Η αναζήτηση βρήκε 7443 εγγραφές

από Demetres
Τρί Δεκ 18, 2018 1:19 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Επί ρίζα δύο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 137

Re: Επί ρίζα δύο

Δεν υπάρχει μοναδική απάντηση.
από Demetres
Τρί Δεκ 18, 2018 12:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Γινόμενο αριθμών Fibonacci
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 113

Re: Γινόμενο αριθμών Fibonacci

Βγαίνει με τον ακόλουθο τύπο

F_{n+3}F_n - F_{n+2}F_{n+1} = (-1)^{n+1}

ο οποίος αποδεικνύεται εύκολα επαγωγικά.
από Demetres
Κυρ Δεκ 16, 2018 11:19 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 332

Re: Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα

Έχουμε $1 + \sqrt[n]{c} \geqslant 2\sqrt[2n]{c}$ οπότε $\displaystyle \left(\frac{1 + \sqrt[n]{c}}{2} \right)^n \geqslant \sqrt{c}$ για κάθε $n \in \mathbb{N}$. Για την ανάποδη ανισότητα θα χρησιμοποιήσω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι $c \geqslant 1$. Έχουμε $\displaystyle \left(\frac{1 + \sqrt[n]{...
από Demetres
Παρ Δεκ 14, 2018 1:55 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ένα όριο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 108

Re: Ένα όριο

Έχουμε $\displaystyle a_{2n-1} = \int_{2n-1}^{2n} \sqrt{x} \sin{(\pi x)} \, \mathrm{d}x = \int_{2n}^{2n+1} \sqrt{y-1} \sin{(\pi y - \pi)} \, \mathrm{d}y = -\int_{2n}^{2n+1} \sqrt{y-1} \sin{(\pi y)} \, \mathrm{d}y$ Έχουμε επίσης $\displaystyle \sqrt{x} - \sqrt{x-1} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}} $...
από Demetres
Παρ Δεκ 14, 2018 12:04 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Ταυτότητα σε τρίγωνο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 295

Re: Ταυτότητα σε τρίγωνο

Για ποικιλία ας δούμε και μια απόδειξη με μιγαδικούς, τους οποίους έχουμε εξοστρακίσει εντελώς. Έστω $u = e^{ia/2}, v = e^{ib/2}$ και $w = e^{ic/2}$. Τότε $uvw = e^{i(a+b+c)/2} = e^{i\pi/2} = i$. Άρα $\displaystyle \begin{aligned} 4\cos\left(\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{b}{2}\right)\cos\left(\f...
από Demetres
Πέμ Δεκ 13, 2018 10:40 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2016/17 (ΦΙ τάξη 7)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 514

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2016/17 (ΦΙ τάξη 7)

4. Κατά μήκος δρόμου στην χώρα των Ηλιθίων βρίσκονται δέκα θάμνοι, στο καθένα από τα οποία υπάρχουν 9 νομίσματα. Περνώντας από το δρόμο επιτρέπεται να κόψεις από κάθε θάμνο 2, 3 ή 4 νομίσματα αλλά έτσι, ώστε κανείς να μην κόψει ίδιο αριθμό νομισμάτων από γειτονικούς θάμνους, ειδάλλως οι φύλακες συλ...
από Demetres
Πέμ Δεκ 13, 2018 10:23 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πλήθος λύσεων
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1299

Re: Πλήθος λύσεων

Ορέστη καλωσόρισες στο :logo: Μερικά σχόλια - Ο κανονισμός μας ζητάει πάντα από τα μέλη μας να γράφουν τα μαθηματικά σε $\LaTeX$. Αυτήν την φορά διόρθωσα την ανάρτηση. Στην αρχική σελίδα υπάρχει ανακοίνωση με αρκετούς συνδέσμους για βοήθεια στην γραφή σε $\LaTeX$. - Στην ανάρτησή σου υπάρχουν διάφορ...
από Demetres
Τετ Δεκ 12, 2018 1:51 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: 100% πιθανότητα για νίκη
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 292

