Η αναζήτηση βρήκε 8083 εγγραφές

από Demetres
Δευ Ιούλ 26, 2021 12:11 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τριγωνομετρική ανισότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 192

Re: Τριγωνομετρική ανισότητα

Από την ανισότητα Minkowski έχουμε: $\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{\frac{5}{4}-\sin{x}} + \sqrt{5-4\cos{x}} &= \sqrt{\left(\frac{1}{2} - \sin{x} \right)^2 + 1 - \sin^2{x}} + \sqrt{(2-\cos{x})^2 + 1 - \cos^2{x}} \\ &= \sqrt{\left(\frac{1}{2} - \sin{x} \right)^2 + \cos^2{x}} + \sqrt{\sin^2{x} + ...
από Demetres
Σάβ Ιούλ 24, 2021 10:50 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2021/4
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 330

Re: SEEMOUS 2021/4

Αν και για έναν έμπειρο φαίνεται σχετικά βατό πρόβλημα, τελικά αποδείχθηκε αρκετά δύσκολο για τους φοιτητές και είχε μεγάλη δόση αποτυχίας.
από Demetres
Σάβ Ιούλ 24, 2021 10:47 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΙΜΟ 2021
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 920

Re: ΙΜΟ 2021

Συγχαρητήρια σε όλους! Ήταν μια πολύ δύσκολη ολυμπιάδα και όλα τα cutoffs ήταν πολύ χαμηλότερα από ότι συνήθως.
από Demetres
Σάβ Ιούλ 24, 2021 10:46 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2021/2
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 321

Re: SEEMOUS 2021/2

Νίκο, αυτή ήταν και η δική μου λύση. Η επίσημη λύση που προτάθηκε ήταν η εξής: Οι ιδιοτιμές του $A$ είναι οι $\pm i$ με την ίδια πολλαπλότητα αφού ο $A$ είναι πραγματικός. Επίσης, το ελάχιστο πολυώνυμο του $A$ διαιρεί το $x^2+1$ οπότε ο $A$ είναι διαγωνοποιήσιμος. Άρα ο $A$ είναι όμοιος με τον $\dis...
από Demetres
Πέμ Ιούλ 22, 2021 10:06 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2021/4
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 330

SEEMOUS 2021/4

Για p\in\mathbb{R}, ορίζουμε την ακολουθία (a_n)_{n\geqslant 1} ως

\displaystyle  a_n=\frac 1{n^p}\int_0^n\big|\sin(\pi x)\big|^x \,{\textrm d}x\,.

Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του p για τις οποίες η σειρά \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n} συγκλίνει.
από Demetres
Πέμ Ιούλ 22, 2021 10:03 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2021/3
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 227

SEEMOUS 2021/3

Έστω πίνακας $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ τέτοιος ώστε $(AA^{\ast})^{2}=A^{\ast}A$, όπου με $A^{\ast}=\left(\overline{A}\right)^{t}$ συμβολίζουμε τον Ερμιτιανό ανάστροφο (δηλαδή τον αναστροφοσυζυγή πίνακα) του $A$. (α) Να δείξετε ότι $AA^{\ast}=A^{\ast}A$. (β) Να δείξετε ότι οι μη μηδενικές ιδι...
από Demetres
Πέμ Ιούλ 22, 2021 9:58 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2021/2
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 321

SEEMOUS 2021/2

Έστω θετικός ακέραιος n \geqslant 2 και έστω πίνακας A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) τέτοιος ώστε A^{2}=-I_{n}. Αν
B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) και AB=BA, να δείξετε ότι \det B\geqslant 0.
από Demetres
Πέμ Ιούλ 22, 2021 9:51 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2021/1
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 184

SEEMOUS 2021/1

Έστω συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = 1\,.$ (α) Να δείξετε ότι η ακολουθία $(x_n)_{n \geqslant 1}$ η οποία ορίζεται ως $\displaystyle x_n=f\left(\frac{1}{1}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right) +...
από Demetres
Τετ Ιούλ 21, 2021 9:03 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2021
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 195

SEEMOUS 2021

Σε λιγότερο από μισή ώρα ξεκινάει ο διαγωνισμός SEEMOUS 2021. Φέτος τον διοργανώνουμε στην Κύπρο. Σε αυτούς τους δύσκολους καιρούς της πανδημίας, έστω και με κάπως λιγότερες συμμετοχές, καταφέραμε να έχουμε δια ζώσης 41 φοιτητές από 10 ομάδες που λαμβάνουν μέρος στον διαγωνισμό. Καλή επιτυχία σε όλο...
από Demetres
Κυρ Ιούλ 18, 2021 12:53 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2019-20 (2)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 207

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2019-20 (2)

Κάνω το (iii) που είναι και το πιο ενδιαφέρον. Δίνω δύο τρόπους: Πρώτος τρόπος: Θα δείξουμε ότι αν δεν μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό $k$, τότε δεν μπορούμε να γράψουμε ούτε τον αριθμό $2^{k+1} + k+1$. Αφού δεν μπορούμε να γράψουμε το $1$ τότε δεν θα μπορούμε ούτε τους $1,4,37,\ldots$. Απόδειξη: Επ...
από Demetres
Κυρ Ιούλ 18, 2021 11:32 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: U553 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 190

Re: U553 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Απλά παρατηρούμε ότι

\displaystyle  [A^2 + (A+I)^2][A^2+(A-I)^2] = (2A^2+2A+I)(2A^2-2A+I) = 4A^4+I = 5I

άρα είναι και οι δύο πίνακες αντιστρέψιμοι.
από Demetres
Κυρ Ιούλ 11, 2021 12:38 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 156
Προβολές: 20235

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Άσκηση 43 Έστω $P, Q$ δύο πραγματικά πολυώνυμα τέτοια ώστε για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει $[P(x)] = [Q(x)]$ (το $[.]$ (συμβολίζει "ακέραιο μέρος"). Δείξτε ότι τα πολυώνυμα είναι ίσα. Σχόλιο: Αν την δεις σωστά, λύνεται σε δυο-τρεις γραμμές. Εdit: Έκανα διόρθωση στην εκφώνηση. 'Αλλαξα το $n\in \mat...
από Demetres
Κυρ Ιούλ 04, 2021 10:21 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Δύσκολο πρόβλημα!!
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 2482

Re: Δύσκολο πρόβλημα!!

Μου ζητήθηκε να βάλω τη λύση στην οποία αναφερόμουν. Έπρεπε να το λύσω ξανά μιας και δεν θυμόμουν τη λύση μου. Δεν ξέρω καν αν είναι ίδια με αυτή που είχα βρει τότε ή όχι. Ίσως να είχα και κάτι πιο απλό, ίσως και όχι. Θέτω $f(N) = \prod_{n=1}^N (n^2+1)$. Παρατηρώ ότι $\displaystyle f(N) \geqslant (N...
από Demetres
Κυρ Ιούλ 04, 2021 9:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1199

Re: JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ

Εξαιρετικά αποτελέσματα ειδικά για την Κύπρο μας. Δεν θυμάμαι να είχαμε ποτέ καλύτερη εμφάνιση! Πήραμε ένα χρυσό με τον Αρά Μαχτεσιάν, δύο αργυρά με τους Φίλιππο-Άθω Χατζηχριστοφή ( Filippos Athos ) και Θεοφάνη Ορφανού και ένα χάλκινο με την Κυριακή Άσσου. Η Ελλάδα είχε ένα αργυρό και τέσσερα χάλκιν...
από Demetres
Σάβ Ιουν 19, 2021 11:13 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Shortlist 2019 - Θεωρία Αριθμών
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 1120

Re: JBMO Shortlist 2019 - Θεωρία Αριθμών

Με αρκετή δόση καθυστέρησης ανέβηκαν και τα Ν5-Ν7.
από Demetres
Σάβ Ιουν 19, 2021 11:02 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Διαιρετότητες
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 346

Re: Διαιρετότητες

Ήταν θέμα της JBMO Shortlist του 2019. Είδαμε τη λύση εδώ.

Τώρα παρατηρώ ότι ανέβασα μόνο τα Ν1-Ν4. Θα ανεβάσω λίαν συντόμως και τα υπόλοιπα.
από Demetres
Τετ Ιουν 02, 2021 11:00 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 270

Re: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

Δίνω κάποιες επιπλέον εξηγήσεις στην πιο πάνω λύση. Ουσιαστικά σε διάφορα σημεία χρησιμοποίησα την εξής πρόταση: Λήμμα: Έστω πολυώνυμο $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ και έστω ότι υπάρχουν άπειρα σύνολα $A_1,\ldots,A_n$ ώστε $f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ για κάθε $x_1 \in A_1,\ldots,x_n \in A_n$. Τότε $f(...
από Demetres
Τετ Ιουν 02, 2021 12:01 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 270

Re: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

Για $a=b=c=0$ παίρνω $P(0,1)=0$. Για $a=b=0$ παίρνω $P(0,y) = 0$ για κάθε $y \geqslant 1$. Αφού αυτό ισχύει για άπειρες τιμές του $y$ τότε $P(x,y) = xQ(x,y)$ για κάποιο πολυώνυμο δύο μεταβλητών $Q(x,y)$. Τότε $abQ(ab,c^2+1) + bcQ(bc,a^2+1) + caQ(ca,b^2+1) = 0$ για κάθε $a,b,c \in \mathbb{R}$. Για $a...
από Demetres
Τετ Μάιος 26, 2021 10:40 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρά με διωνυμικό
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 153

Re: Σειρά με διωνυμικό

Για $k > 1$ έχουμε $\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n}{\binom{n+k}{k}} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{k!H_n}{(n+1) \cdots (n+k)} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{k!H_n}{k-1} \left(\frac{1}{(n+1)\cdots (n+k-1)} - \frac{1}{(n+2) \cdots (n+k)} \right) \\ &= \frac{k!}{k-1}\sum_{n=...
από Demetres
Δευ Μάιος 24, 2021 12:24 pm
Δ. Συζήτηση: Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
Θέμα: Απαρίθμηση
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 445

Re: Απαρίθμηση

Εναλλακτικά μία δεύτερη λύση με συνδυαστική. Για το 1ο βιβλίο έχουμε $2$ επιλογές (να το πάρει ο Α ή να το πάρει ο Β, για το 2ο έχουμε $2$ επιλογές ,......., για το 14ο έχουμε $2$. Από τη βασική αρχή απαρίθμησης υπάρχουν $2^{14}$ τρόποι να δοθούν τα $14$ βιβλία και από την αρχή της διπλής μέτρησης ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση