Η αναζήτηση βρήκε 3870 εγγραφές

από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Τετ Απρ 24, 2019 7:55 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άλλη μία όμορφη καθετότητα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 593

Re: Άλλη μία όμορφη καθετότητα

Διαφορετικά: Έστω $K$ το σημείο τομής της $CD$ με τον περιγεγραμμένο κύκλο του $ABC$. Προφανώς είναι $KD=DH$ και $\widehat{KAD}=\widehat{KCB}=\widehat{HFD}$, άρα $AK//FH$. Έπεται λοιπόν από Θαλή πως $FD=DA$. Έστω πως η $DE$ τέμνει την $AK$ στο $L$. Τότε πάλι από Θαλή είναι $DE=DL$. Από Θεώρημα πετα...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Τετ Απρ 24, 2019 4:35 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άλλη μία όμορφη καθετότητα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 593

Re: Άλλη μία όμορφη καθετότητα

Άλλη μία όμορφη καθετότητα.png $CD$ είναι το ύψος, $H$ το ορθόκεντρο και $O$ το περίκεντρο οξυγώνιου τριγώνου $ABC.$ Ο περίκυκλος του τριγώνου $BHC$ τέμνει την $AB$ στο $F$ και η $FH$ την $BC$ στο $E.$ Να δείξετε ότι $OD\bot DE.$ Ας δούμε και μια διαφορετική προσέγγιση του όμορφου προβλήματος συμμε...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Τετ Απρ 24, 2019 1:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Στοχεύοντας το σημείο Miquel
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 259

Re: Στοχεύοντας το σημείο Miquel

Λήμμα.pngΈστω $\left( O \right)$ ο περίκυκλος τριγώνου $\vartriangle ABC$ και ας είναι $\left( {{O}'} \right)$ τυχαίος κύκλος χορδής $BC$ που τέμνει τις $AB,AC$ στα σημεία $D,E$ αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι η ${A}'{O}'$ διέρχεται από το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου $BCEDAS,S\equiv DE\cap BC...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Τετ Απρ 24, 2019 12:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συμμετρικά περίκεντρα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 94

Re: Συμμετρικά περίκεντρα

Αλλοπρόσαλλη παραλληλία_1.png Σε τρίγωνο $ABC$ με $O$ το περίκεντρό του, θεωρώ $O'$ το συμμετρικό του $O$ ως προς τη $BC$. Γράφω το κύκλο $(O',O'B)$ και υποθέτω ότι τέμνει τις $AB,AC$ στα $D,E$. Έστω $T$ το σημείο τομής των $BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$, είναι δε $M$ το μέσο του $AD$. Αν η $MC...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Τετ Απρ 24, 2019 12:30 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Στοχεύοντας το σημείο Miquel
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 259

Re: Στοχεύοντας το σημείο Miquel

lemmmiquel.png Καλησπέρα και καλή Ανάσταση να έχουμε. Αλλάζω λίγο τη διαδικασία:(λύση με κουνήματα,"χαζό" μεν-στάνταρ δε) Επιλέγουμε μεταβλητό σημείο $O'$ επί της μεσοκαθέτου της $BC$.Ο κύκλος $(O',Ο'B)$ τέμνει τις $AB,AC$ στα $(B,E),(C,D)$ αντίστοιχα.Παίρνουμε $S$ την τομή $DE,BC$ και $A'$ το αντι...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Τρί Απρ 23, 2019 10:20 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Στοχεύοντας το σημείο Miquel
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 259

Στοχεύοντας το σημείο Miquel

Λήμμα.png Έστω $\left( O \right)$ ο περίκυκλος τριγώνου $\vartriangle ABC$ και ας είναι $\left( {{O}'} \right)$ τυχαίος κύκλος χορδής $BC$ που τέμνει τις $AB,AC$ στα σημεία $D,E$ αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι η ${A}'{O}'$ διέρχεται από το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου $BCEDAS,S\equiv DE\cap B...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Τρί Απρ 23, 2019 12:06 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 171

Re: Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο

GEOMETRIA225=FB2942b.jpgΕστω κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ και οι επιπλέον κορυφές του πλήρους, $P\equiv AB \cap DC$ και $Q\equiv AD \cap BC$ Ας είναι επίσης $K, M$ τα μέσα των διαγωνίων του $AC, BD$ αντίστοιχα. Αν $L\equiv QM \cap PK$ και $N\equiv QK \cap PM$, δείξτε ότι: a. $LN\parallel PQ$ b. το $KLM...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Πέμ Απρ 18, 2019 7:56 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ισόπλευρο χωρίς αιτία
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 219

Re: Ισόπλευρο χωρίς αιτία

Ισόπλευρο χωρίς αιτία.png Έστω ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ . Σημείο $C$ του $AB$ είναι τέτοιο ώστε : $BC = 2CA$. Η κάθετη στο $C$ επί την $AB$ τέμνει το ημικύκλιο στο $D$. Σχηματίζω το ορθογώνιο $BCDE$ και έστω $K$ το σημείο τομής των $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AE$. Αν ο κύκλος $(K,KD)$ τέμνει την...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Πέμ Απρ 18, 2019 12:46 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Και οι τέσσερις συντρέχουν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 264

Re: Και οι τέσσερις συντρέχουν

Να αποδείξετε ότι, σε ένα τρίγωνο $ABC$ οι τέσσερις ευθείες που περιέχουν $\bullet$ τα σημεία $B_{3}$, $C_{3}$ επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις πλευρές του $AB$, $AC$ αντίστοιχα, $\bullet$ τα σημεία επαφής $B_{4}$, $C_{4}$ αυτών των πλευρών με τους αντίστοιχους παρεγγεγραμμένους ...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Δευ Απρ 15, 2019 1:29 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Σχέσεις σε ισόπλευρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 242

Re: Σχέσεις σε ισόπλευρο

GEOMETRIA221=FB2950.jpg Έστω ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ και $P$ σημείο της $BC$. Ο κύκλος που διέρχεται από το $A$ και εφάπτεται της $BC$ στο $P$ τέμνει τις $AB, AC$ στα $E, D$ αντίστοιχα. Αν η $AP$ συναντά τον περίκυκλο του $ABC$ στο $Q$, δείξτε ότι: ... c. $[AEQD]=3[QBC]$ Για να μην μείνει αναπάντητ...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Κυρ Απρ 14, 2019 12:21 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Καθετότητα από τον ..τμηματάρχη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 279

Re: Καθετότητα από τον ..τμηματάρχη

Χαιρετώ. Η αφετηρία για την δημιουργία του παρόντος είναι το θέμα του KARKAR : Γίνε τμηματάρχης ! Καθετότητα , προσφορά του τμηματάρχη.PNG Το τρίγωνο $ABC$ του σχήματος είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο με κέντρο $O$ και έχει $\widehat{A}=90^{0}...tanB=\dfrac{4}{3}$ Το $M$ είναι το μέσον του τόξου $A...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Σάβ Απρ 13, 2019 10:42 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Καθετότητα από τον ..τμηματάρχη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 279

Re: Καθετότητα από τον ..τμηματάρχη

Χαιρετώ. Η αφετηρία για την δημιουργία του παρόντος είναι το θέμα του KARKAR : Γίνε τμηματάρχης ! Καθετότητα , προσφορά του τμηματάρχη.PNG Το τρίγωνο $ABC$ του σχήματος είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο με κέντρο $O$ και έχει $\widehat{A}=90^{0}...tanB=\dfrac{4}{3}$. Το $M$ είναι το μέσον του τόξου $...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Σάβ Απρ 13, 2019 8:49 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ίσες διαφορές
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 144

Re: Ίσες διαφορές

Ίσες διαφορές.pngΟι "πάνω" εφαπτόμενες από σημεία $A , B $ , σε έναν κύκλο , τέμνονται στο $T$ , ενώ οι "κάτω" τέμνονται στο $S$ . Δείξτε ότι : $SB-SA=TB-TA$ . Έστω $D,E,F,Q$ τα σημεία επαφής των $TA,TB,AS,BS$ με τον κύκλο και ας είναι $K\equiv AS\cap TB,L\equiv BS\cap TA$ . Τότε $\left\{ \begin{ga...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Τρί Απρ 09, 2019 10:55 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Λήμμα;
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 368

Re: Λήμμα;

Λήμμα;.png $BE, CF$ είναι οι διχοτόμοι τριγώνου $ABC$ με $\widehat A=60^\circ.$ Η κάθετη από το $A$ στην $EF$ τέμνει την $BC$ στο $D$ και την $EF$ στο $M.$ Να δείξετε ότι $AM=MD.$ Το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου $AFIEBC,I\equiv BE\cap CF$ με κορμό το προφανές (λόγω της 60άρας και των διχο...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Τρί Απρ 09, 2019 8:08 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Λήμμα;
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 368

Re: Λήμμα;

Λήμμα.png Γράφω τον κύκλο $A,E,B$ , ο οποίος τέμνει την $BC$ στο $D$ . Κόκκινη και πράσινη γωνίες , έχουν άθροισμα $60^0$ , άρα και ο κύκλος $(A,F,C)$ διέρχεται από το $D$ . Δείξτε τώρα , ότι η $FE$ είναι μεσοκάθετη στην κοινή χορδή $AD$ των δύο κύκλων . Πλάκα μας κάνεις Θανάση; Δεν τον βλέπεις τον...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Δευ Απρ 08, 2019 10:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 222

Re: Συντρέχουν

Συντρέχουν συμπλ..png Για τις ... ασχημάτιστες δύο λύσεις των παραπάνω . Μιας και ο Θανάσης μας έκανε δώρο το σχήμα (ευχαριστούμε) ας δούμε και μια ακόμα λύση κοιτάζοντάς το. Αν $S\equiv AB\cap QT,{S}'\equiv AB\cap DC$ τότε από το πλήρες τετράπλευρο $ABTQSL$ προκύπτει ότι η σειρά $\left( A,N,B,S \r...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Δευ Απρ 08, 2019 2:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 222

Re: Συντρέχουν

Συντρέχουν.pngΣτο ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD$ , το ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ τέμνει τις διαγωνίους $AC,BD$ στα σημεία $T,Q$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι οι ευθείες $AB , DC , QT$ συντρέχουν ( σε σημείο $S$ ) . Προφανώς $K\equiv AC\cap BD$ είναι το ορθόκεντρο (λόγω ημικυκλίου) του τριγώνου $\vartriangle ALB...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Κυρ Απρ 07, 2019 1:32 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Από ισοσκελή σε ισοσκελές
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 507

Re: Από ισοσκελή σε ισοσκελές

Επαναφορά αφιερώνοντας την πιο πάνω πρόταση στη μνήμη του Droz - Farny ;)
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Κυρ Απρ 07, 2019 1:29 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ολυμπιάδα "Υψηλά Πρότυπα"
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 565

Re: Ολυμπιάδα "Υψηλά Πρότυπα"

Ολυμπιάδα «Υψηλά πρότυπα» 2019, 11η τάξη (*) ... 4. Από τις κορυφές του τριγώνου $ABC$ άγονται τρεις παράλληλες ευθείες $a,b,c$ αντίστοιχα, μη παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου. Έστω $ A_{0}, B_{0}, C_{0}$ τα μέσα των πλευρών $BC, CA, AB$ και $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ τα σημεία τομής του ζεύγους...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Σάβ Απρ 06, 2019 7:49 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: ΧΡΗΣΙΜΟ ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ- SL2005-G6
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 279

Re: ΧΡΗΣΙΜΟ ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ- SL2005-G6

Το θέμα $G6$ του 2005 δίνει αφορμή για ωραία συμπεράσματα και περιέχει εξαιρετικά λήμματα. Η σχετική συζήτηση έχει γίνει σε πολλά σημεία, κυρίως όμως στο : https://artofproblemsolving.com/community/c6h80872p463068 Από εκεί δανείζομαι ένα σχήμα και βάζω ως ερώτημα κάποια συμπεράσματα που είναι χρήσι...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση