Η αναζήτηση βρήκε 7571 εγγραφές

από Demetres
Τετ Μάιος 15, 2019 11:38 am
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 1357

Re: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο

Βλέπω ότι υπάρχουν δύο κριτήρια. (α) Εξασφάλιση μεταλλίου σε συγκεκριμένο διαγωνισμό. (β) Να γράψει τουλάχιστον 10 στις Πανελλήνιες. Δεν με ενοχλεί τόσο το (β) όσο το (α) το οποίο θα προτιμούσα να άλλαζε σε (α') Μέλος της Εθνικής ομάδας σε συγκεκριμένο διαγωνισμό Ο λόγος είναι απλός. Ένα παιδί το οπ...
από Demetres
Τετ Μάιος 15, 2019 11:08 am
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Οικονομικό Μόσχας 2004
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 865

Re: Οικονομικό Μόσχας 2004

Θέματα εισαγωγικών εξετάσεων τμήματος οικονομικών Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 2004. 6. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του $w$ για την οποία έχει λύση το σύστημα $\displaystyle \left\{\begin{matrix} 4 \sin^2 y-w=16\sin^2 \dfrac{2x}{7} +9 \cot^2 \dfrac{2x}{7} \\ \left ( \pi^2 \cos^2 3x -2\pi^2-72 \rig...
από Demetres
Τρί Μάιος 14, 2019 5:19 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Οικονομικό Μόσχας 2004
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 865

Re: Οικονομικό Μόσχας 2004

Αλέξανδρε, έχεις τις απαντήσεις; Ή τουλάχιστον να μας πεις αν μιλάει για supremum αντί για maximum;

Έχω βρει ότι αν για κάποιο w υπάρχει λύση τότε w \leqslant -11. Το w = -11 νομίζω δεν πιάνεται αλλά μπορούμε να έχουμε τιμές του w αρκετά κοντά στο -11.
από Demetres
Κυρ Μάιος 12, 2019 11:31 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Συνδυαστική
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 169

BMO Shortlist 2018 - Συνδυαστική

[b]C1.[/b] Έστω περιττός ακέραιος $N \geqslant 3$. $N$ τενίστες λαμβάνουν μέρους σε ένα πρωτάθλημα. Πριν ξεκινήσει το πρωτάθλημα, μια επιτροπή βάζει τους παίκτες σε μια σειρά αναλόγως του πόσο καλοί θεωρεί ότι είναι. Κατά τη διάρκεια του πρωταθλήματος, κάθε παίκτης παίζει κάθε άλλο παίκτη από ακριβώ...
από Demetres
Τετ Μάιος 08, 2019 4:54 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Οικονομικό Μόσχας 2004
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 865

Re: Οικονομικό Μόσχας 2004

Δεν τις δοκίμασα όλες, αλλά αυτές που δοκίμασα, ενώ είναι «φαινομενικά δύσκολες», αν δεν τις φοβηθείς και τις προχωρήσεις βγαίνουν χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία. Απαραίτητη προϋπόθεση όμως είναι να έχει ο υποψήφιος «καλή αλγεβρική παιδεία». Αλλιώς κλάφτα Χαράλαμπε. Θέλει επίσης και κάποια στοιχειώδη λογι...
από Demetres
Τρί Μάιος 07, 2019 5:06 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 565

Re: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία

Έγινε διόρθωση του G3. Απολογίες σε όσους τους μπέρδεψα. :oops:
από Demetres
Τρί Μάιος 07, 2019 10:56 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1037

Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα

Σταύρο, έχεις δίκαιο. Δεν το πρόσεξα. Αυτό είναι ακόμη κάτι που θα έπρεπε να διορθωθεί αν το jury το επέλεγε.
από Demetres
Δευ Μάιος 06, 2019 7:25 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1037

Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα

A5. Έστω κοίλη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ και συνεχής συνάρτηση $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Αν $\displaystyle f(x+y)+f(x-y)-2f(x)=g(x)y^2$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$, να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι πολυώνυμο δευτέρου βαθμού. Δεν είναι σαφές τουλάχιστον σε μένα ποιος είναι ο ορισμός της ...
από Demetres
Δευ Μάιος 06, 2019 6:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1037

Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα

A3. Έστω θετικός ακέραιος $n$. Να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle \sum_{k=0}^n\left(\frac{2n+1-k}{k+1}\right)^k= \left(\frac{2n+1}{1}\right)^0+\left(\frac{2n}{2}\right)^1+\cdots+ \left(\frac{n+1}{n+1}\right)^n\leqslant 2^n.$ Θα αποδείξω το παρακάτω Λήμμα : Λήμμα Για κάθε $n,k \in \mathbb{N^*}$, με $...
από Demetres
Κυρ Μάιος 05, 2019 11:19 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 565

BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία

G1. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ και έστω $M$ το μέσο της πλευράς $BC$. Έστω $D$ και $E$ τα παράκεντρα των τριγώνων $AMB$ και $AMC$ αντίστοιχα ως προς το σημείο $M$. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $ABD$ τέμνει την ευθεία $BC$ στα σημεία $B$ και $F$. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $ACE$...
από Demetres
Παρ Μάιος 03, 2019 5:53 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1037

Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα

A6. Έστω θετικός ακέραιος $n$ και πραγματικοί αριθμοί $x_1,\dots,x_n$. Να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2 \geqslant \frac{1}{n+1}\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2+ \frac{12\left(\sum_{i=1}^n ix_i\right)^2}{n(n+1)(n+2)(3n+1)}. $ Η συγκεκριμένη προτάθηκε από την Κύπρο. Συγκεκριμένα τη...
από Demetres
Παρ Μάιος 03, 2019 3:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (ΦΙΙ τάξη 10)
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 758

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (ΦΙΙ τάξη 10)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2019 Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 10η τάξη 7. Σε τετράγωνο $10^{2019} \times 10^{2019} $ σημειώθηκαν $10^{4038}$ σημεία. Να αποδείξετε, ότι θα βρεθεί παραλληλόγραμμο, με πλευρές παράλληλες προς τις πλευρές του τετραγώνου, το εμβαδόν του οποίου δ...
από Demetres
Παρ Μάιος 03, 2019 12:07 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1037

Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα

Ωραία. Οι δυο λύσεις που μας δώσανε για την 4 είναι (εν συντομία) οι εξής: Πρώτη λύση: Έχουμε: $\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} \geqslant 3 \sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}} = a.$ Προσθέτοντας παρόμοιες ανισότητες κυκλικά παίρνουμε: $\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}...
από Demetres
Πέμ Μάιος 02, 2019 9:28 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1037

Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα

Pantelis.N έγραψε:
Πέμ Μάιος 02, 2019 9:11 pm
Σωστά;
Υπάρχει λάθος; Μου φαίνεται πολύ εύκολη για BMO!

Σωστά. Αυτή ήταν και η επίσημη λύση. Ήταν σχετικά εύκολη. Για αυτό ήταν η Α1. (Παρεμπιπτόντως, ήταν άσκηση της Shortlist, όχι της Βαλκανιάδας.)
από Demetres
Πέμ Μάιος 02, 2019 9:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2019
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 2371

Re: BMO 2019

Πρόβλημα 3: Ας είναι $ABC$ σκαληνό, οξυγώνιο τρίγωνο. Ας είναι $X$ και $Y$ δύο διαφορετικά, εσωτερικά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος $BC$, για τα οποία ισχύει $\angle CAX = \angle YAB$. Υποθέτουμε ότι: 1) $K$ και $S$ είναι τα ίχνη των καθέτων από το $B$ στις ευθείες $AX$ και $AY$ αντίστοιχα 2) $T$...
από Demetres
Πέμ Μάιος 02, 2019 6:20 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1037

BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα

A1. Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$ ώστε $abc=\frac{2}{3}$. Να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle \frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\geqslant \frac{a+b+c}{a^3+b^3+c^3}.$ A2. Αυτό ήταν το πρόβλημα 2 της Βαλκανιάδας . A3. Έστω θετικός ακέραιος $n$. Να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle \su...
από Demetres
Πέμ Μάιος 02, 2019 4:06 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2019
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 2371

Re: BMO 2019

Λύση για άσκηση 2 Σημείωση:Δεν ξέρω αν ισχύει αυτο που είχα χρησημοποιήσει στην αρχή Χαράλαμπε, υπάρχουν διάφορα λάθη. $a+b+c\leq ab+bc+ca \Rightarrow ab+bc+ca-a-b-c\geq 0$ Μετά απο τον AM-GM παίρνουμε την σχέση $3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}{c}^2}-3\sqrt[3]{abc}\geq 0$ Εδώ, χρησιμοποίησες ότι $ab+bc+ca \ge...
από Demetres
Πέμ Μάιος 02, 2019 3:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2019
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 2371

Re: BMO 2019

Πρόβλημα 1: Έστω $\mathbb{P}$ το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{P} \to \mathbb{P}$, για τις οποίες ισχύει $\displaystyle f(p)^{f(q)} +q^p = f(q)^{f(p)} +p^q$ για κάθε $p,q \in \mathbb{P}$. Πρόβλημα 2: Ας είναι $a,b,c$ πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους...
από Demetres
Τετ Μάιος 01, 2019 8:27 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (ΦΙΙ τάξη 10)
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 758

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (ΦΙΙ τάξη 10)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2019 Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 10η τάξη 2. Κάθε δυο πόλεις, από $n$, της Ρουριτανίας είναι συνδεμένες με απευθείας αερογραμμή με μια εκ δυο εταιριών. Φίλο μονοπωλιακή επιτροπή θέλει, τουλάχιστον $k$ διαδρομές να εκτελούνται από την ίδια εταιρ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση