Η αναζήτηση βρήκε 8354 εγγραφές

από Demetres
Τετ Μαρ 08, 2023 1:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10-11 τάξη, 2018)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 196

Re: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10-11 τάξη, 2018)

Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 Θέματα της 10ης και 11ης τάξης, 2018 2. Μπορεί άραγε όλα τα μη κενά υποσύνολα ενός συνόλου $10$ στοιχείων να διαμεριστούν σε τριάδες έτσι, ώστε σε κάθε τριάδα δυο από τα υποσύνολα να μην τέμνονται και στην ένωση να δίνουν το τρίτο; (Β. Φρανκ) Δεν γίνεται. Συνολικά πρέπει ν...
από Demetres
Δευ Μαρ 06, 2023 12:31 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Άθλια θέματα μαθηματικών στον ΑΣΕΠ
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 900

Re: Άθλια θέματα μαθηματικών στον ΑΣΕΠ

mick7 έγραψε:
Κυρ Μαρ 05, 2023 10:00 pm
Σε αυτό ποιο είναι το μοτίβο λέτε...; Δεν μπόρεσα να το βγάλω. :!:
Σε κάθε οριζόντια γραμμή το άθροισμα των αριθμών στα δυο μαύρα ισούται με τον αριθμό στην πρώτη στήλη. Το άθροισμα των αριθμών στα δυο άσπρα εκτός πρώτης και τελευταίας στήλης ισούται με τον αριθμό στην τελευταία στήλη.
από Demetres
Πέμ Μαρ 02, 2023 2:51 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 1η μέρα)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 228

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 1η μέρα)

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023, 3η φάση. Θέματα της 1ης μέρας για την 9η τάξη. 13 Φεβρουαρίου 2023. 3. Δίνεται ένας φυσικός αριθμός $n$. Σε ένα τετραγωνισμένο πίνακα $2n \times 2n$ τοποθετήθηκαν $2n$ πύργοι έτσι, ώστε κανένα ζεύγος να μην βρίσκεται στην ίδια οριζόντιο ή κάθετο. Ύστερα ο πίνακα...
από Demetres
Πέμ Μαρ 02, 2023 2:07 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μία ανισότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 182

Re: Μία ανισότητα

Δεν καταλαβαίνω γιατί το $61/144$ αφού υπάρχει κάτι καλύτερο που βγαίνει φυσιολογικά και είναι και το βέλτιστο: $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{\sin{kx}}{k}\right)^2\,\mathrm{d}x = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k^2} \int_{0}^{\pi/2} (1-\cos{2kx})\,\mathrm{d}x = \frac{\pi}{4}\s...
από Demetres
Πέμ Φεβ 23, 2023 3:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 444

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO

Η Κυπριακή Δημοκρατία έχει μόνον 45.000 μαθητές στη Μέση εκπαίδευση. Από αυτούς οι 12.000 δεν έχουν μητρική γλώσσα την ελληνική, (αυτό είναι δεδομένο του επιπέδου της γενικής τους εκπαίδευσης). Δεν γνωρίζω νούμερα αλλά λαμβάνουμε υπόψη και τους μαθητές που δεν έχουν μητρική γλώσσα την ελληνική. Σε ...
από Demetres
Πέμ Φεβ 23, 2023 2:54 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 444

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO

Henri van Aubel έγραψε:
Πέμ Φεβ 02, 2023 1:31 pm
Ρε παιδιά, το δεύτερο είναι της πλάκας! :) Βγαίνει με παραγοντοποίηση. Συγκεκριμένα, γίνεται $x\left ( 3-y \right )\left ( x-5
Εντάξει αλλά είναι ο πρώτος μας διαγωνισμός και λαμβάνουν μέρος και μαθητές της Α' Γυμνασίου για τους οποίους μπορεί να μην είναι τόσο εύκολο.
από Demetres
Πέμ Φεβ 23, 2023 2:46 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για EGMO/BMO/IMO
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 763

