Πρόκειται για την άσκηση $9$ , $\Gamma ' $ ομάδας κεφ $2$ του σχολικού βιβλίου. Κατά τη γνώμη μου είναι μια πολύ όμορφη (δύσκολη) άσκηση που στηρίζεται στο περίφημο αξίωμα του μεγίστου κάτω φράγματος ( ή ισοδύναμα του ελαχίστου άνω φράγματος) . $ f(x)\ge k, \forall x \in \double R \Leftrightarrow \m...

Με καλύπτει η γεωμετρική ερμηνεία του ΘΜΤ στο σχολικό βιβλίο που περιέχει και το Θ. Rolle, αλλά δεν είναι αυτός ο σκοπός της ερώτησής μου. Επαναλαμβάνω χωρίς να προσθέσουμε ή να αλλάξουμε κάτι στη διατύπωση των ισχυρισμών γιατί έτσι ακριβώς δίνονται στο σχολικό βιβλίο. "Να κυκλώσετε το γράμμα $A$ , ...

Τι ακριβώς αμφισβητούμε με τη συγκεκριμένη συνάρτηση στο πρώτο ερώτημα; Ότι υπάρχει και η περίπτωση να μην υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (\alpha ,\beta )}$ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της $C_f$ στο $M(\xi,f(\xi)) $ να είναι παράλληλη στον άξονα των $x$ αλλά να υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (\alpha ...

Καλησπέρα! Ποια θα ήταν η απάντηση σας, στους παρακάτω ισχυρισμούς; Να κυκλώσετε το γράμμα $ A $, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα $\Psi$, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής δικαιολογώντας συγχρόνως την απάντησή σας. $1.$ Γεωμετρικά, το θεώρημα Rolle σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, $\disp...

Υπογράφω την παραπάνω ανακοίνωση.
Σωτήρης Βασιλείου, Μαθηματικός

Καλησπέρα σε όλους . Ορίζεται η δύναμη $(-2)^{6/2}$; Είναι προφανές ότι η δύναμη $(-2)^{6/2}$ ορίζεται και είναι ίση με $-8$, μπορεί να μας το επιβεβαιώσουν, οι περισσότεροι μαθητές και των Ελληνικών Γυμνασίων, αφού το $\frac{6}{2}$ είναι ακέραιος. Αν το πάμε λίγο παραπέρα, τα διάφορα προβλήματα με...

Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ , Πρόβλημα 3 . Έστω ότι οι φίλοι του Γιώργου είναι $\displaystyle{x}$ και ότι ο καθένας πήρε $\displaystyle{a}$ καραμέλες, όπου $\displaystyle{x>2}$ και $\displaystyle{a}$ ακέραιοι. Τότε $\displaystyle{(x+1)a=450= 2\cdot 3^2 \cdot 5^2}$ και ο Γιώργος πήρε $\displaystyle{a+3\cdot \dfrac{...

Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x\sqrt {\cos x} \sqrt[3]{{\cos x}}}}{{{x^2}}}}$ Εφαρμόζοντας τον κανόνα του L'Hôpital θα έχουμε: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{(1 - \cos ^{\frac{11}{6}} x)^{\prime}}{(x^2)^{\prime}} = {\lim_{x \to 0} \dfrac{ \f...

Ένα ακόμα παράδειγμα που δείχνει ότι είναι απαραίτητη η συνθήκη, να υπάρχει περιοχή του σημείου συσσώρευσης, στην οποία να μην μηδενίζεται η παράγωγος του παρονομαστή. Επομένως ο κανόνας L'Hôpital όπως διατυπώνεται στο σχολικό βιβλίο Μαθηματικά (Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης) είναι λάθος. Η σ...

ο μαθηματικός μας σε ενα τεστ που γραψαμε στην ισοτητα τριγώνων μας εβαλε μια ερωτηση Σωστού-Λάθους. Αν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' είναι ίσα, τοτε Α(γωνία)=Α'(γωνία) Το θεωρησα σωστό αφου τα σημεία ισων τριγώνων μπαίνουν συμμετρικά και μου είπε οτι είναι λάθος. Τι λετε εσεις? Μία ερώτηση με ενδιαφέ...

Ευχαριστώ πολύ.
Θερμά συγχαρητήρια!

Καλημέρα! Επίσης, Θεόδωρος Ν. Καζαντζής, Συνδυαστική Daniel A. Marcus, Combinatorics: A Problem Oriented Approach V. K. Balakrishnan, Schaum's Outline of Theory and Problems of Combinatorics including concepts of Graph Theory Miklos Bona, Introduction to Enumerative Combinatorics Richard A. Brualdi,...

Σας ευχαριστώ και τους δύο !

Να λυθεί το σύστημα

Καλησπέρα σας! Δείτε εδώ . Γράφω τη λύση από εκεί λίγο πιο αναλυτικά. Το ενδιαφέρον είναι ότι χρησιμοποιείται μόνο η παράγραφος $3.4$ ορισμένο ολοκλήρωμα (εντός εξεταστέας ύλης 2016). Επίσης εξηγεί τη χρήση του θεωρήματος $3.$ Θα αποδείξουμε το ζητούμενο με απαγωγή σε άτοπο. Υποθέτουμε ότι θα ισχύε...

Σας ευχαριστώ για τις ωραίες λύσεις και την όμορφη ιστορία! Το παραπάνω πρόβλημα προέρχεται από διαγωνισμό του 2014 και βασίζεται στο πρόβλημα που δημοσιεύτηκε στο American Mathematical Monthly το 1953 . Το σχετιζόμενο υπέροχο κλασικό πρόβλημα που αναφέρθηκε υπάρχει και στον Λογισμό του Spivak υποθέ...

Αναζήτηση σημείου.pngΣημείο $P$ του ημιάξονα $Ox$ συνδέεται με το $S(4,3)$ . Η κάθετη του $PS$ στο $S$ , τέμνει τους $Ox,Oy$ στα σημεία $A,B$ αντίστοιχα . Για ποια θέση του $P$ είναι $(SPA)=(BSPO)$ ; Η ευθεία $\displaystyle{AB}$ έχει εξίσωση $\displaystyle{y-3=a(x-4) \Leftrightarrow y=ax-4a+3, \qua...

Έστω $\displaystyle{f(x)}$ πραγματική συνάρτηση συνεχής στο $\displaystyle{[0,1]}$ για την οποία ισχύουν $\displaystyle{\int_0^1f(x)\, dx =0}$ και $\displaystyle{\int_0^1xf(x) \,dx =1}$. Αποδείξτε ότι υπάρχει ανοικτό διάστημα $\displaystyle{I\subset (0,1) }$ έτσι ώστε να ισχύει $\displaystyle{\mid f...

Σας παρακαλώ προσπαθώ να κατεβάσω το βιβλίο αλλά δεν μπορώ διότι μου γράφει ότι το link είναι κατεστραμμένο. Υπάρχει τρόπος να καταβάσω το βιβλίο; Ευχαριστώ πολύ. Δείτε στο ΙΕΠ εδώ: Σακελλαρίου Νείλος και ειδικότερα αυτό που ζητάς : Πρακτική αριθμητική δια τα Ελληνικά Σχολεία, τα Αστικά και τα Ανώτ...