Η αναζήτηση βρήκε 8421 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Πέμ Ιαν 18, 2024 5:15 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 (8η τάξη, 1η φάση)
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 703
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 (8η τάξη, 1η φάση)
Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 Θέματα της 1ης φάσης για την 8η τάξη, 18 Νοεμβρίου 2023 5. Από ένα λευκό πίνακα διαστάσεων $100 \times 100$ αποκόπηκαν τα κελιά, που βρίσκονται στην τομή γραμμών με άρτιο αριθμό και στηλών με περιττό. Με μια κίνηση η Κατερίνα χρωματίζει δυο γειτονικά κατά...
- Τετ Ιαν 17, 2024 2:48 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 (8η τάξη, 1η φάση)
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 703
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 (8η τάξη, 1η φάση)
Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 Θέματα της 1ης φάσης για την 8η τάξη, 18 Νοεμβρίου 2023 3. Ο Φώτης μελετάει έναν φυσικό αριθμό $N$. Ισχυρίζεται, ότι για οποιαδήποτε διαμέριση του αριθμού $4000$ σε άθροισμα δυο διαφορετικών φυσικών αριθμών (μη μηδενικών) ο αριθμός $N$ διαιρείτε με ακριβώ...
- Τετ Ιαν 17, 2024 2:39 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
- Θέμα: Βάση του χώρου U+V
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 341
Re: Βάση του χώρου U+V
Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο
που δίνει .
Άρα αρκεί να δείξουμε μόνο τη γραμμική ανεξαρτησία ή μονο ότι το δοθέν σύνολο παράγει το .
που δίνει .
Άρα αρκεί να δείξουμε μόνο τη γραμμική ανεξαρτησία ή μονο ότι το δοθέν σύνολο παράγει το .
- Τετ Ιαν 17, 2024 2:12 pm
- Δ. Συζήτηση: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- Θέμα: Η πιθανότητα με ένα ζάρι
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 203
Re: Η πιθανότητα με ένα ζάρι
Ο Μάνος έχει $\displaystyle{a}$ ευρώ και ο Δημήτρης $\displaystyle{b}$ ευρώ, με $\displaystyle{a<b}$ και $\displaystyle{a}$ θετικός ακέραιος Αποφάσισαν να παίξουν ένα παιχνίδι, ρίχνοντας εναλλάξ ένα ζάρι, με την συμφωνία να δίνει ο ένας στον άλλο τόσα ευρώ, όσα δείχνει το ζάρι που έριξε. (Π.χ αν το...
- Τετ Δεκ 13, 2023 12:22 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Mαθητές και θρανία
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 1865
Re: Mαθητές και θρανία
Δίνω την κατασκευή που έχει υπόψη ο Μιχάλης αλλά χωρίς να αναφερθώ στη γεωμετρία. Ονομάζω τους μαθητής $x_0,x_1,x_2,\ldots,x_{99}$. Την ημέρα $k$, όπου $k = 1,2,\ldots,99$ ο μαθητής $x_0$ κάθεται με τον μαθητή $x_k$, ενώ οι μαθητές $x_i,x_j$ (με $i,j \neq 0,k$) κάθονται μαζί αν και μόνο αν $i+j \equ...
- Παρ Νοέμ 24, 2023 4:23 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Διψήφιου τετράγωνο και κύβος
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1039
Re: Διψήφιου τετράγωνο και κύβος
Ας γράψουμε $s(m)$ για το άθροισμα των ψηφίων του $m$. Αν $n \equi 1 \bmod 3$, τότε $n^2 \equiv n^3 \equiv 1 \bmod 3$, άρα $s(n^2) + s(n^3) \equiv 2 \bmod 3$, άτοπο αφού $s(n) + s(n^2) = 45$. Ομοίως απορρίπτονται οι $n \equiv 2,5 \bmod 9$. Απορίπτοντας επίσης τους λήγοντες σε $0,1,5,6$ μένει να ελέγ...
- Πέμ Νοέμ 16, 2023 2:50 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Δεν ξέρω τον αριθμό σου αλλά να που τον βρήκα.
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 541
Re: Δεν ξέρω τον αριθμό σου αλλά να που τον βρήκα.
