Όχι τόσο σημαντικό όσο τα προηγούμενα, αλλά ... ποιος γνωστός μαθηματικός έσωσε την ζωή του όταν, αιχμάλωτος ων, ρωτήθηκε για κάποιον συντελεστή σειράς Taylor και απάντησε σωστά σώζωντας την ζωή του; (Δεν θυμάμαι.) Ήταν ο Igor Tamm (Νομπελίστας φυσικός). Την ιστορία τη διάβασα στο βιβλίο "My world ...

Όχι τόσο σημαντικό όσο τα προηγούμενα, αλλά ... ποιος γνωστός μαθηματικός έσωσε την ζωή του όταν, αιχμάλωτος ων, ρωτήθηκε για κάποιον συντελεστή σειράς Taylor και απάντησε σωστά σώζωντας την ζωή του; (Δεν θυμάμαι.) Ήταν ο Igor Tamm (Νομπελίστας φυσικός). Την ιστορία τη διάβασα στο βιβλίο "My world ...

Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση $\Gamma$ είναι κυρτή στο $(0,\infty)$. Επομένως από την ανισότητα Jensen έχουμε: $\displaystyle \frac{\Gamma\left ( a \right )}{1+a+ab} + \frac{\Gamma(b)}{1+b+bc} + \frac{\Gamma(c)}{1+c+ca} = \frac{\Gamma(a) + a\Gamma(b) + ab\Gamma(c)}{1+a+ab} \geqslant \Gamma\left( \frac{...

Από Κυπριακή διαδικτυακή εφημερίδα πριν λίγες μέρες: «Έκταση τριών εκταρίων έκαψε φωτιά στο Κοιλάνι Λεμεσού.»

Ανέμενα ότι θα δινόταν η πιο κάτω λύση:



Το ζητούμενο τώρα προκύπτει παίρνοντας ριζικά και χρησιμοποιώντας ότι .

Επίπεδο: Απολύτως απαραίτητη σε όλους τους διαγωνισμούς από Αρχιμήδη μικρών και πάνω. Ανισότητα: Η ανισότητα Cauchy-Schwarz λέει ότι αν $a_1,\ldots,a_n$ και $b_1,\ldots,b_n$ είναι πραγματικοί αριθμοί τότε $\displaystyle (a_1^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + \cdots + b_n^2) \geqslant (a_1b_1 + \cdots + a...

Δίνονται μη αρνητικοί αριθμοί . Να δειχθεί ότι



Επεξεργασία: Διόρθωση τυπογραφικού.

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί ώστε . Να δειχθεί ότι

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί . Να δειχθεί ότι .

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί . Να δειχθεί ότι . Γενικεύστε σε μεταβλητές.

Έστω πραγματικοί αριθμοί $a,b$ ώστε $a^2 + b^2 = 1$. Να δειχθεί ότι $3a+4b \leqslant 5$. Πότε ισχύει η ισότητα; Παρακαλώ διαβάστε το μήνυμα στο hide. Θα ξεκινήσω να βάζω κάποιες απλές και σύντομες ασκήσεις σε διάφορους τομείς των ολυμπιάδων ώστε να μάθουν οι νεαρότεροι φίλοι μας κάποιες βασικές τεχν...

Από το (α), για κάθε $i \neq j$ έχουμε $\displaystyle x_i - x_j = 2020\left( \frac{1}{x_j} - \frac{1}{x_i}\right) = \frac{2020(x_i-x_j)}{x_ix_j}.$ Επομένως είτε $x_i = x_j$, είτε $x_ix_j = 2020$. Αν λοιπόν $x_1 = a$, τότε για κάθε $i$ έχουμε $x_i = a$ ή $x_i = \frac{2020}{a}$. Μπορούμε λοιπόν να υπο...

2. Στην ημιευθεία $(0, +\infty)$ του άξονα των αριθμών είναι τοποθετημένα (περισσότερα από δυο) διαστήματα μήκους $1$. Για κάθε δυο διαφορετικά διαστήματα σε αυτά μπορούμε να διαλέξουμε από έναν αριθμό έτσι, ώστε αυτοί οι αριθμοί να «διαφέρουν» κατά δυο φορές. Το αριστερό άκρο του πιο αριστερού δια...

Το ενδιαφέρον είναι και το ότι αν κάποιος μαθητής πάρει τη λύση (γιατί όχι, και ο εξεταστής το ίδιο λάθος έκανε) θα καταλήξει στη «σωστή» απάντηση. Άντε να το βαθμολογήσεις μετά.

Φαντάζομαι το $p(x)$ έχει πραγματικούς συντελεστές. Αλλιώς το $p(x) = x(x+i)$ είναι αντιπαράδειγμα. Από συνέχεια μπορούμε να υποθέσουμε ότι $p''(x) - 3p'(x) + p(x) > 0$ για κάθε $x$. Αλλιώς εργαζόμαστε με το πολυώνυμο $q(x) = -p(x)$. Έστω $\lambda = -\frac{3-\sqrt{5}}{2}$. Το $\lambda$ ικανοποιεί τη...

Το πρόσεξα χθες στο facebook. Κρίμα σε τέτοια ηλικία. Αιωνία του η μνήμη.

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης Θέματα 8ης τάξης, 2020. 2. Στην ημιευθεία $(0, +\infty)$ του άξονα των αριθμών είναι τοποθετημένα (περισσότερα από δυο) διαστήματα μήκους $1$. Για κάθε δυο διαφορετικά διαστήματα σε αυτά μπορούμε να διαλέξουμε από έναν αριθμό έτσι, ώστε αυτοί οι αριθμοί να «δι...

Θα κάνω ένα άσχετο με τα θέματα σχόλια αλλά σχετικό με τη γραφή τους. Στο Θέμα Α1 διαβάζουμε «...να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των...» το οποίο δεν βγάζει νόημα εκτός και αν διαβάσεις πιο κάτω για να κατανοήσεις ότι το «η» δεν είναι λέξη αλλά αριθμός. Οι μεταβλητές πρέπει πάντα να είνα...

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης Θέματα 8ης τάξης, 2020. 4. Δίνεται ένα $129-$ γωνο. Ο Λεωνίδας και ο Αχιλλέας παίζουν ένα παιχνίδι. Με την σειρά σημειώνουν μια κορυφή αυτού του πολυγώνου, πρώτη κίνηση κάνει ο Λεωνίδας. Ο Λεωνίδας με κάθε του κίνηση μπορεί να σημειώσει οποιαδήποτε μη ήδη σημε...

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης Θέματα 8ης τάξης, 2020. 1. Σε κάθε κελί ενός $10 \times 10$ πίνακα βρίσκεται ένα μηδενικό. Με μια κίνηση μπορούμε να προσθέσουμε την μονάδα σε όλους τους αριθμούς μιας γραμμής ή μιας στήλης. Μετά από μερικές κινήσεις προέκυψε, ότι σε κάθε κελί της διαγώνιου, π...