Η αναζήτηση βρήκε 1198 εγγραφές

από Αρχιμήδης 6
Δευ Οκτ 29, 2018 1:56 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Πότε είναι περιττός?
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 615

Re: Πότε είναι περιττός?

Η παρακάτω τριάδα θα διαψεύσει τον ισχυρισμό σου .
✍️
p=3
q=2
m=16
από Αρχιμήδης 6
Κυρ Ιουν 25, 2017 12:28 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Ανοιχτό πρόβλημα
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 2207

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Το ίδιο και αν (p,q)=1 (χωρίς δηλαδή συνθήκη πρώτων).
Ενδιαφέρον παρουσιάζει στους ακέραιους.
από Αρχιμήδης 6
Τετ Σεπ 14, 2016 4:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Υπάρχει σταθερά;
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1547

Re: Υπάρχει σταθερά;

Τη παρακάτω άσκηση τη πέτυχα σε βιβλίο. Δεν έχω λύση. Να εξεταστεί αν υπάρχει σταθερά $Q \neq 1$ τέτοια ώστε η τιμή της $\displaystyle{\left \lfloor Q^{2^n} \right \rfloor}$ να 'ναι πρώτος για κάθε $n \geq 0$. Αν είχαμε αποδείξει το παρακάτω ισχυρότερο αποτέλεσμα τότε ίσως να είχαμε απάντηση. $p_{n...
από Αρχιμήδης 6
Παρ Ιούλ 01, 2016 12:27 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Πεπερασμένες λύσεις
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 724

Πεπερασμένες λύσεις

Οι αριθμοί a,b,c,d,e,f , θετικοί ακέραιοι και ισχύει ότι (a,d)=1 και ad\neq1 καθώς και

ax^2+bx+c=y^3
dx^2+ex+f=z^3

Να αποδειχθεί ότι το παραπάνω σύστημα θα έχει πεπερασμένες θετικές ακέραιες λύσεις (x,y,z)
από Αρχιμήδης 6
Τετ Ιουν 22, 2016 9:56 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Direct
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 1134

Re: Direct

Υ.Γ

Στο παραπάνω post έδειξα την συγγένεια της εξίσωσης x^4-6x^2y^2-3y^4=1 (*) με την x^2+1=y^3 (**) με την ταυτότητα 3) .

Πράγματι στην επίλυση της (**) εδώ viewtopic.php?f=63&t=42080 εμφανίζεται κάπου στην μέση της λύσης μου η εξίσωση (*)
από Αρχιμήδης 6
Δευ Ιουν 20, 2016 3:41 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Εύκολη Διοφαντική
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 2157

Re: Εύκολη Διοφαντική

Πολύ ωραία. Να πάμε λίγο πίσω στην εξίσωση. Όπως είπα η εξίσωση $54x^3=y^3+1$ (1) είναι ισοδύναμα η $2(3x)^3=y^3+1$ άρα είναι ειδική περίπτωση της $2a^3=b^3+1$ (2) για $a=3x$ Η εξίσωση $2a^3=b^3+1$ με λίγο παραπάνω προσοχή είναι ειδική περίπτωση της $k^3+1=l^2$ (3) Πράγματι από την (2) θα υπάρχει $z...
από Αρχιμήδης 6
Δευ Ιουν 20, 2016 11:44 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Εύκολη Διοφαντική
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 2157

Re: Εύκολη Διοφαντική

Καλή προσπάθεια Δημήτρη αλλά δεν θα μας ξεφύγει η εξίσωση... Θα δώσω την λύση μου με διοφαντική ανάλυση.Στο τελευταίο βήμα μου θα θεωρήσω γνωστώ τις λύσεις της κυβικής εξίσωσης του Fermat.(από κινητό). $54x^3=y^3+1$ Ουσιαστικά είναι η μια περίπτωση της $2a^3=b^3+1$ δηλαδή για $b=2mod3$ Θα υπάρχουν $...
από Αρχιμήδης 6
Δευ Ιουν 20, 2016 10:54 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Εύκολη Διοφαντική
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 2157

Re: Εύκολη Διοφαντική

Βάλε την λύση σου αν θες.Θα δώσω και την δική μου.
από Αρχιμήδης 6
Δευ Ιουν 20, 2016 8:39 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Εύκολη Διοφαντική
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 2157

Re: Εύκολη Διοφαντική

Εξαρτάται το πόσο εύκολη βλέπεις την εξίσωση Fermat βαθμού 3...
από Αρχιμήδης 6
Κυρ Ιουν 19, 2016 12:16 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Άπειρες λύσεις!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1307

Re: Άπειρες λύσεις!

