Η αναζήτηση βρήκε 7890 εγγραφές

από Demetres
Κυρ Ιούλ 05, 2020 11:51 am
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Κατάδικος για φόνο έλυσε αρχαίο πρόβλημα
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 528

Re: Κατάδικος για φόνο έλυσε αρχαίο πρόβλημα

Όχι τόσο σημαντικό όσο τα προηγούμενα, αλλά ... ποιος γνωστός μαθηματικός έσωσε την ζωή του όταν, αιχμάλωτος ων, ρωτήθηκε για κάποιον συντελεστή σειράς Taylor και απάντησε σωστά σώζωντας την ζωή του; (Δεν θυμάμαι.) Ήταν ο Igor Tamm (Νομπελίστας φυσικός). Την ιστορία τη διάβασα στο βιβλίο "My world ...
από Demetres
Κυρ Ιούλ 05, 2020 10:30 am
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Κατάδικος για φόνο έλυσε αρχαίο πρόβλημα
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 528

Re: Κατάδικος για φόνο έλυσε αρχαίο πρόβλημα

Όχι τόσο σημαντικό όσο τα προηγούμενα, αλλά ... ποιος γνωστός μαθηματικός έσωσε την ζωή του όταν, αιχμάλωτος ων, ρωτήθηκε για κάποιον συντελεστή σειράς Taylor και απάντησε σωστά σώζωντας την ζωή του; (Δεν θυμάμαι.) Ήταν ο Igor Tamm (Νομπελίστας φυσικός). Την ιστορία τη διάβασα στο βιβλίο "My world ...
από Demetres
Τρί Ιουν 30, 2020 11:42 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Ανισότητα με Γ
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 218

Re: Ανισότητα με Γ

Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση $\Gamma$ είναι κυρτή στο $(0,\infty)$. Επομένως από την ανισότητα Jensen έχουμε: $\displaystyle \frac{\Gamma\left ( a \right )}{1+a+ab} + \frac{\Gamma(b)}{1+b+bc} + \frac{\Gamma(c)}{1+c+ca} = \frac{\Gamma(a) + a\Gamma(b) + ab\Gamma(c)}{1+a+ab} \geqslant \Gamma\left( \frac{...
από Demetres
Τρί Ιουν 30, 2020 6:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Θέλει κόμμα ή όχι;
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 1076

Re: Θέλει κόμμα ή όχι;

Από Κυπριακή διαδικτυακή εφημερίδα πριν λίγες μέρες: «Έκταση τριών εκταρίων έκαψε φωτιά στο Κοιλάνι Λεμεσού.»
από Demetres
Τρί Ιουν 30, 2020 12:42 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 347

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

Ανέμενα ότι θα δινόταν η πιο κάτω λύση:

\displaystyle  2(a+b+c)^2 = (b+c+a)((a+c)+(b+a)+(c+b)) \geqslant \left(\sqrt{ba+bc} + \sqrt{cb+ca} + \sqrt{ac+ab}\right)^2

Το ζητούμενο τώρα προκύπτει παίρνοντας ριζικά και χρησιμοποιώντας ότι a,b,c \geqslant 0.
από Demetres
Δευ Ιουν 29, 2020 6:03 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Η Ανισότητα Cauchy-Schwarz
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 162

Η Ανισότητα Cauchy-Schwarz

Επίπεδο: Απολύτως απαραίτητη σε όλους τους διαγωνισμούς από Αρχιμήδη μικρών και πάνω. Ανισότητα: Η ανισότητα Cauchy-Schwarz λέει ότι αν $a_1,\ldots,a_n$ και $b_1,\ldots,b_n$ είναι πραγματικοί αριθμοί τότε $\displaystyle (a_1^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + \cdots + b_n^2) \geqslant (a_1b_1 + \cdots + a...
από Demetres
Δευ Ιουν 29, 2020 5:36 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 5
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 183

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 5

Δίνονται μη αρνητικοί αριθμοί a,b,c. Να δειχθεί ότι

\displaystyle  \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} \geqslant \frac{a+b+c}{2}

Επεξεργασία: Διόρθωση τυπογραφικού.
από Demetres
Δευ Ιουν 29, 2020 5:18 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 347

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί a,b,c ώστε a,b,c \geqslant 0. Να δειχθεί ότι

\displaystyle  \sqrt{ab+bc} + \sqrt{bc+ca} + \sqrt{ca+ab} \leqslant \sqrt{2}(a+b+c)
από Demetres
Δευ Ιουν 29, 2020 5:13 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 3
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 154

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 3

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί a,b,c. Να δειχθεί ότι a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca.
από Demetres
Δευ Ιουν 29, 2020 5:11 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 166

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 2

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί a,b,c. Να δειχθεί ότι 3(a^2+b^2+c^2) \geqslant (a+b+c)^2. Γενικεύστε σε n μεταβλητές.
από Demetres
Δευ Ιουν 29, 2020 5:08 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 1
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 272

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 1

Έστω πραγματικοί αριθμοί $a,b$ ώστε $a^2 + b^2 = 1$. Να δειχθεί ότι $3a+4b \leqslant 5$. Πότε ισχύει η ισότητα; Παρακαλώ διαβάστε το μήνυμα στο hide. Θα ξεκινήσω να βάζω κάποιες απλές και σύντομες ασκήσεις σε διάφορους τομείς των ολυμπιάδων ώστε να μάθουν οι νεαρότεροι φίλοι μας κάποιες βασικές τεχν...
από Demetres
Δευ Ιουν 29, 2020 4:05 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστη τιμή!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 242

Re: Μέγιστη τιμή!

Από το (α), για κάθε $i \neq j$ έχουμε $\displaystyle x_i - x_j = 2020\left( \frac{1}{x_j} - \frac{1}{x_i}\right) = \frac{2020(x_i-x_j)}{x_ix_j}.$ Επομένως είτε $x_i = x_j$, είτε $x_ix_j = 2020$. Αν λοιπόν $x_1 = a$, τότε για κάθε $i$ έχουμε $x_i = a$ ή $x_i = \frac{2020}{a}$. Μπορούμε λοιπόν να υπο...
από Demetres
Πέμ Ιουν 25, 2020 12:15 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2020 (8η τάξη)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 397

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης (8η τάξη)

2. Στην ημιευθεία $(0, +\infty)$ του άξονα των αριθμών είναι τοποθετημένα (περισσότερα από δυο) διαστήματα μήκους $1$. Για κάθε δυο διαφορετικά διαστήματα σε αυτά μπορούμε να διαλέξουμε από έναν αριθμό έτσι, ώστε αυτοί οι αριθμοί να «διαφέρουν» κατά δυο φορές. Το αριστερό άκρο του πιο αριστερού δια...
από Demetres
Τετ Ιουν 24, 2020 11:21 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Συμβαίνουν και αλλού
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 310

Re: Συμβαίνουν και αλλού

Το ενδιαφέρον είναι και το ότι αν κάποιος μαθητής πάρει τη λύση y=-1 (γιατί όχι, και ο εξεταστής το ίδιο λάθος έκανε) θα καταλήξει στη «σωστή» απάντηση. Άντε να το βαθμολογήσεις μετά.
από Demetres
Τρί Ιουν 23, 2020 5:27 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Πολυώνυμα μὲ μιγαδικὲς ρίζες
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 218

Re: Πολυώνυμα μὲ μιγαδικὲς ρίζες

Φαντάζομαι το $p(x)$ έχει πραγματικούς συντελεστές. Αλλιώς το $p(x) = x(x+i)$ είναι αντιπαράδειγμα. Από συνέχεια μπορούμε να υποθέσουμε ότι $p''(x) - 3p'(x) + p(x) > 0$ για κάθε $x$. Αλλιώς εργαζόμαστε με το πολυώνυμο $q(x) = -p(x)$. Έστω $\lambda = -\frac{3-\sqrt{5}}{2}$. Το $\lambda$ ικανοποιεί τη...
από Demetres
Τρί Ιουν 23, 2020 1:23 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Έφυγε ο Δημήτρης Κατσίποδας...
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 794

Re: Έφυγε ο Δημήτρης Κατσίποδας...

Το πρόσεξα χθες στο facebook. Κρίμα σε τέτοια ηλικία. Αιωνία του η μνήμη.
από Demetres
Τρί Ιουν 23, 2020 1:22 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2020 (8η τάξη)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 397

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης (8η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης Θέματα 8ης τάξης, 2020. 2. Στην ημιευθεία $(0, +\infty)$ του άξονα των αριθμών είναι τοποθετημένα (περισσότερα από δυο) διαστήματα μήκους $1$. Για κάθε δυο διαφορετικά διαστήματα σε αυτά μπορούμε να διαλέξουμε από έναν αριθμό έτσι, ώστε αυτοί οι αριθμοί να «δι...
από Demetres
Τρί Ιουν 23, 2020 10:41 am
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2020
Απαντήσεις: 56
Προβολές: 6599

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2020

Θα κάνω ένα άσχετο με τα θέματα σχόλια αλλά σχετικό με τη γραφή τους. Στο Θέμα Α1 διαβάζουμε «...να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των...» το οποίο δεν βγάζει νόημα εκτός και αν διαβάσεις πιο κάτω για να κατανοήσεις ότι το «η» δεν είναι λέξη αλλά αριθμός. Οι μεταβλητές πρέπει πάντα να είνα...
από Demetres
Δευ Ιουν 22, 2020 4:23 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2020 (8η τάξη)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 397

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης (8η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης Θέματα 8ης τάξης, 2020. 4. Δίνεται ένα $129-$ γωνο. Ο Λεωνίδας και ο Αχιλλέας παίζουν ένα παιχνίδι. Με την σειρά σημειώνουν μια κορυφή αυτού του πολυγώνου, πρώτη κίνηση κάνει ο Λεωνίδας. Ο Λεωνίδας με κάθε του κίνηση μπορεί να σημειώσει οποιαδήποτε μη ήδη σημε...
από Demetres
Δευ Ιουν 22, 2020 3:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2020 (8η τάξη)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 397

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης (8η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης Θέματα 8ης τάξης, 2020. 1. Σε κάθε κελί ενός $10 \times 10$ πίνακα βρίσκεται ένα μηδενικό. Με μια κίνηση μπορούμε να προσθέσουμε την μονάδα σε όλους τους αριθμούς μιας γραμμής ή μιας στήλης. Μετά από μερικές κινήσεις προέκυψε, ότι σε κάθε κελί της διαγώνιου, π...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση