Τα υπόλοιπα της διαίρεσης των δυνάμεων του $2$ με το $9$ είναι κατά σειρά $2,4,8,7,5,1,\cdots$ και μετά ασφαλώς επαναλαμβάνονται. Άρα η διαίρεση του $2^{29}$ με το $9$ αφήνει υπόλοιπο $5$ αφού $29 = 4 \cdot 6 + 5$. Είναι γνωστό ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός αριθμού με το $9$ ισούται με το υπόλο...

Ας παρατηρήσουμε ότι $\displaystyle \sum_{i < j} (a_j - a_i)^2 = (n-1)(a_1^2 + \cdots + a_n^2) - 2 \sum_{i < j}^{a_ia_j} = n(a_1^2 + \cdots + a_n^2) - (a_1 + \cdots + a_n)^2 \leqslant n $ Έστω τώρα προς άτοπο ότι δεν ισχύει το ζητούμενο. Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ ο...

Θα γράφουμε $\displaystyle \ell_a = \lim_{x \to a}f(x)$ αν το όριο υπάρχει. Ορίζω $\displaystyle E_n = \left\{a \in \mathbb{R} : |\ell_a - f(a)| \geqslant \frac{1}{n}\right\}$. Επειδή $E = \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n$ και το $\mathbb{N}$ είναι αριθμήσιμο, αρκεί να δείξουμε ότι κάθε ένα από τα $E_n$ ε...

Ας το δούμε και αυτό τότε. Από τους γνωστούς τύπους $E = sr = (s-a)r_a = (s-b)r_b = (s-c)r_c$ όπου $E$ το εμβαδόν και $s$ η ημιπερίμετρος, αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle \frac{1}{s-a} + \frac{1}{s-b} + \frac{1}{s-c} - \frac{1}{s} = \frac{4R}{E} = \frac{abc}{E^2} $ Χρησιμοποιήσαμε επίσης τον τύ...

Ουσιαστικά θέλει το $\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^4+4} &= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{(k^2-2k+2)(k^2+2k+2)} \\ &= \frac{1}{4}\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k^2-2k+2} - \frac{1}{k^2+2k+2}\right) \\ &= \frac{1}{4}\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(k-1)^2+1} - \f...

Το διάνυσμα είναι ασφαλώς άσχετο με το ερώτημα.

Δείξε ότι . Αρκεί λοιπόν να δείξεις ότι ο είναι αντιστρέψιμος. Αν δεν είναι, τότε για κάποια διάνυσμα θα ισχύει ότι .... Μετά χρησιμοποίησε ότι για να καταλήξεις σε άτοπο.

Ευχαριστούμε για την ενημέρωση. Είναι όντως εξαιρετικές εκδόσεις. Δυστυχώς η προσφορά είναι μόνο για Ελλάδα. Για την Κύπρο έχουν έξοδα αποστολής.

Λίγο καθυστερημένα, αλλά χρόνια πολλά στους εορτάζοντές μας.

Μια διαφορετική προσέγγιση. Για $a=0$ παίρνουμε $b=0$ ενώ για $a=1$ δεν έχουμε λύση αφού $1+b^{10} \geqslant 2|b^5| \geqslant b^5$ με την ισότητα να μην λαμβάνεται. Έστω λοιπόν πρώτος $p$ ώστε $p|a$. Τότε είναι και $p|b^{10}$ άρα και $p|b$. Έστω $r$ η μέγιστη δύναμη του $p$ που διαιρεί το $a$ και $s...

Συγχαρητήρια στην Ελληνική αποστολή για την εξαιρετική επίδοση.

Η Κύπρος είχε τρία χάλκινα με τους

Φίλιππος-Άθως Χατζηχριστοφή (Filippos Athos) 17/40
Αρά Μαχτεσιάν 12/40
Κυριακή Άσσου 8/40

Το δεύτερο είναι επίσης Κυπριακή πρόταση. Περιττό να αναφέρω τον δημιουργό.

Είναι εύκολο από τον τύπο του Ήρωνα να ελεγχθεί ότι τα ζεύγη τριγώνων με πλευρές $2k^2+k+1,2k^2+k+1,2k+2$ και $2k^2+2k,k^2+k+2,k^2+k+2$ ικανοποιούν το ζητούμενο. Παραλείπω τις πράξεις αλλά ας δούμε λίγο πως κατέληξα σε αυτά. Αν $a,b,c$ οι πλευρές του τριγώνου ορίζουμε $x = (a+b-c)/2,y = (b+c-a)/2,z=...

Αν η απόσταση ήταν $600$ χιλιόμετρα, θα θέλαμε $6$ ώρες να πάμε χωρίς κίνηση και $10$ ώρες με κίνηση. Διαφορά $4$ ώρες. Αφού η διαφορά είναι $2$ ώρες, τότε η απόσταση είναι $300$ χιλιόμετρα και θέλουμε $3$ ώρες να την κάνουμε χωρίς κίνηση. Δηλαδή ξεκινάμε η ώρα $7$. Για να φτάσουμε η ώρα $11$ θέλουμ...

Θέλουμε $(2a+b^2)(2b+c^2)(2c+a^2) \geqslant a(2b+c^2)(2c+a^2)+b(2c+a^2)(2a+b^2)+c(2a+b^2)(2b+c^2)$ Κάνοντας τις πράξεις μένει να δείξουμε ότι $a^2b^3 + b^2c^3+c^2a^3 + a^2b^2c^2 \geqslant 4abc$. Από ΑΜ-ΓΜ έχουμε ότι $29a^2b^3 + 2b^2c^3 + 11c^2a^3 + 14a^2b^2c^2 \geqslant 56a^{9/8}b^{9/8}$. Προσθέτοντ...

Για το 2 η βασική παρατήρηση είναι ότι $f(x,y,z) = 2(x+\omega y + \omega^2 z)(x+\omega^2 y + \omega z)$ όπου $\omega = e^{2\pi i/3} = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$. (Ο έλεγχος είναι απλός χρησιμοποιώντας το $1 + \omega + \omega^2=0$ καθώς και το $\omega^3=1$.) Ας γράψουμε $f_n(x,y,z) = (x-y)^n + (y-z)^n +...

Ας το δούμε. Μοιάζει λίγο με τη δεύτερη επίσημη λύση στη σκέψη αλλά διαφέρει στην εκτέλεση. Προφανώς ο $p=2$ απορρίπτεται αφού ο $a^3 - 3a + 1$ είναι πάντα άρτιος. Επίσης ο $p = 3$ είναι δεκτός αφού $a^3 - 3a + 1 \equiv a+1 \bmod 3$ άρα $3|a^3 - 3a + 1 \iff a \equiv 2 \bmod 3$. Υποθέτουμε τώρα ότι $...

Ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές ικανοποιεί την εξίσωση για κάθε . Να αποδειχθεί ότι για κάθε .

Έστω ακέραιος $d \geqslant 2$. Να δειχθεί ότι υπάρχει σταθερά $C(d)$ ώστε να ισχύει το εξής: Για κάθε κυρτό πολύτοπο $K \subseteq \mathbb{R}^d$ το οποίο είναι συμμετρικό ως προς την αρχή των αξόνων, και κάθε $\varepsilon \in (0,1)$, υπάρχει κυρτό πολύτοπο $L \subseteq \mathbb{R}^d$ με το πολύ $C(d)\...

Έστω πίνακες τέτοιοι ώστε όπου ο ταυτοτικός πίνακας. Να αποδειχθεί ότι

Έστω θετικός ακέραιος $n$. Να υπολογιστεί το πλήθος των λέξεων (πεπερασμένο πλήθος γραμμάτων) $w$ οι οποίες ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες: (1) Η $w$ αποτελείται από $n$ γράμματα, όλα από το αλφάβητο $\{a,b,c,d\}$. (2) Η $w$ έχει άρτιο πλήθος από $a$. (3) Η $w$ έχει άρτιο πλήθος από $b$. ...