Για $x>0$ , η εξίσωση γράφεται : $2^x=2x$ , ή καλύτερα : $xln2-lnx-ln2=0$ . Αλλά η $f(x)=xln2-lnx-ln2$ , έχουσα παράγωγο την : $f'(x)=ln2-\dfrac{1}{x}$ , ήτις μηδενίζεται άπαξ στην θέση : $x=\dfrac{1}{ln2}$ , παρουσιάζει μόνο μία αλλαγή μονοτονίας . Η $f$ κατερχόμενη έχει την ρίζα $x=1$ και ανερχόμε...

Στην πλευρά , τετραγώνου , κινείται σημείο και έστω .

Φέρω . Υπολογίστε την . Αν , δείξτε ότι :

Αντικαταστήστε τα ονόματα των γωνιών και με τα μέτρα τους .

Δώστε και κάποια εξήγηση , αν νοιώθετε την ανάγκη ...

Ημέρα εφαπτομένης.png Πάνω στην μεσοκάθετη ακτίνα $OM$ της διαμέτρου $AOB$ ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο $S$ . Αν η $AS$ τέμνει το τόξο στο $T$ και : $AS=k\cdot ST , ( k \in \mathbb{N}- \{0,1\} $ , υπολογίστε την : $\tan\theta$ . Σημείωση : Η άσκηση εξετάζει κυρίως αλγεβρικές δεξιότητες , συνεπ...

Ορθογώνια πειράματα.png $\bigstar$ Το $AD$ , είναι το ύψος προς την υποτείνουσα $BC$ , ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ και το $E$ σημείο της υποτείνουσας , ώστε τα τμήματα : $BD,DE,EC$ να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά $1$ . Αν οι γωνίες $\widehat{BAD} $ και $\widehat{...

Στο πρώτο η απάντηση είναι σχεδόν προφανής :
Επειδή : , η μεγαλύτερη τιμή του

ισούται με και επιτυγχάνεται όταν το σημείο είναι το μέσο της πλευράς .

Σταθερότητα και τόπος.png Στην πλευρά $DC$ , ορθογωνίου $ABCD$ κινείται σημείο $S$ . Οι $AS,BS$ τέμνουν τις προεκτάσεις των πλευρών $BC,AD$ , στα σημεία $P,Q$ αντίστοιχα , ενώ οι $DP,CQ$ τέμνονται στο σημείο $T$ . α) Δείξτε ότι το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων $PDS$ και $QSC$ παραμένει σταθερό ...

τετράγωνο Βισβίκη.png Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τραπέζιο $KK'L'L$ , προκύπτει η εξίσωση : $(R+r)^2=(a-(R+r)^2+(R-r)^2$ ενώ το γεγονός ότι : $AS \perp KL$ , παράγει την : $AK^2-AL^2=R^2-r^2$ , $( AK=a\sqrt{2}-R\sqrt{2}$ , $AL^2=(a-r)^2+r^2$ . Κάνοντας πράξεις καταλήγω στις : $a^2-4aR+2ar+...

Δείξτε , με κάποιον λογικοφανή τρόπο , ότι :

Ισοσκελές τρίγωνο έχει βάση και ύψος . Το ύψος τέμνει

τον κύκλο διαμέτρου στο σημείο εξωτερικό του τριγώνου . Υπολογίστε το τμήμα .

Το παραλληλόγραμμο έχει πλευρές . Στην προέκταση της ,

θεωρούμε σημείο , ώστε : . Ονομάζω την τομή των .

Βρείτε κάποια συνθήκη , ώστε : . Δεν έχω ( και δεν γνωρίζω αν υπάρχει ) λύση !

Δείξτε ότι η συνάρτηση : ,

παρουσιάζει ένα τοπικό ελάχιστο και ένα τοπικό μέγιστο .

Μπορούμε άραγε να υπολογίσουμε το άθροισμα : ;

Τόπο στην Γεωμετρία.png Σημείο $S$ κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου $AOB$. Γράφω τον κύκλο $(S,O,B)$ και το εφαπτόμενο προς αυτόν τμήμα $AE$ . Οι $BS,OE$ τέμνονται στο σημείο $T$ . Γράφω και τον κύκλο : $(A, O , T)$ . α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του $T$ ... β) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρο...

Στο τρίγωνο είναι γνωστό το ύψος και το τμήμα . Ακόμη γνωρίζουμε

ότι το ορθόκεντρό του , είναι το μέσο του ύψους . Υπολογίστε το τμήμα .

Ανορθόδοξη ορθότητα.png Κύκλος $(K,r)$ , στον οποίο είναι εγγεγραμμένο ορθογώνιο $ABCD$ , εφάπτεται σε ευθεία $\varepsilon$ , μη παράλληλη προς τις πλευρές του ορθογωνίου . Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα $A,B$ , τέμνουν την $\varepsilon$ στα σημεία $A' ,B'$ . Η $DC$ τέμνει την $\varepsilon$ στο σημε...

Στο τρίγωνο , με : , το είναι ύψος και το

μέσο της . Υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου που ορίζουν τα σημεία .

Παλαιολόγος.png Πάνω στην ακτίνα $OA$ , τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , θεωρούμε σημείο $K$ , με : $AK>KO$ . Σχεδιάζω και το τεταρτοκύκλιο $A\overset{\frown}{KL}$ , το οποίο τέμνει το αρχικό στο σημείο $S$ . Ο κύκλος $(K,KO)$ τέμνει το μικρό τεταρτοκύκλιο στο $T$ . Αν τα $O,T,S$ είναι συνε...

Κύκλοι σε ισόπλευρο.png Στην πλευρά $AC$ , ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε σημείο $K$ , ώστε : $AK>KC$ . Ο κύκλος $(K,KA)$ τέμνει την πλευρά $AB$ στο σημείο $S$ , ενώ ο κύκλος $(K,KC)$ τέμνει τις $AC , BC$ στα σημεία $P, Q$ αντίστοιχα . α) Βρείτε την θέση του $K$ για την οποία η ...

Ώρα συνημιτόνου.png Στην πλευρά $BC=a$ , τετραγώνου $ABCD$ θεωρώ σημείο $E$ , ώστε : $BE=\dfrac{a}{3}$ . Ο κύκλος $(D,DE)$ τέμνει την $AB$ στο $Z$ και την προέκταση της $BA$ στο $H$ , ενώ οι $DZ,HE$ τέμνονται στο $S$ . Η κάθετη της $HE$ στο $S$ , τέμνει την $DE$ στο σημείο $T$ . Υπολογίστε το : $\c...

Μέγιστο γινόμενο.png Ευθεία κάθετη προς τον άξονα $x'x$ , τον τέμνει στο σημείο $T$ και τις ευθείες $y=-\dfrac{3}{10}x+3 , y=\dfrac{1}{2}x+3$ στα σημεία $P,Q$ αντίστοιχα , ώστε αυτά να βρίσκονται στο πρώτο τεταρτημόριο . Βρείτε το : $(TP\cdot PQ)_{max}$ . Γρηγορείτε , όλα πρέπει να γίνουν πριν τη γ...