Γωνία υποτείνουσας διαμέσου.png Οι πλευρές $AB,AC$ , ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , έχουν σταθερό άθροισμα $AB+AC=a$ . Ενδιαφερόμαστε για την γωνία $\theta$ , την οποία σχηματίζει η υποτείνουσα $BC$ με τη διάμεσο $BM$ . α) Για ποια θέση του $B$ είναι : $\tan\theta=\dfrac{1}{3}$ ... β) Υπ...

ισοσκελές σε ισόπλευρο.png Προεκτείνω την πλευρά $AC$ του ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ κατά τμήμα $CS=x$ . Στην προέκταση της $SB$ θεωρώ σημείο $T$ , τέτοιο ώστε : $AT=AS$ . Δημιουργήστε συνάρτηση η οποία να υπολογίζει τον λόγο $\dfrac{(ATB)}{(BCS)}$ και βρείτε το μέγιστο αυτού του λόγου .

Το τμήμα εφάπτεται του ημικυκλίου διαμέτρου και το είναι το μέσο

του . Οι ευθείες τέμνονται στο . Υπολογίστε τον λόγο : .

Αιρετικό 3ο.png Σημείο $T(t,0)$ κινείται στον θετικό ημιάξονα $Ox$ . Το $M$ είναι το μέσο του $OB$ , ενώ το $S$ είναι η τομή των $AT$ και $OM$ . α) Υπολογίστε τις συντεταγμένες του σημείου $S$ . β) Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του $S$ είναι η καμπύλη με εξίσωση : $f(x)=\dfrac{2x}{x+1} , x \geq 0$...

Διπλάσια γωνία.png Ευθεία διέρχεται από την κορυφή $A$ ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ και είναι παράλληλη προς την βάση $BC$ . Επί της ευθείας κινείται σημείο $S$ . Το $M$ είναι το μέσο του $CS$ . Τα τμήματα $BS , AM$ τέμνονται στο σημείο $P$ . Δείξτε ότι : $\widehat{SPM}=2\widehat{SBC}$ .

Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου , βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης :

. Προτιμητέες λύσεις που δεν χρησιμοποιούν παραγώγους .

Μέγιστο τριγωνομετρικό άθροισμα.png Είναι φυσικά γνωστό ότι $\sin\theta+\cos\theta\leq \sqrt{2}$ . Εδώ όμως ενδιαφερόμαστε για το άθροισμα $\sin\theta+\cos\phi$ στο τετράγωνο του σχήματος . Το $S$ είναι σημείο στην προέκταση της $AB$ . Δείξτε ότι το $max(\sin\theta+\cos\phi)$ , ξεπερνά το $\sqrt{2}...

Αντίστροφος μπελάς.png Σε σημείο $T$ της πλευράς $OA'$ , του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $OAA'$ , τέτοιο ώστε : $OT=\dfrac{3}{5}OA'$ , φέρουμε κάθετη η οποία τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο $S$ . Βρείτε το λόγο : $\dfrac{SA'}{SA}$ . ( Η ορθή γωνία του τριγώνου είναι φυσικά η $\hat{O}$ )

Ανιαρή με ενδιαφέρον.png Οι ημιευθείες $Ax , By$ είναι ομόρροπες και κάθετες σε τμήμα $AB=d$ . Σημείο $S$ κινείται στην $Ax$ , έτσι ώστε : $AS<AB$ . Η μεσοκάθετη του $BS$ τέμνει τα $AB , By$ στα σημεία $P,T$ αντίστοιχα . Υπολογίστε το ελάχιστο του $PT$ . Υπάρχει άραγε λύση χωρίς χρήση συντεταγμένων ;

Ας δούμε πως κτίστηκε η άσκηση : Για τις κοίλες συναρτήσεις ισχύει : $\displaystyle \dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx)<f(\dfrac{a+b}{2})$ . Εν προκειμένω για την : $f(x)=lnx$ και το διάστημα : $[k,k+1] , k>0$ , παίρνουμε : $\displaystyle\int_{k}^{k+1}lnxdx<ln(k+\dfrac{1}{2})$ , δηλαδή : $(k+1)ln(k+1)...

Ένας μαθητής πρότεινε την κατασκευή του σχήματος . Έχει δίκιο ;

Να θυμίσω ότι το ευθύ , είναι άσκηση του σχολικού βιβλίου Προσανατολισμού ,

όπου και προτείνεται απλή λύση με χρήση διανυσμάτων .

Έξω από ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε σημείο , έτσι οι

να τέμνουν το τόξο σε σημεία αντίστοιχα . Η παράλληλη από το προς την

τέμνει την ευθεία στο σημείο . Υπολογίστε τη διαφορά .

Επανέρχομαι με μία μάλλον ασθενή υπόδειξη : Εφαρμόστε την ανισότητα

- έχει συζητηθεί τελευταία στο - για κατάλληλη συνάρτηση , σε κατάλληλο διάστημα .

Πώς θα εντοπίσουμε το σημείο , ώστε : .

Ο Απολλώνιος βρίσκεται προ πολλού στην Β' Εθνική

Το δεκαπενθήμερο της "χαλάρωσης" ολοκληρώθηκε .

Αν , λύστε - στο φυσικά - την εξίσωση :

Ορθογώνιες αγωνίες.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι $AB=12 ,AC=5$ . Σημείο $S$ κινείται στην $AB$ . Η κάθετη της $CS$ στο $S$ , τέμνει την υποτείνουσα $BC$ στο σημείο $T$ . Υπολογίστε : α) το μέγιστο του ύψους $TD$ , του τριγώνου $TSB$ ... β) το μέγιστο εμβαδόν του $TSB$ .

Τα τετράπλευρα είναι τετράγωνα με πλευρές αντίστοιχα .

Η προέκταση της τέμνει την στο . α) Δείξτε ότι τα σημεία

είναι συνευθειακά . β) Υπολογίστε τους λόγους : .

Σε τεταρτοκύκλιο , ακτίνας , φέραμε τμήμα

και από το μέσο του τόξου , φέραμε επίσης .

Υπολογίστε το συναρτήσει των .