Απαίτηση για ισότητα.png Οι πλευρές ορθής γωνίας με κορυφή το σημείο $A(0,4)$ , τέμνουν τις ευθείες : $y=0$ και $y=\dfrac{x}{4}$ στα σημεία $B,C,D,E$ , όπως φαίνεται στο σχήμα . Βρείτε εκείνη τη θέση της γωνίας , για την οποία τα εμβαδά των τριγώνων $BDO$ και $CEO$ γίνονται ίσα . Άλλος τρόπος ;

Σημείο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου και είναι η προβολή του στη διάμετρο .

Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του γινομένου : ... ώρες , μόνο για μαθητές .

Σε κύκλο θεωρήσαμε χορδή . Σημείο κινείται στον κύκλο .

Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου . Κυνηγήστε την "άλλη" λύση ...

Πρόθεση του θεματοδότη ήταν να ζητήσει την εύρεση του μεγίστου , στην περίπτωση

που , οπότε το θέμα καθίσταται αρκετά δυσκολότερο ...

Το τετράπλευρο του σχήματος είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο , ακτίνας .

Η διαγώνιος διέρχεται από το σημείο , ενώ η γωνία είναι ορθή .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου .

Ειδικό ορθογώνιο.png Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι τύπου : "$90^0-60^0-30^0$" . Γράφουμε τον κύκλο $(A,AB)$ , ο οποίος τέμνει την $BC$ στο $T$ και την $AC$ στο $S$ . Το σημείο $E$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου . α) Δείξτε ότι : $AE=ET=TS$ ... β) Δείξτε ότι : $ET\perp TS$ γ) Υπολογίστε το τμ...

Το εσωτερικό τεταρτοκύκλιο έχει ακτίνα , ενώ το εξωτερικό . Στην προέκταση

της εντοπίστε σημείο , τέτοιο ώστε , αν το εφαπτόμενο προς το μικρό

ημικύκλιο τμήμα , τέμνει το μεγάλο στο σημείο , να είναι : .

Δύο κύκλοι και , με , τέμνονται στα σημεία .

Σημείο κινείται στον "ανατολικότερα" της κοινής χορδής , ώστε η

να τέμνει τον σε σημείο . Δείξτε ότι ο λόγος παραμένει σταθερός .

Το τρίγωνο είναι ισοσκελές με , ενώ το είναι

ορθογώνιο και ισοσκελές . Τα σημεία είναι τα μέσα των αντίστοιχα . Η

τέμνει την στο και την στο . Βρείτε τον τριπλό λόγο :

Το σημείο είναι το έγκεντρο του ορθογωνίου τριγώνου , το είναι

το μέσο της υποτείνουσας και τα σημεία των αντίστοιχα ,

ώστε : . Δείξτε ότι .

Διπλή ελαχιστοποίηση.png Σημείο $S$ το οποίο κινείται επί της ευθείας με εξίσωση : $y=\dfrac{1}{2}x+2$ συνδέεται με τα σημεία $O(0,0)$ και $A(8,0)$ . Α) Για ποια θέση του $S$ ελαχιστοποιείται το $SO+SA$ ; Β) Για ποια θέση του $S$ ελαχιστοποιείται το $SO^2+SA^2$ ; Το θέμα θεωρείται "πολυπαιγμένο" , ...

Το είναι το μέσο της ακτίνας κύκλου και το σημείο του .

Η ευθεία τέμνει την εφαπτομένη του κύκλου στο , σε σημείο ,

ενώ η εφαπτομένη στο την τέμνει στο . Ψάχνουμε για το ...

Ο τρίτος κύκλος.png Με κέντρο σημείο $A$ , κύκλου $(O,R)$ , γράφω τον κύκλο $(A,r ) ,(r<R)$ , ο οποίος τέμνει τον $(O)$ στα σημεία $B,C$ και την ακτίνα $OB$ στο $S$ . Δείξτε ότι ο κύκλος ο οποίος ορίζεται από τα σημεία $A,S,O$ , διέρχεται και από το $C$ και εν συνεχεία υπολογίστε την ακτίνα του .

Καινούριος λόγος.png Οι ευθείες $\varepsilon_{A} , \varepsilon_{B} $ εφάπτονται σε δύο αντιδιαμετρικά σημεία $A,B$ του κύκλου $(K,R)$ . Από σημείο $S $ της $\varepsilon_{B} $ , φέρω τη διακεντρική ευθεία και την (άλλη) εφαπτομένη , οι οποίες τέμνουν την $\varepsilon_{A} $ στα σημεία $P,T$ . Βρείτε ...

Αξιόλογος κύκλος.png Δύο κύκλοι $(O,R)$ και $(K,r)$ με διάκεντρο $OK=d$ , τέμνονται στα σημεία $A,B$ . Από σημείο $S$ το οποίο κινείται στον $(K)$ , φέρουμε τις $SA,SB$ , οι οποίες ξανατέμνουν τον $(O)$ στα σημεία $P,Q$ αντίστοιχα . Σχεδιάζουμε τον κύκλο που διέρχεται από τα $P,Q,S$ . α) Δείξτε η α...

Τόπος σύγκλισης.png Σημείο $P$ κινείται στη διάμετρο $AOB$ ενός ημικυκλίου . Υψώνω το κάθετο προς την $AB$ , τμήμα $PT$ και ονομάζω $M$ το μέσο του . Δείξτε ότι η $AM$ , η διχοτόμος της $\widehat{TOB}$ και η εφαπτομένη του τόξου στο $T$ συντρέχουν σε σημείο $S$ , του οποίου βρείτε τον γ. τόπο .

Μικρότερο δεν γίνεται.png Το $M$ είναι το μέσο της ακτίνας $OA=4$ του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ . Τα σημεία $S,T$ κινούνται επί του τόξου και της $OB$ αντίστοιχα , έτσι ώστε $\widehat{SMT}=90^0$ . Εξετάστε αν αληθεύει ο ισχυρισμός ότι το $(MST)$ δεν μπορεί να γίνει λιγότερο από $3 \tau...

Η μεσοκάθετος της ακτίνας , ημικυκλίου διαμέτρου , τέμνει το τόξο στο σημείο .

Μπορούμε άραγε να βρούμε σημείο της διαμέτρου , ώστε αν το σημείο είναι το μέσο

του τμήματος , η να είναι η διχοτόμος της ;

Δημιουργία ισοσκελούς.png Ο μπλε κύκλος εφάπτεται των πλευρών της γωνίας $\hat{O}$ , με τα δεδομένα του σχήματος . Υπολογίστε την ακτίνα κύκλου $(L)$ επίσης εφαπτόμενου των πλευρών της $\hat{O}$ , ώστε το τμήμα $TS$ της κοινής εσωτερικής εφαπτομένης των δύο κύκλων του οποίου τα άκρα βρίσκονται στις...

Σημείο κινείται στη βάση ισοπλεύρου τριγώνου . Συνδέω την

κορυφή με το μέσο του τμήματος και έστω σημείο της ,

ώστε : . Για ποια θέση του ελαχιστοποιείται το ;