Υπερπέραν.png $\bigstar$ Σε τετράγωνο $ABCD$ , πλευράς $ 2 $ , προεκτείνω την $AB$ κατά τμήμα : $BT=4$ . Δείξτε ότι υπάρχει σημείο $S$ στην κάθετη της $AT$ στο $T$ , έτσι ώστε : $\widehat{ASB}=\widehat{ASC}$ . Αν $ST=h$ δείξτε ότι : $3<h<4$ και συγκρίνατε το μήκος $h$ με τον αριθμό $\sqrt{11}$ .

Περίκυκλος ισοπλεύρου.png Προεκτείνω την μήκους $a$ , πλευρά $BA$ ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , κατά τμήμα : $AP=\dfrac{a}{2} .$ Προεκτείνω επίσης την $BC$ , κατά τμήμα $CT=2a$ και ονομάζω $S$ την τομή των $AT , CP$ . α) Δείξτε ότι το $S$ βρίσκεται στον περίκυκλο του $\displaystyle ABC$...

Ωραίοι και οι δύο . Αλήθεια είστε συγγενείς ; Για το προαιρετικό : Αξιοποιώντας τον τύπο

για την , τον γνωστό για την και τον τύπο της , θα βρούμε -

με πολλές πράξεις - ότι :

Στο τρίγωνο , φέραμε το ύψος , την διχοτόμο και την διάμεσο .

Αν , και , υπολογίστε το μήκος της .

Ισχυρή υπόδειξη : Μην ασχολείστε

Η μεσοκάθετος της διχοτόμου , τριγώνου , τέμνει την προέκταση της

στο σημείο . Δείξτε ότι το είναι εφαπτόμενο τμήμα του περικύκλου του τριγώνου .

Υπολογίστε το

Απομάκρυνση.png Τμήμα $AB$ , μήκους $4$ , είναι μεσοκάθετο σε τμήμα $CD$ , μήκους επίσης $4$ . Οι $AD,CB$ τέμνονται στο σημείο $S$ . Βρείτε τύπο , ο οποίος να υπολογίζει την απόσταση του $S$ από το μέσο $M$ του $CD$ και εντοπίστε τη θέση του $A$ , για την οποία είναι : $SM=5$ .

Εφαπτόμενες.png $\bigstar$ Με την ημιευθεία $O\zeta$ , χωρίσαμε την ορθή γωνία $\widehat{xOy}$ σε δύο γωνίες $\theta$ και $\phi$ . α) Βρείτε τη μικρότερη δυνατή τιμή του αθροίσματος : $\tan\theta+\tan\phi$ β) Για ποια τιμή της $\theta$ είναι : $\tan\theta+\tan\phi=4$ ; γ) Προαιρετικό : Είναι γνωστό...

Στην πλευρά , γωνίας , βρίσκεται σημείο . Επιλέξτε σημείο της πλευράς ,

ώστε αν το τμήμα τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας στο , να είναι : .

Τριπλοκίνητη σταθερότητα.png Στην ακτίνα $OB$ , ημικυκλίου διαμέτρου $AB$ , θεωρώ τυχαίο σημείο $T$ . Πάνω στην κάθετη προς τη διάμετρο στο $T$ και εκτός του ημικυκλίου , θεωρώ τυχαίο σημείο $S$ . Ονομάζω $P$ την τομή του τόξου με την $BS$ και στη μεσοκάθετη του $SP$ και μέσα στο ημικύκλιο , θεωρώ ...

_Έλλειψη_.png Ας θεωρήσουμε ως άκρα τα σημεία $A(-1,0) , B(1,0)$ και το σταθερό γινόμενο $8$ . Τότε : $\sqrt{(x+1)^2+y^2}\sqrt{(x-1)^2+y^2}=8$ ή : $((x+1)^2+y^2)((x-1)^2+y^2)=64$ . Το λογισμικό δίνει ως λύση , ένα σχήμα σε στυλ έλλειψης , με εξίσωση : $x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2+2y^2=63$ . "Μαντεύοντας" ...

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης :

Αν είναι δυνατόν , χωρίς χρήση παραγώγων παρακαλώ

Πειραματική Γεωμετρία.png Η χορδή $AB$ , κύκλου $(O)$ προεκτείνεται κατά τμήματα $AP=BQ$ . Στο αντιδιαμετρικό $A'$ του $A$ , φέρω την εφαπτομένη επί της οποίας αναζητώ σημείο $T$ , ώστε το μέσο$M$ του $PT$ να είναι σημείο του κύκλου . Μπορείτε να βρείτε το $ST$ ; Δεκτή κάθε προσέγγιση ... Αν η κάθε...

Γιώργο Ρίζο : Δυο λόγια δεν σημαίνει δυο λέξεις

Από την άλλη η λύση του Γιώργου Βισβίκη , χρησιμοποιεί παραπανίσια λόγια

Αν σας ζητηθεί να δείξετε ότι : , θα απαντήσετε : "Προφανές" !

Για να δείξετε ότι : , θα απαιτηθεί να γράψετε δυό λόγια

Το τέταρτο τμήμα.png Το ύψος $AD$ χωρίζει τη βάση $BC$ τριγώνου $\displaystyle ABC$ , σε τμήματα με λόγο : $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{2}$ . Στην προέκταση της $CB$ , θεωρούμε σημείο $E$ , ώστε $BE=BC$ και γράφουμε τον κύκλο $(A , D , E )$ , τον οποίο η προέκταση της $AB$ τέμνει στο σημείο $S$ . α) Δ...

Κατά πάσαν πιθανότητα τραπέζιο.png Από το μέσο $M$ της υποτείνουσας $BC$ , ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , φέρω κάθετες προς τις $AC,AB$ , επί των οποίων εξωτερικά του τριγώνου θεωρώ σημεία $D,E$ , ώστε τα $D,A,E$ να είναι συνευθειακά . α) Να δειχθεί ότι : $CD \parallel BE$ . β) Αν επιπλέ...

"Μαντεύω" ότι πρόκειται για τη συνάρτηση :

Μέγιστο ύψος.png $\bigstar$Στην πλευρά $AB=a$ του τετραγώνου $ABCD$ , κινείται σημείο $E$ και έστω : $AE=x$ . Θεωρώ σημείο $Z$ της $BC$ , ώστε : $ZE \perp DE$ . α) Βρείτε συνάρτηση $f(x)$ , η οποία να υπολογίζει το μήκος του $BZ$ συναρτήσει του $x$ και υπολογίστε το μέγιστο μήκος του $BZ$ . β) Δείξ...

Φέροντας είναι : ...