Δεδομένοι οι τετραψήφιοι αριθμοί $ A = abca $ και $ B = acba $ καθώς και ο τριψήφιος $ C = abc $, μπορούμε να εκφράσουμε τους αριθμούς με βάση τα ψηφία τους: - $ A = 1000a + 100b + 10c + a = 1001a + 100b + 10c $ - $ B = 1000a + 100c + 10b + a = 1001a + 100c + 10b $ - $ C = 100a + 10b + c $ Η εξίσωσ...

ΚΑΛΕΣ ΓΙΟΡΤΕΣ

Θεωρούμε τους μονοψήφιους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{x , y}$ με $\displaystyle{x\neq y}$ και με αυτούς δημιουργούμε όλους τους δυνατούς τριψήφιους. Αν το άθροισμα των πιο πάνω τριψήφιων διαιρείται με το $\displaystyle{1477}$ , να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης: $\displaystyle{A=x^2 +...

Θεωρούμε τους μονοψήφιους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{x , y}$ με $\displaystyle{x\neq y}$ και με αυτούς δημιουργούμε όλους τους δυνατούς τριψήφιους. Αν το άθροισμα των πιο πάνω τριψήφιων διαιρείται με το $\displaystyle{1477}$ , να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης: $\displaystyle{A=x^2 +y...

Σε μια ουρά στέκονται $23$ παιδιά, το ένα πίσω από το άλλο. Κάθε παιδί (είτε αγόρι, είτε κορίτσι) έχει ως γείτονα (μπροστά του ή πίσω του ή και τα δύο) τουλάχιστον ένα κορίτσι. Πόσα το πολύ αγόρια βρίσκονται στην ουρά; (Κάνει και για Δημοτικό). Με τρόπο που θα μπορούσε να το αντιμετωπίσει κάποιο πα...

Σε κάποιες Δημοτικές εκλογές που έγιναν σε μια πόλη, υπήρχαν τρεις υποψήφιοι , οι $\displaystyle{A , B , C}$ O υποψήφιος $\displaystyle{B}$ ,έλαβε ποσοστό κατά $\displaystyle{3}$% μεγαλύτερο από τον $\displaystyle{A}$ και ο $\displaystyle{C}$, έλαβε ποσοστό κατά $\displaystyle{6}$% μεγαλύτερο από το...

Η γιαγιά του Μάνου έχει κότες, κατσίκια και $\displaystyle{5}$ αρνάκια. Ο Μάνος παρατήρησε ότι τα αρνάκια είναι πιο λίγα από τα κατσίκια Ύστερα κάθισε με υπομονή και μέτρησε τα πόδια όλων των ζώων και των πουλερικών της γιαγιάς και τα βρήκε $\displaystyle{48}$ Μπορείτε να βρείτε πόσα κατσίκια και πό...

Το άθροισμα $5$ διαφορετικών μη μηδενικών φυσικών αριθμών είναι $2024$. Ποια είναι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή που μπορεί να έχει ο μικρότερος από τους $5$ αριθμούς; (Κάνει και για Δημοτικό.) Αν $\displaystyle{a}$ είναι ο μικρότερος από τους $\displaystyle{5}$ ζητούμενους αριθμούς, τότε οι άλλοι τέσσε...

Στην εικόνα βλέπουμε ένα οκτάγωνο και μία ευθεία που τέμνει εσωτερικά και τις οκτώ πλευρές του. Γίνεται το αντίστοιχο με επτάγωνο; Αιτιολογείστε. Η ευθεία χωρίζει το επίπεδο μας σε δύο ημιεπίπεδα: $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$. Ονομάζουμε τις κορυφές του επταγώνου με τους αριθμούς $\dis...

Φιλος μου λέει ότι αν προσθέσει $x$ χρόνια στην ηλικία του, αυτός παίρνει ένα τετράγωνο αριθμό. Περιέργως, αν αφαιρέσει $ x $ χρόνια από την ηλικία του, παίρνει την τετραγωνική ρίζα αυτού του αριθμού. Πόσο χρονών μπορεί να είναι ο φίλος μου δεδομένου ότι το προσδόκιμο ζωής είναι μικρότερο η και ίσο...

