Η αναζήτηση βρήκε 7818 εγγραφές

από Demetres
Τετ Απρ 01, 2020 1:42 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Βρείτε τα σύνολα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 119

Re: Βρείτε τα σύνολα

Και ένα γράφημα όπου συνδέουμε δύο αριθμούς με ακμή αν και μόνο αν το άθροισμά τους ανήκει στο $S$. Επειδή το γράφημα είναι συνεκτικό, αν υπάρχει λύση είναι μοναδική. Είναι απλό να δούμε ότι υπάρχει, αλλά χρωμάτισα και τις κορυφές ώστε να είναι ακόμη πιο ξεκάθαρο. (Δεν τις χρωμάτισα από μόνος μου αλ...
από Demetres
Τετ Απρ 01, 2020 12:41 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή στους πραγματικούς
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 830

Re: Συναρτησιακή στους πραγματικούς

Κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί την Cauchy και την $f(f(x)) = f(x)$ είναι λύση της συναρτησιακής. (Εύκολο να ελεγχθεί.) Για να βρούμε τις συναρτήσεις που ικανοποιούν την Cauchy και την $f(f(x)) = f(x)$ χρειαζόμαστε το αξίωμα της επιλογής. (Με παρόμοιο τρόπο όπως εδώ .) Σίγουρα λοιπόν ακατάλληλη η άσκη...
από Demetres
Σάβ Μαρ 28, 2020 12:01 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Ένα κλάσμα!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 896

Re: Ένα κλάσμα!

Το δεκαδικό μέρος των $a/b$ και $a'/b$ είναι το ίδιο αν $a \equiv a' \bmod b$ οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι $a > 0$. Τότε υπάρχει $m \geqslant 3$ ώστε το πηλίκο του $10^m/b$ λήγει σε $143$. Δηλαδή $10^ma = qb + r$ με $q \equiv 143 \bmod 1000$ και $0 \leqslant r < b$. Αφού $m \geqslant 3$, τότε $1...
από Demetres
Παρ Μαρ 27, 2020 3:15 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 430

Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία

Άσκηση 1 (Special paper, Ιούνιος 1977). Αν $z=re^{i\theta} $ και $\lambda = e^{i\pi /n}$, όπου $n,k$ θετικοί φυσικοί, να εκφράσετε το $ \left |z+\lambda ^k\right |^2 $ συναρτήσει των $r, \, \theta, \, k$. Δείξτε ότι $\displaystyle{ \sum _{k=1}^{2n} \cos \left ( \theta - \dfrac {k\pi}{n} \right ) =0...
από Demetres
Παρ Μαρ 27, 2020 12:12 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Ένα Quickie!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 113

Re: Ένα Quickie!

Θεωρούμε τη συνάρτηση

\displaystyle  f(x) = \frac{\sin(3x)}{\sin(x)} - \frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = \frac{\sin(3x)\cos(x) - \cos(3x)\sin(x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{\sin(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = 2

και παρατηρούμε ότι K = K(x) = f'(x) = 0.
από Demetres
Πέμ Μαρ 26, 2020 6:54 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές
Απαντήσεις: 21
Προβολές: 565

Re: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές

Α΄ Κατηγορία Πρόβλημα 1: Μυρμήγκια κάθονται σε κάθε μια από τις κορυφές $A_i \ (i=1,2,...,n)$ και στο κέντρο $O$ ενός κανονικού ν-γώνου. Τα μυρμήγκια ξεκινούν να κινούνται κατά μήκος των πλευρών του ν-γώνου και κατά μήκος των γραμμών $A_iO \ (i=1,2,...,n)$. Υπολογίστε την πιθανότητα να μη συναντηθο...
από Demetres
Πέμ Μαρ 26, 2020 12:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Βάση δακτυλίου ακεραίων
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 161

Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων

Αρχικά μαντεύουμε ότι η $\{1,\vartheta,\vartheta^2\}$ είναι μια βάση. (Αν είναι λάθος αυτό που μαντέψαμε δεν πειράζει, θα διορθωθεί αργότερα.) Πρέπει τώρα να βρούμε τη διακρίνουσα $\Delta(1,\vartheta,\vartheta^2)$. Αν $\beta,\gamma$ οι άλλες δύο ρίζες του πολυωνύμου τότε έχουμε $\displaystyle \Delta...
από Demetres
Τετ Μαρ 25, 2020 11:45 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: ρίζα πολυωνύμου και συνθήκη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 170

Re: ρίζα πολυωνύμου και συνθήκη

Έστω $x,y,z$ οι ρίζες του $P$. Τότε $\displaystyle x+y+z = \frac{\beta}{\alpha} < \frac{\delta}{\gamma} = \frac{xyz}{xy+yz+zx} $ Ας παρατηρήσουμε ότι $xy+yz+zx = \frac{\gamma}{\alpha} > 0$. Έστω $x \in \mathbb{R}$. Αφού $\delta \neq 0$, τότε $x \neq 0$. Τότε έχουμε $\begin{aligned} x \geqslant \frac...
από Demetres
Τετ Μαρ 25, 2020 8:49 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: 25η Μαρτίου
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 207

Re: 25η Μαρτίου

Χρόνια πολλά στους εορτάζοντές μας!
από Demetres
Τετ Μαρ 25, 2020 12:02 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές
Απαντήσεις: 21
Προβολές: 565

Re: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές

Α΄ Κατηγορία Πρόβλημα 6: Είναι δυνατό στον Ευκλείδειο χώρο $\mathbb{R}^{2}$ ένα αριθμήσιμο σύνολο μεμονωμένων σημείων να έχει μη υπεραριθμήσιμα συσσώρευσης; Ναι υπάρχει. Έστω $q_1,q_2,\ldots$ μια απαρίθμηση των ρητών και έστω $\mathbb{N} = A_1 \cup A_2 \cup \cdots$ όπου $Α_1,A_2,\ldots$ ξένα μεταξύ...
από Demetres
Τετ Μαρ 25, 2020 11:44 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές
Απαντήσεις: 21
Προβολές: 565

Re: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές

Β΄ Κατηγορία Πρόβλημα 6: Να αποδειχτεί ότι για κάθε θετικό ακέραιο $n\geq 3$ υπάρχουν $n$ διακριτά σημεία στο επίπεδο, όχι συνευθειακά, ώστε όλες οι ανά δύο αποστάσεις μεταξύ των σημείων αυτών είναι ακέραιοι αριθμοί. Ας το δυσκολέψουμε. Δείξτε το ίδιο με την επιπλέον συνθήκη ότι τα σημεία πρέπει να...
από Demetres
Τρί Μαρ 24, 2020 7:07 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Προετοιμασία για φοιτητικούς διαγωνισμούς
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 289

Re: Προετοιμασία για φοιτητικούς διαγωνισμούς

Ευχαριστούμε Νίκο. Το έκανα. Να προσθέσω και εγώ κάποιες προτάσεις. Αναμένουμε και από άλλους προτάσεις, ειδικά από όσους διακρίθηκαν σε τέτοιους διαγωνισμούς. Για Ανάλυση προτείνω και την τριάδα βιβλίων "Problems in Mathematical Analysis" των Kaczor και Nowak. Νομίζω είναι πιο απλό για αρχή από το ...
από Demetres
Κυρ Μαρ 22, 2020 10:38 pm
Δ. Συζήτηση: Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
Θέμα: Συνέπεια της ZFC
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 428

Re: Συνέπεια της ZFC

Το axiom of foundation ισχύει παρόλο που έχουμε ότι $1 \in 1$. Μάλλον για να πάρεις ότι αν ισχύει το axiom of foundation συνεπάγεται ότι $A \notin A$ μάλλον χρησιμοποιείς ένα από τα αξιώματα schema που δεν ισχύουν στο συγκεκριμένο μοντέλο. Axiom of Foundation Για κάθε $x$ έχουμε ότι αν $x \neq \emp...
από Demetres
Κυρ Μαρ 22, 2020 10:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Fields Medal vs Abel Prize
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 190