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για EGMO/BMO/IMO

Η εκφώνηση του 2 είναι σίγουρα έτσι; Γιατί νομίζω καμία από τις $n^2-2=2023^2,2n-2=2023^2,3n+3=2023^2$ δεν έχει λύση οπότε άμεσα παίρνουμε αρνητική απάντηση. Πρόδρομε, μας είχε ξεφύγει η εκφώνηση του 2. Στόχος ήταν να παρατηρηθεί ότι ο αριθμός που ήταν γραμμένος στον πίνακα ήταν πάντα της μορφής $2...
από Demetres
Πέμ Φεβ 23, 2023 2:40 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για EGMO/BMO/IMO
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 389

Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για EGMO/BMO/IMO

Πρόβλημα 1: Δίνεται μη σταθερή συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ όπου $\alpha, \beta, \gamma$ πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί $m, n$, τέτοιοι ώστε $\displaystyle f(m) = f(6m-1) $ και $\displaystyle f(n) = f(3-15n)$...
από Demetres
Πέμ Φεβ 23, 2023 2:34 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 481

Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO

Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους $\kappa, \nu$ για τους οποίους ισχύει $\displaystyle 3\cdot 2^{\kappa} + 1 = \nu^2\,.$ Πρόβλημα 2: Δίνονται οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί $\alpha, \beta$ και $\gamma$ για τους οποίους ισχύει $\displaystyle \frac{\alpha^2-\alpha-\gamma}{\beta} + \fra...
από Demetres
Παρ Φεβ 17, 2023 2:56 pm
Δ. Συζήτηση: Χρήσιμες Ιστοσελίδες (μη μαθηματικού περιεχομένου)
Θέμα: H Παλατινή Ανθολογία και το ChatGPT. Εντυπωσιακό αλλά και για γέλια
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 412

Re: H Παλατινή Ανθολογία και το ChatGPT. Εντυπωσιακό αλλά και για γέλια

Έχει πλάκα. Να και μια δική μου συνομιλία: Demetres: Is 2023 a prime number? ChatGPT: Yes, 2023 is a prime number. It is only divisible by 1 and itself. Demetres: Are you sure? ChatGPT: I apologize, I made a mistake in my previous response. 2023 is actually a prime number. It is only divisible by 1 ...
από Demetres
Τετ Φεβ 08, 2023 10:34 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ισοτιμίες
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 231

Re: Ισοτιμίες

Αν $n \geqslant 2$, τότε το δεξί μέλος είναι ισότιμο με $1 + 0 + 3 \equiv 4 \bmod 8$. Αυτό είναι αδύνατο αφού το αριστερό μέλος είναι περιττός αν $k$ περιττός και ισότιμο με $0 \bmod 8$ αν $k$ άρτιος. Άρα $n = 0$ ή $n=1$. Αν $m=0$ τότε το δεξί μέλος είναι ίσο με $5$ ή $8$ και άρα δεν είναι ίσο με το...
από Demetres
Πέμ Φεβ 02, 2023 3:50 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μια κατηγορία φυσικών αριθμών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 134

Re: Μια κατηγορία φυσικών αριθμών

Θεωρώ ότι οι φυσικοί δεν περιλαμβάνουν το $0$. Αλλιώς η απάντηση αλλάζει λίγο. Αν $n = 2m+1$ με $m \geqslant 1$, τότε γράφεται ως $(m+1)^2 - m^2$. Αν $n = 4m$ με $m \geqslant 2$, τότε γράφεται ως $(m+1)^2 - (m-1)^2$. Μένουν οι αριθμοί $1,4$ καθώς και όλοι της μορφής $2 \bmod 4$. Οι $1,4$ δεν μπορούν...
από Demetres
Πέμ Φεβ 02, 2023 3:37 pm
Δ. Συζήτηση: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Πλήθος ακέραιων διαιρετών
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 154

Re: Πλήθος ακέραιων διαιρετών

Βλέποντας την προηγούμενη ανάρτηση με τις απαντήσεις κατάλαβα πως έκανα μια γκάφα στη λύση μου. Είχα πει n = pq^4r^{10} αντί του σωστού 110n^3 = pq^4r^{10}. Το διόρθωσα τώρα.

