Η αναζήτηση βρήκε 7986 εγγραφές

από Demetres
Παρ Νοέμ 27, 2020 12:50 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 423

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

Α! Τώρα κατάλαβα γιατί έκανες το σχόλιο. Εσύ διάβαζες "Μη αρνητικές" "πραγματικές ρίζες" ενώ εγώ διάβαζα "Μη αρνητικές πραγματικές" ρίζες.
από Demetres
Παρ Νοέμ 27, 2020 10:34 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 423

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

ΘΕΜΑ 3 Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων $a,b$ για τις οποίες τα πολυώνυμα $6x^2-24x-4a$ και $x^3+ax^2+bx-8$ έχουν μη αρνητικές πραγματικές ρίζες. Οι ρίζες του $6x^2 - 24x - 4a$ είναι οι $\frac{6 \pm \sqrt{36+6a}}{3}$. Θέλουμε λοιπόν $0 \leqslant 36+6a \leqslant 36$. Για να είναι λοιπόν οι ρίζες α...
από Demetres
Δευ Νοέμ 23, 2020 7:16 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Απορία
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 459

Re: Απορία

Βάζω μια απόδειξη με διπλά ολοκληρώματα: Έχουμε $\displaystyle I = \int_a^b \int_a^b \frac{f(x)}{f(y)} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int_a^b \int_a^b \frac{f(x)}{f(y)} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x = \int_a^b \int_a^b \frac{f(y)}{f(x)} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y $ Επομένως $\displaystyle I = \...
από Demetres
Δευ Νοέμ 23, 2020 3:19 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 140

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20. 2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη. 8. Στον πίνακα γράφτηκαν $n$ δευτεροβάθμια τριώνυμα της μορφής $\star x^2 + \star x + \star$ (στην θέση των συντελεστών είναι γραμμένα αστέρια). Μπορούμε άραγε για κάποιο $n > 100$ να τοποθετήσουμε στην...
από Demetres
Πέμ Νοέμ 19, 2020 6:30 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μοιρασιά μήλων
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 190

Re: Μοιρασιά μήλων

Ας το δούμε και χωρίς εξισώσεις: Έστω ο Α,Β,Γ τα τρία άτομα που θα φύγουν. Όταν φύγουν οι Α,Β δίνουν ένα μήλο στον Γ και από ένα σε κάθε άλλον μαθητή. Μετά φεύγει και ο Γ και δίνει από ένα μήλο σε κάθε μαθητή. Το ένα από αυτά είναι αυτό που πήρε από τους Α και Β. Συνολικά λοιπόν οι Α,Β έδωσαν δύο μή...
από Demetres
Τετ Νοέμ 18, 2020 1:28 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥΣ -ΠΙΟ ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΕΝ ΓΙΝΕΤΑΙ !
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 521

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥΣ -ΠΙΟ ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΕΝ ΓΙΝΕΤΑΙ !

Βαγγέλη χρησιμοποίησες ότι $e < 3$. Για να αποφύγουμε να χρησιμοποιήσουμε το ζητούμενο πρέπει να προσέξουμε πως θα ορίσουμε το $e$. Αν το ορίσουμε ως $\displaystyle e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ τότε έχουμε θέμα. Μπορούμε βέβαια να ορίσουμε την $\exp(x)$ ως δυναμοσειρά (απο...
από Demetres
Τετ Νοέμ 18, 2020 11:06 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥΣ -ΠΙΟ ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΕΝ ΓΙΝΕΤΑΙ !
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 521

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥΣ -ΠΙΟ ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΕΝ ΓΙΝΕΤΑΙ !

Ας το δούμε χρησιμοποιώντας και το διωνυμικό θεώρημα. Έχουμε:

\displaystyle  \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n^k}{n^k} + \frac{n}{n^{n-1}} + \frac{1}{n^n} = n-1 + \frac{n^2+1}{n^n} < n
από Demetres
Κυρ Νοέμ 15, 2020 11:35 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα σε πεπερασμένο σύνολο αριθμών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 112

Re: Ανισότητα σε πεπερασμένο σύνολο αριθμών

Υποθέτουμε προς άτοπο ότι δεν ισχύει καμία ανισότητα. Τότε έχουμε $(1) \quad a_3 > a_2 \sqrt{3}$ $(2) \quad a_2+a_4 > a_3 \sqrt{3}$ $(3) \quad a_3+a_5 > a_4 \sqrt{3}$ $(4) \quad a_4+a_6 > a_5 \sqrt{3}$ $(5) \quad a_5 > a_6 \sqrt{3}$ Από το $(1) + \sqrt{3}(2) + 2(3) + \sqrt{3}(4) + (5)$ παίρνουμε $\d...
από Demetres
Κυρ Νοέμ 15, 2020 11:09 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σύγκλιση ή απόκλιση;
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 352

Re: Σύγκλιση ή απόκλιση;

Ο Μιχάλης χρησιμοποίησε και το θεώρημα των πρώτων αριθμών (επιτρέπεται βέβαια) αλλά μπορούμε να αποφύγουμε τη χρήση του: Είναι $\displaystyle \sum_{q < p} \frac{1}{q} \leqslant \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{n < p/6} \left(\frac{1}{6n-1} + \frac{1}{6n+1} \right) \sim \frac{\log{p}}{3}$ Καταλήγουμ...
από Demetres
Τετ Νοέμ 11, 2020 10:01 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Από τη συνέχεια στη συμμετρία
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 453

Re: Από τη συνέχεια στη συμμετρία

Ας δούμε και μια συνεχή συνάρτηση: Ορίζω την ακολουθία $a_0,a_1,a_2,\ldots$ με $a_0=0,a_1=1/2$ και $a_{n} = a_{n-2}^2+1$ για $n \geqslant 2$. Ορίζω επίσης τα διαστήματα $I_n = [a_n,a_{n+1}]$ για $n \geqslant 2$ και παρατηρώ ότι $x \in I_n \implies x^2+1 \in I_{n+2}$ και αντιστρόφως $x \in I_{n+2} \i...
από Demetres
Τετ Νοέμ 11, 2020 8:06 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Από τη συνέχεια στη συμμετρία
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 453

Re: Από τη συνέχεια στη συμμετρία

Τελικά αποκαλύφθηκε πως δεν υφίσταται τέτοια συνάρτηση και προς στήριξη αυτού του ισχυρισμού δόθηκε το παρακάτω άρθρο. Ευχαριστώ τους Γιώργο Τσαβδαρίδη και Βασίλη Βισκαδουράκη για την εποικοδομητική συζήτηση. https://www.jstor.org/stable/2321556 Χρήστο, το άρθρο που παραθέτεις δεν δείχνει αυτό. Το ...
από Demetres
Τρί Νοέμ 10, 2020 4:08 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Miklós Schweitzer Competition
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 290

Re: Miklós Schweitzer Competition

Ναι, είναι όντως πολύ απαιτητικός διαγωνισμός. Ας παρατηρήσουμε επίσης ότι είναι διαγωνισμός «ανοικτού βιβλίου». Οι διαγωνιζόμενοι έχουν 10 μέρες να εργαστούν στα προβλήματα και μπορούν ασφαλώς να συμβουλευτούν τη βιβλιογραφία. Δεν γνωρίζω πόσα από τα προβλήματα λύνουν αυτοί που βραβεύονται. Θα ήταν...
από Demetres
Τρί Νοέμ 10, 2020 3:59 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ εξάσκησης (3) - ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 297

