Η αναζήτηση βρήκε 7715 εγγραφές

από Demetres
Παρ Νοέμ 08, 2019 11:56 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 310

Re: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

Χρόνια πολλά και από εμένα στους εορτάζοντές μας!
από Demetres
Παρ Νοέμ 08, 2019 11:21 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διαιρέτης από τον Lewis Carroll
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 373

Re: Διαιρέτης από τον Lewis Carroll

Αλέξανδρε, αν επιτρέπεται να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση του Euler τότε μπορούμε να πάμε και απευθείας στο a^{\varphi(b)} \equiv 1 \bmod b. (Όπως είπε και ο Σταύρος πιο πάνω.) Μάλλον όμως κάτι άλλο έχει υπόψη του ο Μιχάλης.
από Demetres
Παρ Νοέμ 08, 2019 11:10 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Πέντε τουλάχιστον τρόποι!
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 456

Re: Πέντε τουλάχιστον τρόποι!

Θα έπρεπε να την κρατήσω για κάβα αλλά δεν πειράζει. Μετράω με δύο τρόπος το πλήθος των τετράδων $(a,b,c,d)$ με $a,b,c,d \in \{1,2,\ldots,n+1\},a>b$ και $c>d$. Πρώτος τρόπος: Επιλέγουμε τα $a,b$ με $\binom{n+1}{2}$ τρόπους και τα $c,d$ ανεξάρτητα με άλλους τόσους. Συνολικά έχουμε $\displaystyle \bin...
από Demetres
Παρ Νοέμ 08, 2019 10:47 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Γενετηριες συναρτησεις στον υπολογισμο δυναμης πινακα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 148

Re: Γενετηριες συναρτησεις στον υπολογισμο δυναμης πινακα

Δίνω μια άλλη προσέγγιση: Παρατηρώ ότι $A = I + J + J^2 + \cdots + J^{n-1}$ όπου με $J$ συμβολίζω των πίνακα με άσσους στη διαγώνιο ακριβώς πάνω από την κύρια διαγώνιο και μηδενικά σε όλες τις άλλες θέσεις. Είναι $J^r = 0$ για $r \geqslant 0$. Άρα $A_m = a_0I + a_1J + a_2J^2 + \cdots + a_nJ^{n-1}$ ό...
από Demetres
Παρ Νοέμ 08, 2019 10:37 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Γενετηριες συναρτησεις στον υπολογισμο δυναμης πινακα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 148

Re: Γενετηριες συναρτησεις στον υπολογισμο δυναμης πινακα

ChrP καλωσόρισες στο :logo: Δίνω κάποια επιπλέον βοήθεια για το latex. 1) Στο :logo: γράφουμε μόνο τα μαθηματικά στο latex ανάμεσα σε δολάρια. Τα ελληνικά τα γράφουμε εκτός δολλαρίων. Τους τύπους ήδη τους έχεις έτοιμους οπότε στους περισσότερους δεν πρέπει να δυσκολευτείς. Αν θες μπορείς να κάνεις κ...
από Demetres
Πέμ Νοέμ 07, 2019 5:34 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Δίδυμοι πρώτοι
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 395

Re: Δίδυμοι πρώτοι

Ας λεχθεί και το εξής: Η γενικευμένη εικασία του Bunyakovsky μας λέει ότι υπάρχουν άπειροι φυσικοί $n$ ώστε οι $50n+17,50n+19$ και $100n^2+72n+13$ είναι ταυτόχρονα πρώτοι. (Θέλει έλεγχο ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες αλλά δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολος.) Αν θέσουμε $p = 50n+17, q=50n+19$ και $r=100n^2...
από Demetres
Πέμ Νοέμ 07, 2019 4:19 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Δίδυμοι πρώτοι
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 395

Re: Δίδυμοι πρώτοι

Εν πάση περιπτώσει εδώ μιλάμε για την εικασία των δίδυμων πρώτων η οποία είναι διαφορετική. Σωστά. Δικό μου λάθος που ονόμασα εικασία Goldbach την εικασία των δίδυμων πρώτων. Το διόρθωσα. Πάντως, αν δεν κάνω λάθος, και οι δύο εικασίες ακόμα ανοικτές. Μιχάλη το έβαλες σε απόκρυψη και δεν το διάβασα ...
από Demetres
Πέμ Νοέμ 07, 2019 4:12 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Δίδυμοι πρώτοι
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 395

Re: Δίδυμοι πρώτοι

που μοιάζουν να είναι άπειρες Σωστά, αλλά αν κάποιος αποδείξει ότι είναι άπειρες, τότε θα έχει αποδείξει κάτι ισχυρότερο δεδομένου ότι... θα έχει μεταξύ άλλων αποδείξει ότι υπάρχουν άπειροι δίδυμοι πρώτοι (εικασία Goldbach). Κύριε Μιχάλη ο Terence Tao νομίζω ότι έχει αποδείξει την εικασία Goldbach....
από Demetres
Δευ Νοέμ 04, 2019 11:45 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρά με αντίστροφη!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 301

Re: Σειρά με αντίστροφη!

Ας υποθέσουμε προς άτοπον ότι δεν ισχύει το ζητούμενο. Τότε η ακτίνα σύγκλισης της $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} f(x) x^n $ είναι ίση με $r$ για κάποιο $r < 1$. Από γνωστό θεώρημα έχουμε $\displaystyle \limsup_{n \to\infty} \sqrt[n]{f(n)} = 1/r.$ Έστω $L$ τέτοιο ώστε $1 < L < 1/r$. Τότε υπάρχει...
από Demetres
Πέμ Οκτ 31, 2019 5:18 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Μπορείς να καταλάβεις το τυχαίο;
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 388

Re: Μπορείς να καταλάβεις το τυχαίο;

Ας δούμε τρία διαφορετικά τεστ που μπορούμε να κάνουμε: 1) Πλήθος $T$. Η πρώτη ακολουθία έχει $92$ $T$ αντί των αναμενόμενων $100$. Η πιθανότητα όμως να έχει $92$ ή λιγότερα $T$ ισούται με $\displaystyle \sum_{k=0}^{92} \binom{200}{k} \frac{1}{2^{200}} \approx 14.44\%$ Οπότε δεν είναι απίθανο μια τυ...
από Demetres
Τετ Οκτ 30, 2019 9:59 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Πολλαπλάσια του 6 με τρεις τρόπους
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 298

Re: Πολλαπλάσια του 6 με τρεις τρόπους

Ας δούμε ακόμη έναν τρόπο: \frac{n^3 + 5n}{6} = \binom{n}{3} + \binom{n+1}{2} ο οποίος είναι ακέραιος.
από Demetres
Δευ Οκτ 28, 2019 2:06 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Γινόμενο 3 διαδοχικών αριθμών.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 201

Re: Γινόμενο 3 διαδοχικών αριθμών.

Αντί για τη μικρότερη τιμή του $N$ ισοδύναμα θα βρούμε τη μικρότερη τιμή του $77N$. Ο ένας από τους τρεις φυσικούς πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του $11$. Δεν γίνεται να είναι το $11$ διότι τότε κανένας από τους άλλους δύο δεν είναι πολλαπλάσιο του $7$. Αναγκαστικά λοιπόν είναι $77N \leqslant 20 \cdot...
από Demetres
Κυρ Οκτ 27, 2019 12:15 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχες
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 355

Re: Ευχες

Ευχαριστώ για τις ευχές! Εύχομαι και εγώ με τη σειρά μου στους υπόλοιπους εορτάζοντες.
από Demetres
Παρ Οκτ 25, 2019 5:00 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Διαιρέτης αθροίσματος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 209

Re: Διαιρέτης αθροίσματος

Οι $n,n+1,n^2+1$ είναι όλοι πρώτοι μεταξύ τους για $n$ άρτιο. (Π.χ. επειδή $n^2 + 1 - (n-1)(n+1) = 2$, τότε ο μέγιστος κοινός διαιρέτηες των $n+1,n^2+1$ είναι ίσος με 1 ή 2. Για $n$ άρτιο όμως δεν μπορεί να είναι ίσος με $2$.) Τώρα παρατηρούμε ότι $n + n^2 + \cdots + n^{1000} \equiv 0 \bmod n$ $n + ...
από Demetres
Πέμ Οκτ 24, 2019 7:00 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Απλοποίηση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 399

Re: Απλοποίηση

Είναι αρκετά απλό να ελεγχθεί ότι η παράσταση ισούται με \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{30}. Ο τρόπος που κατέληξα σε αυτό όμως δεν είναι και τόσο διαφωτιστικός
από Demetres
Τετ Οκτ 23, 2019 1:18 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Αριθμοθεωρητικό όριο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 252

Re: Αριθμοθεωρητικό όριο

Δηλαδή θέλουμε το $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{m=1}^{n} \left(n - m\left\lfloor \tfrac{n}{m}\right\rfloor\right) $ Ας παρατηρήσουμε ότι $\displaystyle \sum_{m=1}^{n} m\left\lfloor \tfrac{n}{m}\right\rfloor = \sum_{m=1}^{n}\sum_{k=1}^{\lfloor n/m \rfloor} m = \sum_{k=1}^{n}\su...
από Demetres
Τετ Οκτ 23, 2019 10:41 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Ανισότητα μεταξύ ολοκληρωμάτων
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 562

Re: Ανισότητα μεταξύ ολοκληρωμάτων

Από το (1) έχουμε $\displaystyle f(x)\ln(\tfrac{1}{x}) = 2f(x)\ln(\tfrac{1}{\sqrt{x}}) \leqslant 2\[ f(x) \ln^+(f(x)) + \frac{1}{\sqrt{x}} - 1$ Άρα $\displaystyle \begin{aligned}\int_{a}^{1} f(x)\ln(\tfrac{1}{x}) \,\mathrm{d}x &\leqslant 2\int_a^1 f(x) \ln^+(f(x)) \,\mathrm{d}x + 2\int_a^1\left(\fra...
από Demetres
Τετ Οκτ 23, 2019 10:31 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2019/1/3
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 508

Re: IMC 2019/1/3

Από Θεώρημα Taylor για κάθε $x$ υπάρχει $\xi$ μεταξύ του $0$ και του $x$ ώστε $\displaystyle g(x) = g(0) + g'(0)x + g''(\xi) \frac{x^2}{2}.$ Το κύριο μη σχολικό κομμάτι της απόδειξης είναι το πιο πάνω. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί σχολικά ως εξής: Θεωρούμε τη συνάρτηση $h:[0,x] \to \mathbb{R}$ με τύπο...
από Demetres
Δευ Οκτ 21, 2019 2:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Νέος διαφορικός λογισμός.
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1049

Re: Νέος διαφορικός λογισμός.

Το θέμα κλειδώνεται.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση