Πάνω στις πλευρές . παραλληλογράμμου , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα , ώστε :

. Αν τα τμήματα τέμνονται στο , δείξτε ότι η , είναι η διχοτόμος της .

Η ευθεία εφάπτεται στο μέσο ημικυκλίου διαμέτρου . Σημείο κινείται στο τόξο

και σημείο στην , ώστε : . Δείξτε ότι το παραμένει σταθερό .

Ο θόλος.png Το $S$ είναι σημείο της διαμέτρου $AOB=2r$ ενός ημικυκλίου ώστε : $OS=d$ . Από το $S$ αναχωρεί φωτεινή ακτίνα η οποία ανακλάται στον "θόλο" του ημικυκλίου , σε σημείο του , $T$ και συνεχίζοντας ξανασυναντά την διάμετρο στο $P$ . α) Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία να αποδίδει το μήκος τ...

Βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης :

Πάνω στις πλευρές , τριγώνου , θεωρώ σημεία

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Βρείτε το μήκος , ώστε : .

Η μαύρη γραμμή είναι μια ευθεία με κλίση . Η κόκκινη είναι η .

Παρατηρήστε πόσο εντυπωσιακά γρήγορα οι δύο γραμμές γίνονται σχεδόν "παράλληλες"

Στις πλευρές , τριγώνου , κινούνται σημεία αντίστοιχα . Γράφω τους κύκλους

διαμέτρων . Δείξτε ότι η κοινή χορδή των δύο κύκλων , διέρχεται από σταθερό σημείο .

Μια κάπως δυσκολότερη παραλλαγή : Να βρεθεί η κατάλληλη θέση του , ώστε : .

Μελετήστε πλήρως την συνάρτηση : . Ίσως χρειαστεί να γράψετε αρκετά ,

θα αποζημιωθείτε όμως συμμετέχοντας σε ένα θέμα που θα εξελιχθεί σε εξαιρετικά δημοφιλές !

Με τα σημεία τριχοτομήσαμε την κάθετη πλευρά , ορθογωνίου τριγώνου .

Πώς θα επιλέξετε σημείο της , ώστε αν , είναι οι τομές του με τα τμήματα

αντίστοιχα , να προκύψει ;

Δίνεται η συνάρτηση : $ f(x)=ln(\dfrac{x}{2})+lnx+ln(16x) , x>0$ α) Λύστε την εξίσωση : $ f(x)=3 .$ β) Δείξτε ότι η εξίσωση : $ f(x)=3x $, είναι αδύνατη στο $ \mathbb{R}.$ γ) Υπολογίστε την τιμή του θετικού $a$ , για την οποία η εξίσωση : $f(x)=ax $, έχει μία ακριβώς πραγματική λύση . δ) Αν η εξίσωσ...

Ίσοι κύκλοι.png Γιώργο , σίγουρα με κάποιες ασκήσεις μου σε έχω παιδέψει περισσότερο , αλλά κι εδώ τα πράγματα δεν είναι ρόδινα . Αρχικά με δύο Π.Θ. βρίσκουμε : $CD=3\sqrt{7} , CB=6\sqrt{2}$ . Επειδή : $BP^2=BS\cdot BT = 2\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}$ , παίρνω : $BP=4$ . Έτσι κατασκευάζουμε τον κόκκινο ...

Το τμήμα εφάπτεται στο ημικύκλιο . Βρείτε τις συντεταγμένες σου σημείου .

Για , θεωρούμε την συνάρτηση : .

α) Ποια είναι η μικρότερη τιμή του ακεραίου , για την οποία : ;

β) Είναι πάντα ο αριθμητής μεγαλύτερος του παρονομαστή ; Αν όχι πότε γίνονται ίσοι ;

γ) Είναι η συνάρτηση γνησίως αύξουσα ;

Μια διαφορετική προσέγγιση θα ήταν η εύρεση του γεωμετρικού τόπου του . Αυτός είναι

ο κύκλος με κέντρο το , που βλέπετε στο σχήμα ( εδώ μεταφέρεται τώρα το πρόβλημα ) .

Τότε είναι προφανές ότι :

Μέγιστο διαμέσου.png Οι χορδές $AB=6$ και $AC=4$ ενός κύκλου , είναι κάθετες . Σημείο $S$ κινείται στο ημικύκλιο που δεν περιέχει το $A$ . Αν $M$ είναι το μέσο της χορδής $BS$ , υπολογίστε το μέγιστο μήκος του τμήματος $AM$ . Σημείωση : Την ώρα που γράφω την άσκηση γίνεται μεγάλος σεισμός :roll:

Σταύρο , σωστή η απάντησή σου . Διατυπώνω τρεις παρατηρήσεις Α) : Αντί για την έκφραση " Δεν καταλαβαίνω γιατί σε αυτόν τον φάκελλο." , θα ήταν ίσως προτιμότερη η έκφραση : "Θα μπορούσε να είναι και σε άλλον φάκελο " . Β) Σε θέματα ακροτάτου νομίζω ότι το " εκπαιδευτικό συμβόλαιο" , προβλέπει όχι μό...

Η είναι μεταβλητή χορδή του κύκλου . Το είναι ένα σημείο κατακόρυφα πάνω

από το , τέτοιο ώστε : . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Δύο ημικύκλια κι ένας κύκλος.png Με Π.Θ. στα τρίγωνα $BKS , CKS$ παίρνω : $(R+x)^2+r^2=(R+r)^2$ και : $x^2+r^2=(R-r)^2$ . Η επίλυση του συστήματος δίνει : $r=\dfrac{R\sqrt{3}}{4}$ , οπότε η τομή των κύκλων $(S , r)$ και $(B, R+r)$ δίνει το σημείο $K$ . Είναι επίσης : $x=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}R$ , οπ...

Από σταθερό σημείο 9.png $NS$ είναι ο άξονας Βορρά - Νότου και τα $A , B$ συμμετρικά σημεία των δύο ημικυκλίων . Το $T$ κινείται στο τόξο $\overset{\frown}{ASB}$ . Οι διχοτόμοι των $\widehat{ANS} , \widehat{BNS}$ τέμνουν τις $AT , BT$ στα σημεία $C , D$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι το τμήμα $CD$ διέρχετ...