Έστω παραλληλόγραμμο $ABCD$. Από το $A$ φέρνουμε ευθεία που τέμνει την πλευρά $DC$ στο $P$ και την προέκταση της $BC$ στο $Q$. Από το $C$ φέρνουμε ευθεία που τέμνει την πλευρά $AB$ στο $R$ και την προέκταση της $DA$ στο $S$. 1) Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο $PQRS$ είναι παραλληλόγραμμο ή τραπέζι...

Έστω παραλληλόγραμμο $ABCD$. Από το $A$ φέρνουμε ευθεία που τέμνει την πλευρά $DC$ στο $P$ και την προέκταση της $BC$ στο $Q$. Από το $C$ φέρνουμε ευθεία που τέμνει την πλευρά $AB$ στο $R$ και την προέκταση της $DA$ στο $S$. 1) Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο $PQRS$ είναι παραλληλόγραμμο ή τραπέζι...

Στο σχήμα του Στο σχήμα του Νίκου πιο πάνω $\displaystyle{AT}$ $\displaystyle{AT}$ προφανώς (… και διχοτόμος του τριγώνου ) οπότε από θεώρημα διχοτόμου είναι $\displaystyle{\dfrac{{AD}}{{AS}} = \dfrac{{DT}}{{TS}}\mathop \Rightarrow \limits^{DC\parallel BS} \dfrac{a}{{a + BS}} = \dfrac{{DC}}{{BS}} = ...

Οι ασκήσεις του τύπου : "όποιος δεν έχει βάσανα ... " , πυκνώνουν επικίνδυνα :Κυνηγώντας την ορθότητα.png Στο ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD$ , είναι : $AB=AD=a$ και $DC=ka , 0<k<1$ . Το $M$ είναι το μέσο της διαγωνίου $BD$ . Η $AM$ τέμνει την $BC$ στο $T$ και η $DT$ την προέκταση της $AB$ , στο $S$ .Υπο...

Επαναφορά για να μην χαθεί στις πίσω σελίδες

Καλό βράδυ ! Μιχάλη, Νίκο και Γιώργο σας ευχαριστώ θερμά! Ας κάνουμε ακόμη ένα κόπο: Να δείξουμε την σχέση $ZH//AC$ χωρίς το Θ. Μενελάου. Και πάλι ευχαριστώ, Γιώργος. Έστω τρίγωνο $ABC$ και $S$ τυχαίο σημείο της διαμέσου $AM$. Αν οι $BS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CS$ τέμνουν τις $AC\,\,\kappa \alph...

Ομοιότητα και κάλυψη.pngΒρείτε την σχέση μεταξύ των κάθετων πλευρών του τριγώνου $ABC$ , ώστε το τρίγωνο $PTS$ να είναι όμοιό του . Υπολογίστε το μέρος της επιφάνειας του $ABC$ , που καλύπτει το $PTS$ . Για τη σχέση των εμβαδών των δύο τριγώνων) (ανεξάρτητα ομοιότητας και ανεξάρτητα του είδους των ...

Ύποπτη υποτείνουσα.png Γωνία $\widehat{POQ}$ ορθή , επαφές κ.λ.π. Υπολογίστε του τμήματος $PQ$ . Τι πράγμα να υπολογιστεί του τμήματος $PQ$. Δεν πιστεύω να θέλεις το μήκος του Θανάση :lol: Πολύ ύποπτο αυτό που δεν διευκρινίζεις , ακόμα πιο ύποπτη η υποτείνουσα αλλά αν εννοείς το μήκος του μάλλον λά...

Η συνευθειακότητα των προοπτικοτήτων.png Έστω τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ και τα ισοτομικά ζεύγη σημείων $\displaystyle{{A_1} - {A_2},{B_1} - {B_2},{C_1} - {C_2}}$ των πλευρών $\displaystyle{BC,CA,AB}$ αντίστοιχα (όπως εμφανίζονται στο σχήμα) . Αν $\displaystyle{K \equiv A{A_1} \cap B...

Ο Steiner σε μικρότερο φάκελο.png Έστω τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ και τυχόν σημείο $\displaystyle{S}$ του επιπέδου του (όχι κατ’ ανάγκη εσωτερικό όπως δείχνει το σχήμα) Αν οι πλευρές $\displaystyle{B'C',C'A',A'B'}$ άλλου συνεπίπεδου τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle A'B'C'}$ είναι...

σύγκλιση από καθετότητες.png Σε τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ κατασκευάζουμε εξωτερικά αυτού τα τυχαία ορθογώνια $\displaystyle{BCDE,CAFZ,ABKL}$. Να δειχθεί ότι οι εκ των $\displaystyle{A,B,C}$ κάθετες στις $\displaystyle{FL,KE,DZ}$ αντίστοιχα διέρχονται από το ίδιο σημείο Υ.Σ. Το θέμα ...

σύγκλιση από καθετότητες.png Σε τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ κατασκευάζουμε εξωτερικά αυτού τα τυχαία ορθογώνια $\displaystyle{BCDE,CAFZ,ABKL}$. Να δειχθεί ότι οι εκ των $\displaystyle{A,B,C}$ κάθετες στις $\displaystyle{FL,KE,DZ}$ αντίστοιχα διέρχονται από το ίδιο σημείο Υ.Σ. Το θέμα ...

Η _μεταβατικότητα_ της προοπτικότητας.png Εμπνευσμένη από την υπέροχη λύση του Σωτήρη εδώ Έστω τα ζεύγη των ισοτομικών σημείων $\displaystyle{{A_1} - {A_2},{B_1} - {B_2},{C_1} - {C_2}}$ των πλευρών $\displaystyle{BC,CA,AB}$τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle ABC}$. Να δειχθεί ότι οι $\displaystyle...

σύγκλιση από καθετότητες.png Σε τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ κατασκευάζουμε εξωτερικά αυτού τα τυχαία ορθογώνια $\displaystyle{BCDE,CAFZ,ABKL}$. Να δειχθεί ότι οι εκ των $\displaystyle{A,B,C}$ κάθετες στις $\displaystyle{FL,KE,DZ}$ αντίστοιχα διέρχονται από το ίδιο σημείο Υ.Σ. Το θέμα ...

σύγκλιση από καθετότητες.png Σε τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ κατασκευάζουμε εξωτερικά αυτού τα τυχαία ορθογώνια $\displaystyle{BCDE,CAFZ,ABKL}$. Να δειχθεί ότι οι εκ των $\displaystyle{A,B,C}$ κάθετες στις $\displaystyle{FL,KE,DZ}$ αντίστοιχα διέρχονται από το ίδιο σημείο Υ.Σ. Το θέμα ...

Από σταθερό σημείο.pngΗ $AB$ είναι σταθερή χορδή κύκλου $(O)$ , ενώ το σημείο $S$ κινείται εκτός του κύκλου αλλά έτσι ώστε οι $SA , SB$ να τέμνουν τον κύκλο στα σημεία $D , C$ αντίστοιχα . Ονομάζουμε $T$ την τομή των $AC , BD$ και $P$ την τομή των $ST , AB$ . Δείξτε ότι ο κύκλος $( C , D , P )$ διέ...

το παραλληλόγραμμο του TRAN QUANG HUNG.png Μια πρόταση γνωστή ως το παραλληλόγραμμο TRAN QUANG HUNG (γνωστού μεγάλου Γεωμέτρη από το μακρινό Βιετνάμ) Έστω $\displaystyle{E}$ το σημείο τομής των διαγωνίων $\displaystyle{AC,BD}$ τυχόντος κυρτού τετραπλεύρου $\displaystyle{ABCD}$. Να δειχθεί ότι το τε...

Μια παραλλαγή πρότασης του Vittasko (υποθέτω ότι γνωρίζετε οι περισσότεροι τον Κώστα , ένας από τους μεγαλύτερες γεωμέτρες του κόσμου όλων των εποχών!!!!). Κλεμμένο θέμα λοιπόν :D (δεν γνωρίζω αν ο Κώστας το έχει βάλει κάποτε στο mathematica) Συνευθειακότητα Vittasko.png Έστω $\displaystyle{ABED,BC...

το παραλληλόγραμμο του TRAN QUANG HUNG.png Μια πρόταση γνωστή ως το παραλληλόγραμμο TRAN QUANG HUNG (γνωστού μεγάλου Γεωμέτρη από το μακρινό Βιετνάμ) Έστω $\displaystyle{E}$ το σημείο τομής των διαγωνίων $\displaystyle{AC,BD}$ τυχόντος κυρτού τετραπλεύρου $\displaystyle{ABCD}$. Να δειχθεί ότι το τε...

Ίσοι λόγοι..png Έστω $M, N$ τα μέσα των διαγωνίων $BD, AC$ τετραπλεύρου $ABCD.$ Η $MN$ τέμνει τις $AD, BC$ στα $K, L$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{AK}}{{KD}} = \frac{{CL}}{{LB}}.$ ΥΓ1. Οι παραπομπές ας περιμένουν να δοθεί η πρώτη σωστή λύση. ΥΓ2. Ο συνονόματος του απατημένου συζ...