Έστω $\displaystyle a < \lim_{x \to 0.5^-} f(x) \leqslant c \leqslant \lim_{x \to 0.5^+} f(x) $ Για $t > 1/2$ έχουμε $f(t) \geqslant c > a$ οπότε $|f(t) - a| - |f(t)-c| = c-a$. Για $t \leqslant 1/2$ έχουμε $|f(t) - a| - |f(t)-c| \geqslant a-c$. Άρα $\displaystyle F(a) - F(c) \geqslant \int_0^{1/2} (...

Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία ανακοινώνει τη δημιουργία καναλιού στο Youtube. Σκοπός του καναλιού είναι η ανάρτηση βίντεο σχετικών με τις δράσεις της Εταιρείας. Σε πρώτο στάδιο κάνουμε την αρχή αναρτώντας βίντεο με τις λύσεις των θεμάτων του Επαρχιακού Διαγωνισμού του 2017 για τις τάξεις της Ε' Δημ...

Θέτω $f(x) = \det(A+xB)$. To $f(x)$ είναι πολυώνυμο βαθμού το πολύ $2$ με ακέραιους συντελεστές. Έστω $f(x) = ax^2+bx + c$. Έχουμε $f(1) = 2$. Οπότε έχουμε $c = 2-a-b$. Επίσης $A^3 + B^3 = (A+B)(A+\omega B)(A + \bar{\omega} B)$ όπου $\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}$, αφού $AB=BA$. Άρα παίρνουμε και $|...

Καλό. Να την δυσκολέψουμε: Δείξτε ότι στους θετικούς είναι $\displaystyle{4x\max(2x,\frac{1}{2x})\max(4x,\frac{1}{4x})\max(8x,\frac{1}{8x})\max(16x,\frac{1}{16x})\ge 8}$. Πότε έχουμε ισότητα; Χωρίζουμε το $\mathbb{R}_{>0}$ στα διαστήματα $ (0,\tfrac{1}{16}],[\tfrac{1}{16},\tfrac{1}{8}],[\tfrac{1}{8...

Πρόβλημα 2. Η παρήχηση του τέσσερα (εικονογρίφος): ΕΧ κάνει, τέσσερεις φορές το ΟΪ αν προστεθεί. ΑΪ κάνει, τέσσερεις φορές το ΟΧ αν προστεθεί. Των τεσσάρων μαζί, το άθροισμα να βρεθεί. Διευκρίνηση: Τα διαφορετικά κεφαλαία γράμματα αντιστοιχούν σε διαφορετικά ψηφία. Τo ΕΧ είναι τέσσερεις φορές μεγαλ...

Δεν πρόσεξα ότι το πρόβλημα ζητούσε διαφορετικούς φυσικούς. Η σωστή απάντηση είναι $n=9$ και λαμβάνεται για $n_1=2,n_2=3,\ldots,n_8=9$ και $n_9 = 22$. Δεν μπορούμε με λιγότερους διότι τότε $\displaystyle \left(1-\frac{1}{s_1}\right) \cdots \left(1-\frac{1}{s_n}\right) \geqslant \left(1-\frac{1}{2}\r...

Προσοχή! Σε αυτήν την ανάρτηση λύνω το πρόβλημα για όχι απαραίτητα διαφορετικούς φυσικούς. Για διαφορετικούς φυσικούς δείτε την επόμενη ανάρτηση. Για $n=5$ γίνεται παίρνοντας $s_1=s_2=s_3=2,s_4=8,s_5=33$. Για $n \leqslant 4$ δεν γίνεται. Ας υποθέσουμε ότι $t$ από τα $s_i$ ισούνται με $2$. Τουλάχιστο...

LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2016. Θέματα της 6ης τάξης. Πρόβλημα 5(*). Ένα ρομπότ σκέφτηκε κάποια ψηφία για να γράφει (κωδικοποιεί/ψηφιοποιεί) τις λέξεις. Αντικατέστησε μερικά γράμματα του αλφαβήτου με μονοψήφιους ή διψήφιους αριθμούς, χρησιμοποιώντας μόνο τα ψηφία $1, 2$ και $3$ (διαφορετικ...

LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2016. Θέματα της 6ης τάξης. Πρόβλημα 5(*). Ένα ρομπότ σκέφτηκε κάποια ψηφία για να γράφει (κωδικοποιεί/ψηφιοποιεί) τις λέξεις. Αντικατέστησε μερικά γράμματα του αλφαβήτου με μονοψήφιους ή διψήφιους αριθμούς, χρησιμοποιώντας μόνο τα ψηφία $1, 2$ και $3$ (διαφορετικ...

Ίσως να υπάρχει και κάτι πιο απλό... Θα δείξω αρχικά ότι $\displaystyle \min_{|z|=r} \max \left\{|1+z|^2,|1+z^2|^2 \right\} = \frac{3+2r^2 - \sqrt{1+12r^2-4r^4}}{2}$ Ας γράψω $z = re^{i\vartheta}$ και $s = 2r\cos{\vartheta}$. Το $r$ παίρνει τιμές στο $[0,1]$ και για δεδομένο $r$ το $s$ παίρνει τιμές...

Ισχυρίζομαι αρχικά ότι $\displaystyle S = -\sum_{n=2}^{\infty}\sum_{k=2}^{\infty} \frac{\mu(k)}{n^k-1}$ όπου $\mu$ η συνάρτηση Möbius. Πράγματι για κάθε $q > 1$ που είναι τέλεια δύναμη, γράφουμε $q = N^r$ με το $N$ να μην είναι τέλεια δύναμη. Τότε το $q$ εμφανίζεται στο πιο πάνω διπλό άθροισμα από μ...

Έχω μια ιδέα για το πως θα υπολογιστεί αλλά δεν το δοκίμασα ακόμη. Δοκιμάζοντας την ιδέα δεν δούλεψε για να βρω κάποια κλειστή μορφή. Εμφανίζονται στους υπολογισμούς μου αθροίσματα της μορφής $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(kn)}{n}$ όπου $\mu$ η συνάρτηση Mobius. Τόλη, έχουμε απάντηση ...

Την Δευτέρα δίνει διάλεξη στο Heidelberg Laureate Form 2018. (Πηγή: https://twitter.com/HLForum/status/1042670700652318720)

Μιχάλη, υπάρχει θέμα με την απόδειξη διότι προσθέτεις τους όρους για που απαγορεύεται.

Το άθροισμα συγκλίνει. Έχω μια ιδέα για το πως θα υπολογιστεί αλλά δεν το δοκίμασα ακόμη.

3) Να δείξετε ότι για κάθε πρώτος αριθμός $p$, υπάρχουν άπειρους θετικούς ακέραιους $n$ που ικανοποιύν την σχέση: $2^{2^{2^{ \dots ^{2^n}}}} \equiv n^{2^{2^{\dots ^{2}}}} (mod p)$ (Στα δυο μέλη το 2 έχει επαναλαμβάνει 1397 φορές) Επανέρχομαι διορθώνοντας την προηγούμενη γκάφα μου. Ουσιαστικά υπάρχο...

Ωραία. Άρα το ένα θέμα ξεκαθαρίζει πλήρως ενώ το άλλο είναι σχεδόν αυτονόητο. Για $m \geqslant 1$ έχω: $\displaystyle f(m-1)f(m+1) = f(m^2)$ $\displaystyle f(m-1)f(m+3) = f((m+1)^2)$ $\displaystyle f(m-1)f(m+3) = f((m+2)^2)$ Επομένως το $f(m^2) f((m+1)^2) f((m+2)^2) $ είναι τέλειο τετράγωνο. Για $m ...

Η εκφώνηση έχει κάποια θεματάκια. Θα έπρεπε να λέει για κάθε ώστε . Επίσης υπάρχει το ζήτημα αν ή όχι μιας και η απάντηση ίσως και να αλλάζει.

3) Να δείξετε ότι για κάθε πρώτος αριθμός $p$, υπάρχουν άπειρους θετικούς ακέραιους $n$ που ικανοποιύν την σχέση: $2^{2^{2^{ \dots ^{2^n}}}} \equiv n^{2^{2^{\dots ^{2}}}} (mod p)$ (Στα δυο μέλη το 2 έχει επαναλαμβάνει 1397 φορές) Θα δείξουμε ότι υπάρχουν άπειροι $n$ της μορφής $n = rm$ όπου $r = 2^...

Αν ο Νίκος είπε ψέματα τότε αναγκαστηκά είπε και ο Χρήστος ψέματα Δεν ισχύει αυτό. Θα μπορούσε π.χ. ψεύτες να είναι ο Νίκος και ο Κωνσταντίνος. $\rule{500pt}{0.8pt}$ Δίνω μια άλλη λύση: Από τους Ανδρέα, Βασίλη και Νίκο, ο ένας σίγουρα λέει ψέματα. Από τους Βασίλη, Κωνσταντίνο, και Χρήστο, ο ένας σί...

Πράγματι το σύστημα δεν έχει μοναδική λύση.

Τα υπόλοιπα που έγραψες (αν και έκανα τον κόπο να τα γράψω ) δεν βγάζουν νόημα. Οπότε διάβασε ξανά την θεωρία και δοκίμασε να δώσεις ξανά απάντηση.

Να υπενθυμίσω ότι στο τα μαθηματικά πρέπει να γράφονται σε .