Ακόμη και με τις απαντήσεις εξακολουθεί να είναι δύσκολο για Α' Γυμνασίου.
από Demetres
Πέμ Φεβ 02, 2023 3:21 pm
Δ. Συζήτηση: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Πλήθος ακέραιων διαιρετών
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 154

Re: Πλήθος ακέραιων διαιρετών

Δύσκολο για Α' Γυμνασίου. Ίσως καταλληλότερο για διαγωνισμούς. Γράφουμε $110n^3 = p_1^{r_1} \cdots p_k^r_k$ ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. Επειδή $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$, τότε τρία από τα $r_i$, έστω τα $r_1,r_2,r_3$ είναι ισότιμα με $1 \bmod 3$ και τα υπόλοιπα είναι πολλαπλάσια του $3$. Ισχύει τ...
από Demetres
Πέμ Φεβ 02, 2023 1:23 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για EGMO/BMO/IMO
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 763

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για EGMO/BMO/IMO

Πρόβλημα 1. Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους $n$ τέτοιους ώστε, ο αριθμός $\displaystyle 2^n + 2023^n$ να είναι τέλειο τετράγωνο. Πρόβλημα 2. Σε ένα πίνακα είναι αρχικά γραμμένος ο αριθμός $2$. Ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Σε κάθε βήμα, αν στον πίνακα είναι γραμμένος ο αριθμός $n$, τον σ...
από Demetres
Πέμ Φεβ 02, 2023 1:18 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 444

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO

Πρόβλημα 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε ακέραιο $k$, ο αριθμός $10k+2023$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Πρόβλημα 2. Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων $(x, y)$ που ικανοποιούν $\displaystyle 3x^2 - 15x - yx^2 + 5xy - 24 = 0\,.$ Πρόβλημα 3. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $AB\varGamma$ και το ύψος του $A\varDelt...
από Demetres
Σάβ Ιαν 28, 2023 10:43 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Είναι ακέραιος!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 281

Re: Είναι ακέραιος!

Με πρόλαβαν... :) Δεν απέδειξα τον ισχυρισμό. :) Μιας και είμαστε σε αυτήν την άσκηση αξίζει να αναφέρουμε και το Θεώρημα του Kummer: Αν $p$ πρώτος, το $\displaystyle v_p\left(\binom{n}{m} \right)$ ισούται με το πλήθος των φορών που πρέπει να κρατήσουμε ψηφίο αν προσθέσουμε τους $m$ και $n-m$ στη β...
από Demetres
Σάβ Ιαν 28, 2023 9:30 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Είναι ακέραιος!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 281

Re: Είναι ακέραιος!

Έστω $p$ πρώτος. Παίρνουμε $k$ ώστε $p^k \leqslant 2n < p^{k+1}$. Τότε $v_p([1,2,\ldots,2n]) = k$. Επίσης $\displaystyle v_p(2n!) = \left \lfloor \frac{2n}{p}\right \rfloor + \left \lfloor \frac{2n}{p^2}\right \rfloor + \cdots \left \lfloor \frac{2n}{p^k}\right \rfloor $ και $\displaystyle v_p(n!^2)...
από Demetres
Πέμ Ιαν 26, 2023 3:21 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023 (1η φάση, 9η τάξη)
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 463

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023 (1η φάση, 9η τάξη)

Επανέρχομαι με τη λύση του 5. Ευχαριστώ τον Αλέξανδρο που παρατήρησε το λάθος. Ισχυρίζομαι ότι θα υπάρχουν τουλάχιστον $4$ πετυχημένα κελιά. Για να το δείξω χωρίς τη σκακιέρα σε τετράγωνα με τέσσερα κελιά το καθένα. Έχω τις εξής περιπτώσεις: Αν εμφανίζεται ένας αριθμός τέσσερις φορές, τότε σχηματίζο...
από Demetres
Τετ Ιαν 25, 2023 1:36 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023 (1η φάση, 9η τάξη)
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 463

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023 (1η φάση, 9η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023 Θέματα της 1ης φάσης για την 9η τάξη, 19 Νοεμβρίου 2022 5. Ο Βασίλης στα γενέθλιά του έλαβε ως δώρο ένα πίνακα, που αποτελείται από ένα τετράγωνο $150 \times 150$ κελιών, στο οποίο έχουν αποκοπεί δυο $6 \times 6$ τετράγωνα, αυτό που περιέχει το πάνω αριστ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση