Νικόλα, σωστό είναι, αλλά θα μπορούσε να εξηγηθεί και καλύτερα.

Θέτω $\displaystyle a_m = \frac{1}{2^{m+1}}\left[(1+\sqrt{3})^{2m+1} + (1-\sqrt{3})^{2m+1}\right]$ και παρατηρώ ότι $\displaystyle a_m = \frac{1}{2^{m+1}}\sum_{r=0}^{2m+1} \binom{2m+1}{r}\left[ \sqrt{3}^r + (-\sqrt{3})^r\right] = \frac{1}{2^m}\sum_{k=0}^{2m+1} \binom{2m+1}{2k}3^k$ Ισχύει επίσης ότι ...

Αναρτώ εδώ τα χθεσινά θέματα Πρόβλημα 1: Αν $x \in \mathbb{R}$ ορίζουμε $[x]$ ως τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό που είναι μικρότερος ή ίσος με τον $x$. Για παράδειγμα: $[\pi]=3$, και $[-1,5]=-2$. Να βρείτε το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης. $[x^2 ]+[x]=2020$ Πρόβλημα 2: Δίνεται τρίγωνο $\triangle \ma...

Χθες είχαμε τον πρώτο Παγκύπριο διαγωνισμό επιλογής. Αναρτώ εδώ τα θέματα των μικρών και θα αναρτήσω σε λίγο και των μεγάλων. Πρόβλημα 1: (α) Αν $n$ φυσικός αριθμός ο οποίος δεν είναι πολλαπλάσιο του $3$, να αποδείξετε ότι ο $n^2+2$ είναι πολλαπλάσιο του 3. (β) Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς ...

Το πρέπει να ανήκει στο . Πρέπει δηλαδή να υπάρχουν ώστε . Λύσε το σύστημα ώστε να βρεις τις τιμές των και ακολούθως την τιμή του . Κάνε κάτι παρόμοιο για το .

Αν η είναι ολοκληρώσιμη τότε υπάρχει μια διαμέριση ώστε και ότι . Άρα είναι .

Μπορείς τώρα να βρεις κλιμακωτή ώστε και ;

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης, Φεβρουάριος 2019. Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. 3. Ο Ανδρέας, ο Γιώργος, ο Βασίλης και ο Γρηγόρης παίζουν σε ένα πίνακα $100 \times 2019$ ($100$ γραμμές, $2019$ στήλες). Παίζουν με την σειρά, πρώτα ο Ανδρέας, ύστερα ο Γιώργος, μετά ο Βα...

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης, Φεβρουάριος 2019. Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. 4. Ο φυσικός αριθμός $n$ έχει ακριβώς $1000$ φυσικούς διαιρέτες (συμπεριλαμβανομένου του $1$ και του ίδιου του $n$). Αυτοί οι $1000$ διαιρέτες γράφονται κατά αύξουσα σειρά. Προέκυψε ότι, ο...

Εύκολο γι' αυτό δίνω μόνο υπόδειξη:

Δείξε ότι υπάρχει ώστε για κάθε .

Θα πρόσθετα πως όταν χρησιμοποιούμε αυτόν τον συμβολισμό πρέπει να έχουμε υπόψη μας ότι κάνουμε κατάχρηση του συμβόλου της ισότητας (abuse of notation). Aκριβολογώντας, με το $O(f(\varepsilon))$ (όταν $\varepsilon \to 0$) εννοούμε το σύνολο των συναρτήσεων $g$ για τις οποίες υπάρχουν $C,\delta > 0$ ...

Ας γράψουμε $T$ για το αναμενόμενο πλήθος τραγουδιών που θα ακούσουμε μέχρι να φτάσουμε στο τραγούδι μας ακολουθώντας τη βέλτιστη στρατηγική. Επίσης ας γράψουμε $T_i$ για το αναμενόμενο πλήθος όταν ακούσουμε το τραγούδι $i$. Είναι $T = 1 + \frac{T_1 + \cdots + T_{100}}{100}$. Όταν ακούσουμε το τραγο...

Γιώργο, πολύ το χάρηκα ιδίως τα ασυνάρτητα της παραγράφου $7$ του λογισμού (που παραπέμπεις). Λίγο παρακάτω έμαθα και τι είναι λογάριθμος. Εαν δεν ήξερες είναι «Πόσο πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό Χ, για να έχουμε τον αριθμό Υ;» $\dfrac {Y}{X}$, λέω εγώ, αλλά ποιος ακούει. Αυτό θα μπορούσα ν...

Έχουμε $\displaystyle I_n =n\int_{0}^{\infty} xe^{-x} \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k\binom{n-1}{k}e^{-kx}\,\mathrm{d}x = n\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \binom{n-1}{k}\int_{0}^{\infty} xe^{-(k+1)x}\,\mathrm{d}x$ Όμως $\displaystyle \int_{0}^{\infty} xe^{-(k+1)x} \,\mathrm{d}x = \left[-\frac{xe^{-(k+1)x}}{k+1} \rig...

Υπόδειξη: Τι μπορούμε να πούμε για το διάστημα σύγκλισης της και πως σχετίζεται με την άσκησή σου;

Χρόνια μας πολλά!

Έστω $x \in [0,1]$. Ορίζουμε $\displaystyle f(a_2,\ldots,a_n) = (1-x)(1-a_2)\cdots (1-a_n) + x - \frac{1}{(1+a_2) \cdots (1+a_n)}$ για $a_2,\ldots,a_n \in [0,x]$. (Δεν θέτω περιορισμό διάταξης στα $a_2,\ldots,a_n$) Η $f$ είναι κοίλη σε κάθε μεταβλητή $a_k$ ($k \geqslant 2$) οπότε η $f$ παίρνει ελάχι...

Venegrom καλωσόρισες στο :logo: Ο κανονισμός μας ορίζει τα μαθηματικά να γράφονται στο LaTeX (για πρώτη φορά το διόρθωσα) και να γράφουμε τονισμένα ελληνικά (διόρθωσέ το). Για την άσκηση τώρα (φαντάζομαι εννοείς το διάστημα $[0,a]$) η απάντηση είναι ότι δεν μπορείς να το δείξεις διότι δεν ισχύει. Πρ...

Υπάρχει ένας ακόμα . Είναι : $\sin\dfrac{96989\pi}{10^6}=\dfrac{3}{10}$ :lol: Καλό. Πάρα πολύ καλή προσέγγιση. Όχι και ιδιαίτερα εντυπωσιακή. Έχουμε: $\displaystyle \left|\sin\left( \tfrac{(m+1)\pi}{10^6}\right) - \sin\left( \tfrac{m\pi}{10^6}\right)\right| = 2\left|\cos\left( \tfrac{(2m+1)\pi}{2 \...

Έστω ακολουθία $(a_n)$ όπου κάθε όρος είναι ίσος με $0$ ή $1$ με την επιπλέον συνθήκη ότι $a_n=0$ αν $n$ σύνθετος. [Οι πρώτοι αριθμοί δεν παίζουν κανένα ρόλο. Επιλέξτε το αγαπημένο σας άπειρο υποσύνολο φυσικών $S$ για το οποίο $\sum_{s \in S} \frac{1}{s} $ αποκλίνει και θέστε $a_n=0$ για $n \notin S...

Καλησπέρα σας! Αν δεν κάνω λάθος,οποιαδήποτε οκτάδα με 7 περιττούς και 1 άρτιο αριθμό ,δεν έχει τετράδες με ίδιο άθροισμα. Οπότε,μήπως έχει παρερμηνευθεί κάτι; Φιλικά, Βέτσικας Αλέξανδρος Όπως το καταλαβαίνω επιτρέπεται οι τετράδες να έχουν κάποια στοιχεία τα ίδια. Αυτό που απαγορεύεται είναι να εί...