Re: Fields Medal vs Abel Prize

Και τα δύο βραβεία είναι εξίσου σημαντικά. Τα ονόματα των μαθηματικών που τα κέρδισαν το επιβεβαιώνουν. Σε μια παλιά του συνέντευξη ο Endre Szemerédi είχε πει ότι τα τρία σημαντικότερα βραβεία στα μαθηματικά είναι το Fields Medal, το Wold Prize και το Abel Prize. Όταν αργότερα τον ρώτησαν πως νιώθει...
από Demetres
Κυρ Μαρ 22, 2020 10:04 pm
Δ. Συζήτηση: Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
Θέμα: Συνέπεια της ZFC
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 428

Re: Συνέπεια της ZFC

Δεν νομίζω ότι ισχύουν και τα 7. Π.χ. δεν ισχύει το axiom of regularity/foundation αφού το συγκεκριμένο αξίωμα έχει ως συνέπεια ότι $A \notin A$ για κάθε $A$. Επίσης, αναλόγως με το πως θα γραφτεί το Axiom of Pairing τότε μπορεί και να μην ισχύει. Π.χ. το σύνολο $\{0\}$ δεν ανήκει στο V αφού δεν είν...
από Demetres
Κυρ Μαρ 22, 2020 12:19 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σφαίρα
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 320

Re: Σφαίρα

Βγαίνει και στοιχειωδώς. Θα υποθέσω ότι $a \geqslant 0$. Επιλέγω $z = \sqrt{3}/3$ και αρκεί να δείξω ότι υπάρχουν πραγματικοί $x,y$ ώστε $x^2 + y^2 = 2/3$ και $x+y = a - \sqrt{3}/3$. Τότε $\begin{aligned} \Delta &= (x+y)^2 - 4xy = x^2 + y^2 - 2xy = 2(x^2+y^2) - (x+y)^2 \\ &= \frac{4}{3} - a^2 + \fra...
από Demetres
Σάβ Μαρ 21, 2020 11:59 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Ερώτηση-Γραμμική Άλγεβρα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 71

Re: Ερώτηση-Γραμμική Άλγεβρα

Στην υπόδειξη χρησιμοποιεί ότι $tr(ABC)=tr(ACB)$, αυτό από που το συμπεραίνουμε; Από ότι έχω δει στην θεωρία ισχύει $tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)$ και $tr(ABC)=tr(ACB)$ ισχύει μόνο αν είναι συμμετρικοί οι πίνακες. Σωστά, αλλά εδώ ισχύει επίσης ότι $AC = I$ άρα $C = A^{-1}$ και $CA = I = AC$. Οπότε έχουμ...
από Demetres
Σάβ Μαρ 21, 2020 10:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 263

Re: Ολοκλήρωμα

Ναι Τόλη, αυτός είναι ο λόγος. Ψάχνοντας το λίγο βρήκα και τη σωστή εντολή. Με τον πιο κάτω κώδικα θα μας δώσει την απάντηση σε 890 δεκαδικά ψηφία. Το 890 το επέλεξα γνωρίζοντας πως η τελική απάντηση είναι περίπου $10^{-879}$ και είπα να έχω καμιά δεκαριά ακόμη ψηφία. N[Integrate[(x*ln(x))^2020,{x,0...
από Demetres
Σάβ Μαρ 21, 2020 6:52 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 263

Re: Ολοκλήρωμα

Το Wolfram δίδει απάντηση $0$, αλλά πολύ αμφιβάλω αν όντως κάνει τόσο. Προφανώς δεν είναι σωστό αφού το ολοκλήρωμα είναι σίγουρα θετικό. (Ολοκλήρωμα συνεχούς μη αρνητικής συνάρτησης η οποία δεν είναι ταυτοτικά μηδέν.) Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι η τελική απάντηση είναι πολύ μικρή (δείτε τον ασυμπτω...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση