Εκνευριστική μεγιστοποίηση.png Ας περιγράψω την δική μου προσέγγιση : Θέτοντας για ευκολία $a=1 , AD=b<1$ , έχω : $AC : y=bx , SB : y=-x+1 , DP : y=-x+b$ . Βρίσκουμε την εξίσωση της $AQ$ : Σημείο $(x,y)$ ανήκει σ'αυτήν αν : $\dfrac{|bx-y|}{\sqrt{b^2+1}}=y$ , που δίνει την ( δεκτή ) λύση : $y=\dfrac...

Στην προέκταση του ύψους του ισοσκελούς τριγώνου ,

θεωρούμε σημείο . Ονομάζουμε την προβολή του στην ημιευθεία

και τα μέσα των αντίστοιχα . Δείξτε ότι : .

Αξιοθρήνητη καθετότητα.png Ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Εντός του κύκλου θεωρούμε σημείο $D$ , ώστε : $AD=AB=AC$ και φέρω κάθετη προς το τμήμα αυτό , στο άκρο του $D$ , η οποία τέμνει τον κύκλο στο σημείο $Q$ ( προς το μέρος του $C$ ) . Αν $AQ,BC$ τέμνονται στ...

Από ομοιότητα : . Από θεώρημα διχοτόμου και Π.Θ στο μεγάλο

, άρα :

Νομίζω ότι δεν είναι πιθανό να απέδειξες ότι τα είναι ομοκυκλικά στο στο παραπάνω σχήμα .

Υπάρχει βέβαια περίπτωση αυτό να συμβεί . Να λοιπόν το ερώτημα : Να βρεθούν οι κατάλληλες συνθήκες ,

έτσι ώστε τα : ,να είναι ομοκυκλικά .

Για χορδές - πλευρές εγγεγραμμένου τριγώνου - $a,b,c$ , ισχύει : $c=\dfrac{a\sqrt{4r^2-b^2}+b\sqrt{4r^2-a^2}}{2r}$ . Αν $a=b=x,c=\dfrac{3x}{2}$ , ο τύπος γίνεται : $\dfrac{\sqrt{4r^2-x^2}}{r}=\dfrac{3}{2}$ , ο οποίος δίνει : $x=r\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ . Παρατήρηση : Το σχήμα του εντιμότατου( δεν παραπ...

Στο παραλληλόγραμμο του σχήματος υπολογίστε την . Προϋπόθεση για να αναρτήσετε

κάτι : Στην δημοσίευσή σας πρέπει να περιέχονται τουλάχιστον δύο διαφορετικές λύσεις .

Νίκο , η άσκηση είναι εμπνευσμένη από το χθεσινό θέμα της Γεωμετρίας της Γ' .

Η λύση της μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως λήμμα για μια λύσης εκείνης . Βλέπε εκεί

Χρησιμοποιώντας ως βήμα την λύση του Νίκου στην άσκηση αυτή : Γεωμετρία Γ'.png Προεκτείνω την $AB$ κατά τμήμα $BH=AD=EZ$ . Τα τμήματα $AH , DB$ , έχουν κοινή μεσοκάθετο , οπότε $OA=OH$ . Αλλά : $DOH=DOZ$ , άρα $OH=OZ$ . Τα τρίγωνα , λοιπόν , $ADO , ZEO$ , είναι ίσα ( Π-Π-Π) κι έτσι οι $\theta$ είναι...

Το τραπέζιο έχει : . Φέρουμε , η οποία τέμνει την στο .

Δείξτε ότι το περίκεντρο του τριγώνου , ισαπέχει από τις κορυφές και του τραπεζίου .

Προς ευθεία η οποία διέρχεται από την κορυφή του τριγώνου φέρουμε κάθετα

τμήματα . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του αθροίσματος : .

, μέσο της ...

Σε κύκλο ακτίνας εγγράψτε ισοσκελές τρίγωνο με λόγο βάσης/σκέλους .

Μπορείς να παραλείψεις το πρώτο διάστημα και να λύσεις την :

Επίσης η διαδρομή είναι μάλλον Υλίκη - Αθήνα

Ιδού ένα ωραίο θέμα για την Γεωμετρία των μεγάλων : Ωραίο άθροισμα.png Στο ημικύκλιο του σχήματος είναι : $BC=2BD$ . Η ευθεία $CD$ τέμνει την κάθετη της διαμέτρου στο άκρο της $B$ , στο σημείο $S$ . Δείξτε ότι : $BS+SD=CD$ . Ένα μεγάλο ευχαριστώ στους συναδέλφους , οι οποίοι αφιλοκερδώς εργάζονται γ...

Βρίσκεις χμ ;

Σημειοστολισμός.png Σε κύκλο $(O,5)$ σχεδιάσαμε χορδή $AP=6$ . Βρείτε είτε με χρήση λογισμικού είτε χωρίς , σημείο $S$ της εφαπτομένης του κύκλου στο $A$ , ( $P,S$ αμφότερα δεξιά της ακτίνας $OA$ ) τέτοιο ώστε : $AS+ST=TP$ . Για τα $P,S$ εκατέρωθεν της $OA$ δεν έχω ψάξει . :redface_anim:

Γεωμετρική ερμηνεία.png Το τετράπλευρο $$ έχει κάθετες διαγωνίους $BD=6 , AC=8$ , άρα : $MN=5$ . Ακόμη : $2MN=2OM+2ON=AB+CD=\sqrt{x^2+z^2}+\sqrt{y^2+w^2}=10$ . Επιπλέον : $\dfrac{x}{z}=\dfrac{y}{w}=\dfrac{x+y}{z+w}=\dfrac{3}{4}$ , δηλαδή : $x=\dfrac{3}{4}z ,y=\dfrac{3}{4}w $ . Όλα αυτά σε συνδυασμό...

george visvikis έγραψε: ↑

Παρ Νοέμ 08, 2019 10:01 am

Βιάστηκες Θανάση !

Όντως αλλά και συ άργησες Ξανακοιτάζοντας τη λύση του Νίκου :

Έχει ήδη βρει ότι

και έτσι αποφεύγουμε την απόδειξη της ισότητας των

Ισότητα και λόγος.png Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Σημείο $S$ βρίσκεται "αριστερά" της $AC$ και είναι τέτοιο ώστε : $AS \parallel BC$ και $BS=BC$ . Ονομάζω $T$ την τομή των $BS,AC$ και $SD$ τη διχοτόμο της $\widehat{ASB}$ . α) Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{AS}{AB}$ ...