Υπολογίστε την απόσταση του σημείου του κύκλου του σχήματος , από την χορδή .

Προεκτείνοντας το σκέλος , ισοσκελούς τριγώνου , κατά τμήμα ,

προκύπτει το ορθογώνιο τρίγωνο . Υπολογίστε την : , μέχρι και τις .

Η διαγώνιος , του ρόμβου είναι σταθερή , αντίθετα με την , η οποία μεταβάλλεται .

Φέρω : . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του σχηματιζόμενου τριγώνου .

Σε κύκλο ακτίνας εγγράψτε τρίγωνο , με ,

το οποίο να έχει το μέγιστο εμβαδόν .

Θέση για ελάχιστο.png Θα χρησιμοποιήσουμε ως χαρακτηριστικά του τριγώνου το : $AB=AC=b$ και το : $AD=h$ . Είναι απλό να δούμε ότι για οποιαδήποτε θέση του $P'$ , υπάρχει η αντίστοιχη θέση του $P$ πάνω στο ύψος $AD$ που δίνει το ίδιο $MN$ και το ελάχιστο $PB+PC$ . Έστω : $AP=AM=x$ Η ζητούμενη ποσότη...

Για τον - πλευράς - ρόμβο , γνωρίζουμε ότι ο λόγος των αποστάσεων της κορυφής ,

από τη διαγώνιο και την πλευρά , ισούται με : . Υπολογίστε το τμήμα .

Πρόκειται για ένα από τα δημοφιλέστερα θέματα του . Δείτε π.χ. εδώ

Στο τρίγωνο του σχήματος εξηγήστε γιατί :

Επιπλέον υπολογίστε το τμήμα συναρτήσει της πλευράς .

Πολύπλοκη συνθήκη.png Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ με $AB<AC$ , φέραμε τη διάμεσο $AM$ τη διχοτόμο $AD$ και το ύψος $AE$ . Ο έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται της $BC$ στο $T$ . Η μεσοκάθετος της $BC$ τέμνει την $AC$ στο $S$ . Βρείτε σχέση ( συνθήκη ) μεταξύ των πλευρών του τριγώνου , ώστε να είνα...

Υπολογισμός τμήματος.png Στην προέκταση της πλευράς $AB=a$ , τετραγώνου $ABCD$ , θεωρώ σημείο $E$ , ώστε : $BE=x >a$ . Η κάθετη από την κορυφή $A$ προς την ευθεία $EC$ , τέμνει τις ευθείες των πλευρών $BC,CD$ στα σημεία $S,T$ αντίστοιχα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος $ST$ , συναρτήσει των $a,x$ .

Α) Λύστε ως προς $y$ την εξίσωση : $(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})(1-x)(1-y)=1$ και παραστήστε γραφικά όλα τα ζεύγη $(x,y)$ τα οποία την επαληθεύουν . Β) Ένα από τα σημεία - ζεύγη $(x,y)$ που ικανοποιούν την εξίσωση , είναι το $A(2,2)$ . Βρείτε δύο ακόμη σημεία - ζεύγη $B, M$, που ικανοποιούν την εξίσω...

Τα σημεία είναι τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα , του ρόμβου .

Αν , υπολογίστε την και τον λόγο των διαγωνίων του ρόμβου .

Στον ρόμβο είναι : . Από την κορυφή ,

φέρω .Υπολογίστε τον λόγο : .

Καθυστερημένο σχήμα για τη λύση του Κώστα τον οποίο ευχαριστώ

Από σταθερό σημείο 27.png Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ το ημικύκλιο διαμέτρου $BC$ τέμνει τις πλευρές $AB,AC$ στα $E,D$ αντίστοιχα . Θεωρώ δύο κινητά σημεία $P,Q$ των $AB,AC$ . Οι κύκλοι $(P,E,C) $ και $ (Q,D,B)$ , τέμνονται στα σημεία $S,T$ . Δείξτε ότι η ευθεία $ST$ διέρχεται από σταθερό σημεί...

Παντού υπάρχει ένας κύκλος.png Στο παραλληλόγραμμο $ABCD$ , η πλευρά $AB$ είναι διπλάσια της $AD$ α) Υπάρχει περίπτωση να είναι και η διαγώνιος $AC$ διπλάσια της $BD$ ; Αν απαντήσατε ναι , προχωρήστε : Ο κύκλος $( A,D,O)$ τέμνει την $AB$ στο $T$ . β1) Δείξτε ότι η $OB$ διχοτομεί την γωνία $\widehat...

Μέγιστο εμβαδόν 12.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι $AB=2AC (=2b)$ και $M$ το μέσο της υποτείνουσας $BC$ . Στην προέκταση της $BA$ , θεωρούμε σημείο $S$ και φέρουμε την $SM$ , η οποία τέμνει την $AC$ στο σημείο $P$ . Η κάθετη $CT$ από το $C$ προς την $SM$ , προεκτεινόμενη τέμνε...

Το θέμα έχει καλυφθεί πλήρως . Απλά γράφω , γιατί στην εκφώνηση ζητούσα μη χρήση παραγώγου η οποία δεν ενδείκνυται για τον φάκελο των juniors . 2η λύση: Ζητάμε το ελάχιστο της συνάρτησης $ \displaystyle f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + {a^2} - {c^2}}}{{2ax}},\;\;x \in \left( {\left| {a - c} \right...

Ακρότητες στην κατασκευή μέσων.png Στις πλευρές $a,b,c$ του σκαληνού τριγώνου $\displaystyle ABC$ επιλέξτε σημεία $A' , B' , C'$ αντίστοιχα , έτσι ώστε , η $AA'$ να διέρχεται από το μέσο $M$ της $BB'$ , η $BB'$ να διέρχεται από το μέσο $N$ της $CC'$ και τέλος , η $CC'$ να διέρχεται από το μέσο $L$ ...

Τριπλή ανισότητα.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ με $\hat{B}<\hat{C}$ , σχεδιάσαμε τη διχοτόμο $BD$ και τον κύκλο $(B,A,D)$ ο οποίος τέμνει την υποτείνουσα $BC$ στο σημείο $T$ . Η εφαπτομένη του κύκλου στο $T$ , τέμνει την πλευρά $AC=b$ , στο $S$ . Δείξτε ότι : α) $CD>\dfrac{b}{2}$ .....