Re: 100% πιθανότητα για νίκη

Το θέμα είναι να προσπαθήσουμε να τα γράψουμε και πιο συμμαζεμένα. Έστω ότι ο πρώτος αρχίζει από το $A$ και ο δεύτερος από το $D$. Στο σχήμα του Πρόδρομου ο πρώτος παίκτης πάει διαδοχικά στα $A4,A9,A10,A11,A12,A13$. Μπορεί επειδή θέλει λιγότερες ή ίσες κινήσεις από τον άλλο παίκτη για να φτάσει σε α...
από Demetres
Τρί Δεκ 11, 2018 1:48 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Να συγκλίνει σε άρρητο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 297

Re: Να συγκλίνει σε άρρητο

Την άσκηση την πήρα από το College Mathematics Journal. Ήταν το πρόβλημα 1111 με την λύση να εμφανίζεται τον Δεκέμβριο του 2018. Η λύση ήταν ουσιαστικά ίδια όπως συμπληρώθηκε από τον Μιχάλη στις ιδέες του Λάμπρου. Όπως με ενημέρωσε ο Σταύρος το επιχείρημα της επόμενης παραγράφου είναι λανθασμένο. (Σ...
από Demetres
Δευ Δεκ 10, 2018 5:50 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Να συγκλίνει σε άρρητο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 297

Re: Να συγκλίνει σε άρρητο

Λάμπρο, υπάρχει ακόμη ένα θεματάκι με την λύση.

Κάποιες από τις υπεραριθμήσιμες αυτές υπακολουθίες μπορεί να συγκλίνουν στον ίδιο ρητό αριθμό.
από Demetres
Δευ Δεκ 10, 2018 3:19 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Να συγκλίνει σε άρρητο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 297

Να συγκλίνει σε άρρητο

Δίνεται συγκλίνουσα σειρά \displaystyle  \sum_{n=1}^{\infty} x_n με θετικούς όρους. Να δειχθεί ότι η (x_n) έχει υπακολουθία (x_{n_k}) ώστε το \displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty} x_{n_k} να είναι άρρητος.
από Demetres
Κυρ Δεκ 09, 2018 11:45 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: 0-1
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 137

Re: 0-1

Με προλάβανε αλλά μιας και έγραψα και τις λεπτομέρειες... Με ισχυρή επαγωγή στο $m$ όπου $n=2m$ το μήκος της $a$. Για $m=0,1$ είναι προφανές. Έστω λοιπόν ότι ισχύει για κάθε άρτιο $m \leqslant k$ και έστω μια ακολουθία $a$ μήκους $2k+2$. Αν είναι της μορφής $0b1$ ή της μορφής $1b0$ τότε το $b$ έχει ...
από Demetres
Κυρ Δεκ 09, 2018 11:11 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Μέγιστο γινομένου
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 522

Re: Μέγιστο γινομένου

Ακόμη μία απόδειξη. Ας γράψω $r = f(1)= a+b$ και $s=f(0)=b$. Τότε $\displaystyle ab = (r-s)s = -\left(r-\frac{s}{2}\right)^2 + \frac{s^2}{4} \leqslant \frac{1}{4}$ με ισότητα αν και μόνο αν $|s|=1$ και $r=s/2$. Μένει να κάνουμε τον απλό έλεγχο ότι η $f(x) = \pm \frac{x+1}{2}$ ικανοποιεί τις συνθήκες.
από Demetres
Κυρ Δεκ 09, 2018 8:07 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμο δευτέρου βαθμού
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 489

Re: Πολυώνυμο δευτέρου βαθμού

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Δεκ 09, 2018 7:26 pm
Ετσι η εξίσωση ((t+k)^{2}+m)^{2}+r=0

έχει ρίζες τα 1,9,25,49

Αυτό όμως είναι ΑΤΟΠΟ(γιατί ; )

Οι ρίζες της εξίσωσης εμφανίζονται σε ζεύγη της μορφής (x,-x-2k). Δηλαδή σε ζεύγη με σταθερό άθροισμα -2k. Τα 1,9,25,49 όμως, δεν μπορούν να χωριστούν με τέτοιο τρόπο.
από Demetres
Κυρ Δεκ 09, 2018 12:11 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 446

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

Θεωρώ ότι η συγκεκριμένη μέθοδος θα έπρεπε να είναι πιο γνωστή στους μαθητές από ότι πραγματικά είναι. Όταν διδάσκουμε διατάξεις, συνδυασμούς, μεταθέσεις, θα έπρεπε να διδάσκεται και αυτό.

Το είχα βάλει πέρσι και στο πρόβλημα της εβδομάδας.

Για κάτι αρκετά πιο δύσκολο δείτε και αυτό.
από Demetres
Κυρ Δεκ 09, 2018 11:58 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Putnam 2018/B6
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 110

Putnam 2018/B6

Έστω S το σύνολο όλων των ακολουθιών μήκους 2018 των οποίων οι όροι ανήκουν στο σύνολο \{1,2,3,4,5,6,10\} και έχουν άθροισμα 3860. Να δειχθεί ότι

\displaystyle  |S| \leqslant 2^{3860} \left(\frac{2018}{2048} \right)^{2018}
από Demetres
Σάβ Δεκ 08, 2018 10:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστη περίμετρος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 178

Re: Ελάχιστη περίμετρος

Μιχάλη, στο ελάχιστο δεν θα έχουμε $MC \perp BM$. Θα έχουμε $\angle AMB = \angle BMN = \angle MBA$. Άρα $AB = AM=MC = 2MN$. Από Θεώρημα Συνημιτόνων, θέτοντας $x=BM$ έχουμε $\displaystyle (MN)^2 = x^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{ax}{2}$ και $\displaystyle (MC)^2 = x^2 + a^2 - ax$ Από την $MC = 2MN$ παίρν...
από Demetres
Σάβ Δεκ 08, 2018 7:03 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Διαφορετικές διαφορές
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 235

Re: Διαφορετικές διαφορές

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Δεκ 08, 2018 2:00 pm
Μπορούμε πολύ καλύτερα. Αποδεικνύεται ότι για μικρά x είναι x-\sin x  \approx \dfrac {1}{2}(\tan x-x)

Ας δούμε επίσης και την ανισότητα \displaystyle  x - \sin{x} < \frac{\tan{x}-x}{2} για x \in (0,\pi/2).
από Demetres
Σάβ Δεκ 08, 2018 6:31 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμο δευτέρου βαθμού
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 489

Re: Πολυώνυμο δευτέρου βαθμού

Έστω $k(x) = g(h(x))$ και έστω $x_1,x_2$ οι ρίζες του $f$. Τότε το $k(x)$ είναι πολυώνυμο τετάρτου βαθμού. Για κάθε $1 \leqslant n \leqslant 8$ είναι $f(k(n)) = 0$ και άρα υπάρχει $i \in \{1,2\}$ ώστε $k(n) = x_i$. Επειδή το $k$ είναι τετάρτου βαθμού, για τα μισά $n$ θα έχουμε $k(n) = x_1$, και για ...
από Demetres
Παρ Δεκ 07, 2018 4:42 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Putnam 2018/A4
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 132

Re: Putnam 2018/A4

Ωραίο. Θα το δείξω με επαγωγή στο $m+n$. Είναι προφανές όταν $m=n=1$ αφού $a_1 = 1$, άρα $gh = e$ που δίνει $h = g^{-1}$ και άρα και $hg = e = gh$. Για το επαγωγικό βήμα ελέγχουμε δύο περιπτώσεις. Περίπτωση 1: Αν $m >n$ θέτω $m' = m-n, n' = n$. Τότε $a_k' = a_k - 1$ για κάθε $k$. Θέτω $g' = gh$ και ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση