Πρόβλημα 1 (α) Αν $\displaystyle{x}$ είναι θετικός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\dfrac{x^{12}-1}{4}\geqslant \dfrac{x^3-1}{x}}$ Ας δούμε άλλη μια λύση σε αυτό το πρόβλημα, εκτός πνεύματος "junior" μεν, χρήσιμη δε σε άλλα προβλήματα. Η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα $\display...

Για την 4 μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε ότι ο $11111-10009 = 2 \cdot 19 \cdot 29$ διαιρεί τον $A$. Επίσης από μικρό θεώρημα Fermat έχουμε ότι $11111^{60} \equiv 1 \bmod p$ και $10009^{60} \equiv 1 \bmod p$ για $p=3,5,7,11,13,31,61$. (Πρέπει να ελεγχθεί ότι οι $10009$ και $11111$ δεν διαιρούντα...

Ολυμπιάδα «Υψηλά πρότυπα» 2019, 11η τάξη (*) 2. Ο κύριος $A$ για μια ώρα στάθηκε στο σημείο με συντεταγμένες $(0,0)$. Κατά την διάρκεια της ίδιας ώρας, κινήθηκε ευθύγραμμα και ομαλά, ο κύριος $B$ από το σημείο $(22,0)$ προς το σημείο $(2,20)$. Κατά την ίδια ώρα η δεσποινίς $C$, επίσης κινούμενη ευθ...

Έχεις απόλυτο δίκαιο ότι η λύση δεν είναι σωστή. Με τον μετασχηματισμό $x=r\cos{\vartheta},y=r\sin{\vartheta}$ προσεγγίζουμε την αρχή των αξόνων σε ευθείες γραμμές. Όπως βλέπουμε σε αυτό το παράδειγμα, τα όρια σε όλες τις ευθείες γραμμές μπορεί να υπάρχουν και να είναι ίσα, αλλά γενικά το όριο μπορε...

Βγήκαν τα τελικά αποτελέσματα.

Η Κύπρος είχε ένα χάλκινο με την Ειρήνη Ιωάννου. (Το πρώτο μας σε EGMO.)
Η Ελλάδα είχε δύο χάλκινα με τις Ειρήνη Μηλιώρη και Άρτεμις Σάββα. Είχε επίσης δύο εύφημες μνείες με τις Κωνσταντίνα Ρασβάνη και Δανάη Αβδελά.

Συγχαρητήρια σε όλες!

Αν δει κανείς το $6$ από τη σωστή οπτική γωνία η λύση είναι απλή και σύντομη. Μόνο που μου πήρε αρκετή ώρα να τη βρω... Υποθέτω ότι δεν υπάρχει μπλε ετικέτα με τιμή πολλαπλάσιο του $3$. Για κάθε χορδή ορίζω το διάνυσμα $(a_0,a_1,a_2)$ όπου $a_i$ είναι το πλήθος των τμημάτων με άθροισμα άκρων $i \bmo...

Βάζω μια λύση για τη 2. (Συμπλήρωσα τώρα και την κατασκευή.) Η λύση μου είναι διαφορετική από την επίσημη (η οποία δεν έχει ακόμη αναρτηθεί). Έστω ότι έχουμε $a$ γωνιακά ντόμινο, $b$ πλευρικά, $c$ για τα οποία το ένα κελί είναι πλευρικό και το άλλο όχι, και $d$ τα οποία δεν έχουν κανένα κελί στο πλε...

Χωρίς βλάβη της γενικότητας τα $\mathbf{u}_i$ είναι μοναδιαία. Θεωρώ όλα τα $\mathbf{v}$ ώστε $\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}_i \in [0,1]$ και παίρνω το $K$ να είναι το σύνολο αυτών των $\mathbf{v}$. Οι (1),(2) ικανοποιούνται, αλλά αντί της (3) έχουμε $|K| = \frac{1}{|\det(A)|}$ όπου $A = (\mathbf{u}_1...

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{\left ( n+k \right )^2} &= -\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \int_{0}^{1} x^{n+k-1} \ln x \, \mathrm{d}x\\ &= -\int_{0}^{1} \ln x \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \sum_{k=1}^{\infty} (...

Tolaso J Kos έγραψε: ↑

Τρί Μαρ 19, 2019 10:37 pm

Δε ξέρω αν λέω τα ίδια με το Δημήτρη , αλλά το γνωστό τρικάκι δουλεύει. Εφόσον η σειρά είναι απόλυτα συγκλίνουσα έχουμε:

Τα ίδια λες. Μόνο που η διπλή σειρά δεν είναι απόλυτα συγκλίνουσα οπότε χρειάζεται κάποια περισσότερη προσοχή. Γι' αυτό και τα επιπλέον σχόλια στη λύση μου.

