Η αναζήτηση βρήκε 924 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Σάβ Ιούλ 08, 2017 10:49 am
- Δ. Συζήτηση: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
- Θέμα: Πάμε στοίχημα ή όχι;
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 1534
Re: Πάμε στοίχημα ή όχι;
Έστω $X_n$ τα χρήματά μας μετά την $n$-οστή ρίψη του νομίσματος. Το αρχικό μας κεφάλαιο είναι $X_0 = 100$. Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{n+1} = 2.5X_n) = \frac{1}{2} }$ και $\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{n+1} = 0.25X_n) = \frac{1}{2} }$ για κάθε $0\leq n \leq 99$. Η κατανομή της $X_{1...
- Δευ Ιούλ 03, 2017 10:47 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Περίκεντρο πάνω σε διαγώνιο
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 597
Re: Περίκεντρο πάνω σε διαγώνιο
Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{ \angle MKN = 90^o }$, άρα $\displaystyle{ MCNK}$ εγγράψιμο. Όμως $\displaystyle{ KM = KN }$, άρα $\displaystyle{ \angle MCK = 45^o =\angle MCA}$. Επομένως $\displaystyle{ A,K,C }$ συνευθειακά. Έπειτα από το Θ. Πτολεμαίου λαμβάνουμε $\displaystyle{ KM \cdot CN + KN \cd...
- Δευ Ιούλ 03, 2017 10:34 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Από διπλάσιο σε διπλάσιο
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 838
Re: Από διπλάσιο σε διπλάσιο
Καλησπέρα κ. Θανάση.
Έστω το συμμετρικό του ως προς το . Τότε .
Άρα . Όμως , άρα .
Έστω το συμμετρικό του ως προς το . Τότε .
Άρα . Όμως , άρα .
- Δευ Ιούλ 03, 2017 6:02 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Το μέσο της διαμέσου
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 728
Re: Το μέσο της διαμέσου
Καλησπέρα κ. Θανάση. Από Δ. Σημείου ισχύει $\displaystyle{ MA^2 = MN\cdot MB = \frac{MB^2}{2}}$, άρα $\displaystyle{ SA^2 = 2MB^2}$. Από Θ. Διαμέσων ισχύει $\displaystyle{ BA^2 + BS^2 = 2BM^2 + \frac{SA^2}{2} \implies BA^2 = SA^2 + \frac{SA^2}{2} - BS^2 = \frac{SA^2}{2}}$. Από Ν. Συνημιτόνων ισχύει ...
- Παρ Ιουν 30, 2017 9:57 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
- Θέμα: Διπλάσια γωνία σε ισοσκελές
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 942
Re: Διπλάσια γωνία σε ισοσκελές
Παρατηρούμε ότι υπάρχει μοναδικό εσωτερικό σημείο $P$ με τη δοθείσα ιδιότητα. Έστω $P'$ επί της διχοτόμου της $\angle B$ τέτοιο ώστε $BP' = AB$ και $A'$ το συμμετρικό του $A$ ως προς την $BC$. Ισχύει $\angle P'BA' = 60^o$ και $BP' = BA'$, άρα το $\triangle BA'P'$ είναι ισόπλευρο. Επομένως $A'B= A'P'...
- Σάβ Ιουν 17, 2017 10:16 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Τέμνουσα και εφαπτομένη
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 891
Re: Τέμνουσα και εφαπτομένη
Κ. Θανάση, σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια.KARKAR έγραψε:Γρηγόρη καλώς επανεμφανίστηκες ! Στο forum υπάρχουν πολλοί θαυμαστές σου
κι εγώ είμαι ένας απ' αυτούς . Νάσαι καλά και πάντα να προοδεύεις
- Σάβ Ιουν 17, 2017 10:09 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Τετράγωνο 11.
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 870
Re: Τετράγωνο 11.
Μια λύση με αρκετούς υπολογισμούς: Έστω $O$ το κέντρο του δοθέντος κύκλου και $E, Z$ τα σημεία επαφής του με τις $\displaystyle{ A\Delta, \Gamma \Delta }$ αντίστοιχα. Επίσης έστω $a$ το μήκος της κάθε πλευράς του τετραγώνου. Καταρχάς είναι φανερό ότι το $\displaystyle{ O }$ ανήκει στην διχοτόμο της ...
- Σάβ Ιουν 17, 2017 8:45 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Τέμνουσα και εφαπτομένη
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 891
Re: Τέμνουσα και εφαπτομένη
Καλησπέρα κ. Θανάση. Έστω $O$ το κέντρο του ημικυκλίου. Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{ \angle PST = 90^o - \angle OMT = 90^o - (45^o + \angle BMT) = 45^o - \angle BTP =}$ $\displaystyle{= 180^o - 135^o - \angle BTP = 180^o - \angle BTM - \angle BTP = \angle PTS}$, άρα $\triangle TPS$ ισοσκελές. Επί...
- Σάβ Ιουν 17, 2017 8:05 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
- Θέμα: Τετράπλευρο 11.
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 768
Re: Τετράπλευρο 11.
Έστω $B'$ το συμμετρικό του $B$ ως προς την $A\Gamma$. Τα $A,\Delta, B'$ είναι συνευθειακά και το $\triangle B\Gamma B'$ ισόπλευρο. Ισχύει $\displaystyle{\angle B' \Delta \Gamma = 30^o = \frac{\angle B' B\Gamma}{2}}$, άρα $D\in c(B,B\Gamma)$. Επομένως $\displaystyle{ B\Delta = B\Gamma \implies \tria...
- Πέμ Μαρ 09, 2017 7:54 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- Θέμα: Εντυπωσιακή συνευθειακότητα
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 886
Re: Εντυπωσιακή συνευθειακότητα
Καλησπέρα κ. Θανάση. Παρατηρούμε ότι $\angle PAO = \angle QAO\implies \tau o \xi. PO =\tau o \xi. OQ$ και $OA = OT \implies \tau o \xi. OA = \tau o \xi. OT$. Άρα $\tau o \xi. AP = \tau o \xi. TQ \implies \angle PQA = \angle TAQ$. Επίσης λόγω εφαπτομένης ισχύει $\angle TAQ = \angle CTS$ άρα $\angle P...
- Σάβ Ιαν 28, 2017 5:09 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Μία καθετότητα που με παίδεψε.
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1803
Re: Μία καθετότητα που με παίδεψε.
Καλησπέρα κ. Κώστα. Δίνω μία ιδέα "λερωμένη" με λίγη τριγωνομετρία: Με γενικευμένο Πυθαγόρειο προκύπτει ότι $\displaystyle{ ST^2 = SD^2 + TD^2 + TD\cdot DA = SD^2 + TD\cdot TA }$ και $\displaystyle{ PT^2 = CP^2 + TC^2 + TC \cdot CB = CP^2 + TC\cdot TB}$. Από τον Ν. Συνημιτόνων λαμβάνουμε $\displayst...
- Πέμ Ιαν 26, 2017 2:43 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Χρόνια πολλά
- Απαντήσεις: 22
- Προβολές: 1812
Re: Χρόνια πολλά
Χρόνια Πολλά σε όλους τους Γρηγόρηδες και τις Μαργαρίτες της κοινότητας του mathematica!
Σας ευχαριστώ από καρδιάς όλους για τις ευχές και εύχομαι ό,τι το καλύτερο για εσάς και τους δικού σας ανθρώπους!
Σας ευχαριστώ από καρδιάς όλους για τις ευχές και εύχομαι ό,τι το καλύτερο για εσάς και τους δικού σας ανθρώπους!
- Κυρ Ιαν 22, 2017 10:21 am
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Ισότητα τμημάτων 3
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 922
Re: Ισότητα τμημάτων 3
Καλημέρα κ. Θανάση. Δύο προσεγγίσεις: 1η: Αν $M$ το μέσο της $BC$, τότε $AD\parallel OM \parallel ES$. Όμως το $O$ είναι το μέσο της $AS$, άρα το $M$ είναι το μέσο της $DE$. Επομένως $BD = CE$. 2η: Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\triangle ADB \sim \triangle ACS \implies \frac{BD}{CS} = \frac{AD}{AC}...
- Σάβ Ιαν 21, 2017 10:42 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- Θέμα: Η τέταρτη ορθή
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 735
Re: Η τέταρτη ορθή
Καλησπέρα κ. Θανάση! Φέρουμε $ST \perp CA$, όπου το $T$ ανήκει στην προέκταση του $CA$. Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{ \frac{BS}{CP} = \frac{ST}{CP} }$. Επίσης $\displaystyle{ \frac{ST}{AD} = \frac{CT}{AC} = \frac{BC}{AC}$ και $\displaystyle{ \frac{CP}{AD}} = \frac{BC}{AB}$, άρα διαιρώντας κατά μέλ...
- Σάβ Ιαν 21, 2017 9:58 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Κεριά σε τούρτα γενεθλίων
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 6632
Κεριά σε τούρτα γενεθλίων
Σήμερα κλείνεις τα 30 και οι φίλοι σου αγόρασαν μια τούρτα με 30 κεριά. Κάνεις μια ευχή και προσπαθείς να τα σβήσεις. Κάθε φορά που φυσάς, σβήνεις τυχαίο πλήθος κεριών μεταξύ του ενός και του αριθμού των κεριών που απομένουν (συμπεριλαμβανομένων των άκρων). Πόσες φορές, κατά μέσο όρο, πρέπει να φυσή...
- Σάβ Ιαν 21, 2017 8:58 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Παραλληλία από ισότητα , μέσα και παραλληλίες
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 899
Re: Παραλληλία από ισότητα , μέσα και παραλληλίες
Καλησπέρα κ. Στάθη. Δίνω μια ιδέα ώστε επί της ευκαιρίας να σας συγχαρώ για το Stathis Koutras' Theorem! Καταρχάς, αν $Z, R$ είναι τα μέσα των $AC,BD$ αντίστοιχα, το $ZMRN$ είναι ρόμβος. Επομένως στο $\triangle ZMR$ για το οποίο ισχύει $MZ \parallel KA$ και $MR \parallel KB$, η $MN$ διχοτομεί την $\...
- Σάβ Ιούλ 16, 2016 10:14 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Άθροισμα αποστάσεων και ισόπλευρο τρίγωνο
- Απαντήσεις: 15
- Προβολές: 1533
Άθροισμα αποστάσεων και ισόπλευρο τρίγωνο
Το άθροισμα των αποστάσεων ενός εσωτερικού σημείου του από τις πλευρές του είναι ανεξάρτητο από την θέση του σημείου.
Να αποδειχθεί ότι το είναι ισόπλευρο.
Να αποδειχθεί ότι το είναι ισόπλευρο.
- Παρ Νοέμ 27, 2015 7:48 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Από το GMB - 5/2015
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1066
Re: Από το GMB - 5/2015
Καλησπέρα κ. Μπάμπη. Δίνω μια ιδέα: Έστω $P,Q$ τα σημεία τομής των $AL,AK$ με τον κύκλο $(O)$. Οι διάμετροι $PC, BQ$ τέμνονται στο $O$. Επίσης ισχύει $\displaystyle{ \angle PAB = \angle QAC }$ άρα το $\displaystyle{ PBCQ }$ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Άρα η $\displaystyle{ AN }$ τέμνει την $\displayst...
- Παρ Νοέμ 13, 2015 10:15 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
- Απαντήσεις: 324
- Προβολές: 56631
Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!
Άσκηση 96: Δίνεται ακολουθία $\displaystyle{(a_n) }$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{ a_{n+1} -a_n \to 0 }$. Αν η $\displaystyle{ (a_n) }$ έχει 2 οριακούς αριθμούς $\displaystyle{ a,b }$ με $\displaystyle{ a<b}$, να αποδειχθεί ότι κάθε αριθμός του διαστήματος $\displaystyle{ [a,b] }$ είναι ορια...
- Παρ Νοέμ 13, 2015 10:02 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Δύσκολη ισότητα
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 631
Re: Δύσκολη ισότητα
Καλησπέρα κ. Θανάση!
Έστω τα μέσα των αντίστοιχα. Τα τρίγωνα και είναι φανερά ίσα από .
Έστω τα μέσα των αντίστοιχα. Τα τρίγωνα και είναι φανερά ίσα από .