Re: Τεστ εξάσκησης (3) - ΘΑΛΗΣ 2020

ΘΕΜΑ 3 Στο επίπεδο δίνονται 51 σημεία με ακέραιες συντεταγμένες και τέτοια ώστε η απόσταση μεταξύ δύο οποιονδήποτε από αυτά να είναι φυσικός αριθμός. Να δείξετε ότι τουλάχιστον το 49% αυτών των αποστάσεων είναι άρτιοι αριθμοί. Ονομάζουμε ένα σημείο άρτιο αν το άθροισμα των συντεταγμένων του είναι ά...
από Demetres
Δευ Νοέμ 09, 2020 2:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχές
Απαντήσεις: 21
Προβολές: 338

Re: Ευχές

Χρόνια πολλά και από εμένα στους χθεσινούς μας εορτάζοντες!
από Demetres
Κυρ Νοέμ 08, 2020 10:53 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2020
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 866

Re: BMO 2020

Πολύ ωραία η εξήγηση του τρόπου σκέψης Νίκο. Ναι ήταν δικό μου πρόβλημα.
από Demetres
Κυρ Νοέμ 01, 2020 7:06 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2020
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 866

BMO 2020

Σήμερα, διεξήχθη διαδικτυακά η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα για το 2020. Παραθέτω τα θέματα μιας και έχουν ήδη αναρτηθεί στο AOPS. Καλή επιτυχία στις ομάδες μας. Πρόβλημα 1. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ με $AB = AC$, το μέσο $D$ της πλευράς $AC$ και ο περιγεγραμμένος κύκλος $\gamma$ του τριγώνου $A...
από Demetres
Παρ Οκτ 30, 2020 4:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Θέμα: Πιθανότητες στον ιππόδρομο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 140

Re: Πιθανότητες στον ιππόδρομο

Ναι, μπορούμε να το πούμε αυτό. Παίρνουμε βέβαια ως δεδομένο ότι το να τερματίσει το άλογο i μπροστά από το άλογο j είναι ανεξάρτητη από το τι κάνουν τα υπόλοιπα άλογα.
από Demetres
Παρ Οκτ 30, 2020 3:59 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Θέμα: Πιθανότητες στο τένις
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 110

Re: Πιθανότητες στο τένις

Βρες πόση είναι η πιθανότητα ο $A$ να κερδίσει με κάθε ένα από τα πιθανά σκορ και πρόσθεσέ τα. Οι περισσότεροι υπολογισμοί είναι απλοί. Εξηγώ τι συμβαίνει όταν φτάσουν στην ισοπαλία $40-40$. Αρχικά, η πιθανότητα να φτάσουν στο $40-40$ είναι $6p_A^3p_B^3$. Δεδομένου ότι συνέβη αυτό: Η πιθανότητα να κ...
από Demetres
Παρ Οκτ 30, 2020 3:49 pm
Δ. Συζήτηση: Στατιστική-Πιθανότητες
Θέμα: Πιθανότητες στο μπιλιάρδο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 120

Re: Πιθανότητες στο μπιλιάρδο

Δεν υπάρχει «όμορφος κλειστός τύπος». Θα πρέπει να βρεις όλους τους πιθανούς τρόπους με τους οποίους κερδίζει ο A, να βρεις τις αντίστοιχες πιθανότητες και να τις προσθέσεις.
από Demetres
Παρ Οκτ 30, 2020 3:36 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Θέμα: μεταφερουμε τις μπαλες σε αλλα κουτια
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 117

Re: μεταφερουμε τις μπαλες σε αλλα κουτια

Φαντάζομαι θα είναι άσκηση για το σπίτι. Μιας και πέρασε αρκετός χρόνος δίνω μια υπόδειξη πέραν αυτής που έχει δοθεί: Η πιθανότητα η δεύτερη μπάλα να είναι λευκή είναι: $\displaystyle P(W_2) = P(W_1)P(W_2|W_1) + P(B_1)P(W_2|B_1)$ όπου οι συμβολισμοί είναι νομίζω ευνόητοι. Π.χ. $P(W_2|B_1)$ είναι η π...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση