Η αναζήτηση βρήκε 7520 εγγραφές

από Demetres
Παρ Φεβ 22, 2019 9:20 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Αριθμητική συνάρτηση
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 62

Αριθμητική συνάρτηση

Υπάρχει μοναδική συνάρτηση f:\mathbb{N} \to \mathbb{R} ώστε f(1) > 0 και

\displaystyle  \sum_{d|n} f(d)f(\tfrac{n}{d}) = 1

για κάθε n \geqslant 1. Να υπολογιστεί η τιμή του f\left(2018^{2019}\right).
από Demetres
Παρ Φεβ 22, 2019 9:16 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Από άθροισμα τετραγώνων σε άθροισμα κύβων
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 79

Από άθροισμα τετραγώνων σε άθροισμα κύβων

Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί x,y και έστω a=1+x και b = 1+y. Αν a^2+b^2=15 να υπολογιστεί το a^3+b^3.
από Demetres
Παρ Φεβ 22, 2019 4:35 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Όριο πίνακα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 123

Re: Όριο πίνακα

Μήπως θέλει κάποιον επιπλέον περιορισμό; Π.χ. \alpha > 1;

Για \alpha < 1 βρίσκω ότι αποκλίνει. Για \alpha > 1 βρίσκω \begin{pmatrix} \cos{(\beta)} & -\sin(\beta) \\ \sin(\beta) & \cos(\beta)\end{pmatrix}. Δεν μελέτησα την περίπτωση \alpha=1.
από Demetres
Παρ Φεβ 22, 2019 10:00 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άπειρο άθροισμα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 112

Άπειρο άθροισμα

Να υπολογιστεί η τιμή του

\displaystyle  \sum_{a=1}^{\infty}\sum_{b=1}^{\infty}\sum_{c=1}^{\infty} \frac{ab(3a+c)}{4^{a+b+c}(a+b)(b+c)(c+a)}
από Demetres
Παρ Φεβ 22, 2019 9:54 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Δυνάμεις δυνάμεων
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 210

Δυνάμεις δυνάμεων

Έστω N = 2^{(2^2)} και έστω x πραγματικός αριθμός ώστε N^{(N^N)} = 2^{(2^x)}. Να βρεθεί το x.

Σημείωση: Ακόμη και αν δεν βάλουμε παρενθέσεις, το a^{b^c} σημαίνει να κάνουμε πρώτα το b^c.
από Demetres
Παρ Φεβ 22, 2019 9:47 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διαίρεση πραγματικών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 182

Re: Διαίρεση πραγματικών

Συνεπώς πρέπει $b\sqrt3-\sqrt2 [b\sqrt{\dfrac{3}{2}}]+a\sqrt2-\sqrt3 [a\sqrt{\dfrac{2}{3}}]=\sqrt2$ και διαιρώντας με $\sqrt2$ προκύπτει $b=[a\sqrt{\dfrac{2}{3}}]$ Η τελική απάντηση είναι σωστή αλλά το $b=\left[a\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right]$ όχι. Π.χ. για $a=11$ δίνει $b=8$ αλλά τότε η $b\sqrt3-\sqrt...
από Demetres
Πέμ Φεβ 21, 2019 11:04 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Άθροισμα δύο παλίνδρομων
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 285

Re: Άθροισμα δύο παλίνδρομων

Η τελική απάντηση είναι διψήφιος αριθμός...
από Demetres
Πέμ Φεβ 21, 2019 4:48 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διαίρεση πραγματικών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 182

Διαίρεση πραγματικών

Αν $p,q$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε ορίζουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του $p$ με τον $q$ ως τον μικρότερο μη αρνητικό πραγματικό αριθμό $r$ ώστε ο αριθμός $\frac{p-r}{q}$ να είναι ακέραιος. Για ένα διατεταγμένο ζεύγος θετικών ακεραίων $(a,b)$ ορίζουμε ως $r_1,r_2$ ως τα υπόλοιπα της διαίρεση...
από Demetres
Πέμ Φεβ 21, 2019 4:43 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Άθροισμα δύο παλίνδρομων
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 285

Άθροισμα δύο παλίνδρομων

Να βρεθεί ο μικρότερος θετικός ακέραιος που δεν μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο μη αρνητικών παλίνδρομων θετικών ακεραίων. Σημείωση: Ένας ακέραιος ονομάζεται παλίνδρομος αν παραμένει ο ίδιος όταν αντιστρέψουμε την σειρά των ψηφίων του Μια απλή άσκηση από τον φετινό διαγωνισμό Harvard-MIT. Θα ακολου...
από Demetres
Τετ Φεβ 20, 2019 3:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 844

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019

Πρόβλημα 1 Ορίζουμε τις ακολουθίες $\displaystyle{(\alpha_\nu), (\beta_\nu), (\gamma_\nu)}$ με $\displaystyle{\nu\in\{1, 2, 3, \ldots\}}$ ως εξής: $\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\alpha_1=2}$ και $\displaystyle{\alpha_{\nu+1}=2^{\alpha_\nu}, \forall\nu\in\{1, 2, 3, \ldots\}}$ $\displaystyle...
από Demetres
Τετ Φεβ 20, 2019 2:58 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Πλήθος ριζών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 252

