Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με $\displaystyle{AB=4}$ και $\displaystyle{G}$ το βαρύκεντρο αυτού. Μεταβλητό σημείο $\displaystyle{M}$ κινείται στην περίμετρο του τριγώνου αυτού και για το τρίγωνο $\displaystyle{GMN}$ ισχύει: $\displaystyle{(GM)(GN)=\frac{16}{3} }$ και $\displaysty...

Καρτεσιανή.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ τα $B , C$ είναι σημεία του $x'x$ , ενώ το $A$ σημείο του $y'y$ . Από σημείο $S$ του $x'x$ , φέρουμε τέμνουσα ημιευθεία $SPT$ των ημιευθειών $AC , AB$ . Δείξτε ότι : $SP\cdot ST \geq SC\cdot SB$ . ( Άλλη διατύπωση εδώ ) Δεν ειναι εικασία Θανάση Είναι προφαν...

Περίκεντρο στην υποτείνουσα.png Έστω $AD$ το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου $ABC.$ Αν $P, Q, I$ είναι τα έγκεντρα των τριγώνων $ABD, ACD, ABC$ αντίστοιχα, να δείξετε ότι το περίκεντρο του τριγώνου $PIQ$ είναι σημείο της $BC.$ Ας δούμε και μια άλλη εκδοχή μετά την όμορφη α...

Αγγελικές ισότητες.pngΟ έγκυκλος του τριγώνου $ABC$ , με $AB < AC$ , εφάπτεται των πλευρών $AB , AC$ στα σημεία $P,Q$ αντίστοιχα . Από το μέσο $M$ της $BC$ φέρω κάθετη της $PQ$ , η οποία τέμνει την $AC$ στο σημείο $T$ . Έστω ακόμη σημείο $S$ της $AC$ , ώστε : $SM \perp MT$ . Δείξτε ότι : $AT=SC$ κα...

george visvikis έγραψε: ↑

Σάβ Αύγ 29, 2020 5:54 pm

Σχέση μεταξύ πλευρών..png
Επί της διχοτόμου τριγώνου υπάρχει σημείο ώστε και

Να βρείτε μία σχέση που να συνδέει τις πλευρές του τριγώνου.

Να ευχαριστήσω τον φίλο Τηλέμαχο για τις αποδείξεις του στα ερωτήματα $3,4$ και $5.$ Απομένει αναπάντητο μόνο το ερώτημα $6.$ Επειδή έχω πρόβλημα με το mathtype να πω ότι δύο φορές το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο ποδικό τρίγωνο και 4 θεωρήματα Μενελάου σε κατάλληλα τρίγωνα δίνουν απάντηση σ...

mick7 έγραψε: ↑

Κυρ Αύγ 16, 2020 3:28 am

Εάν έχω αντιληφθεί καλά το πρόβλημα μια απάντηση είναι οι μεσοκαθετες όπως στο σχήμα.

Νομίζω ότι εχει και άλλες τέσσερις διαδρομές

Γιατί αλλιώς τι νησί του Πυθαγόρα θα ήταν;

Γωνιακή παραλληλία.png Να δείξετε ότι το τετράπλευρο $ABCD$ του σχήματος είναι τραπέζιο. Όλες οι λύσεις δεκτές εντός και εκτός φακέλου. Γωνιακή παραλληλία.png Έστω $D$ το σημείο τομής της εκ του $C$ παραλλήλου προς την $AB$ με τη διχοτόμο της γωνίας $\angle ABC$ και αρκεί ως ισοδύναμο πρόβλημα να δ...

Μέσο τμήματος.png Σε τυχαίο σημείο $S$, ημικυκλίου διαμέτρου $AB$, φέρνω εφαπτομένη και συναντά την κάθετη στο $B$ επί την $AB$ στο $T$. Ας είναι $D$ η προβολή του $S$ στην $AB$. Φέρνω και την κάθετη από το $S$ στην $AT$ και τέμνει την $AB$ στο $M$. Δείξτε ότι το $M$είναι μέσο του $DB$ Δεκτή κάθε λ...

Διέλευση από το μέσο 2.png Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και τυχόντα σημεία $D,E$ επί των πλευρών του $AB,AC$ αντίστοιχα. Αν $F,L$ τα σημεία τομής τυχόντων παραλλήλων μεταξύ τους από τα $S,T$ με την $DE$ αντίστοιχα , με $S\equiv BE\cap CD,T\equiv AS\cap BC$ , να δειχτεί ότι η $AF$ διέρχεται από τ...

Μέσος γεωμετρικός.png Δίδονται δύο κύκλοι , ο πρώτος διαμέτρου $DL$ και ο δεύτερος κέντρου $L$ που τέμνονται στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$. Τυχαίο σημείο $S$ διατρέχει το δεύτερο κύκλο και η ευθεία $DS$ τέμνει τον πρώτο κύκλο στο σημείο $T$. Δείξετε ότι το τμήμα $TS$ είναι γεωμετρικός μέσος ...

Έστω τρίγωνο και . Αν είναι οι ορθές προβολές των επί την αντίστοιχα, όπου και το μέσο της να δειχθεί ότι η διέρχεται από το μέσο (έστω ) της

Στάθης

Doloros έγραψε: ↑

Πέμ Ιούλ 23, 2020 12:32 am

Ευκολούτσικη παραλληλία.png

Μια γνωστή παραλληλία.png Έστω κυρτό τετράπλευρο$ABCD$ και $S\equiv AC\cap BD$. Να δειχθεί ότι $ST\parallel MN$ όπου $T$ το σημείο τομής των εκ των $A,B$ παραλλήλων προς τις $BC,AD$ αντίστοιχα και αντίστοιχα τα $M,N$ τα μέσα των $AB,CD$ Στάθης Σημείωση : Το θέμα έχει ξανασυζητηθεί με μια μικρή παρα...

$AM$ είναι η διάμεσος τριγώνου $ABC$ με $\displaystyle \sin B = \frac{c}{a}.$ Αν $A\widehat MB=B\widehat AC,$ να βρείτε τη γωνία $\widehat B.$ Να δούμε και το πιο γρήγορο που νομίζω ότι αναφέρει ο Γιώργος Προφανώς είναι $\vartriangle ABC\sim \vartriangle MBA\Rightarrow \dfrac{\dfrac{a}{2}}{c}=\dfra...

Ας το γενικεύσουμε για μη ορθή γωνία. Και μία πιο απλή από την πρώτη μου, που εκεί επιστράτευσα .... "πυροβολικό". Βέβαια έχουμε στο σχήμα που ακολουθεί $MK\parallel Ox,\;MH\parallel Oy$, οπότε $MK + MH = \frac{{OT + OS}}{2} = \frac{{OA + OB}}{2},\;ct.$ Άρα αν $HR=HM, KF=MK$, τότε στη σταθερή ευθεί...

Καρτεσιανός τόπος.pngΣτις πλευρές της ορθής γωνίας $\hat{O}$ θεωρούμε σημεία $A , B$ , ώστε : $OA=a , OB=b , (a\geq b)$ . Σημείο $S$ κινείται επί του $OB$ και σημείο $T$ στην προέκταση του $OA$ , ώστε : $AT=BS$ . Βρείτε ( περιγράψτε λεπτομερώς ) , τον γεωμετρικό τόπο του μέσου $M$ του τμήματος $ST$...

KARKAR έγραψε: ↑

Τετ Ιούλ 15, 2020 7:12 pm

Εντυπωσιακό άθροισμα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , η διάμεσος τέμνει κάθετα

τη διάμεσο , στο σημείο . Δείξτε ότι : .

"Χωρίς λόγια και χωρίς γράμματα" αλλά με σχήμα !

KARKAR έγραψε: ↑

Τετ Ιούλ 15, 2020 7:12 pm

Εντυπωσιακό άθροισμα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , η διάμεσος τέμνει κάθετα

τη διάμεσο , στο σημείο . Δείξτε ότι : .

Εντυπωσιακό ;. Δεν νομίζω ( θέλει φάκελο Α Λυκείου )

Απρόοπτη ισότητα.pngΣτις πλευρές $AB , AC$ , τριγώνου $ABC$ , θεωρούμε σημεία $P ,Q$ αντίστοιχα , ώστε : $BP=CQ$ . Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα μέσα $M ,N$ των $BQ , CP$ , τέμνει τις $AB , AC$ στα σημεία $S , T$ , αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $BS=QT$ και : $AS=AT$ . 1.png Έστω $K$ το συμμετρικό τ...