Η παρακάτω τριάδα θα διαψεύσει τον ισχυρισμό σου .

Το ίδιο και αν (χωρίς δηλαδή συνθήκη πρώτων).
Ενδιαφέρον παρουσιάζει στους ακέραιους.

Τη παρακάτω άσκηση τη πέτυχα σε βιβλίο. Δεν έχω λύση. Να εξεταστεί αν υπάρχει σταθερά $Q \neq 1$ τέτοια ώστε η τιμή της $\displaystyle{\left \lfloor Q^{2^n} \right \rfloor}$ να 'ναι πρώτος για κάθε $n \geq 0$. Αν είχαμε αποδείξει το παρακάτω ισχυρότερο αποτέλεσμα τότε ίσως να είχαμε απάντηση. $p_{n...

Οι αριθμοί , θετικοί ακέραιοι και ισχύει ότι και καθώς και




Να αποδειχθεί ότι το παραπάνω σύστημα θα έχει πεπερασμένες θετικές ακέραιες λύσεις

Υ.Γ

Στο παραπάνω post έδειξα την συγγένεια της εξίσωσης (*) με την (**) με την ταυτότητα 3) .

Πράγματι στην επίλυση της (**) εδώ viewtopic.php?f=63&t=42080 εμφανίζεται κάπου στην μέση της λύσης μου η εξίσωση (*)

Πολύ ωραία. Να πάμε λίγο πίσω στην εξίσωση. Όπως είπα η εξίσωση $54x^3=y^3+1$ (1) είναι ισοδύναμα η $2(3x)^3=y^3+1$ άρα είναι ειδική περίπτωση της $2a^3=b^3+1$ (2) για $a=3x$ Η εξίσωση $2a^3=b^3+1$ με λίγο παραπάνω προσοχή είναι ειδική περίπτωση της $k^3+1=l^2$ (3) Πράγματι από την (2) θα υπάρχει $z...

Καλή προσπάθεια Δημήτρη αλλά δεν θα μας ξεφύγει η εξίσωση... Θα δώσω την λύση μου με διοφαντική ανάλυση.Στο τελευταίο βήμα μου θα θεωρήσω γνωστώ τις λύσεις της κυβικής εξίσωσης του Fermat.(από κινητό). $54x^3=y^3+1$ Ουσιαστικά είναι η μια περίπτωση της $2a^3=b^3+1$ δηλαδή για $b=2mod3$ Θα υπάρχουν $...

Βάλε την λύση σου αν θες.Θα δώσω και την δική μου.

Εξαρτάται το πόσο εύκολη βλέπεις την εξίσωση Fermat βαθμού ...

Δεν με καλύπτει η λύση του Patrick (σπάνιο αυτό) οπότε ας βρούμε όλες τις λύσεις παραμετρικά. $x^2+y=y^2+z=z^2+x$ (1) Θέτω $x+y=a$ $x-y=b$ $z+y=c$ $z-y=d$ άρα αρκεί να λύσω το παρακάτω σύστημα $ab=d$ $cd=\dfrac{c+d-a-b}{2}$ $a-b=c-d$ Άρα αρκεί να λύσω το παρακάτω σύστημα $2abc=c+ab-a-b$ άρα $c=\dfra...

Καλημέρα. Είναι δυνατή άρα να την σπάσουμε σε 2 εξισώσεις... $x^2+y^2+z^2=3xyz$ $z(3xy-z)=x^2+y^2$ Άρα ισοδύναμα έχω το παρακάτω σύστημα $3xy=z+w$ $x^2+y^2=zw$ Βλέπω υπάρχει συμμετρία στα $z,w$ . Συνεπώς μια λύση $(x,y,z)$ θα μου δώσει την $(x,y,3xy-z)$ και τις μεταθέσεις τους άρα για κάθε κάτω φράγ...

Al.Koutsouridis έγραψε: Γενικά πάντως θα προτιμούσα ως φυσικοί να ορίζονται οι αριθμοί 1,2,3,.. στα σχολικά βιβλία αλλά και γενικότερα.

Αν το δεν είναι φυσικός τότε τι νόημα έχει η φράση ''θετικοί ακέραιοι'' (positive integers) ;
Θέλω να πω ότι ίσως είναι πιο βολικό αν δεχτούμε ως φυσικό και το .

STOPJOHN έγραψε: Θεωρώ τίμιο και το προτείνω ο κ. Κυριακόπουλος να μετέχει στη συζήτηση μας .
Γιάννης

Απαραίτητο...

Γεια σου Ευ.Ν. Η αιτιολόγηση είναι απαραίτητη. Χωρίς αυτή δεν έχει λυθεί το πρόβλημα. Μάλιστα είναι ενδιαφέρον να μπαίνουμε σε βαθύτερα ερωτήματα δηλαδή για ποιο λόγο ακολουθεί κάποιος αυτή την πορεία επίλυσης , γιατί άλλαξε την αρχική πορεία επίλυσης,ποια ήταν η αρχική του σκέψη , γιατί την ενίσχυσ...

Επαναφορά!

Νομίζω ότι το πρόβλημα μας δίνει απλόχερα αρκετά δεδομένα και λογικό είναι με μόνο από αυτά να θέλει βαρύ θεώρημα...

Είναι γνωστό ότι η εξίσωση $a^4-b^4=ec^2$ (*) για $e=1,2$ έχει μόνο τετριμμένες λύσεις. Το ίδιο και η $x^2+1=y^3$ 1) Για την διοφαντική εξίσωση $\boxed{x^4+y^4-6x^2y^2=z^2}$ θα κάνω χρήση της ταυτότητας $(x^4+y^4-6x^2y^2)^2+(4x^3y-4xy^3)^2=(x^2+y^2)^4$ συνεπώς εύκολα μέσο της (*) βρίσκω όλες τις λύσ...

Ο πατέρας έχει μια αδυναμία στα αγόρια του αφού....

Το καθαρό κέρδος των αγοριών είναι νομίσματα.
Το καθαρό κέρδος των κοριτσιών είναι νομίσματα.

Καλό πρόβλημα. Βήμα βήμα θα το πάω... Έστω ότι υπάρχουν $x$ νομίσματα. Μετά το πρώτο αγόρι στο σεντούκι θα υπάρχουν $2x-256$ Μετά το δεύτερο αγόρι στο σεντούκι θα υπάρχουν $2(2x-256)-256=4x-3*256$ Μετά το τρίτο αγόρι στο σεντούκι θα υπάρχουν $2(4x-3*256)-256=8x-7*256=8x-14*128$ Μετά το πρώτο κορίτσι...

Έστω $x$ οι οικογένειες τότε $724=mx+n$ (1) , $0<n<x$ $857+n=lx$ (2) $1503+n=tx$ (3) Αφαιρώ τις $2$ τελευταίες άρα $(t-l)x=2*17*19$ (4) Προσθέτω τις δυο πρώτες άρα $(m+l)x=3*17*31$ (5) Επειδή $x>1$ και επειδή στις εξισώσεις $(4),(5)$ κοινός διαιρέτης είναι μόνο ο $17$ λαμβάνω οτι $x=17$ Επαλήθευση κ...

Ευχάριστο πρόβλημα!