Στον πίνακα είναι γραμμένοι $5$ διαφορετικοί αριθμοί. Κάποιους από αυτούς τους πολλαπλασιάζω επί $2$ ενώ τους υπόλοιπους τους πολλαπλασιάζω επί $3$. Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός από διαφορετικά γινόμενα που μπορώ να πάρω; Έστω $\displaystyle{a , b , x , y , z}$ πέντε αριθμοί. Για να βρω...

Πόσοι από τους αριθμούς $1$, $1+3$, $1+3+3^2$, $1+3+3^2+3^3$, $... $ $1+3+3^2+3^3+...+3^{2024}$ είναι πολλαπλάσια του $7$; Δεν χρειάζεται να ξέρει κανείς, και δεν μπορεί να χρησιμοποιήσει, τον τύπο για το άθροισμα των όρων γεωμετρικής προόδου. Παρατηρούμε ότι το πρώτο πολλαπλάσιο του $\displaystyle...

Τα παιδιά του Γυμνασίου, που παίρνουν μέρος σε μαθηματικούς διαγωνισμούς, πρέπει να γνωρίζουν ότι: $\displaystyle{1+2+3+ . . . +n =\frac{n(n+1)}{2}}$. Αν ο $\displaystyle{n}$ λήγει σε $\displaystyle{0,4,5,9}$, τότε ο $\displaystyle{n(n+1)}$ θα λήγει σε $\displaystyle{0}$ και άρα ο $\displaystyle{\fr...

Ο Ανδρέας έγραψε στην σειρά μερικούς (τουλάχιστον δυο) διαδοχικούς τριψήφιους αριθμούς κατά αύξουσα σειρά, σχηματίζοντας έναν μεγάλο αριθμό (για παράδειγμα $123124125$). Προκέκυψε ότι ο αριθμός του, διαιρείται με όλους τους αριθμούς από το $1$ έως το $9$. Να βρείτε τον ελάχιστο δυνατό τέτοιο αριθμό...

Πόσα ψηφία έχει ο αριθμός $(3158365824517)^2$; Παρατηρούμε ότι: $\displaystyle{(3000000000000)^2 < (3158365824517)^2 < (3160000000000)^2}$ Δηλαδή: $\displaystyle{(3.10^{12})^2 < A < (316. 10^{10})^2}$ , όπου για ευκολία ονομάσαμε $\displaystyle{A}$ τον δοσμένο αριθμό. Άρα: $\displaystyle{3.10^{12} ...

Θεωρούμε τους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{N_1 , N_2 , N_3 , . . . }$ για τους οποίους : Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{ N_1}$ με το $\displaystyle{7}$ , είναι το $\displaystyle{1}$ Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{N_2}$ με το $\displaystyle{7}$ , είναι το $\displaystyl...

Αν ο $338$ διαιρεθεί με τον $N$ αφήνει υπόλοιπο $2$. Πόσο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $2024$ όταν διαιρεθεί με τον $N$; Ας πάρουμε δύο περιπτώσεις: (α) Αν ο $\displaystyle{N}$ είναι μικρότερος ή ίσος με το $\displaystyle{8}$. Τότε για να δίνει η διαίρεση του $\displaystyle{338}$ με το $\dis...

Όταν ένας αριθμός $N$ διαιρεθεί με το $4$ αφήνει υπόλοιπο $1$. Επίσης, όταν διαρεθεί με το $5$ αφήνει υπόλοιπο $3$. Τι υπόλοιπο αφήνει ο $N^2$ όταν διαιρεθεί με το $20$; Καλό βράδυ Μιχάλη. Έχουμε: $\displaystyle{N=4k+1}$ και επίσης $\displaystyle{N=5m+3}$ Άρα $\displaystyle{4k+1=5m+3 \Rightarrow 5m...

Έχουμε άσπρα κουμπιά και ίδιο αριθμό από μαύρα κουμπιά. Τα ανακατεύουμε και τοποθετούμε κάποια από αυτά σε ένα συρτάρι και τα υπόλοιπα σε ένα άλλο συρτάρι. Γνωρίζουμε ότι στο πρώτο συρτάρι τα άσπρα κουμπιά είναι το $\displaystyle{20}$% και στο δεύτερο συρτάρι τα άσπρα είναι το $\displaystyle{70}$% Π...