Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 Θέματα της 10ης και 11ης τάξης, 2018 2. Μπορεί άραγε όλα τα μη κενά υποσύνολα ενός συνόλου $10$ στοιχείων να διαμεριστούν σε τριάδες έτσι, ώστε σε κάθε τριάδα δυο από τα υποσύνολα να μην τέμνονται και στην ένωση να δίνουν το τρίτο; (Β. Φρανκ) Δεν γίνεται. Συνολικά πρέπει ν...

mick7 έγραψε: ↑

Κυρ Μαρ 05, 2023 10:00 pm

Σε αυτό ποιο είναι το μοτίβο λέτε...; Δεν μπόρεσα να το βγάλω.

Σε κάθε οριζόντια γραμμή το άθροισμα των αριθμών στα δυο μαύρα ισούται με τον αριθμό στην πρώτη στήλη. Το άθροισμα των αριθμών στα δυο άσπρα εκτός πρώτης και τελευταίας στήλης ισούται με τον αριθμό στην τελευταία στήλη.

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023, 3η φάση. Θέματα της 1ης μέρας για την 9η τάξη. 13 Φεβρουαρίου 2023. 3. Δίνεται ένας φυσικός αριθμός $n$. Σε ένα τετραγωνισμένο πίνακα $2n \times 2n$ τοποθετήθηκαν $2n$ πύργοι έτσι, ώστε κανένα ζεύγος να μην βρίσκεται στην ίδια οριζόντιο ή κάθετο. Ύστερα ο πίνακα...

Δεν καταλαβαίνω γιατί το $61/144$ αφού υπάρχει κάτι καλύτερο που βγαίνει φυσιολογικά και είναι και το βέλτιστο: $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{\sin{kx}}{k}\right)^2\,\mathrm{d}x = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k^2} \int_{0}^{\pi/2} (1-\cos{2kx})\,\mathrm{d}x = \frac{\pi}{4}\s...

Η Κυπριακή Δημοκρατία έχει μόνον 45.000 μαθητές στη Μέση εκπαίδευση. Από αυτούς οι 12.000 δεν έχουν μητρική γλώσσα την ελληνική, (αυτό είναι δεδομένο του επιπέδου της γενικής τους εκπαίδευσης). Δεν γνωρίζω νούμερα αλλά λαμβάνουμε υπόψη και τους μαθητές που δεν έχουν μητρική γλώσσα την ελληνική. Σε ...

Henri van Aubel έγραψε: ↑

Πέμ Φεβ 02, 2023 1:31 pm

Ρε παιδιά, το δεύτερο είναι της πλάκας! Βγαίνει με παραγοντοποίηση. Συγκεκριμένα, γίνεται $x\left ( 3-y \right )\left ( x-5

Εντάξει αλλά είναι ο πρώτος μας διαγωνισμός και λαμβάνουν μέρος και μαθητές της Α' Γυμνασίου για τους οποίους μπορεί να μην είναι τόσο εύκολο.

Η εκφώνηση του 2 είναι σίγουρα έτσι; Γιατί νομίζω καμία από τις $n^2-2=2023^2,2n-2=2023^2,3n+3=2023^2$ δεν έχει λύση οπότε άμεσα παίρνουμε αρνητική απάντηση. Πρόδρομε, μας είχε ξεφύγει η εκφώνηση του 2. Στόχος ήταν να παρατηρηθεί ότι ο αριθμός που ήταν γραμμένος στον πίνακα ήταν πάντα της μορφής $2...

Πρόβλημα 1: Δίνεται μη σταθερή συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ όπου $\alpha, \beta, \gamma$ πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί $m, n$, τέτοιοι ώστε $\displaystyle f(m) = f(6m-1) $ και $\displaystyle f(n) = f(3-15n)$...

Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους $\kappa, \nu$ για τους οποίους ισχύει $\displaystyle 3\cdot 2^{\kappa} + 1 = \nu^2\,.$ Πρόβλημα 2: Δίνονται οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί $\alpha, \beta$ και $\gamma$ για τους οποίους ισχύει $\displaystyle \frac{\alpha^2-\alpha-\gamma}{\beta} + \fra...

Έχει πλάκα. Να και μια δική μου συνομιλία: Demetres: Is 2023 a prime number? ChatGPT: Yes, 2023 is a prime number. It is only divisible by 1 and itself. Demetres: Are you sure? ChatGPT: I apologize, I made a mistake in my previous response. 2023 is actually a prime number. It is only divisible by 1 ...

Αν $n \geqslant 2$, τότε το δεξί μέλος είναι ισότιμο με $1 + 0 + 3 \equiv 4 \bmod 8$. Αυτό είναι αδύνατο αφού το αριστερό μέλος είναι περιττός αν $k$ περιττός και ισότιμο με $0 \bmod 8$ αν $k$ άρτιος. Άρα $n = 0$ ή $n=1$. Αν $m=0$ τότε το δεξί μέλος είναι ίσο με $5$ ή $8$ και άρα δεν είναι ίσο με το...

Θεωρώ ότι οι φυσικοί δεν περιλαμβάνουν το $0$. Αλλιώς η απάντηση αλλάζει λίγο. Αν $n = 2m+1$ με $m \geqslant 1$, τότε γράφεται ως $(m+1)^2 - m^2$. Αν $n = 4m$ με $m \geqslant 2$, τότε γράφεται ως $(m+1)^2 - (m-1)^2$. Μένουν οι αριθμοί $1,4$ καθώς και όλοι της μορφής $2 \bmod 4$. Οι $1,4$ δεν μπορούν...

Βλέποντας την προηγούμενη ανάρτηση με τις απαντήσεις κατάλαβα πως έκανα μια γκάφα στη λύση μου. Είχα πει αντί του σωστού . Το διόρθωσα τώρα.

Ακόμη και με τις απαντήσεις εξακολουθεί να είναι δύσκολο για Α' Γυμνασίου.

Δύσκολο για Α' Γυμνασίου. Ίσως καταλληλότερο για διαγωνισμούς. Γράφουμε $110n^3 = p_1^{r_1} \cdots p_k^r_k$ ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. Επειδή $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$, τότε τρία από τα $r_i$, έστω τα $r_1,r_2,r_3$ είναι ισότιμα με $1 \bmod 3$ και τα υπόλοιπα είναι πολλαπλάσια του $3$. Ισχύει τ...

Πρόβλημα 1. Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους $n$ τέτοιους ώστε, ο αριθμός $\displaystyle 2^n + 2023^n$ να είναι τέλειο τετράγωνο. Πρόβλημα 2. Σε ένα πίνακα είναι αρχικά γραμμένος ο αριθμός $2$. Ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Σε κάθε βήμα, αν στον πίνακα είναι γραμμένος ο αριθμός $n$, τον σ...

Πρόβλημα 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε ακέραιο $k$, ο αριθμός $10k+2023$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Πρόβλημα 2. Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων $(x, y)$ που ικανοποιούν $\displaystyle 3x^2 - 15x - yx^2 + 5xy - 24 = 0\,.$ Πρόβλημα 3. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $AB\varGamma$ και το ύψος του $A\varDelt...

Με πρόλαβαν... :) Δεν απέδειξα τον ισχυρισμό. :) Μιας και είμαστε σε αυτήν την άσκηση αξίζει να αναφέρουμε και το Θεώρημα του Kummer: Αν $p$ πρώτος, το $\displaystyle v_p\left(\binom{n}{m} \right)$ ισούται με το πλήθος των φορών που πρέπει να κρατήσουμε ψηφίο αν προσθέσουμε τους $m$ και $n-m$ στη β...

Έστω $p$ πρώτος. Παίρνουμε $k$ ώστε $p^k \leqslant 2n < p^{k+1}$. Τότε $v_p([1,2,\ldots,2n]) = k$. Επίσης $\displaystyle v_p(2n!) = \left \lfloor \frac{2n}{p}\right \rfloor + \left \lfloor \frac{2n}{p^2}\right \rfloor + \cdots \left \lfloor \frac{2n}{p^k}\right \rfloor $ και $\displaystyle v_p(n!^2)...

Επανέρχομαι με τη λύση του 5. Ευχαριστώ τον Αλέξανδρο που παρατήρησε το λάθος. Ισχυρίζομαι ότι θα υπάρχουν τουλάχιστον $4$ πετυχημένα κελιά. Για να το δείξω χωρίς τη σκακιέρα σε τετράγωνα με τέσσερα κελιά το καθένα. Έχω τις εξής περιπτώσεις: Αν εμφανίζεται ένας αριθμός τέσσερις φορές, τότε σχηματίζο...

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023 Θέματα της 1ης φάσης για την 9η τάξη, 19 Νοεμβρίου 2022 5. Ο Βασίλης στα γενέθλιά του έλαβε ως δώρο ένα πίνακα, που αποτελείται από ένα τετράγωνο $150 \times 150$ κελιών, στο οποίο έχουν αποκοπεί δυο $6 \times 6$ τετράγωνα, αυτό που περιέχει το πάνω αριστ...