Η αναζήτηση βρήκε 287 εγγραφές

από dimitris pap
Τρί Μάιος 07, 2019 2:17 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Διαστημική συνευθειακότητα
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 2003

Μετά απο πολύ καιρό απουσίας μου από αυτό το φορουμ, πέτυχα αυτό το πρόβλημα, είδα ότι τόσοι μεγάλοι γεωμέτρες που εκτιμώ ασχολήθηκαν, κι είπα τι καλύτερη ευκαιρία από το να προσπαθήσω κι εγώ να λύσω αυτό το πρόβλημα (που όπως φαίνεται είναι και θεώρημα που δεν γνώριζα). Βρήκα την εξής λύση η οποία ...
από dimitris pap
Σάβ Ιούλ 19, 2014 12:27 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2014-Πρόβλημα 3
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1543

Re: IMO 2014-Πρόβλημα 3

Θα βάλω μια λύση (πιστεύω πρωτότυπη, ειδικά στο τελείωμα) σε αυτό το πολύ όμορφο πρόβλημα, με χρήση αντιστροφής, εξηγώντας όσο μπορώ τη σκέψη μου . 1) Προσπαθούμε να αξιοποιήσουμε την γωνιακή σχέση μεταφράζοντας τη σε κάτι πιο απλό- ουσιαστικά ορμώμενοι από την προσπάθεια να "κατασκευάσουμε" το σημε...
από dimitris pap
Πέμ Οκτ 31, 2013 12:51 am
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: MathAidGreece- Δωρεάν φροντιστήριο για τη Γ' Λυκείου
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 713

MathAidGreece- Δωρεάν φροντιστήριο για τη Γ' Λυκείου

Θέλω απλά να σας επιστήσω την προσοχή σε αυτήν εδώ την πολύ όμορφη πρωτοβουλία: http://www.mathaidgreece.com/ H διδακτική ομάδα θα προσπαθεί να επιλύει τις απορίες των μαθητών πάνω στα μαθηματικά της Γ' Λυκείου δωρεάν , δίνοντας έτσι την ευκαιρία και στους οικονομικά ασθενέστερους μαθητές να μπορούν...
από dimitris pap
Δευ Ιούλ 29, 2013 10:34 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2013
Απαντήσεις: 46
Προβολές: 4706

Re: IMO 2013

Τα περισσότερα μετάλλια που έχουν πάρει οι Έλληνες διαγωνιζόμενοι στην ΙΜΟ είναι από συγκομιδή βαθμών στα θέματα γεωμετρίας (πολλές φορές προέρχονται αποκλειστικά από τις λύσεις των γεωμετρικών θεμάτων). Προφανώς, τα γραφόμενα του δις ολυμπιονίκη alex1994 αντικατοπτρίζουν την πραγματικότητα: οι Έλλ...
από dimitris pap
Σάβ Ιούλ 27, 2013 9:53 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2013
Απαντήσεις: 46
Προβολές: 4706

Re: IMO 2013

Πολλά συγχαρητήρια σε όλη την ομάδα που κατάφερε να ανταποκριθεί πολύ επιτυχώς σε μία αρκετά δύσκολη ΙΜΟ (τα θέματα ξεκάθαρα δεν ευνοούσαν την ελληνική ομάδα!). Υ.Γ. Αλέξανδρε (Alex1994) επέτρεψε μου να διαφωνήσω μαζί σου. Αυτά που περιγράφεις για την ευκολία της γεωμετρίας και την δυσκολία της συνδ...
από dimitris pap
Δευ Μάιος 27, 2013 9:58 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013
Απαντήσεις: 369
Προβολές: 50210

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Θα ήθελα και εγώ να αφήσω το σχόλιο μου λέγοντας ότι έμεινα αρκετά ευχαριστημένος απ' τα φετινά θέματα μαθηματικών κατεύθυνσης. Και να εξηγήσω: 1) Κάθε χρονιά υπάρχουν παράπονα για τη δυσκολία των θεμάτων, με αποτέλεσμα τα θέματα να είναι πλήρως αναμενόμενα και να πρέπει όλοι οι καλοί μαθητές να γρά...
από dimitris pap
Σάβ Απρ 27, 2013 3:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013
Απαντήσεις: 36
Προβολές: 4688

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Για την 1.
Ισοδύναμα: (n+1)^2=4m^4+4m^2-4m+5
Αν m>1 τότε: (2m^2)^2< RHS< (2m^2+1)^2.

Συνεπώς η μόνη λύση είναι η m=1, n=2
από dimitris pap
Κυρ Απρ 14, 2013 12:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Καθετότητα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 747

Re: Καθετότητα

Ας βάλω και εγώ μια λύση σε αυτό το γνωστό και ωραίο πρόβλημα. Το πρώτο που παρατηρώ είναι ότι $ALCM, AKBM$ εγγράψιμα (εύκολο π.χ. από ισότητα $ABL, AKC$). Τώρα αν θεωρήσω το $A$ ως σημειακό κύκλο, αρκεί να δείξω ότι η διαφορά της δύναμης σημείου των $K,L$ ως προς του κύκλους $(O,OB)$ και $(A,0)$ εί...
από dimitris pap
Δευ Απρ 08, 2013 12:23 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 77η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Απαντήσεις: 164
Προβολές: 23316

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 69η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

Θέλω κι εγώ να υποβάλλω μια απόδειξη που σκέφτηκα, αλλά επειδή δεν έχω διαβάσει όλες τις προηγούμενες αποδείξεις, θα με συγχωρέσετε αν έχει ξαναδιατυπωθεί! Εστω ότι τα ύψη $AD,BE,CF$ τέμνουν τον περιγεγραμμένο του $ABC$ στα $D',E',F'$ αντίστοιχα. Εχουμε: $AF'=AE'$ αφού τα τόξα τους βλέπουν ίσες γωνί...
από dimitris pap
Κυρ Απρ 07, 2013 11:54 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Το ορθόκεντρο;
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 287

Re: Το ορθόκεντρο;

Απόδειξη:
DE//D'E' και ABD'E' εγγράψιμο. Συνεπώς (απλό angle chasing) ABDE εγγράψιμο. Αρα \angle{EBD}=EAD=DBC. Ετσι στο τρίγωνο BD'H η BD είναι διάμεσος και διχοτόμος άρα και ύψος. Αρα AD\perp BD. ο.ε.δ
από dimitris pap
Τετ Μαρ 27, 2013 11:16 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Καθετότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 407

Re: Καθετότητα

Στην ίδια λογική με τον κύριο Λουρίδα; θα υποθέσουμε ισοδύναμα ότι $TE$ είναι διχοτόμος της $ATM$ και θα αποδείξουμε ότι $C,E,D$ συνευθειακά. Από θεώρημα διχοτόμων έχουμε: $\frac{AD}{DB}=\frac{AT}{TB}=2\frac{AT}{TM}=2\frac{AE}{EM}$. Επίσης $\frac{CB}{CM}=2$. Ετσι, από θέωρημα Μενελάου στο $ABM$ με δ...
από dimitris pap
Δευ Μαρ 25, 2013 4:36 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μία όχι εύκολη διχοτόμηση.
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 832

Re: Μία όχι εύκολη διχοτόμηση.

ΛΗΜΜΑ: Εστω τετράπλευρα $ABCD, A'B'C'D'$ ώστε $AB\perp A'B', BC\perp B'C', CD\perp C'D', AD\perp A'D'$ και $AC\perp B'D'$. Τότε και $BD\perp A'C'$. Σας ευχαριστώ πολύ κ. Βήττα που ασχοληθήκατε με το λήμμα μου. Πολύ καλή και απλή η απόδειξή σας. Δίνω και εγώ μια απόδειξη που σκέφτηκα με cross-ratios...
από dimitris pap
Κυρ Μαρ 24, 2013 3:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μία όχι εύκολη διχοτόμηση.
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 832

Re: Μία όχι εύκολη διχοτόμηση.

Πολύ ωραία άσκηση! Βρήκα μια ωραία λύση που βασίζεται σε ένα λήμμα, το οποίο είκασα ότι ισχύει και έπειτα απέδειξα με τριγωνομετρία, για το οποίο όμως θα ήθελα να με βοηθήσετε να βρούμε μια πιο ωραία λύση, αν δεν είναι ήδη γνωστό (είμαι σχεδόν βέβαιος ότι υπάρχει λύση με διπλούς αρμονικούς λόγους αλ...
από dimitris pap
Τρί Μαρ 05, 2013 2:57 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Διχοτόμηση ... εκ προμελέτης
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 738

Re: Διχοτόμηση ... εκ προμελέτης

Αποφάσισα να ασχοληθώ και εγώ με αυτό το ωραίο θέμα μιας και βρήκα λίγο χρόνο (όπως έλεγε και ο Pascal: "when I have a headache I solve a geometry problem"). H λύση που βρήκα χρησιμοποιεί αρμονικές δέσμες και είναι πολύ σύντομη!! Η μόνη παρατήρηση που χρειάζεται είναι ότι αν $L$ το αντιδιαμετρικό το...
από dimitris pap
Δευ Φεβ 25, 2013 10:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2012 - ΛΥΚΕΙΟ
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 5955

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2012 - ΛΥΚΕΙΟ

Κατ' αρχάς συγχαρητήρια σε όλους τους συμμετέχοντες!! Το τρίτο θέμα ήταν αρκετά καλό και η λύση του Ηλία ακόμα καλύτερη. Οσον αφορά την προσέγγιση σου Αντώνη με συνδυαστική γεωμετρία, είναι πραγματικά εντυπωσιακή (βασικά με το που είδα το πρόβλημα σχηματισα ένα αντίστοιχο ισόπλευρο τρίγωνο, αλλά το ...
από dimitris pap
Παρ Φεβ 08, 2013 3:32 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Παραλληλόγραμμο εγγεγραμμένο σε τετράπλευρο.
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1140

Re: Παραλληλόγραμμο εγγεγραμμένο σε τετράπλευρο.

Γρηγόρη πολύ ωραία η λύση σου! Μάλιστα μου έδωσες μια ιδέα για μια ακόμα λύση με χρήση διπλών αρμονικών λόγων αυτή τη φορά (και σχετικά πιο σύντομη). Key idea: Αρκεί να αποδείξουμε ότι $KL, AC, MN$ "συντρέχουν" (τότε είναι παράλληλες, και το πρόβλημα ουσιαστικά τελειώνει με αρκετούς τρόπους). Εστω λ...
από dimitris pap
Πέμ Φεβ 07, 2013 9:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Παραλληλόγραμμο εγγεγραμμένο σε τετράπλευρο.
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1140

Re: Παραλληλόγραμμο εγγεγραμμένο σε τετράπλευρο.

Ομολογουμένως μ' άρεσε πολύ αυτή η άσκηση! Πώς αλλιώς θα εξηγούνταν ότι ασχολούμαι με αυτή τις τελευταίες 3 μέρες; :P Πιθανόν να μην έχω δει μια πιο εύκολη λύση (που ίσως χρησιμοποιεί διπλούς αρμονικούς λόγους, στους οποίους έντονα παραπέμπει η άσκηση). Ορίστε λοιπόν η λύση μου (μετά από πολύ κόπο!...
από dimitris pap
Κυρ Φεβ 03, 2013 5:01 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μία καθετότητα αλλιώτικη από τις άλλες.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 522

Re: Μία καθετότητα αλλιώτικη από τις άλλες.

Μία λύση παρόμοια με αυτήν του κύριου Βαρβεράκη: Πρώτον παρατηρούμε ότι $ID=IA=IE$ (άρα $IM$ μεσοκάθετος της $DE$). Εστω τώρα $P'$ το σημείο τομής του περιγεγραμμένου του $IBC$ με την $IM$. Τότε $\angle{P'BC}=MIC=EAC=FBC$. Αρα το $P'$ βρίσκεται επί της $BF$. Ομοια βρίσκεται και επί της $CZ$ κι άρα $...
από dimitris pap
Σάβ Ιαν 19, 2013 1:29 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Σταθερό σημείο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 569

Re: Σταθερό σημείο

Πολύ ωραίες οι λύσεις σας! Παρουσιάζω και εγώ τη λύση μου που βασίζεται σε ένα λήμμα που πρώτη φορά είδα εδώ στο mathematica παρουσιασμένο απ' τον κύριο Βήττα! Εστω $D', E'$, δύο άλλα σημεία που ικανοποιούν την δοθείσα σχέση. Τότε $\frac{BD}{DD'}=\frac{CE}{EE'}$. Τότε, εφαρμόζουμε το επόμενο λήμμα: ...
από dimitris pap
Πέμ Ιαν 17, 2013 6:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Δοθείσας σφαίρας...
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 625

Re: Δοθείσας σφαίρας...

Κύριε Λουρίδα, μπορείτε να εξηγήσετε λίγο τα δεδομένα του πρόβληματος; Εννοείτε να βρούμε την ακτίνα με κανόνα και διαβήτη (να σχηματίσουμε δηλαδή σε ένα χαρτί ένα τμήμα ίσο με την ακτίνα της σφαίρας) ή μήπως έχουμε και άλλα εργαλεία στη διαθεσή μας ?

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση