Στο τρίγωνο , τα σημεία , είναι τα μέσα της πλευράς και της διαμέσου αντίστοιχα .

Το ύψος ισούται με . Η τέμνει το στο και η το , στο . Υπολογίστε το .

Θεωρούμε γνωστά τα εξής : $x^2+y^2\geq \dfrac{(x+y)^2}{2}$ και : Αν : $x+y=1 $ , τότε : $xy\leq \dfrac{1}{4}$ . $\displaystyle{\left( a + \frac{1}{a} \right)^2 + \left( b + \frac{1}{b} \right)^2 \geq\dfrac{1}{2}\left(a+b+\dfrac{a+b}{ab}\right)^2 =$ $=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{ab}\right)^2\geq \d...

$1=a+b$ , οπότε διαιρώντας δια $a$ , παίρνουμε : $\dfrac{1}{a}=1+\dfrac{b}{a}$ και όμοια : $\dfrac{1}{b}=1+\dfrac{a}{b}$ , $\displaystyle{\left( a + \frac{1}{a} \right)^2 + \left( b + \frac{1}{b} \right)^2 =\left( a +1+ \frac{b}{a} \right)^2 + \left( b +1 +\frac{a}{b} \right)^2$ $=...a^2+b^2+2(\dfra...

Διπλασιασμός.png Ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές : $OB=a$ και : $OA=b$ . Θεωρούμε σημείο $P$ της $AB$ , τέτοιο ώστε : $AP=\dfrac{AB}{4}$ . Ο κύκλος $(A , P , O )$ , τέμνει την προέκταση της $BO$ στο σημείο $S$ . α) Υπολογίστε ( συναρτήσει των $a, b$ ) το τμήμα $OS$ . β) Αν : $OS=2a$ , υπολογ...

Αφορμή για την δημιουργία του θέματος , ήταν η άσκηση Άλγεβρας , από εδώ . Σπουδαίοι

Μια απλούστερη ταυτότητα ( και πιο όμορφη ! ) , είναι η εξής :

Αν οι : , είναι τρεις μη μηδενικοί πραγματικοί , με :

, δείξτε ότι :

Στο τετράγωνο προσαρτήσαμε το ισόπλευρο τρίγωνο και ονομάσαμε

το μέσο της . Ο κύκλος διαμέτρου τέμνει την στο σημείο .

α) Δείξτε ότι τα είναι συνευθειακά . β) Δείξτε ότι η εφάπτεται του κύκλου .

Η άστατη μεσαία.png Τριγώνου $ABC$ , με : $c<b<a$ , οι πλευρές του αυξάνονται κατά $1$ . Δείξτε ότι η μεγαλύτερη γωνία θα μειωθεί ενώ η μικρότερη θα αυξηθεί . Μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για την μεσαία ; Βρείτε την μεσαία πλευρά $b$ , αν : $c=4 , a=6$ και η γωνία $\hat{B}$ μείνει αμετάβλητη .

Αν οι : , είναι τρεις μη μηδενικοί πραγματικοί , με :

, δείξτε ότι :

Αυτή πρέπει να λυθεί

Ορίστε και η κατασκευή ( η διακεκομμένη είναι μεσοκάθετος )

Σκαλίζοντας τα : "Αναπάντητα θέματα" Θεωρούμε και το συμμετρικό του , ως προς . Τώρα φαίνεται το ζητούμενο .

Ερώτημα : Ανήκει το σημείο σ' αυτόν τον κύκλο ;

Αν : ,

υπολογίστε την υπόρριζη ποσότητα του α' μέλους της εξίσωσης .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο , ο κύκλος διαμέτρου τέμνει την υποτείνουσα στο

και την διάμεσο στο . Κατασκευάστε το τρίγωνο με τρόπο , ώστε : .

Οι κύκλοι και τέμνονται στα σημεία . Από σημείο του

φέρω τις οι οποίες τέμνουν τον στα σημεία . Αν η χορδή

έχει απόστημα , υπολογίστε την διάκεντρο .

Προς $elenduo$ : Ο κ. Λάμπρου έχει δίκιο σε όλα όσα σου υποδεικνύει . Θα μπορούσε μάλιστα να παρατηρήσει κανείς ότι καλό είναι στην εκφώνηση να επιλέγεις τις πιο δόκιμες εκφράσεις . Π.χ αντί μη ορθές , να γράψεις οξείες ή αντί το ύψος που δεν ταυτίζεται με μία από τις κάθετες πλευρές του , να γράψει...

Η είναι εφαπτομένη και η τέμνουσα του ημικυκλίου διαμέτρου .

Υπολογίστε τον λόγο : , καθώς και την απόσταση του από την διάμετρο .

ΠΘ.png $\tan^2\theta+\cot^2\theta=\dfrac{b^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{a^4+b^4}{a^2b^2}=\dfrac{(a^2+b^2)^2-2a^2b^2}{a^2b^2} =$ $\dfrac{c^4-2c^2h^2}{c^2h^2}=\dfrac{c^2(c^2-2h^2)}{c^2h^2}=\dfrac{c^2-2h^2}{h^2}<\dfrac{c^2}{h^2}$ . Τελικά :$\dfrac{c^2}{h^2}-(\tan^2\theta+\cot^2\theta)=2$ :!: Προφαν...

Στο τρίγωνο με : , το σημεία είναι το περίκεντρο

και το ορθόκεντρο αντίστοιχα . Αποδείξτε η καταρρίψτε τον ισχυρισμό ότι :

Μιχάλη , τα έντονα γράμματα είναι ακριβώς αντιγραφή και επικόλληση από το δικό σου κείμενο . Απλά επισημαίνω

την "νομιμότητα" της έκφρασης "προφανής λύση" , που νομίζω είναι μια χαρά , παρότι κάποιοι ενδέχεται να διαφωνούν ...