Δεν με καλύπτει η λύση του Patrick (σπάνιο αυτό) οπότε ας βρούμε όλες τις λύσεις παραμετρικά. $x^2+y=y^2+z=z^2+x$ (1) Θέτω $x+y=a$ $x-y=b$ $z+y=c$ $z-y=d$ άρα αρκεί να λύσω το παρακάτω σύστημα $ab=d$ $cd=\dfrac{c+d-a-b}{2}$ $a-b=c-d$ Άρα αρκεί να λύσω το παρακάτω σύστημα $2abc=c+ab-a-b$ άρα $c=\dfra...
από Αρχιμήδης 6
Παρ Ιουν 17, 2016 1:46 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Vojtech Jarvik 1994/1 Category II
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 764

Re: Vojtech Jarvik 1994/1 Category II

Καλημέρα. Είναι δυνατή άρα να την σπάσουμε σε 2 εξισώσεις... $x^2+y^2+z^2=3xyz$ $z(3xy-z)=x^2+y^2$ Άρα ισοδύναμα έχω το παρακάτω σύστημα $3xy=z+w$ $x^2+y^2=zw$ Βλέπω υπάρχει συμμετρία στα $z,w$ . Συνεπώς μια λύση $(x,y,z)$ θα μου δώσει την $(x,y,3xy-z)$ και τις μεταθέσεις τους άρα για κάθε κάτω φράγ...
από Αρχιμήδης 6
Παρ Απρ 15, 2016 5:14 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 2712

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Al.Koutsouridis έγραψε: Γενικά πάντως θα προτιμούσα ως φυσικοί να ορίζονται οι αριθμοί 1,2,3,.. στα σχολικά βιβλία αλλά και γενικότερα.

Αν το 0 δεν είναι φυσικός τότε τι νόημα έχει η φράση ''θετικοί ακέραιοι'' (positive integers) ;
Θέλω να πω ότι ίσως είναι πιο βολικό αν δεχτούμε ως φυσικό και το 0.
από Αρχιμήδης 6
Παρ Απρ 15, 2016 5:05 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Η αποδεικτική μέθοδος του "Αρκεί"
Απαντήσεις: 49
Προβολές: 4946

Re: Η αποδεικτική μέθοδος του "Αρκεί"

STOPJOHN έγραψε: Θεωρώ τίμιο και το προτείνω ο κ. Κυριακόπουλος να μετέχει στη συζήτηση μας .
Γιάννης
Απαραίτητο...
από Αρχιμήδης 6
Πέμ Απρ 14, 2016 10:28 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο
Απαντήσεις: 1822
Προβολές: 123352

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Γεια σου Ευ.Ν. Η αιτιολόγηση είναι απαραίτητη. Χωρίς αυτή δεν έχει λυθεί το πρόβλημα. Μάλιστα είναι ενδιαφέρον να μπαίνουμε σε βαθύτερα ερωτήματα δηλαδή για ποιο λόγο ακολουθεί κάποιος αυτή την πορεία επίλυσης , γιατί άλλαξε την αρχική πορεία επίλυσης,ποια ήταν η αρχική του σκέψη , γιατί την ενίσχυσ...
από Αρχιμήδης 6
Τρί Απρ 12, 2016 9:59 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Πάντα τέλειο τετράγωνο...
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1018

Re: Πάντα τέλειο τετράγωνο...

Επαναφορά!

Νομίζω ότι το πρόβλημα μας δίνει απλόχερα αρκετά δεδομένα και λογικό είναι με μόνο 3 από αυτά να θέλει βαρύ θεώρημα...
από Αρχιμήδης 6
Τρί Μαρ 15, 2016 4:31 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Direct
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 1134

Direct

Είναι γνωστό ότι η εξίσωση $a^4-b^4=ec^2$ (*) για $e=1,2$ έχει μόνο τετριμμένες λύσεις. Το ίδιο και η $x^2+1=y^3$ 1) Για την διοφαντική εξίσωση $\boxed{x^4+y^4-6x^2y^2=z^2}$ θα κάνω χρήση της ταυτότητας $(x^4+y^4-6x^2y^2)^2+(4x^3y-4xy^3)^2=(x^2+y^2)^4$ συνεπώς εύκολα μέσο της (*) βρίσκω όλες τις λύσ...
από Αρχιμήδης 6
Κυρ Μαρ 13, 2016 4:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ασκήσεις για IMC/Key Stage II
Απαντήσεις: 18
Προβολές: 736

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Ο πατέρας έχει μια αδυναμία στα αγόρια του αφού....

Το καθαρό κέρδος των αγοριών είναι 126 νομίσματα.
Το καθαρό κέρδος των κοριτσιών είναι 112 νομίσματα.
από Αρχιμήδης 6
Κυρ Μαρ 13, 2016 3:35 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ασκήσεις για IMC/Key Stage II
Απαντήσεις: 18
Προβολές: 736

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Καλό πρόβλημα. Βήμα βήμα θα το πάω... Έστω ότι υπάρχουν $x$ νομίσματα. Μετά το πρώτο αγόρι στο σεντούκι θα υπάρχουν $2x-256$ Μετά το δεύτερο αγόρι στο σεντούκι θα υπάρχουν $2(2x-256)-256=4x-3*256$ Μετά το τρίτο αγόρι στο σεντούκι θα υπάρχουν $2(4x-3*256)-256=8x-7*256=8x-14*128$ Μετά το πρώτο κορίτσι...
από Αρχιμήδης 6
Σάβ Μαρ 12, 2016 8:06 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ασκήσεις για IMC/Key Stage II
Απαντήσεις: 18
Προβολές: 736

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Έστω $x$ οι οικογένειες τότε $724=mx+n$ (1) , $0<n<x$ $857+n=lx$ (2) $1503+n=tx$ (3) Αφαιρώ τις $2$ τελευταίες άρα $(t-l)x=2*17*19$ (4) Προσθέτω τις δυο πρώτες άρα $(m+l)x=3*17*31$ (5) Επειδή $x>1$ και επειδή στις εξισώσεις $(4),(5)$ κοινός διαιρέτης είναι μόνο ο $17$ λαμβάνω οτι $x=17$ Επαλήθευση κ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση