Το σημείο είναι το μέσο της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου και το ,

είναι σημείο στην προέκταση της , τέτοιο ώστε : . Δείξτε ότι : .

Το εφάπτεται στους δύο κύκλους . Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου .

Άλλοι τίτλοι της άσκησης : Ένα κλάσμα και μια ρίζα ή Ακαλαίσθητοι αριθμοί .

Δυσανεξία στις πράξεις.png Στην προέκταση της διαμέτρου $AT=6$ ενός ημικυκλίου θεωρούμε σημείο $C$ , ώστε : $TC=x$ . Η κάθετη της διαμέτρου στο $A$ και η εφαπτομένη $CS$ προς το τόξο , τέμνονται στο σημείο $B$ . α) Υπολογίστε την πλευρά $AB$ συναρτήσει του $x$ . Εφαρμογή : $x=2$ β) Αν $M$ είναι το ...

Στο τετράπλευρο είναι γνωστές οι πλευρές και η διαγώνιος . Το σημείο

είναι η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου . Υπολογίστε - με όποια σειρά

θέλετε - τα μήκη , του τμήματος και της διαγωνίου , ( δεν φαίνεται στο σχήμα ) .

Χωρίσαμε τις πλευρές τριγώνου - μεταβλητής βάσης - σε τμήματα :

. Η προεκτάσεις των , τέμνονται στο . Βρείτε το μέγιστο του .

Μισή χορδή.png $\bigstar$ Στον κύκλο $(O,r)$ , "νοτίως" του κέντρου βρίσκεται χορδή $AB=a$ . Επιθυμούμε να σχεδιάσουμε χορδή $ST\parallel AB$ , "βορείως" του κέντρου , η οποία να έχει το μισό μήκος . α) Σχεδιάστε την μικρή χορδή , κάνοντας τους κατάλληλους υπολογισμούς . β) Σχεδιάστε την μικρή χορδ...

Ας γίνω σαφέστερος : Οι αναγραφόμενες σχέσεις , ισχύουν αν : $a=5 , b=6 , c=4$ . Όταν θα αλλάξουμε ("πειράξουμε") το μήκος της $a$ , θα παύσει να ισχύει η μπλε σχέση "πάνω" και η μαύρη κάτω . Αντίθετα για κατάλληλο $a$ η τέταρτη σχέση θα μετατραπεί σε ισότητα . Διόρθωση : η πάνω μαύρη σχέση φυσικά ε...

Γιώργο , προφανώς αν πειράξουμε την ( μόνο ) , όλα τα υπόλοιπα πάνε περίπατο

Πάντα προς τα πάνω.png Στο τρίγωνο $ABC$ , βλέπετε τις δύο αναλογίες πάνω ( ελάτε που δεν σας αρέσουν :lol: ) Κάτω βλέπουμε κάτι άλλο : Αν και η πλευρά $a$ είναι το ημιάθροισμα των $b,c$ , δεν συμβαίνει το ίδιο με τις αντίστοιχες γωνίες . "Πειράξτε" , λοιπόν , μόνον την πλευρά $a$ , ώστε η κόκκινη ...

Το τμήμα είναι σταθερό . Φέρουμε τα προς τα "κάτω" κάθετα προς το και μεταβλητού

μήκους , τμήματα και , με : . Αναζητούμε τον γεωμετρικό τόπο

του σημείου τομής , των τμημάτων .

Από την διχοτόμηση στην τριχοτόμηση.png $\bigstar$ Θέλοντας να τριχοτομήσουμε την υποτείνουσα $BC$ του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $ABC$ , διχοτομούμε με τα σημεία $M , N$ τις κάθετες πλευρές και φέροντας από τα $M,A$ κάθετες προς την $BN$ , ισχυριζόμαστε ότι τα προκύπτοντα στην υποτείνουσα ...

Γιώργο , στην περίπτωσή σου το αποτέλεσμα είναι $6$ , όντως εντυπωσιακό αλλά "προβλέψιμο" λόγω της πυθαγόρειας τριάδας . Το $3\sqrt{15}\phi$ , φυσικά δεν εντυπωσιάζει κανέναν . Αν όμως συνεχίσουμε , από εκεί που άλλαξε δρόμο ο Μιχάλης , ιδού : $\dfrac {1}{4} (15\sqrt {12} + 6 \sqrt {15})=\dfrac{1}{2...

Στο ορθογώνιο , η πλευρά και η διαγώνιος έχουν άθροισμα .

α) Μπορεί το εμβαδόν του ορθογωνίου να γίνει ;

β) Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου .

Μιχάλη , συμφωνώ σε όλα όσα γράφεις , εκτός από ένα σημείο : Όταν η εκφώνηση ζητά αποτέλεσμα ,

όσο περιληπτικά και να γράψει ο λύτης την λύση του , ένα δεν πρέπει να παραλείψει : Το αποτέλεσμα ...

Χρυσάνθεμο σε ομόκεντρους.png Η απόσταση του σημείου $S$ από το κέντρο των κύκλων $(O,r)$ και $(O ,R) , (R>r)$ , είναι $d , (d>R)$ . Φέραμε το "πάνω" εφαπτόμενο τμήμα $SP$ στον μεγάλο κύκλο και το "κάτω" $ST$ , στον μικρό . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου $SPT$ και εντυπωσιαστείτε με το αποτέλεσ...

Μιχάλη έχω την αίσθηση ότι δεν εξηγήσει επαρκώς αυτό στο οποίο επιμένω . Ας δώσω λοιπόν κι εγώ ένα παράδειγμα : "Να βρεθεί ο θετικός αριθμός στον οποίο προσθέτοντας $1$ , προκύπτει το τετράγωνό του . Απάντηση 1 Έστω $x$ ο ζητούμενος αριθμός . Τότε : $x^2=x+1\Leftrightarrow x^2-x-1=0$ . Η διακρίνουσα...

Είναι : . Άρα : , αφού με διχοτόμο της ,

την , μέσο της και χειρισμούς ... Απολλωνιακούς ( βλέπε σχήμα) : .

Μιχάλη , με κάθε εκτίμηση θα μου επιτρέψεις να το ξαναπώ : Όταν μια άσκηση ζητά αποτέλεσμα , γράψε τουλάχιστον το αποτέλεσμα . Πίστεψέ με , αυτό το "και λοιπά " είναι ενοχλητικό ... Ας κλείσω με ένα παράδειγμα: Αν σε μία άσκηση έφτανα στο σημείο η απάντηση να είναι, λέω τώρα, $x=17 \times 32$, κανε...

Εικάζω ότι η μέγιστη περίμετρος επιτυγχάνεται όταν το $S$ είναι έγκεντρο του τριγώνου. ] Δείτε μια παρόμοια συζήτηση - αλλά για το μέγιστο εμβαδόν - εδώ . Στην μεγιστοποίηση αυτή , μάλλον χωρίς αμφιβολία , το $O$ είναι το ορθόκεντρο ! Γιώργο Μπαλόγλου , ευχαριστώ για τις επίπονες αποστολές που αναλ...

Μανώλη :clap2: :clap2: Παναιτωλικός , ΟΦΗ , ή κάτι άλλο ; Σημ. Παρατηρώ ότι σε προβλήματα ακροτάτων , καταφεύγεις στην παράγωγο , αν και μαθητής μικρότερης τάξης και μπράβο . Είναι το ισχυρό εργαλείο , να ξέρεις όμως ότι οι θεματοδότες λατρεύουν τις λύσεις με πιο απλά μέσα . Πως , ας πούμε , θα μπορ...