Re: Πλήθος ριζών

Έστω $x_k = k\pi$ και $I_k = [x_k,x_{k+1}]$. Θέτουμε επίσης $g(x) = 1 + (x-\tfrac{\pi}{2})\cos{x}-\sin{x}$. Παρατηρούμε ότι $g'(x) = -(x-\tfrac{\pi}{2})\sin{x}$ άρα η $g$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $I_k$ αν $k$ άρτιος και γνησίως αύξουσα στο $I_k$ αν $k$ περιττός. Άρα σε κάθε διάστημα $I_k$ η $g(x)=...
από Demetres
Τετ Φεβ 20, 2019 12:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 844

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019

Πρόβλημα 4 Σε μια τάξη $\displaystyle{10}$ μαθητών δόθηκε ένα διαγώνισμα $\displaystyle{15}$ προβλημάτων. Γνωρίζουμε ότι κάθε πρόβλημα λύθηκε σωστά από τουλάχιστον $\displaystyle{7}$ μαθητές. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ζεύγος $\displaystyle{\{x, y\}}$ μαθητών, ώστε κάθε πρόβλημα να λύθηκε σωστά από ...
από Demetres
Δευ Φεβ 18, 2019 10:40 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ελάχιστο ολοκληρώματος
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 248

Re: Ελάχιστο ολοκληρώματος

Σταύρο, μήπως κάτι πάει λάθος; Για $n=1$ ή $f(x) = \frac{3x+1}{2}$ είναι αντιπαράδειγμα. Ικανοποιεί τις συνθήκες αλλά $\displaystyle \int_{-1}^1 f^2(x) \, \mathrm{d}x = 2 < \frac{8}{3}.$ Επίσης, από Cauchy-Schwarz έχω $\displaystyle \int_{-1}^1 f^2(x) \, \mathrm{d}x\int_{-1}^1 x^{2n} \, \mathrm{d}x ...
από Demetres
Παρ Φεβ 15, 2019 3:26 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ακρότατα συνάρτησης
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 303

Re: Ακρότατα συνάρτησης

Για τα ολικά ακρότατα μπορούμε επίσης να πούμε ότι για $x^2 + y^2 \leqslant 1$ έχουμε $\displaystyle |yx^2| \leqslant |y(1-y^2)|$ Όμως εύκολα από λογισμό μίας μεταβλητής η $y(1-y^2)$ στο $[-1,1]$ μεγιστοποιείται/ελαχιστοποιείται είτε όταν $y^2 = 1/3$ είτε στα άκρα. Οπότε παίρνουμε $|y(1-y^2)| \leqsl...
από Demetres
Πέμ Φεβ 14, 2019 2:17 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Ολοκλήρωμα και ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 292

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Αλλιώς: $\displaystyle \int_0^1 f(x)^2 \, \mathrm{d}x = \int_0^1 (3x-1)^2 \, \mathrm{d}x\int_0^1 f(x)^2 \, \mathrm{d}x \geqslant \left[\int_0^1 (3x-1)f(x) \, \mathrm{d}x \right]^2 = (3k-k)^2 = 4k^2$ Επειδή η $f$ είναι συνεχής η ισότητα ισχύει μόνο αν $f(x) = C(3x-1)$ για κάποια σταθερά $C$. Από τα δ...
από Demetres
Δευ Φεβ 11, 2019 5:26 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Μπορεί να λυθεί;
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 288

Re: Μπορεί να λυθεί;

Για w=q, όλα τα x είναι λύσεις. Για w \neq q, με πράξεις οδηγούμαστε σε πολυώνυμο στο x πέμπτου βαθμού. Αυτό σημαίνει πως σίγουρα έχει πραγματική λύση. Εν γένει όμως δεν μπορούμε να την εκφράσουμε με αριθμητικές πράξεις και ριζικά συναρτήσει των w,q,s.
από Demetres
Κυρ Φεβ 10, 2019 10:08 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ
Απαντήσεις: 18
Προβολές: 1489

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Ναι Μιχάλη.

Να διευκρινίσω πως όταν είπα «Σίγουρα κάπου υπάρχει λάθος» εννοούσα «Σίγουρα κάπου υπάρχει λάθος αλλά δεν πρόκειται καν να μπω στον κόπο να ψάξω να το βρω».
από Demetres
Κυρ Φεβ 10, 2019 9:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Του Αγίου Χαραλάμπους
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 323

Re: Του Αγίου Χαραλάμπους

Χρόνια πολλά στους εορτάζοντές μας και ιδιαίτερα στον Μπάμπη Στεργίου.
από Demetres
Κυρ Φεβ 10, 2019 9:42 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 365

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

α) Χωρίζουμε τα $100$ αυτά άτομα σε σύνολα των $3$, ώστε σε κάθε σύνολο, για κάθε δύο άτομα ο ένας να αντιπαθεί τον άλλο (υπάρχει και ένα σύνολο που αποτελείται από μόνο ένα άτομο!) Ορέστη, δεν είμαι σίγουρος ότι μπορείς να το κάνεις αυτό. Π.χ. αν τα άτομα είναι τα $Q_1,\ldots,Q_{100}$ και έχουμε τ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση