Υπάρχει μοναδική συνάρτηση ώστε και



για κάθε . Να υπολογιστεί η τιμή του .

Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί και έστω και . Αν να υπολογιστεί το .

Μήπως θέλει κάποιον επιπλέον περιορισμό; Π.χ. ;

Να υπολογιστεί η τιμή του

Έστω και έστω πραγματικός αριθμός ώστε . Να βρεθεί το .

Σημείωση: Ακόμη και αν δεν βάλουμε παρενθέσεις, το σημαίνει να κάνουμε πρώτα το .

Συνεπώς πρέπει $b\sqrt3-\sqrt2 [b\sqrt{\dfrac{3}{2}}]+a\sqrt2-\sqrt3 [a\sqrt{\dfrac{2}{3}}]=\sqrt2$ και διαιρώντας με $\sqrt2$ προκύπτει $b=[a\sqrt{\dfrac{2}{3}}]$ Η τελική απάντηση είναι σωστή αλλά το $b=\left[a\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right]$ όχι. Π.χ. για $a=11$ δίνει $b=8$ αλλά τότε η $b\sqrt3-\sqrt...

Η τελική απάντηση είναι διψήφιος αριθμός...

Αν $p,q$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε ορίζουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του $p$ με τον $q$ ως τον μικρότερο μη αρνητικό πραγματικό αριθμό $r$ ώστε ο αριθμός $\frac{p-r}{q}$ να είναι ακέραιος. Για ένα διατεταγμένο ζεύγος θετικών ακεραίων $(a,b)$ ορίζουμε ως $r_1,r_2$ ως τα υπόλοιπα της διαίρεση...

Να βρεθεί ο μικρότερος θετικός ακέραιος που δεν μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο μη αρνητικών παλίνδρομων θετικών ακεραίων. Σημείωση: Ένας ακέραιος ονομάζεται παλίνδρομος αν παραμένει ο ίδιος όταν αντιστρέψουμε την σειρά των ψηφίων του Μια απλή άσκηση από τον φετινό διαγωνισμό Harvard-MIT. Θα ακολου...

Πρόβλημα 1 Ορίζουμε τις ακολουθίες $\displaystyle{(\alpha_\nu), (\beta_\nu), (\gamma_\nu)}$ με $\displaystyle{\nu\in\{1, 2, 3, \ldots\}}$ ως εξής: $\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\alpha_1=2}$ και $\displaystyle{\alpha_{\nu+1}=2^{\alpha_\nu}, \forall\nu\in\{1, 2, 3, \ldots\}}$ $\displaystyle...

Έστω $x_k = k\pi$ και $I_k = [x_k,x_{k+1}]$. Θέτουμε επίσης $g(x) = 1 + (x-\tfrac{\pi}{2})\cos{x}-\sin{x}$. Παρατηρούμε ότι $g'(x) = -(x-\tfrac{\pi}{2})\sin{x}$ άρα η $g$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $I_k$ αν $k$ άρτιος και γνησίως αύξουσα στο $I_k$ αν $k$ περιττός. Άρα σε κάθε διάστημα $I_k$ η $g(x)=...

Πρόβλημα 4 Σε μια τάξη $\displaystyle{10}$ μαθητών δόθηκε ένα διαγώνισμα $\displaystyle{15}$ προβλημάτων. Γνωρίζουμε ότι κάθε πρόβλημα λύθηκε σωστά από τουλάχιστον $\displaystyle{7}$ μαθητές. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ζεύγος $\displaystyle{\{x, y\}}$ μαθητών, ώστε κάθε πρόβλημα να λύθηκε σωστά από ...

Σταύρο, μήπως κάτι πάει λάθος; Για $n=1$ ή $f(x) = \frac{3x+1}{2}$ είναι αντιπαράδειγμα. Ικανοποιεί τις συνθήκες αλλά $\displaystyle \int_{-1}^1 f^2(x) \, \mathrm{d}x = 2 < \frac{8}{3}.$ Επίσης, από Cauchy-Schwarz έχω $\displaystyle \int_{-1}^1 f^2(x) \, \mathrm{d}x\int_{-1}^1 x^{2n} \, \mathrm{d}x ...

Για τα ολικά ακρότατα μπορούμε επίσης να πούμε ότι για $x^2 + y^2 \leqslant 1$ έχουμε $\displaystyle |yx^2| \leqslant |y(1-y^2)|$ Όμως εύκολα από λογισμό μίας μεταβλητής η $y(1-y^2)$ στο $[-1,1]$ μεγιστοποιείται/ελαχιστοποιείται είτε όταν $y^2 = 1/3$ είτε στα άκρα. Οπότε παίρνουμε $|y(1-y^2)| \leqsl...

Αλλιώς: $\displaystyle \int_0^1 f(x)^2 \, \mathrm{d}x = \int_0^1 (3x-1)^2 \, \mathrm{d}x\int_0^1 f(x)^2 \, \mathrm{d}x \geqslant \left[\int_0^1 (3x-1)f(x) \, \mathrm{d}x \right]^2 = (3k-k)^2 = 4k^2$ Επειδή η $f$ είναι συνεχής η ισότητα ισχύει μόνο αν $f(x) = C(3x-1)$ για κάποια σταθερά $C$. Από τα δ...

Για , όλα τα είναι λύσεις. Για , με πράξεις οδηγούμαστε σε πολυώνυμο στο πέμπτου βαθμού. Αυτό σημαίνει πως σίγουρα έχει πραγματική λύση. Εν γένει όμως δεν μπορούμε να την εκφράσουμε με αριθμητικές πράξεις και ριζικά συναρτήσει των .

Άλλο το και άλλο το

Ναι Μιχάλη.

Να διευκρινίσω πως όταν είπα «Σίγουρα κάπου υπάρχει λάθος» εννοούσα «Σίγουρα κάπου υπάρχει λάθος αλλά δεν πρόκειται καν να μπω στον κόπο να ψάξω να το βρω».

Χρόνια πολλά στους εορτάζοντές μας και ιδιαίτερα στον Μπάμπη Στεργίου.

α) Χωρίζουμε τα $100$ αυτά άτομα σε σύνολα των $3$, ώστε σε κάθε σύνολο, για κάθε δύο άτομα ο ένας να αντιπαθεί τον άλλο (υπάρχει και ένα σύνολο που αποτελείται από μόνο ένα άτομο!) Ορέστη, δεν είμαι σίγουρος ότι μπορείς να το κάνεις αυτό. Π.χ. αν τα άτομα είναι τα $Q_1,\ldots,Q_{100}$ και έχουμε τ...