Χρόνια πολλά και από εμένα στους εορτάζοντές μας!

Αλέξανδρε, αν επιτρέπεται να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση του Euler τότε μπορούμε να πάμε και απευθείας στο . (Όπως είπε και ο Σταύρος πιο πάνω.) Μάλλον όμως κάτι άλλο έχει υπόψη του ο Μιχάλης.

Θα έπρεπε να την κρατήσω για κάβα αλλά δεν πειράζει. Μετράω με δύο τρόπος το πλήθος των τετράδων $(a,b,c,d)$ με $a,b,c,d \in \{1,2,\ldots,n+1\},a>b$ και $c>d$. Πρώτος τρόπος: Επιλέγουμε τα $a,b$ με $\binom{n+1}{2}$ τρόπους και τα $c,d$ ανεξάρτητα με άλλους τόσους. Συνολικά έχουμε $\displaystyle \bin...

Δίνω μια άλλη προσέγγιση: Παρατηρώ ότι $A = I + J + J^2 + \cdots + J^{n-1}$ όπου με $J$ συμβολίζω των πίνακα με άσσους στη διαγώνιο ακριβώς πάνω από την κύρια διαγώνιο και μηδενικά σε όλες τις άλλες θέσεις. Είναι $J^r = 0$ για $r \geqslant 0$. Άρα $A_m = a_0I + a_1J + a_2J^2 + \cdots + a_nJ^{n-1}$ ό...

ChrP καλωσόρισες στο :logo: Δίνω κάποια επιπλέον βοήθεια για το latex. 1) Στο :logo: γράφουμε μόνο τα μαθηματικά στο latex ανάμεσα σε δολάρια. Τα ελληνικά τα γράφουμε εκτός δολλαρίων. Τους τύπους ήδη τους έχεις έτοιμους οπότε στους περισσότερους δεν πρέπει να δυσκολευτείς. Αν θες μπορείς να κάνεις κ...

Ας λεχθεί και το εξής: Η γενικευμένη εικασία του Bunyakovsky μας λέει ότι υπάρχουν άπειροι φυσικοί $n$ ώστε οι $50n+17,50n+19$ και $100n^2+72n+13$ είναι ταυτόχρονα πρώτοι. (Θέλει έλεγχο ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες αλλά δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολος.) Αν θέσουμε $p = 50n+17, q=50n+19$ και $r=100n^2...

Εν πάση περιπτώσει εδώ μιλάμε για την εικασία των δίδυμων πρώτων η οποία είναι διαφορετική. Σωστά. Δικό μου λάθος που ονόμασα εικασία Goldbach την εικασία των δίδυμων πρώτων. Το διόρθωσα. Πάντως, αν δεν κάνω λάθος, και οι δύο εικασίες ακόμα ανοικτές. Μιχάλη το έβαλες σε απόκρυψη και δεν το διάβασα ...

που μοιάζουν να είναι άπειρες Σωστά, αλλά αν κάποιος αποδείξει ότι είναι άπειρες, τότε θα έχει αποδείξει κάτι ισχυρότερο δεδομένου ότι... θα έχει μεταξύ άλλων αποδείξει ότι υπάρχουν άπειροι δίδυμοι πρώτοι (εικασία Goldbach). Κύριε Μιχάλη ο Terence Tao νομίζω ότι έχει αποδείξει την εικασία Goldbach....

Ας υποθέσουμε προς άτοπον ότι δεν ισχύει το ζητούμενο. Τότε η ακτίνα σύγκλισης της $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} f(x) x^n $ είναι ίση με $r$ για κάποιο $r < 1$. Από γνωστό θεώρημα έχουμε $\displaystyle \limsup_{n \to\infty} \sqrt[n]{f(n)} = 1/r.$ Έστω $L$ τέτοιο ώστε $1 < L < 1/r$. Τότε υπάρχει...

Ας δούμε τρία διαφορετικά τεστ που μπορούμε να κάνουμε: 1) Πλήθος $T$. Η πρώτη ακολουθία έχει $92$ $T$ αντί των αναμενόμενων $100$. Η πιθανότητα όμως να έχει $92$ ή λιγότερα $T$ ισούται με $\displaystyle \sum_{k=0}^{92} \binom{200}{k} \frac{1}{2^{200}} \approx 14.44\%$ Οπότε δεν είναι απίθανο μια τυ...

Ας δούμε ακόμη έναν τρόπο: ο οποίος είναι ακέραιος.

Αντί για τη μικρότερη τιμή του $N$ ισοδύναμα θα βρούμε τη μικρότερη τιμή του $77N$. Ο ένας από τους τρεις φυσικούς πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του $11$. Δεν γίνεται να είναι το $11$ διότι τότε κανένας από τους άλλους δύο δεν είναι πολλαπλάσιο του $7$. Αναγκαστικά λοιπόν είναι $77N \leqslant 20 \cdot...

Ευχαριστώ για τις ευχές! Εύχομαι και εγώ με τη σειρά μου στους υπόλοιπους εορτάζοντες.

Οι $n,n+1,n^2+1$ είναι όλοι πρώτοι μεταξύ τους για $n$ άρτιο. (Π.χ. επειδή $n^2 + 1 - (n-1)(n+1) = 2$, τότε ο μέγιστος κοινός διαιρέτηες των $n+1,n^2+1$ είναι ίσος με 1 ή 2. Για $n$ άρτιο όμως δεν μπορεί να είναι ίσος με $2$.) Τώρα παρατηρούμε ότι $n + n^2 + \cdots + n^{1000} \equiv 0 \bmod n$ $n + ...

Είναι αρκετά απλό να ελεγχθεί ότι η παράσταση ισούται με . Ο τρόπος που κατέληξα σε αυτό όμως δεν είναι και τόσο διαφωτιστικός

Δηλαδή θέλουμε το $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{m=1}^{n} \left(n - m\left\lfloor \tfrac{n}{m}\right\rfloor\right) $ Ας παρατηρήσουμε ότι $\displaystyle \sum_{m=1}^{n} m\left\lfloor \tfrac{n}{m}\right\rfloor = \sum_{m=1}^{n}\sum_{k=1}^{\lfloor n/m \rfloor} m = \sum_{k=1}^{n}\su...

Από το (1) έχουμε $\displaystyle f(x)\ln(\tfrac{1}{x}) = 2f(x)\ln(\tfrac{1}{\sqrt{x}}) \leqslant 2\[ f(x) \ln^+(f(x)) + \frac{1}{\sqrt{x}} - 1$ Άρα $\displaystyle \begin{aligned}\int_{a}^{1} f(x)\ln(\tfrac{1}{x}) \,\mathrm{d}x &\leqslant 2\int_a^1 f(x) \ln^+(f(x)) \,\mathrm{d}x + 2\int_a^1\left(\fra...

Από Θεώρημα Taylor για κάθε $x$ υπάρχει $\xi$ μεταξύ του $0$ και του $x$ ώστε $\displaystyle g(x) = g(0) + g'(0)x + g''(\xi) \frac{x^2}{2}.$ Το κύριο μη σχολικό κομμάτι της απόδειξης είναι το πιο πάνω. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί σχολικά ως εξής: Θεωρούμε τη συνάρτηση $h:[0,x] \to \mathbb{R}$ με τύπο...

Το θέμα κλειδώνεται.

Το θέμα κλειδώνεται.