Στην προέκταση της διαμέτρου ενός κύκλου , θεωρούμε σημείο και φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα . Αν , υπολογίστε το τμήμα . Για ευκολία στις πράξεις πάρτε : .

Εμβαδοσυνάρτηση.png Στην μεγάλη πλευρά $AB=7$ , του διαστάσεων $7\times 4$ ορθογωνίου $ABCD$ , κινείται σημείο $S$ . Έστω σημείο $T$ της $BC$ , τέτοιο ώστε : $\widehat{DST}=90^0$ . Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου $DSTC$ , συναρτήσει του $BS=x$ και μελετήστε πλήρως αυτήν την συνάρτηση ( σχεδι...

Δίνεται τμήμα και σε απόσταση , ευθεία παράλληλη προς αυτό . Επί της ,

εντοπίστε σημείο ( όχι κατ' ανάγκη με κανόνα και διαβήτη ) , ώστε : .

Μέγιστο εμβαδόν 14.png Το ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ έχει κάθετες πλευρές : $AB=4$ και $AC=3$ . Σημείο $S$ , κινείται στην υποτείνουσα $BC$ . Η κάθετη από το $C$ προς την $AS$ , την τέμνει στο $T$ και προεκτεινόμενη τέμνει την $AB$ στο $P$ . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου $TPB$ .

Πάνω στην πλευρά , τετραγώνου , κινείται σημείο . Επιλέγουμε σημείο της ,

ώστε : . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του και το μήκος του εκείνη την στιγμή .

Επώδυνη σταθερά.png Το ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ έχει κάθετες πλευρές : $AB=3 , AC=4$ . Έστω : $0<k<1$ . Επί των πλευρών $AB ,AC , CB$ , θεωρούμε σημεία $P , S, T $ αντίστοιχα , ώστε : $BP=3k $ , $AS=4k , CT=5k$ . Δείξτε ότι υπάρχει τιμή του $k$ , για την οποία το τρίγωνο $PST$ είναι ορθογώνιο ( στο ...

Τραπεζιακή εργασία 5.png Τα κάθετα μεταξύ τους τμήματα $AB$ και $BC$ , έχουν μήκη $a$ και $h$ αντίστοιχα . Σημείο $S$ κινείται επί της $BC$ . Το τραπέζιο $ABCD$ δημιουργείται με τέταρτη κορυφή σημείο $D$ που είναι τέτοιο , ώστε : $DS \perp AS$ και $DC \perp BC$ . Σχεδιάζουμε και το ορθογώνιο - στο ...

Δίνεται η συνάρτηση :

α) Βρείτε την μέγιστη τιμή της

β) Χαρακτηρίστε το σημείο :

Διαφορά κατά την μεγιστοποίηση.png Σε σημείο $S$ της διαμέτρου $AB$ ενός ημικυκλίου , ώστε $AS=8 , SB=2$ , υψώνουμε το κάθετο τμήμα $ST$ . Χορδή $KN$ η οποία κινείται , παραμένοντας παράλληλη προς την $AB$ , τέμνει την χορδή $AT$ στο σημείο $L$ . Υπολογίστε το μέγιστο του γινομένου $LN \cdot LK$ κα...

Οι τελικοί Ανατολής και Δύσης στο NBA είναι Σέλτικς - Μαιάμι και Λέικερς - Ντένβερ . Στις 20 Σεπτεμβρίου

οι Σέλτικς προηγούνται με νίκες , ενώ οι Λέικερς με νίκες . Οι σειρές κρίνονται στις

νίκες . Οι Σέλτικς ή οι Λέικερς βρίσκονται πιο κοντά στον τελικό ;

Στην απορία "σε τι χρειαστήκαμε τον μεγάλο κύκλο " , η απάντηση είναι , ότι στην αρχική εκφώνηση

το ζητούμενο ήταν το μέγιστο του : . Βρείτε το , λοιπόν κι αυτό !

Από το σημείο , φέρουμε την "βόρεια" τέμνουσα , προς τον κύκλο ,

η οποία μεγιστοποιεί το . Βρείτε την διαφορά των συντεταγμένων του σημείου .

Το είναι σταθερό σημείο του κύκλου , το κινείται στον , ενώ το είναι σημείο

του μικρού κύκλου , ώστε : . Υπολογίστε το μέγιστο του αθροίσματος : .

Από σημείο της παραβολής φέρω την κάθετη , την εφαπτομένη

και μία ημιευθεία , ώστε : . Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου .

Ελάχιστη διαδρομή.png Το ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ έχει κάθετες πλευρές : $AB=4$ και $AC=3$ . Μεταβαίνουμε από την κορυφή $C$ σε σημείο $S$ της πλευράς $AB$ και στην συνέχεια ( μεταβαίνουμε ) κάθετα προς την $BC$ σε σημείο της , $T$ . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του αθροίσματος : $CS+ST$ .

Η είναι διχοτόμος του τριγώνου με : . Θεωρούμε σημείο της ,

τέτοιο ώστε : και φέρουμε , ( ). Δείξτε ότι : .

Οι πλευρές , του τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά : .

Η διάμεσος , το ύψος και η διχοτόμος συντρέχουν . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου .

Προβολική ... Γεωμετρία.png $\bigstar$ Σε τυχόν σημείο $S$ , ημικυκλίου διαμέτρου $AB$ , φέρουμε εφαπτομένη και ονομάζουμε $A' , S'$ τις προβολές του μεν $A $ στην εφαπτομένη , του δε $S$ στην $AB$ . Εξετάστε αν : $AA' = AS'$ . Υπενθυμίζεται ότι η άσκηση είναι για $24$ ώρες μόνο για μαθητές . Οι με...

Σημείο κινείται στην διάμετρο , ενός ημικυκλίου . Ευθεία , η οποία εφάπτεται στο ημικύκλιο

διαμέτρου ( του ίδιου ημιεπιπέδου ) στο μέσο του , τέμνει το αρχικό ημικύκλιο στα σημεία .

Βρείτε το μέγιστο του γινομένου :

Το είναι εσωτερικό σημείο του τετραγώνου και το σημείο της , ώστε στο τρίγωνο

να είναι : . Αν τα είναι συνευθειακά , υπολογίστε το : .