Α! Τώρα κατάλαβα γιατί έκανες το σχόλιο. Εσύ διάβαζες "Μη αρνητικές" "πραγματικές ρίζες" ενώ εγώ διάβαζα "Μη αρνητικές πραγματικές" ρίζες.

ΘΕΜΑ 3 Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων $a,b$ για τις οποίες τα πολυώνυμα $6x^2-24x-4a$ και $x^3+ax^2+bx-8$ έχουν μη αρνητικές πραγματικές ρίζες. Οι ρίζες του $6x^2 - 24x - 4a$ είναι οι $\frac{6 \pm \sqrt{36+6a}}{3}$. Θέλουμε λοιπόν $0 \leqslant 36+6a \leqslant 36$. Για να είναι λοιπόν οι ρίζες α...

Βάζω μια απόδειξη με διπλά ολοκληρώματα: Έχουμε $\displaystyle I = \int_a^b \int_a^b \frac{f(x)}{f(y)} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int_a^b \int_a^b \frac{f(x)}{f(y)} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x = \int_a^b \int_a^b \frac{f(y)}{f(x)} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y $ Επομένως $\displaystyle I = \...

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20. 2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη. 8. Στον πίνακα γράφτηκαν $n$ δευτεροβάθμια τριώνυμα της μορφής $\star x^2 + \star x + \star$ (στην θέση των συντελεστών είναι γραμμένα αστέρια). Μπορούμε άραγε για κάποιο $n > 100$ να τοποθετήσουμε στην...

Ας το δούμε και χωρίς εξισώσεις: Έστω ο Α,Β,Γ τα τρία άτομα που θα φύγουν. Όταν φύγουν οι Α,Β δίνουν ένα μήλο στον Γ και από ένα σε κάθε άλλον μαθητή. Μετά φεύγει και ο Γ και δίνει από ένα μήλο σε κάθε μαθητή. Το ένα από αυτά είναι αυτό που πήρε από τους Α και Β. Συνολικά λοιπόν οι Α,Β έδωσαν δύο μή...

Βαγγέλη χρησιμοποίησες ότι $e < 3$. Για να αποφύγουμε να χρησιμοποιήσουμε το ζητούμενο πρέπει να προσέξουμε πως θα ορίσουμε το $e$. Αν το ορίσουμε ως $\displaystyle e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ τότε έχουμε θέμα. Μπορούμε βέβαια να ορίσουμε την $\exp(x)$ ως δυναμοσειρά (απο...

Ας το δούμε χρησιμοποιώντας και το διωνυμικό θεώρημα. Έχουμε:

Υποθέτουμε προς άτοπο ότι δεν ισχύει καμία ανισότητα. Τότε έχουμε $(1) \quad a_3 > a_2 \sqrt{3}$ $(2) \quad a_2+a_4 > a_3 \sqrt{3}$ $(3) \quad a_3+a_5 > a_4 \sqrt{3}$ $(4) \quad a_4+a_6 > a_5 \sqrt{3}$ $(5) \quad a_5 > a_6 \sqrt{3}$ Από το $(1) + \sqrt{3}(2) + 2(3) + \sqrt{3}(4) + (5)$ παίρνουμε $\d...

Ο Μιχάλης χρησιμοποίησε και το θεώρημα των πρώτων αριθμών (επιτρέπεται βέβαια) αλλά μπορούμε να αποφύγουμε τη χρήση του: Είναι $\displaystyle \sum_{q < p} \frac{1}{q} \leqslant \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{n < p/6} \left(\frac{1}{6n-1} + \frac{1}{6n+1} \right) \sim \frac{\log{p}}{3}$ Καταλήγουμ...

Ας δούμε και μια συνεχή συνάρτηση: Ορίζω την ακολουθία $a_0,a_1,a_2,\ldots$ με $a_0=0,a_1=1/2$ και $a_{n} = a_{n-2}^2+1$ για $n \geqslant 2$. Ορίζω επίσης τα διαστήματα $I_n = [a_n,a_{n+1}]$ για $n \geqslant 2$ και παρατηρώ ότι $x \in I_n \implies x^2+1 \in I_{n+2}$ και αντιστρόφως $x \in I_{n+2} \i...

