Επιδίωξη ομοιότητας.png Στις πλευρές $AC,BC$ , τριγώνου $\displaystyle ABC$ εντοπίστε σημεία $P,S$ , τέτοια ώστε το τμήμα $PS$ να μην είναι παράλληλο προς την $AB$ , το τρίγωνο όμως $SPC$ , να είναι όμοιο με το $\displaystyle ABC$ και αν σχεδιάσουμε το παραλληλόγραμμο $SCPT$ , η κορυφή του $T$ να ε...

sequel.png Στην προέκταση της βάσης του ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , εντοπίστε σημείο $L$ , ώστε , αν το τμήμα που συνδέει το $L$ με το μέσο $M$ της $AB$ τμήσει την $AC$ στο $L$ να προκύψει : $(AMK)+(KCL)=(ABC)$ . Φυσικά πρόκειται για την "ενοχλητική" συνέχεια αυτής .

Τμήμα και λόγος.png Το ημικύκλιο διαμέτρου $AOB=2R$ τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου $CKD=2r , r<R$ , στο σημείο $N$ . Η κοινή εξωτερική εφαπτομένη των δύο τόξων τέμνει τη διακεντρική τους ευθεία στο σημείο $T$ . Φέρω : $NS \perp NT$ . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{OS}{SK}$ Αν $OK=d$ υπολογίστε το τμή...

Ουρανοκατέβατο μέγιστο.png Το σημείο $B$ είναι σταθερό $ \left{( }$το $(0,4)$$ \riht{ )}$ , ενώ το $A$ κινείται στον ημιάξονα $Ox$ . Η ευθεία $x=-1$ τέμνει τον $x'x$ στο $T$ και τη διχοτόμο της $\widehat{BAO}$ στο $S$ . Βρείτε τη μέγιστη τιμή του $TS$ και την τιμή του $a$ για την οποία επιτυγχάνετα...

Κύκλοι και λόγοι.png Με τα σημεία $O,Q$ τριχοτομήσαμε το τμήμα $AB$ . Γράψαμε τον κύκλο $(O,OA)$ , προς τον οποίο φέραμε τα εφαπτόμενα τμήματα $BS,BT$ . Γράψαμε και το ημικύκλιο διαμέτρου $BT$ , το οποίο τέμνει τον κύκλο στο σημείο $L$ και την $BS$ στο σημείο $N$ . α) Η ευθεία $SL$ τέμνει την $BT$ ...

Στο ημικύκλιο του σχήματος , υπολογίστε το άγνωστο τμήμα .

george visvikis έγραψε: ↑

Δευ Σεπ 16, 2019 4:39 pm

Δείτε και το Κλασικό τετράγωνο

Πράγματι το θέμα με τα τρία μήκη είναι "πολυπαιγμένο" . Αλλά το να βγαίνει το ημίτονο
, αποτελεί πρόκληση για έναν ανήσυχο θεματοδότη , τι λέτε ;

Στο τετράγωνο του σχήματος υπολογίστε το

Το σημείο ανήκει στην πλευρά , τετραγώνου , ενώ το ανήκει

στην προέκταση της . Η τέμνει την στο , ενώ η τέμνει την

στο . Αν το είναι το μέσο της , βρείτε τη σχέση μεταξύ των .

Προβληματική διαγώνιος.png Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι : $AB=25 , AC=35 , BC=40$ . Σημείο $S$ κινείται επί της $BC$ . Σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο $APST$ . α) Αν $BS=16$ , υπολογίστε την διαγώνιο $PT$ . β) Προσπαθήστε ( εν ανάγκη και με χρήση λογισμικού ) να βρείτε το ελάχιστο του τμήμ...

_Μεγάλο_ μέγιστο.png Η κάθετη πλευρά $AC=b$ , του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ είναι σταθερή , αντίθετα με την $AB$ , η οποία μεταβάλλεται και την οποία προεκτείνω κατά ίσο τμήμα $BT$ . Από το ίχνος του ύψους $AD$ φέρω $DS \perp CT$ . Ζητάμε τη μέγιστη τιμή του τμήματος $DS$ .

Γεωμετρικός μέσος.png Ευθεία διερχόμενη από σημείο $S$ της προέκτασης της πλευράς $AB$ , παραλληλογράμμου $ABCD$ και την κορυφή $D$ , τέμνει την διαγώνιο $AC$ στο σημείο $T$ και την πλευρά $BC$ στο σημείο $P$ . Δείξτε ότι : $TD^2=TP\cdot TS$ ................. $\bigstar$ ( Εικοσιτετράωρο , μόνο για ...

Ομοκυκλικά και τόπος.png Το σημείο $S$ κινείται στο εσωτερικό σταθερού τμήματος $AB$ . Με διαμέτρους $AS,SB$ γράφουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο ημικύκλια και σχεδιάζουμε το κοινό εφαπτόμενο τμήμα τους $PT$ . Α) Δείξτε ότι τα σημεία $A,P,T,B$ είναι ομοκυκλικά ... Β) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου $M...

Το είναι σημείο του μικρού τόξου , του περικύκλου του ισοπλεύρου τριγώνου .

Η τέμνει την στο σημείο . Αν , υπολογίστε το τμήμα .

Η διχοτόμος της γωνίας , τριγώνου , τέμνει την εξωτερική διχοτόμο της

στο σημείο . Φέρουμε τμήμα : . Υπολογίστε το τμήμα .

Συρρίκνωση με δίπλωση.png Το ορθογώνιο $ABCD$ , διαστάσεων $a\times b$ , διπλώθηκε κατά μήκος τμήματος $ST$ το οποίο σχηματίζει γωνία $135^0$ με την $AS$ . Αν το προκύπτον πολύγωνο $ASTCBE$ έχει εμβαδόν ίσο με τα $\dfrac{5}{6}$ του αρχικού , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{b}{a}$ . Φυσικά το $a$ ισού...

Από το φέραμε τα εφαπτόμενα τμήματα προς τον κύκλο .

Υπολογίστε την απόσταση του σημείου από την χορδή .

Γιώργο , καλημέρα ! Η άσκηση είναι από την $XV Sharygin Geometrical Olympiad $. Παρουσιάζονται δύο λύσεις . Η πρώτη αξιοποιεί το Θεώρημα Newton για περιγράψιμα τετράπλευρα , για το οποίο μπορεί κανείς να πάρει πληροφορίες από εδώ . Ευκαιρία να ξαναθυμηθούμε τον μεγάλο Κώστα Βήττα ! Η άλλη είναι μάλλ...

Η μπλε ευθεία εφάπτεται της κόκκινης καμπύλης . Βρείτε την τεταγμένη του σημείου .

Απαγορεύεται η χρήση λογισμικού , πρέπει να δείξετε πως βρήκατε την παράγωγο !

Μέγιστο και ελάχιστο ταυτόχρονα.png Ο κύκλος έχει εξίσωση : $x^2+(y-r)^2=r^2$ και η παραβολή : $y=ax^2$ . Βρείτε τη μέγιστη τιμή του $a$ , για την οποία οι δύο καμπύλες έχουν ένα μόνο κοινό σημείο . Στην περίπτωση αυτή : Ευθεία διερχόμενη από το κέντρο $K$ του κύκλου , τέμνει την παραβολή στα σημεί...