Η αναζήτηση βρήκε 8028 εγγραφές

από Demetres
Παρ Φεβ 26, 2021 9:55 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Πρόβλημα Κίνησης: Εργάτης - Λεωφορείο - Οδηγός
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 333

Re: Πρόβλημα Κίνησης: Εργάτης - Λεωφορείο - Οδηγός

Καλημέρα, για κάποιο λόγω μου διέφυγε το γεγονός ότι μπήκαν απαντήσεις σε αυτό το θέμα. Η παρανόηση βρίσκεται στο γεγονός ότι νομίζεις ότι οι αποστάσεις ήταν οι ίδιες. (Όπως φαίνεται και στο διάγραμμα που έφτιαξες.) Όμως όχι δεν ήταν οι ίδιες. Η απόσταση ΓΔ είναι σαφώς μικρότερη της ΒΓ. Αυτό που μας...
από Demetres
Τετ Φεβ 24, 2021 3:42 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Πρόβλημα Κίνησης: Εργάτης - Λεωφορείο - Οδηγός
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 333

Re: Πρόβλημα Κίνησης: Εργάτης - Λεωφορείο - Οδηγός

Ένας σύντομος τρόπος είναι ο εξής: Θα γράψω Γ για το σημείο όπου συναντήθηκε ο εργάτης με το αυτοκίνητο και Δ για το σημείο όπου βρισκόταν το αυτοκίνητο όταν ο εργάτης κατέβηκε από το λεωφορείο. Έστω επίσης Ε το εργοστάσιο. Άρα έχουμε τα σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε στη σειρά. Κάθε μέρα ο εργάτης πάει από το Α ...
από Demetres
Τετ Φεβ 24, 2021 3:16 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Με το μάτι
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 147

Re: Με το μάτι

Θεωρώ τη συνάρτηση $f(x) = e^{x/a} - \ln(ax)$ όπου $a > 0$. Για να έχουμε μοναδική ρίζα στο σημείο $x = t$ είναι εύκολο να δειχθεί ότι θέλουμε $f(t) = f'(t) = 0$. Επειδή $f'(x) = \frac{1}{a}e^{x/a} - \frac{1}{x}$, θέλουμε $\frac{t}{a}e^{t/a} = 1$. Έστω $g(x) = xe^x$. Η αντίστροφη συνάρτηση της $g$ ο...
από Demetres
Σάβ Φεβ 20, 2021 6:26 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 453

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2020/21. 1η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 11η τάξη. 5. Στην Χρωματούπολη κατοικούν $99^2$ χρωματούληδες. Μερικοί από τους οποίους είναι ευγενείς (λένε πάντα την αλήθεια) και οι υπόλοιποι ψεύτες (λένε πάντα ψέματα). Τα σπίτια στην πόλη είναι τοποθετημένα ...
από Demetres
Πέμ Φεβ 18, 2021 1:58 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Γινόμενο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 216

Re: Γινόμενο

Θέτοντας $f(n) = \omega(n)/n$, αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty} f(n)^{1/n} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+1}{n}\right)^{1/n} \neq 0$ Ισοδύναμα θέλουμε $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log(f(n))}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log(n+1)-\log(n)}{n}$ Οι δυνάμει...
από Demetres
Τετ Φεβ 17, 2021 2:13 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Απόδειξη μιας εικασίας
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 298

Re: Απόδειξη μιας εικασίας

Η συγκεκριμένη εικασία είναι από τις σπουδαιότερες εικασίες στη θεωρία γραφημάτων και το ότι επετεύχθει για όλα τα μεγάλα $n$ είναι εντυπωσιακό. Ο Erdos την είχε προκυρήξει και με βραβείο 500 δολαρίων σε όποιον την έλυνε. Είμαι σίγουρος ότι αν ζούσε θα τα πλήρωνε έστω και αν δεν έχει αποδειχθεί για ...
από Demetres
Τετ Φεβ 17, 2021 1:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1210

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

Έβαλα μια λύση για το 4 εδώ.
από Demetres
Τετ Φεβ 17, 2021 1:05 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Mια συνδυαστική!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 619

Re: Mια συνδυαστική!

Θα δείξουμε ότι γίνεται για $n=2000$ αλλά όχι για $n=2001,2002$ Έστω ότι γίνεται για κάποιο $n$. Για κάθε αριθμό $k$, έστω $x_k,y_k$ οι θέσεις που εμφανίζεται με $x_k < y_k$. Τότε είναι $\displaystyle \sum_{k=1}^n (x_k+y_k) = 1+2+\cdots + 2n = \frac{2n(2n+1)}{2} $ και $\displaystyle \sum_{k=1}^n (y_...
από Demetres
Τετ Φεβ 17, 2021 9:58 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1210

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 2 Για όλους τους θετικούς ακεραίους $m>n$ να δείξετε ότι: $\displaystyle{\lcm(m,n)+\lcm(m+1,n+1)>\dfrac{2mn}{\sqrt{m-n}}}$ Μία διαφορετική για το 2. Είναι: $\left [ m,n \right ]\leqslant mn, \left [ m+1,n+1 \right ]\leqslant (m+1)(n+1)$. Πρέπει, συνεπώς, να ισχύει ισοδύναμα: $mn+(m+1)(n+1)>\fr...
από Demetres
Κυρ Φεβ 14, 2021 6:51 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 363

Re: Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο

Διαφορετικά: Παρατηρώ ότι $\displaystyle \frac{1-a}{1+a} = 1 - \frac{2a}{1+a} = 1 - \frac{2a}{a^3} = 1 - \frac{2}{a^2}$ Έχουμε $1 = a^3 - a$, άρα $\displaystyle \frac{1}{a} = a^2 - 1$ και $\displaystyle \frac{1}{a^2} = a - \frac{1}{a} = a-a^2+1$ Άρα $\displaystyle \frac{1-a}{1+a} = 1 - 2(a - a^2 + 1...
από Demetres
Τετ Φεβ 10, 2021 1:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Ορίζουσα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 754

Re: Ορίζουσα

Έστω $r_1,\ldots,r_{k+1}$ οι γραμμές του πίνακα. Για $m=k,k-1,\ldots,1$, με αυτή τη σειρά, αλλάζω τη γραμμή $r_{m+1}$ στην γραμμή $\displaystyle \sum_{\ell = 0}^m \binom{m}{l} (-1)^{m-\ell}r_{\ell+1}$ Η ορίζουσα παραμένει η ίδια αφού κάθε φορά προσθαφαιρώ στην $r_{m+1}$ προηγούμενες γραμμές που δεν ...
από Demetres
Τρί Φεβ 02, 2021 3:20 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο εσωτερικού γινομένου
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 247

Re: Μέγιστο εσωτερικού γινομένου

$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OD} \cdot &= \left(\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{AC}\right) \cdot \left(\overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{BD}\right) \\ &= \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{OB} ...
από Demetres
Σάβ Ιαν 30, 2021 12:17 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Πανεπιστήμιο Λέστερ - Κατάργηση έρευνας στα καθαρά μαθηματικά
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 1194

Re: Πανεπιστήμιο Λέστερ - Κατάργηση έρευνας στα καθαρά μαθηματικά

Πέραν από το προφανές που νομίζω όλοι θα συμφωνήσουν ότι η πληροφόρηση για το πως διανέμονται τα χρήματα του φορολογούμενου είναι επιθυμητή, ας μην μπούμε σε πολιτική συζήτηση για το ποιο οικονομικό μοντέλο σε σχέση με την τριτοβάθμια εκπαίδευση είναι καλύτερο. Ο καθένας μας έχει τις απόψεις του και...
από Demetres
Παρ Ιαν 29, 2021 11:51 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Πανεπιστήμιο Λέστερ - Κατάργηση έρευνας στα καθαρά μαθηματικά
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 1194