Τελικά αποκαλύφθηκε πως δεν υφίσταται τέτοια συνάρτηση και προς στήριξη αυτού του ισχυρισμού δόθηκε το παρακάτω άρθρο. Ευχαριστώ τους Γιώργο Τσαβδαρίδη και Βασίλη Βισκαδουράκη για την εποικοδομητική συζήτηση. https://www.jstor.org/stable/2321556 Χρήστο, το άρθρο που παραθέτεις δεν δείχνει αυτό. Το ...

Ναι, είναι όντως πολύ απαιτητικός διαγωνισμός. Ας παρατηρήσουμε επίσης ότι είναι διαγωνισμός «ανοικτού βιβλίου». Οι διαγωνιζόμενοι έχουν 10 μέρες να εργαστούν στα προβλήματα και μπορούν ασφαλώς να συμβουλευτούν τη βιβλιογραφία. Δεν γνωρίζω πόσα από τα προβλήματα λύνουν αυτοί που βραβεύονται. Θα ήταν...

ΘΕΜΑ 3 Στο επίπεδο δίνονται 51 σημεία με ακέραιες συντεταγμένες και τέτοια ώστε η απόσταση μεταξύ δύο οποιονδήποτε από αυτά να είναι φυσικός αριθμός. Να δείξετε ότι τουλάχιστον το 49% αυτών των αποστάσεων είναι άρτιοι αριθμοί. Ονομάζουμε ένα σημείο άρτιο αν το άθροισμα των συντεταγμένων του είναι ά...

Χρόνια πολλά και από εμένα στους χθεσινούς μας εορτάζοντες!

Πολύ ωραία η εξήγηση του τρόπου σκέψης Νίκο. Ναι ήταν δικό μου πρόβλημα.

Σήμερα, διεξήχθη διαδικτυακά η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα για το 2020. Παραθέτω τα θέματα μιας και έχουν ήδη αναρτηθεί στο AOPS. Καλή επιτυχία στις ομάδες μας. Πρόβλημα 1. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ με $AB = AC$, το μέσο $D$ της πλευράς $AC$ και ο περιγεγραμμένος κύκλος $\gamma$ του τριγώνου $A...

Ναι, μπορούμε να το πούμε αυτό. Παίρνουμε βέβαια ως δεδομένο ότι το να τερματίσει το άλογο μπροστά από το άλογο είναι ανεξάρτητη από το τι κάνουν τα υπόλοιπα άλογα.

Βρες πόση είναι η πιθανότητα ο $A$ να κερδίσει με κάθε ένα από τα πιθανά σκορ και πρόσθεσέ τα. Οι περισσότεροι υπολογισμοί είναι απλοί. Εξηγώ τι συμβαίνει όταν φτάσουν στην ισοπαλία $40-40$. Αρχικά, η πιθανότητα να φτάσουν στο $40-40$ είναι $6p_A^3p_B^3$. Δεδομένου ότι συνέβη αυτό: Η πιθανότητα να κ...

Δεν υπάρχει «όμορφος κλειστός τύπος». Θα πρέπει να βρεις όλους τους πιθανούς τρόπους με τους οποίους κερδίζει ο , να βρεις τις αντίστοιχες πιθανότητες και να τις προσθέσεις.

Φαντάζομαι θα είναι άσκηση για το σπίτι. Μιας και πέρασε αρκετός χρόνος δίνω μια υπόδειξη πέραν αυτής που έχει δοθεί: Η πιθανότητα η δεύτερη μπάλα να είναι λευκή είναι: $\displaystyle P(W_2) = P(W_1)P(W_2|W_1) + P(B_1)P(W_2|B_1)$ όπου οι συμβολισμοί είναι νομίζω ευνόητοι. Π.χ. $P(W_2|B_1)$ είναι η π...