Πολύ ωραία Σωτήρη. Επί τη ευκαιρία, συγχαρητήρια για το αργυρό μετάλλιο στο διαγωνισμό. Συγχαρητήρια επίσης και στους simantiris j και jason.prod για τα χρυσά καθώς και στα άλλα μέλη των ελληνικών αποστολών για τα υπόλοιπα μετάλλια.

LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας Πρόβλημα 2. Να βρείτε τον ελάχιστο φυσικό αριθμό $n$, για τον οποίο ο $n^2+20n+19$ διαιρείται με τον $2019$. Αλλιώς: Έχουμε $n^2+20+19 = (n+1)(n+19)$. Επειδή $2019 = 3 \cdot 673$ ως γινόμενο πρώτων παραγόντων, τουλάχιστον ένα από τα $n+1,n+19$ είναι πολλαπλάσιο το...

Φαντάζομαι το (α) μπήκε για να βοηθήσει για το (β). Υπάρχει όμως και πιο απλός τρόπος για το (β). Έχουμε: $\displaystyle \sum_{n=0}^N \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+k+1}}{(n+k)^2} = \sum_{m=0}^N \frac{(-1)^m}{(m+1)} + (N+1) \sum_{m=N+1}^{\infty} \frac{(-1)^m}{(m+1)^2}$ Αυτό ισχύει διότι ο όρος $\...

Tolaso J Kos έγραψε: ↑

Τρί Μαρ 19, 2019 3:53 pm

Ελπίζω να τα λέω σωστά, διότι γράφω υπό πίεση.

Αρκεί βέβαια να εξηγηθεί γιατί επιτρέπεται η εναλλαγή σειρών και ολοκληρωμάτων καθώς και πως υπολογίστηκε το

Το βραβείο Abel για το 2019 απονεμήθηκε στην Karen Uhlenbeck «για τα πρωτοποριακά επιτεύγματά της στις γεωμετρικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, τη θεωρία βαθμίδας και τα ολοκληρώσιμα συστήματα και για τη θεμελιώδη επίδραση της εργασίας της στην ανάλυση, τη γεωμετρία και τη μαθηματική φυσική». Περισ...

Άσκηση 111 Ένας αριθμός ομάδων συμμετείχε σε ένα τουρνουά round-robin, δηλαδή ένα τουρνουά στο οποίο κάθε ομάδα έπαιξε με κάθε άλλη ακριβώς μια φορά. Κάθε ομάδα νίκησε σε ακριβώς $10$ παιχνίδια και έχασε σε ακριβώς $10$ παιχνίδια, ενώ δεν υπήρξαν ισοπαλίες. Πόσα σύνολα τριών ομάδων $\{A, B, C\}$ υπ...

(α) Έστω ακέραιος . Να υπολογιστεί το

(β) Να υπολογιστεί το:

Το «μόνο αν» είναι προφανές εφαρμόζοντας για $k=0,1,2,\ldots$ την (2) στη συνάρτηση $f(x) = x^k$. Το «αν» είναι σχεδόν προφανές από το προσεγγιστικό θεώρημα Weierstrass. Αν έχουμε $f$ συνεχή και $\varepsilon > 0$ τότε μπορούμε να βρούμε πολυώνυμο $p$ ώστε $|p(x) - f(x)| \leqslant \varepsilon$ για κά...

Έχουμε: $\displaystyle \mathrm{tr}\left(\sum_{i=1}^k \varepsilon_i A_i \right)^2 = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k \mathrm{tr} (\varepsilon_i\varepsilon_j A_iA_j) $ Άρα: $\displaystyle \sum_{\mathbf{v}}\mathrm{tr}\left(\sum_{i=1}^k \varepsilon_i A_i \right)^2 = 2^n \sum_{i=1}^n\mathrm{tr}(A_i)^2$ όπου το ...

XLV Πανρωσική μαθητική μαθηματική ολυμπιάδα 2018/2019. 11η τάξη, Πρώτη μέρα. Θέματα της 3ης φάσης 3. Θα ονομάσουμε απόσταση μεταξύ δυο κελιών ενός τετραγωνισμένου πίνακα τον ελάχιστο αριθμό κινήσεων, με τις οποίες ένας σκακιστικός βασιλιάς μπορεί να μεταβεί από ένα εξ αυτών στο άλλο. Να βρείτε το μ...