Μιχάλη σίγουρα είναι έτσι; Βρίσκω απάντηση μόνο με την επιπλέον προϋπόθεση ότι από την πρώτη ερώτηση της Άννας συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός της ανήκει στο $\{1,2,\ldots,15\}$. Σε διαφορετική περίπτωση θα γνώριζε την απάντηση και άρα δεν θα έκανε την ερώτηση. Δεν είμαι όμως σίγουρος αν δικαιούμαστε να...
- Τρί Νοέμ 14, 2023 3:38 pm
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- Θέμα: Αριθμοί με ιδιότητα
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 746
Re: Αριθμοί με ιδιότητα
Ισχύει για κάθε $k$. Παίρνω $n = 8k$ και ορίζω $\pi(m) = m$ εκτός από τους αριθμούς που βρίσκονται στα ζεύγη $(1,2),(3,6), \ldots,(4k-1,8k-2)$ όπου ορίζω την $\pi$ να αντιμεταθέτει τους αριθμούς των ζευγών. Σε κάθε ένα από τα $2k$ ζεύγη της μορφής $(m,2m)$ όπου η $\pi$ δεν είναι ταυτοτική, έχω $\dis...
- Πέμ Νοέμ 02, 2023 2:33 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Συναρτησιακή!
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 954
Re: Συναρτησιακή!
Θα δείξουμε ότι οι μόνες λύσεις είναι οι $f(x) = 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και $f(x) = x$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ οι οποίες προφανώς ικανοποιούν τη σχέση. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι δεν είμαστε στην πρώτη περίπτωση και άρα υπάρχει $a \in \mathbb{R}$ με $f(a) \neq 0$. Για $x = y = 1$ έχουμε ...
- Τρί Οκτ 31, 2023 3:56 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- Θέμα: Ίσα γινόμενα σε πίνακα
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 694
Re: Ίσα γινόμενα σε πίνακα
Δεν έχω κάποια «όμορφη» λύση. Ο πιο κάτω πίνακας δείχνει ότι μπορούμε να πετύχουμε τουλάχιστον $8$ διαφορετικούς αριθμούς. $\displaystyle \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline 6 & 2 & -2 & 6 \\ \hline 3 & -1/6 & -1/6 & -3 \\ \hline -3 & 1/6 & 1/6 & 3 \\ \hline -6 & 2 & -2 & -6 \\ \hline \end{tabular}$ Θ...
- Δευ Οκτ 30, 2023 11:36 am
- Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
- Θέμα: Διάσπαση συνάρτησης σε επί συναρτήσεις
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 571
Re: Διάσπαση συνάρτησης σε επί συναρτήσεις
Μπορούμε για παράδειγμα να πάρουμε τις $\displaystyle g(x) = \begin{cases} -x+\frac{1}{x} & x < 0 \\ f(0) & x=0 \\ f(x) + x - \frac{1}{x} & x > 0 \end{cases}$ και $\displaystyle h(x) = \begin{cases} f(x)+x-\frac{1}{x} & x < 0 \\ 0 & x=0 \\ -x + \frac{1}{x} & x > 0 \end{cases}$ Επειδή $g$ συνεχής στο...
- Πέμ Οκτ 26, 2023 1:29 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Τριώνυμα δευτέρου βαθμού με διαφορετικές ρίζες
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 414
Re: Τριώνυμα δευτέρου βαθμού με διαφορετικές ρίζες
Αν κάποιο τριώνυμο έχεις ρίζες $x_i,x_j$ τότε η διακρίνουσά του ισούται με $\displaystyle b^2 - 4ac = (x_i+x_j)^2 - 4x_ix_j = (x_i-x_j)^2$ Από τις ρίζες $1,11,12,23$, δύο ανήκουν στο ίδιο τριώνυμο. Αν είναι οι $1,11$, τότε $\Delta = 10^2$ και οι άλλες ρίζες πρέπει να είναι οι $22 = 12+10$ και $13 = ...
- Τετ Οκτ 25, 2023 4:53 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Σημεία σε κύκλο
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 413
Re: Σημεία σε κύκλο
Θα το βάλω στο κέντρο. Αν το βάλω οπουδήποτε αλλού, ο Γιώργος το βάζει στο αντιδιαμετρικό του και η πιθανότητα να κερδίσω είναι το πολύ $50\%$. (Μπορεί να είναι και μικρότερη αν ο Γιώργος βρει ακόμη καλύτερη στρατηγική. Π.χ. αν το βάλει στο κέντρο.) Αν το βάλω στο κέντρο, τότε μεταξύ κάθε δύο αντιδι...
- Πέμ Οκτ 19, 2023 3:37 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
- Θέμα: Συντρέχουν σε παραβολή
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 847
Re: Συντρέχουν σε παραβολή
Ναι μπορεί να γίνει και απευθείας. Απλά μιας και έφτασα και έγραψα τα υπόλοιπα είπα αντί να αλλάζω τα προηγούμενα να προσθέσω και την έξτρα περίπτωση.
- Πέμ Οκτ 19, 2023 1:28 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Κλέφτης και αστυνόμος
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 504
Re: Κλέφτης και αστυνόμος
Ονομάζω τις κορυφές τις πρώτης από πάνω σειράς $A,B,C,D,E$, της επόμενης $F,G,H,I$ και της τελεταίας $J,K$. Όπως δηλαδή φαίνεται παρακάτω αλλά χωρίς τις συνδέσεις. $\displaystyle \begin{tabular}{ccccc} A & B & C & D & E \\ F & G & H & I & \\ & & & J & K \end{tabular} $ Ο αστυνομικός κάνει αρχικά τα ...
- Πέμ Οκτ 19, 2023 12:25 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
- Θέμα: Συντρέχουν σε παραβολή
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 847
Re: Συντρέχουν σε παραβολή
Τώρα που το βλέπω ξανά θέλει λίγη περισσότερη προσοχή για το τι συμβαίνει αν . Τότε η εξίσωση της ευθείας είναι η οπότε έχουμε και . Όμως τότε πάλι το είναι ρίζα της .
- Πέμ Οκτ 19, 2023 12:18 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
- Θέμα: Συντρέχουν σε παραβολή
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 847
Re: Συντρέχουν σε παραβολή
Αλλιώς. Έστω $(p,q)$ το σημείο τομής. Κάθε ευθεία που περνά από αυτό έχει εξίσωση $y-q = \lambda(x-p)$. Αν περνά κάθετα στην παραβολή από το σημείο $(t,t^2)$, τότε η κλίση της είναι $\lambda = -\dfrac{1}{2t}$. Τότε $\displaystyle t^2 - q = \frac{p-t}{2t}$ που δίνει $\displaystyle 2t^3 + (1-2q)t - p ...
- Τετ Οκτ 18, 2023 8:16 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
- Θέμα: Τριγωνομετρική
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 645
Re: Τριγωνομετρική
Μπορούμε να βρούμε τιμή του $x$ ώστε $\displaystyle \sin{x} = -\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}$ και $\displaystyle \cos{x} = \frac{b}{\sqrt{b^2+1}}$. Για αυτό το $x$ παίρνουμε $\displaystyle -\sqrt{b^2+1} \geqslant -\sin{a}$ που είναι άτοπο εκτός και αν $b=0$ και $\sin{a} = 1$. Δηλαδή $b=0$ και $a = 2k\pi + ...
- Τετ Οκτ 18, 2023 7:16 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Ακέραιος
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 549
Re: Ακέραιος
Όποιος ακέραιος ικανοποιεί την πρώτη συνθήκη ικανοποιεί ταυτόχρονο και τη δεύτερη. Πράγματι αν τότε .
Δεν χρειάζεται λοιπόν κανένας κόπος για να βρούμε τέτοιους ακεραίους.
Δεν χρειάζεται λοιπόν κανένας κόπος για να βρούμε τέτοιους ακεραίους.
- Τετ Οκτ 18, 2023 4:23 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: WolframAlpha ... blues
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 664
Re: WolframAlpha ... blues
Γιώργο, δεν έχω διαβάσει τα προηγούμενα για να ξέρω τι είναι η διαφορά των δύο μεγίστων και γιατί είναι ανεπίτρεπτη. Αλλά ο wolfram μια χαρά σχεδιάζει τη γραφική παράσταση. Απλά η αλλαγή κλίμακας την κάνει να φαίνεται παραμορφωμένη. Βάζω δυο γραφικές που έκανα με άλλο πρόγραμμα. Η καμπύλη είναι και ...