Η αναζήτηση βρήκε 300 εγγραφές

από Παναγιώτης 1729
Τρί Μαρ 07, 2017 12:13 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2017/3
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1698

Re: SEEMOUS 2017/3

Μία μικρή τροποποίηση στην παραπάνω λύση (κρατώντας τον ίδιο συμβολισμό): Από τύπους Vieta, $h_1+h_2+h_3=6(\Rightarrow{h_1'+h_2'+h_3'=0)}$ και με αλλαγή μεταβλητής ($x=h_i(y)$) στα 3 επιμέρους διαστήματα έχουμε $\displaystyle{\int_{0}^4f(x(x-3)^2) \mathrm{d} x}-2\int_{1}^{3}f(x(x-3)^2)\mathrm{d}x=\i...
από Παναγιώτης 1729
Δευ Ιαν 12, 2015 4:30 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Άθροισμα τετραγώνων
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1031

Re: Άθροισμα τετραγώνων

Για το α): $14=3^2+2^2+1^2$, $18=4^2+1^2+1^2$ και $14*18=252=4*63$, που από το 2) δεν γράφεται ως άθροισμα τριών τετραγώνων. Για το β): Αν $a^2=4^l(8k+7)$, έχουμε $(4,8k+7)=1$, άρα οι αριθμοί $4^l,8k+7$ είναι τέλεια τετράγωνα, άτοπο, αφού δεν υπάρχει τετράγωνο $7 (mod 8)$. Η ταυτότητα που ζητάμε είν...
από Παναγιώτης 1729
Σάβ Μάιος 31, 2014 2:36 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014
Απαντήσεις: 150
Προβολές: 21183

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Θα ήθελα να γράψω κάποιοες σκέψεις που έκανα με τον κύριο Χρήστο Πατήλα σχετικά με την ύπαρξη των $x_i$ που να ικανοποιούν το Δ θέμα. Μας προβλημάτισε το γεγονός κατά πόσο είναι δυνατό η μέση τιμή να είναι 8, η τυπική απόκλιση 2 και οι αριθμοί να περιορίζονται στο $[5,9]$. Στην προσπάθεια αυτή κάναμ...
από Παναγιώτης 1729
Δευ Μαρ 31, 2014 3:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Δύσκολη από MR
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1386

Re: Δύσκολη από MR

viewtopic.php?f=112&t=35435&p=163362&hi ... ar#p163362

Δείτε την προτελευταία ασκηση στο συνημμένο.
από Παναγιώτης 1729
Τετ Ιούλ 03, 2013 2:23 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Πολυώνυμο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 491

Πολυώνυμο

1)Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα f(x)\in{\abb{Z}[x]}, αν είναι γνωστό ότι f(p)|2^{p-1}-1 για κάθε πρώτο p>2.
2)Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα f(x)\in{\abb{Z}[x]}, αν είναι γνωστό ότι f(p)|2^{f(p)-1}-1 για κάθε πρώτο p>2.
από Παναγιώτης 1729
Τετ Ιούλ 03, 2013 2:03 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Θεωρία Αριθμών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 628

Θεωρία Αριθμών

Μία άσκηση που φτιάξαμε με τα παιδιά της Ελληνικής αποστολής στην BMO σήμερα:
Για ποιους n\in{\abb{N}} ισχύει 2n+1|(n!)^2+2^n;
από Παναγιώτης 1729
Κυρ Ιουν 16, 2013 10:34 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Για ποιους θετικούς ακεραίους;
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 519

Re: Για ποιους θετικούς ακεραίους;

Είναι όντως δύσκολο. Μία απόδειξη που έκανα βασίζεται σε τεχνικές που είδα σε ένα παρόμοιο θέμα. Εμφανίζει αρκετές ομοιότητες με αυτήν στο λινκ σου. Νομίζω είναι στοιχειώδης. http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=37765&p=175386#p175386 Θα γίνει χρήση της άσκησης στον παραπάνω σύνδεσμο ως ...
από Παναγιώτης 1729
Κυρ Ιουν 16, 2013 10:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 627

Re: Ανισότητα

:coolspeak: :10sta10:
Ωραίες και οι δύο λύσεις. Νομίζω απλά ότι όσο αφορά την ισότητα, είναι n=3k+2.
από Παναγιώτης 1729
Κυρ Ιουν 16, 2013 2:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 627

Ανισότητα

Αν n\in{\abb{N}},n\geq{2} και z^n+z+1=0 για κάποιο z\in{\abb{C}}, ν.δ.ο. \displaystyle{2Re(z-\frac{1}{z})\geq{\frac{1}{|z|^2}-1}}.
Πότε ισχύει η ισότητα;
από Παναγιώτης 1729
Σάβ Ιουν 15, 2013 9:15 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Άπειροι!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 374

Re: Άπειροι!

Βάζω μία σκέψη σε hide.
Αν πάρουμε n=3p^2+kp^2(p-1) με k\in{\abb{Z}}, τότε νομίζω πως είμαστε οκ.
από Παναγιώτης 1729
Σάβ Ιουν 15, 2013 8:38 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Για ποιους θετικούς ακεραίους;
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 519

Για ποιους θετικούς ακεραίους;

Μία ερώτηση που μου προέκυψε σήμερα και νομίζω είχε ενδιαφέρον είναι η εξής: Για ποιους θετικούς ακεραίους n\geq{2} είναι το πολυώνυμο x^n+x+1 αναλύσιμο στο \abb{Q}[x];
από Παναγιώτης 1729
Τετ Μάιος 29, 2013 1:41 am
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013
Απαντήσεις: 369
Προβολές: 53893

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Νομίζω πως η f' ειναι συνεχής. Θα επανέλθω αύριο με μια απόδειξη. Το κλειδί ειναι (ξεφεύγοντας απο τις σχολικές γνώσεις) ότι οι γνήσιως αυξουσες συναρτησεις έχουν μόνο απλές ασυνεχειες, ενώ οι παράγωγοι (απο το θεώρημα Darboux) δεν έχουν απλές ασυνέχειες.
από Παναγιώτης 1729
Δευ Μάιος 06, 2013 7:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Προταθέν από τον Zuming Feng
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 766

Re: Προταθέν από τον Zuming Feng

Νομίζω βρήκα μία λίγο διαφορετική λύση. Βάζω μία υπόδειξη και θα επανέλθω με τις λεπτομέρειες. Δείχνουμε πρώτα ότι $\widehat{AO_BX}+\widehat{ACX}=180$, άρα το $ACXO_B$ είναι εγγράψιμο, οπότε η $AX$ είναι διχοτόμος της $O_BAC$ και $\widehat{O_BXC}+\widehat{O_BAC}=180\Rightarrow{\widehat{O_BBC}+\wideh...
από Παναγιώτης 1729
Παρ Απρ 05, 2013 8:54 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: 1-1 και στο Ζ
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 282

Re: 1-1 και στο Ζ

Είναι |f(x+1)-f(x)|\leq{1}, άρα το 1-1 της f δίνει f(x+1)-f(x)\in\{-1,1\}. Αν π.χ. f(x+1)-f(x)=1,f(x+2)-f(x+1)=-1, τότε f(x)=f(x+2), άτοπο. Άρα η f(x+1)-f(x) είναι σταθερή και έχει τιμή +1 ή -1. Από εδώ προκύπτει f(x)=x+c ή f(x)=-x+c.
Η επαλήθευση των λύσεων είναι πολύ εύκολη.
από Παναγιώτης 1729
Παρ Απρ 05, 2013 8:39 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Ποια η πιθανότητα;
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 504

Ποια η πιθανότητα;

Ένα πρόβλημα που βρήκα στο ενδιαφέρον "λογοτεχνικό" βιβλίο "Η Υπόθεση Riemann" σε μία υποσημείωση και μου άρεσε αρκετά.

Επιλέγουμε στην τύχη k θετικούς ακεραίους. Ποια η πιθανότητα να είναι πρώτοι μεταξύ τους;
από Παναγιώτης 1729
Πέμ Απρ 04, 2013 6:09 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Είναι ακέραιος;
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 954

Re: Είναι ακέραιος;

Το α) δεν βλέπω πώς μπορεί να δώσει άτοπο. Αν θέλεις γράψε λίγο πιο αναλυτικά το τελείωμα γι' αυτό. Το πρόβλημα λύνεται και με τετραγωνική αντιστροφή, αλλά ας μείνουμε σε πιο στοιχειώδη μέσα. Αρκεί να θεωρήσουμε την περίπτωση $(a,b,c)=1$. Είναι $(a+b+c)^2=(3m+2)(ab+bc+ca)$. Ο $3m+2$ έχει έναν πρώτο ...
από Παναγιώτης 1729
Σάβ Μαρ 23, 2013 9:36 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Πρωταρχική ρίζα
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 650

Πρωταρχική ρίζα

Ν.δ.ο. για κάθε αρκετά μεγάλο πρώτο p υπάρχει πρωταρχική ρίζα g(mod p) με g<p,(g,p-1)=1.
Δεν έχω λύση γι' αυτήν.
από Παναγιώτης 1729
Σάβ Μαρ 23, 2013 9:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Γεωμετρία Δύσκολη (2)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1956

Re: Γεωμετρία Δύσκολη (2)

Νομίζω ότι προκύπτει απευθείας από το λήμμα ($X'$ είναι το αντίστροφο του $X$ ως προς αντιστροφή που έχει κέντρο $S$ και τυχαία ακτίνα): Έστω $ABC$ τρίγωνο και $S$ σημείο στο εσωτερικό του. Αν $K,L,M$ σημεία στις μεσοκαθέτους των $BC,CA,AB$ αντίστοιχα, ώστε τα τετράπλευρα $SKCB,SLCA,SMAB$ να είναι ε...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση