Ημικύκλια και εφαπτόμενος κύκλος.ggb Δίδεται το ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ . Έστω $C$ κινητό σημείο εσωτερικό της διαμέτρου . Γράφω εσωτερικά του ημικυκλίου άλλο ημικύκλιο διαμέτρου $AC$. Να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται, της διαμέτρου , εξωτερικά του μικρού ημικυκλίου και εσωτερικά του μεγάλ...

Καθετότητες και τμήμα.pngΤρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O)$ . Σε σημείο $S$ της βάσης $BC$ , υψώνουμε κάθετο τμήμα $SP$ και παρατηρούμε ότι η εφαπτομένη του κύκλου στο $P$ είναι κάθετη στην ευθεία $BA$ . Πώς επελέγη το σημείο $S$ ; Φέρω $OT \perp SP$ . Δείξτε ότι : $PT=\d...

147.PNG Στο εξωτερικό τριγώνου $ABC$ ,θεωρούμε τα τετράγωνα $ABKL,ACDE$. Αν $P\equiv EL\cap CB$ να δείξετε ότι $PA\parallel KD$ Ας "ξεκαθαρίσουμε" λίγο το "τοπίο" μιας και δεν υπάρχουν αντιδράσεις :) παραλληλία από τετράγωνα.png Από το σχήμα Vecten είναι γνωστή πρόταση ότι $CL=BE,CL\bot BE$ (από τη...

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑

Τετ Οκτ 16, 2019 3:19 pm

147.PNG

Στο εξωτερικό τριγώνου ,θεωρούμε τα τετράγωνα .
Αν να δείξετε ότι

Το τρίτο τραπέζιο.pngΠάνω στην διαγώνιο $BD$ , τραπεζίου $ABCD$ , θεωρούμε σημείο $B'$ και στην προέκταση της $AC$ σημείο $C'$ , ώστε το $AB'C'D$ να είναι επίσης τραπέζιο . Δείξτε ότι και το $BC'CB'$ είναι τραπέζιο . Αν $O\equiv AC\cap BD$τότε από $DC\parallel AB$ προκύπτει $\dfrac{OD}{OB}=\dfrac{O...

Ισόπλευρα και μέσα.pngΣτην πλευρά $AB$ ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε τυχόν σημείο $S$ . Με βάση την $BS$ και εκτός του τριγώνου σχεδιάζουμε το επίσης ισόπλευρο τρίγωνο $BST$ . Ονομάζω $M , N$ τα μέσα των $BC , BT$ αντίστοιχα και με βάση την $MN$ σχεδιάζω τρίτο ισόπλευρο $LMN$ ,...

Καρτεσιανή παρηγοριά.pngΣτο τετράπλευρο $ABCD$ , εντοπίστε σημείο της $ S$ της $BC$, τέτοιο ώστε : $(ABS)=(ASCD)$ . Αν ο Ευκλείδης δεν σας βοηθάει , παρηγορηθείτε λύνοντας το θέμα με τις συντεταγμένες του σχήματος . Το σημείο $S$ είναι το μέσο της $BE$ , όπου $E$ είναι το σημείο τομής της εκ του $D...

Σας ευχαριστώ θερμά για τις ευχές σας

Να είστε πάντα καλά στο σώμα και στο μυαλό

122.PNG Έστω τρίγωνο $ABC$ και $D,Z$ τυχαία σημεία στο ημιεπίπεδο που ορίζει η $AC$ και δεν ανήκει το $B$. Θεωρούμε τις τομές: $L\equiv CD\cap AZ,E\equiv AZ\cap BD,P\equiv BZ\cap CD,N\equiv BD\cap AC,M\equiv BZ\cap AC,K\equiv LN\cap AB,F\equiv LM\cap BC$ Να δείξετε ότι οι $EF,KP$ τέμνονται πάνω στη...

Συμπτωματική καθετότητα.pngΠροεκτείνω τις πλευρές $AB , AD$ του - πλευράς $3$ - ρόμβου $ABCD$ , κατά τμήματα $BS=10$ και $DP=7$ αντίστοιχα . Αν $PC \perp SD$ , υπολογίστε την $\tan\hat{A}$ . Από την καθετότητα προκύπτει ( πως; ;) ) ότι $ (13 cosx - 3)/ (13 - 3 cosx) = 3/7 $ όποτε $ cosx=3/5$ άρα $t...

Ορθή και ημιορθή.pngΜε κέντρο την κορυφή $C$ , τετραγώνου $ABCD$ , γράφω τον κύκλο $(C,CB)$ . Από σημείο $P$ της προέκτασης της $AB$ φέρω την εφαπτομένη $PT$ του κύκλου , η οποία τέμνει την προέκταση της $AD$ στο $Q$ . Η $QC$ τέμνει την $BT$ στο $S$ . Υπολογίστε τις γωνίες : $\widehat{BSD}$ και $\w...

Έστω τρίγωνο $ABC$ και DEF το ορθικό του. Να δειχτεί ότι οι ευθείες $Euler$ των $AEF,BDF,CFD$ συντρέχουν στον κύκλο των 9 σημείων του $ABC$. Υγ.Θα ακολουθήσει και γενίκευση Το $\vartriangle FEA$ προκύπτει από στροφή (γύρο από το $F$ ) και ομοιοθεσία (προφανώς όμοια από τα εγγράψιμα τετράπλευρα…) το...

Έστω τρίγωνο $ABC$ και DEF το ορθικό του. Να δειχτεί ότι οι ευθείες $Euler$ των $AEF,BDF,CFD$ συντρέχουν στον κύκλο των 9 σημείων του $ABC$. Υγ.Θα ακολουθήσει και γενίκευση Ιδιαίτερα εύκολη πρόταση και υποψιάζομαι και τη γενίκευση . Θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί αργότερα (ίσως από Ελλάδα :plane: )

Παραλληλόγραμμο από βαρύκεντρα.PNG Θεωρούμε κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ και $E$ το σημείο τομής των διαγωνίων του. Αν $K,L,M,N$ τα βαρύκεντρα των τριγώνων $AEB,BEC,ECD,EDA$ αντίστοιχα τότε : α)Να δείξετε ότι το $KLMN$ είναι παράλληλόγραμμο. β)Να υπολογίσετε τον λόγο $\dfrac{\left ( KLMN \right )}{\lef...

Μία λύση στην τριχοτόμηση τυχαίας γωνίας με κανόνα και διαβήτη στο e-trichotomy.blogspot.com είναι μια γενική μέθοδο. Δείτε επίσης ένα βίντεο. https://www.youtube.com/watch?v=VtRPh34ES1A Καλησπερα Ας μας πει ο παρουσιαστής του βίντεο ( η έστω ο "δημιουργός" κυριος Κοσυφαρίνης πως τοποθέτησε αυστηρά...

Παραλληλία και εφαπτομένη.png Έστω $BD, CE$ οι διχοτόμοι τριγώνου $ABC, AB>AC.$ H εφαπτομένη του περίκυκλου στο $A$ τέμνει την $ED$ στο $P.$ Αν $AP=BC,$ να δείξετε ότι $BD||CP.$ Ας δούμε και μια διαφορετική προσέγγιση που δείχνει μια παραλληλία στο πρόβλημα ανεξάρτητη της δοσμένης σχέσης $AP=BC$ Έσ...

Παραλληλία και εφαπτομένη.png Έστω $BD, CE$ οι διχοτόμοι τριγώνου $ABC, AB>AC.$ H εφαπτομένη του περίκυκλου στο $A$ τέμνει την $ED$ στο $P.$ Αν $AP=BC,$ να δείξετε ότι $BD||CP.$ :coolspeak: Αρκετά όμορφη πρόταση Γιώργο (με πολλά άλλα αποτελέσματα (γνωστά πιστεύω) (χωρίς την ιδιαιτερότητα της ισότητ...

Στο σχήμα οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες. Ομοίως και οι μπλε. Να αποδειχτεί ότι το ΟΣ είναι κάθετο στο ΣΕ. Με απλά μέσα. :idea: Όχι κανόνια... 111.png 111.png Από την ομοιότητα των τριγώνων $\vartriangle ASB$ και $\vartriangle {A}'S{B}'$ προκύπτει ότι τα τετράπλευρα $ASEA',BES{B}'$ είναι εγγράψιμα σ...

Με απλά μέσα. :idea: Όχι κανόνια... 111.png Αν δεν είναι κανόνια (ένα παραλληλόγραμμο, ένα ισοσκελές τραπέζιο (οπότε παραλληλία) και καθετότητα στην κοινή χορδή τεμνομένων κύκλων ) πες μου Κώστα να τη γράψω από την πρωτεύουσα της Ευρώπης (αύριο) γιατί τώρα είναι πολύ αργά και "έχουμε δουλειές" :lol...

Συνευθειακά και ομοκυκλικά.pngΠάνω στη διάμετρο $AB$ , κύκλου $(O,r)$ , θεωρούμε σημεία $P,Q$ , ώστε : $AP=QB<r$ . Από τυχαίο σημείο $S$ της προέκτασης της $AB$ φέραμε την εφαπτομένη $ST$ και ονομάσαμε $T'$ το αντιδιαμετρικό του $T$ . Οι ημιευθείες $TP,TQ$ τέμνουν τον κύκλο και την $TS$ στα σημεία ...