Πανεπιστήμιο Λέστερ - Κατάργηση έρευνας στα καθαρά μαθηματικά

Το Πανεπιστήμιο του Λέστερ αποφάσισε να παύσει την έρευνα των ακαδημαϊκών του στα καθαρά μαθηματικά και να προσλάβει στη θέση του λέκτορες με εστίαση στη διδασκαλία για την παράδοση των μαθημάτων του προπτυχιακού του προγράμματος. Όσοι θέλετε μπορείτε να υπογράψετε διαδικτυακή αίτηση για άρση αυτής ...
από Demetres
Πέμ Ιαν 28, 2021 12:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 441

Re: Τέλειο τετράγωνο

Βγαίνει με χρήση γενικευμένης Pell. Αρχικά παρατηρούμε από modulo 4 ότι ο $x$ είναι περιττός. Οπότε ψάχνουμε λύσεις της $\displaystyle a^2 - 7b^2 = 2$ με την επιπλέον συνθήκη ότι το $b$ πρέπει να είναι δύναμη του $7$. Η θεμελιώδης λύση της $a^2 - 7b^2 = 1$ είναι η $(8,3)$. Κάθε θεμελιώδης λύση της $...
από Demetres
Δευ Ιαν 25, 2021 12:33 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συνάρτηση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 205

Re: Συνάρτηση

Για $x=y=0$ παίρνω $f(f(0)) = f(0)^2$. (1) Για $x=y=t$ παίρνω $f(f(0)) = f(t)^2 - t^2$. Άρα έχω και $f(t)^2 = t^2 + f(0)^2$ για κάθε $t \in \mathbb{R}$. (2) Για $x=t,y=0$ παίρνω $f(f(t)) = f(t) - f(0) + f(t)f(0)$. Αυτό ισχύει για κάθε $t \in \mathbb{R}$. (3) Έστω $f(0) = a$. Από την (1) παίρνω $f(a)...
από Demetres
Σάβ Ιαν 23, 2021 7:53 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1086

Re: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Αφού δείξουμε ότι τα x,z είναι μη αρνητικοί, βγαίνει και με modulo 8. Το αριστερό μέλος δεν είναι πολλαπλάσιο του 8 οπότε αναγκαστικά z \in \{0,1,2\} και τα πράγματα πλέον είναι εύκολα.
από Demetres
Πέμ Ιαν 21, 2021 1:35 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Απαντήσεις: 26
Προβολές: 1317

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δεν διάβασα με προσοχή όλες τις αποδείξεις οπότε ελπίζω να μην μπήκε. Έστω $I$ το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών $B$ και $C$. Θεωρώ τον μετασχηματισμό που προκύπτει μετά από ανάκλαση πρώτα στην $BI$ και μετά στην $CI$. Αυτός είναι στροφή με κέντρο το $I$ και γωνία διπλάσια της $\angle BIC = 1...
από Demetres
Τετ Ιαν 20, 2021 12:48 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Αριθμοί σε κύκλο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 163

Re: Αριθμοί σε κύκλο

Ας παρατηρήσουμε ότι δεν μπορεί κάποιος από τους αριθμούς να είναι ίσο με $1$ αφού τότε ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των δύο γειτονικών του θα ήταν ίσος με $0$, άτοπο. Έστω $n$ ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς. Οι δυο γειτονικοί του έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη το $n-1$ άρα πρέπει και οι δύο να είναι ...
από Demetres
Τετ Ιαν 20, 2021 12:03 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ηλικία της Φωτεινής
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 255

Re: Ηλικία της Φωτεινής

Είχα δει π.χ. κάπου το εξής: Σήμερα ο πατέρας έχει διπλάσια ηλικία από τον γιο του, ενώ πριν $5$ χρόνια είχε τριπλάσια. Ποια θα είναι η σχέση των ηλικιών τους μετά από $10$ χρόνια. Στις απαντήσεις είχε το "σωστό" $3/2$. Πέρα από το ότι δεν αναφέρει τίποτα για την ηλικία της μαμάς, αναρωτιέμαι αν το...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση