμπτου γιατί δεν έχει πραγματική ρίζα.
από silouan
Κυρ Απρ 21, 2019 11:56 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ἀνάγωγο πολυώνυμο
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 802

Re: Ἀνάγωγο πολυώνυμο

Μπορούμε να δουλέψουμε όπως εδώ
https://artofproblemsolving.com/communi ... 27p2069755

Δεν βλέπω τρόπο να γλιτώσουμε τις πράξεις.
από silouan
Παρ Απρ 19, 2019 9:40 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Ανάγωγο πολυώνυμο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 108

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

Είναι γιατί είναι και το P(x+1)=(x+1)^8+1. Το τελευταίο είναι επειδή μπορούμε να εφαρμόσουμε το κριτήριο Eseinstein.
Πράγματι, όλοι οι συντελεστές είναι άρτιοι και ο σταθερός όρος δεν διαιρείται με το 4.
από silouan
Τετ Απρ 17, 2019 10:30 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Κριτήριο εγγραψιμότητας
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 240

Re: Κριτήριο εγγραψιμότητας

Το ζητούμενο προκύπτει αρκετά εύκολα και με αντιστροφή με κέντρο Α και ακτίνα AC.

Για το γενικό αποτέλεσμα δείτε εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... ogram_abcd
από silouan
Κυρ Απρ 14, 2019 10:16 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 663

Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

Ουσιαστικά θέλουμε να βρούμε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης $f(a,b,c)=\cos a$ κάτω από τις συνθήκες $g(a,b,c)=1$ και $h(a,b,c)=1$, όπου $g(a,b,c)=\cos a+\cos b+\cos c$ και $h(a,b,c)=\sin a+\sin b+\sin c$. Δεν μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω πρόταση γιατί η $f(a,b,c)$ δεν είναι κυκλι...
από silouan
Κυρ Απρ 14, 2019 2:11 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: "Ολοκληρωτική" γενίκευση
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 166

"Ολοκληρωτική" γενίκευση

Σαν γενίκευση των https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=59&t=12418&p=67498&hilit=Loomis&fbclid=IwAR1Le9Jk3cRtRcB44D0qR848pCG3JDJAYp5Gr6isJ38XDl5b2ZnmOZBNE2Y#p67498 και https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=59&t=26982&p=131809&hilit=Loomis&fbclid=IwAR15sEjL8XR_7LCVtblEZYaSgU7Uko...
από silouan
Τετ Απρ 10, 2019 4:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: EGMO 2019
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1037

Re: EGMO 2019

Πρόβλημα 4: Έστω $ABC$ τρίγωνο με έγκεντρο $I$. Ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από το $B$ και εφάπτεται της $AI$ στο $I$ τέμνει ξανά την πλευρά $AB$ στο $P.$ Ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από το $C$ και εφάπτεται της $AI$ στο $I$ τέμνει ξανά την πλευρά $AC$ στο $Q.$ Να αποδειχθεί ότι η $PQ$ εφάπτεται στ...
από silouan
Τετ Απρ 10, 2019 2:04 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: EGMO 2019
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1037

Re: EGMO 2019

Πρόβλημα 1 Να βρεθούν όλες οι τριάδες $\left(a,b,c\right)$ πραγματικών αριθμών τέτοιων ώστε $ab+bc+ca=1$ και $\displaystyle a^2b+c=b^2c+a=c^2a+b.$ Και μια λίγο διαφορετική σκέψη γι' αυτό. Αν κάποιος είναι μηδέν, ας πούμε $a=0$, τότε $bc=1$ από την πρώτη συνθήκη και $b=c$ από τη δεύτερη, άρα $b=c=1$...
από silouan
Κυρ Απρ 07, 2019 12:10 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: ΧΡΗΣΙΜΟ ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ- SL2005-G6
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 279

Re: ΧΡΗΣΙΜΟ ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ- SL2005-G6

Μία άλλη λύση βρίσκεται και στο Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ.
από silouan
Τετ Απρ 03, 2019 2:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: ΄Ενα εξαιρετικό διαγώνισμα από τον Δημήτρη Ντρίζο.
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1707

Re: ΄Ενα εξαιρετικό διαγώνισμα από τον Δημήτρη Ντρίζο.

Πολύ ωραίος ο τρόπος με τον οποίο είναι δομημένο το διαγώνισμα και τα θέματα. Το θέμα Γ βασίζεται σε ένα παλιό πρόβλημα από τις Πανενωσιακές. Εκεί η εκφώνηση του θέματος είναι να δίνονται οι δύο σχέσεις Γ4. Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς \alpha , \beta για τους οποίους ισχύουν: ${\alpha ^3} - 3...
από silouan
Δευ Απρ 01, 2019 10:42 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Θέμα: Όγκος ίδιος με τις προβολές
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 349

Re: Όγκος ίδιος με τις προβολές

Επαναφορά!
από silouan
Δευ Απρ 01, 2019 9:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσιο τμήμα !
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 307

Re: Διπλάσιο τμήμα !

Το λήμμα αυτό χρησιμοποιείται και για να λύσει το ακόλουθο πρόβλημα από την Shortlist της ΙΜΟ του 2011. (βλέπε πόστ 12 για παράδειγμα)
https://artofproblemsolving.com/communi ... 29p2739327
από silouan
Σάβ Μαρ 30, 2019 11:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΝΕΩΝ ( Junior ) - 2019
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 1994

Re: Επιλογη Junior 2019

Και μια λύση για το πρόβλημα 3 χωρίς να κάνουμε τις πράξεις. Έστω $abc=k^3$ και $a=k\dfrac{x}{y}$, $b=k\dfrac{y}{z}$, $c=k\dfrac{z}{x}$, όπου $k,x,y,z>0$. Τότε η ανισότητα γράφεται $\displaystyle{\frac{z^2}{(ky+z)(kz+x)}+\frac{x^2}{(kz+x)(kx+y)}+\frac{y^2}{(kx+y)(ky+z)}\geq\frac{3k^2}{(1+k^3)^2}.}$ ...
από silouan
Σάβ Μαρ 30, 2019 10:54 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΝΕΩΝ ( Junior ) - 2019
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 1994

Re: Επιλογη Junior 2019

Συγχαρητήρια σε όλους τους συμμετέχοντες! Έχω την εντύπωση ότι τα θέματα δεν έπρεπε να δημοσιευτούν. Αν επιτρέπεται όμως έχω και στην κατοχή μου των μεγάλων! Ας μας διαφωτίσει κάποιος :) Των μεγάλων δεν επιτρέπεται από ό,τι άκουσα. Των μεγάλων δεν επιτρέπεται να δημοσιευτούν καθώς περιέχουν θέματα ...
από silouan
Σάβ Μαρ 30, 2019 3:43 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΝΕΩΝ ( Junior ) - 2019
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 1994

Re: Επιλογη Junior 2019

Στην πραγματικότητα το πρόβλημα 3 είναι κομμάτι ενός προβλήματος από την περσινή JBMO Shortlist. Το πρόβλημα ζητούσε επιπλέον να δοθεί παράδειγμα ότι υπάρχει παράδειγμα με 13 μαύρα τετράγωνα που δεν μπορούμε να τα καλύψουμε με 4 γραμμές και 4 στήλες. Το αφήνω σαν άσκηση. Το ίδιο ισχύει και για το πρ...
από silouan
Τετ Μαρ 20, 2019 2:47 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2019/4
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 477

Re: SEEMOUS 2019/4

Demetres έγραψε:
Τετ Μαρ 20, 2019 10:51 am
Γι' αυτό και τα επιπλέον σχόλια στη λύση μου.
Έπρεπε να τα αφήσεις στον αναγνώστη Δημήτρη.
από silouan
Τετ Μαρ 13, 2019 6:38 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τριγωνομετρία Γυμνασίου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 454

Re: Τριγωνομετρία Γυμνασίου

Θέτουμε $b_i=xa_i$ για ευκολία. Τότε $\displaystyle\sum_{1\leq i<j\leq N}\cos (b_i-b_j)=\sum_{1\leq i<j\leq N}\left(\cos(b_i)\cos(b_j)+\sin(b_i)\sin(b_j) \right).$ Μαζεύοντας τα τετράγωνα έχουμε: $\begin{aligned}\displaystyle 2\sum_{1\leq i<j\leq N}\left(\cos(b_i)\cos(b_j)+\sin(a_i)\sin(a_j) \right)...
από silouan
Πέμ Μαρ 07, 2019 2:43 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ελάχιστο ολοκληρώματος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 644

Re: Ελάχιστο ολοκληρώματος

Νομίζω ότι η μέθοδος από το παρακάτω δουλεύει και εδώ.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 08#p114106

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση