KARKAR έγραψε: ↑

Τετ Μαρ 25, 2020 11:54 am

Πολύ ωραία , ώστε να μην έχει ξανατεθεί . Βλέπε κι άλλες λύσεις εδώ .

Καλό βράδυ. Κάθετες κι' αυτές!.PNG Το τραπέζιο $ABCD$ έχει $\widehat{B}=\widehat{C}=90^\circ$ και $AD=CD$ ενώ είναι $AB=75$ και $BC=100$. Έστω $M$ το μέσον της $BC$ και σημείο $E \in AD$ ώστε $ME=86$. Αν $P \in ME$ ώστε να είναι $CP \perp DM$ τότε: Να εξεταστεί αν είναι και $BP \perp AM$ . Σας ευχα...

Σύγκλιση καθέτων.png Σε κάθε δισορθογώνιο τραπέζιο $ABCD\left( \angle A=\angle B={{90}^{0}} \right)$ να δειχθεί ότι οι εκ των $A,M,B$ κάθετες στις $MD,DC,CM$ αντίστοιχα διέρχονται από το ίδιο σημείο (έστω $S$ στο σχήμα), όπου $M$ το μέσο της $AB$ Στάθης Υ.Σ. Ο Γιώργος (Μήτσιος) ξέρει ... Ας δούμε κ...

Σύγκλιση καθέτων.png Σε κάθε δισορθογώνιο τραπέζιο $ABCD\left( \angle A=\angle B={{90}^{0}} \right)$ να δειχθεί ότι οι εκ των $A,M,B$ κάθετες στις $MD,DC,CM$ αντίστοιχα διέρχονται από το ίδιο σημείο (έστω $S$ στο σχήμα), όπου $M$ το μέσο της $AB$ Στάθης Υ.Σ. Ο Γιώργος (Μήτσιος) ξέρει ...

Σταθερή ποσότητα.pngΟνομάζουμε $B' , C'$ τις προβολές των κορυφών $B , C$ ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ , πλευράς $a$ , προς ευθεία διερχόμενη από την κορυφή $A$ και εσωτερική της γωνίας $\hat{A}$ . Υπολογίστε την παράσταση : $BB'^2+CC'^2+BB'\cdot CC'$ Ας δούμε τι ακριβώς έγραψα πιο πάνω σταθερό γινόμε...

Σταθερή ποσότητα.pngΟνομάζουμε $B' , C'$ τις προβολές των κορυφών $B , C$ ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ , πλευράς $a$ , προς ευθεία διερχόμενη από την κορυφή $A$ και εσωτερική της γωνίας $\hat{A}$ . Υπολογίστε την παράσταση : $BB'^2+CC'^2+BB'\cdot CC'$ Αν θεωρήσουμε $S$ το σημείο τομής της ευθείας με τ...

Χλωμή ισότητα.pngΥπάρχουν λύτες που ενδιαφέρονται να ασχοληθούν με θέματα για τα οποία ο θεματοδότης δεν έχει λύση ; Στην προέκταση της χορδής $BC=a$ , του ημικυκλίου διαμέτρου $AB=2r$ , θεωρούμε σημείο $S$ και φέρουμε $SP \perp AB$ , η οποία τέμνει το τόξο στο $T$ . Πώς να επιλέξουμε το $S$ , ώστε...

Τοξικό μέσο.pngΤα δύο τόξα του σχήματος είναι ίσα τεταρτοκύκλια , ακτίνας $r$ . Σημείο $S$ κινείται στο "ανατολικό" τεταρτοκύκλιο . Βρείτε την θέση του $S$ , για την οποία το "δυτικό" τόξο διχοτομεί το τμήμα $AS$ . Το σημείο $S$ είναι το σημείο τομής της $AM$ με το ανατολικό τόξο, όπου $M$ το σημεί...

Τοξικό μέσο.pngΤα δύο τόξα του σχήματος είναι ίσα τεταρτοκύκλια , ακτίνας $r$ . Σημείο $S$ κινείται στο "ανατολικό" τεταρτοκύκλιο . Βρείτε την θέση του $S$ , για την οποία το "δυτικό" τόξο διχοτομεί το τμήμα $AS$ . ... τοξικό μέσο ... :shock: (πόσο τοξικό είναι άραγε;). Θανάση νομίζω ότι σε πολύ λά...

Ημιπροφανής καθετότητα.pngΤο $O$ είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του ισοσκελούς τραπεζίου $ABCD , (AD\parallel BC$ . Έστω $K$ το κέντρο του περικύκλου του τριγώνου $AOB$ . Δείξτε ότι η ευθεία $KO$ είναι κάθετη στην πλευρά $CD$ . Λύστε την πριν την έλευση της Διεθνούς Ημέρας της Γυναίκας . Προφα...

Μεγάλες κατασκευές 35.pngΟ κύκλος $(K,r)$ έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο $(O,R)$ . Ονομάζω $A$ το ένα από τα σημεία τομής των δύο κύκλων . Βρείτε σημείο $B$ του $(O)$ και σημείο $C$ του $(K)$ , ώστε η $BC$ να διέρχεται από το $K$ και να είναι : $AB =AC$ . Αν είναι : $R=3$ και $r=2$ , υπολογίστε...

Συναντίληψη.pngΣτις πλευρές $AB , BC , CD , DA$ , ορθογωνίου $ABCD$ , θεωρούμε σημεία $K , L , M , N$ αντίστοιχα , με μοναδική απαίτηση να είναι $NL \parallel AB$ . Φέρουμε : $AP\perp LM ,NQ\perp MK , DT\perp KL $ . Δείξτε ότι τα τμήματα $AP , NQ , DT$ συντρέχουν ( ας πούμε στο σημείο $S$ ) . Συναν...

Το τρίτο μέσο.pngΣτην βάση $BC$ , τριγώνου $ABC$ , θεωρούμε σημείο $S$ και ονομάζουμε $N,M$ τα μέσα των $AS , BC$ αντίστοιχα . Από τυχόν σημείο $P$ της $AB$ , φέρουμε : $PT\parallel BC$ και $PQ\parallel AD$ . Δείξτε ότι το $MN$ διέρχεται από το μέσο $K$ του τμήματος $QT$ . Το τρίτο μέσο.png Έστω $L...

Η άσκηση της _ημέρας_.png Οι κύκλοι $(O,R)$ και $(K,r)$ εφάπτονται στα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος $AB=a$ και τέμνονται στα σημεία $T,S$ . Φέρω : $CTD \parallel AB$ . Η $AT$ τέμνει τον $(K)$ στο $N$ και η $BT$ τον $(O)$ στο $L$ . Οι χορδές $AL,CS$ του $(O)$ , τέμνονται στο σημείο $P$ και οι $BN,...

ιερό τρίγωνο.png Καλησπέρα! Μετά τις εντυπωσιακές λύσεις που έδωσαν ο Πρόδρομος και ο Ορέστης, προσπάθησα με την υπόδειξη του min να δείξω ότι τα σημεία $N,F,M,K$ είναι ομοκυκλικά αλλά δεν βγαίνει..... :wallbash: Τα $N,H,K,B$ και $H,F,C,K$ εύκολα προκύπτουν ότι είναι ομοκυκλικά , επίσης εχώ βρεί αλ...

Το καράβι του Αρχιμήδη.pngΣτο σχήμα φαίνονται οι ρόμβοι $BNDM , MDEC$ και σημείο $A$ στην προέκταση της $BC$ , ώστε $CA=DE$ . Από το $B$ φέρουμε κάθετη προς την ευθεία $EC$ , η οποία τέμνει την μεσοκάθετη του τμήματος $NE$ , στο σημείο $K$ . Δείξτε ότι : α) Τα σημεία $K,M,N$ είναι συνευθειακά ... β...

Καθετότητα για όσκαρ.pngΟι κύκλοι $(O,R) , (K,r)$ τέμνονται στα σημεία $A,B$ . Από τυχόν σημείο $S$ του $(O)$ φέρω τις $SA , SB$ , οι οποίες ξανατέμνουν τον $(K)$ στα σημεία $A' , B' $ αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $SO \perp A'B'$ . Ερώτημα για έρευνα : Αν $OK=d$ , υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος $S...

Καθετότητα για όσκαρ.pngΟι κύκλοι $(O,R) , (K,r)$ τέμνονται στα σημεία $A,B$ . Από τυχόν σημείο $S$ του $(O)$ φέρω τις $SA , SB$ , οι οποίες ξανατέμνουν τον $(K)$ στα σημεία $A' , B' $ αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $SO \perp A'B'$ . Ερώτημα για έρευνα : Αν $OK=d$ , υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος $S...

Καλημέρα σε όλους. Καθετότητα και διπρόσωπη...PNG Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $AB=2AC$. Στην προέκταση της $BC$ θεωρούμε $CE=BC$ και στην προέκταση της $EA$ σημείο $Z$ ώστε $\left ( BAC \right )=\left ( BAZ \right )$. Ι) Να εξεταστεί αν $BZ \perp EZ$ . ... Σας ευχαριστώ, Γιώργος. Ας δούμε μια διαφορετ...

Τρικυκλικό θαύμα.pngΣτις πλευρές $AB , AC$ , τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε σημεία $D , E$ , ώστε η ευθεία $DE$ να τέμνει την προέκταση της $BC$ σε σημείο $S$ . Δείξτε ότι οι κύκλοι $(A,D,E) , (E,C,S)$ τέμνονται σε σημείο - ας το ονομάσουμε $T$ - που βρίσκεται πάνω στον περίκυκλο του $\dis...