Η αναζήτηση βρήκε 1945 εγγραφές

από vittasko
Πέμ Μάιος 09, 2019 3:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Στον ίδιο δρόμο με το παράκεντρο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 222

Re: Στον ίδιο δρόμο με το παράκεντρο

Ουσιαστικά μιλάμε για άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος Newton (b), στο μη κυρτό τετράπλευρο AEDB με παρεγγεγραμμένο κύκλο τον (I), σύμφωνα με το οποίο η ευθεία που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του AE,\ BD, περνάει από το κέντρο I του κύκλου (I).

Κώστας Βήττας.
από vittasko
Κυρ Μάιος 05, 2019 11:15 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τομή στη βάση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 186

Re: Τομή στη βάση

...Από το Θεώρημα του Πάππου για τις συνευθειακές τριάδες $\left( E,S,C \right)$ και $\left( D,T,B \right)$ τα σημεία $Q\equiv ET\cap DS,W\equiv EB\cap CD,A\equiv SB\cap TC$ είναι συνευθειακά και συνεπώς τα τρίγωνα $\vartriangle ELB,\vartriangle DNC$ είναι προοπτικά σύμφωνα με το Θεώρημα του Desarq...
από vittasko
Τρί Απρ 23, 2019 3:15 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άλλη μία όμορφη καθετότητα
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 774

Re: Άλλη μία όμορφη καθετότητα

$\bullet$ Το τρίγωνο $\vartriangle HAF$ είναι ισοσκελές με $HA = HF$, από $\angle HFA = \angle HCB = \angle HAF$ και άρα, το σημείο $D$ ταυτίζεται με το μέσον του τμήματος $AF$, λόγω $HD\perp AF$. Έστω $N$ το μέσον του $HF$ και έχουμε $\displaystyle DN // = \frac{AH}{2}\ \ \ (1)$ Από $(1)$ και $\dis...
από vittasko
Δευ Απρ 22, 2019 11:36 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 203

Re: Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο

Το $(a)$ ζητούμενο είναι σχεδόν προφανές. Πράγματι, η ευθεία $KM$ περνάει από το μέσον $R$ του τμήματος $PQ$ $($ Ευθεία Gauss-Newton $)$ και άρα, το τετράπλευρο $PQNL$ είναι τραπέζιο με $LN\parallel PQ$. $\bullet$ Για το δεύτερο ζητούμενο, έστω ότι το $ABCD$ είναι εγγράψιμο και θα αποδειχθεί ότι και...
από vittasko
Δευ Μαρ 18, 2019 4:32 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 693

Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.

Αφιερωμένη στην μνήμη του Vladimir Zajik . Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω $A',\ B'\ C',$ τρία τυχόντα σημεία επί των μεσοκαθέτων ευθειών των πλευρών του $BC,\ AC,\ AB$ αντιστοίχως και στο εξωτερικό μέρος αυτού. Έστω τα σημεία $D\equiv BA'\cap B'C$ και $E\equiv CA'\cap C'B$ και...
από vittasko
Δευ Μαρ 11, 2019 8:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τρισεφαπτόμενος κύκλος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 382

Re: Τρισεφαπτόμενος κύκλος

Για την κατασκευή του κύκλου $(K)$ εναλλακτικά: Η προβολή του σημείου $D$ επί της $BK$ , ταυτίζεται με το έγκεντρο του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ $($ γνωστό, οπότε η δια του $I$ κάθετη ευθεία επί την $BI$ μας δίνει το $D\in AC$ και η δια του $D$ κάθετη ευθεία επί την $BC$ μας δίνει το $K\i...
από vittasko
Σάβ Φεβ 23, 2019 8:11 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διασταύρωση σε κύκλο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 291

Re: Διασταύρωση σε κύκλο

$\bullet$ Η δια του κέντρου $O$ του κύκλου $(O)$ παράλληλη και αντίρροπη ημιευθεία προς την ημιευθεία $LD$ , τέμνει τον $(O)$ στο σημείο έστω $E$ και έστω το σημείο $C\equiv (O)\cap DE$. Η ευθεία $OC$ τέμνει την $LD$ στο σημείο έστω $K$ , το οποίο εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι το κέντρο του ζητούμε...
από vittasko
Τετ Φεβ 20, 2019 9:15 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Γεωμετρικός τόπος ίσων γινομένων αποστάσεων.
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 192

Γεωμετρικός τόπος ίσων γινομένων αποστάσεων.

Με αφορμή την πρόταση Εδώ . Επί δοσμένης ευθείας $(\varepsilon)$ δίνεται η σημειοσειρά $A,\ B,\ C$ και ας είναι $AB > BC$. Να ευρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $M$ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει $(MA)(MC) = (MB)^{2}$. Κώστας Βήττας. ΥΓ. Αυτό το πρόβλημα έρχεται από το παρελθόν. Το είχα προσ...
από vittasko
Κυρ Ιαν 20, 2019 2:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολλά μέσα και καθετότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 370

Re: Πολλά μέσα και καθετότητα

george visvikis έγραψε:...Επειδή τώρα, \displaystyle AD \cdot HD = MD \cdot DN, το H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου AMN.
Εδώ νομίζω είναι όλα τα λεφτά. :coolspeak:

Κώστας Βήττας.
από vittasko
Τετ Ιαν 16, 2019 10:45 pm
Δ. Συζήτηση: Εξετάσεις Σχολών
Θέμα: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1976 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 732

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1976 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Ορίζουμε το $E$ , ως το σημείο τομής της $BC$ από την δια του σημείου $M$ παράλληλη ευθεία προς την $AC$ και αρκεί, ως ισοδύναμο ζητούμενο, να αποδειχθεί ότι η $AE$ περνάει από το μέσον $D$ του τμήματος $MN$ . Αυτό όμως αληθεύει λόγω του παραλληλογράμμου $AMEN$ , από $ME\parallel AN$ και $AN = MB$ κ...
από vittasko
Τρί Ιαν 15, 2019 4:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μεταβλητά σημεία σε σταθερή ευθεία.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 462

Μεταβλητά σημεία σε σταθερή ευθεία.

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O)$ και έστω $D,\ E$ , τυχόντα σημεία επί των πλευρών του $AC,\ AB$ , αντιστοίχως. Η ευθεία $DE$ τέμνει τον κύκλο $(O)$ στα σημεία $M,\ N$ , με το σημείο $D$ έστω μεταξύ των $E,\ M$ και έστω τα σημεία $P\equiv NA\cap CM$ και $Q\equiv MA\cap...
από vittasko
Κυρ Ιαν 13, 2019 1:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 404

Καθετότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο.

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle ABC με \angle A = 90^{o} και ας είναι AB > AC και AD το ύψος του. Έστω το σημείο E\equiv AC\cap BM , όπου M είναι το μέσον του AD και ας είναι Z , η προβολή του σημείου C επί του DE . Αποδείξτε ότι AZ\perp ZB.

Κώστας Βήττας.
από vittasko
Σάβ Ιαν 12, 2019 9:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κατασκευή σε κύκλο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 393

Re: Κατασκευή σε κύκλο

$\bullet$ Μία εύκολη κατασκευή του ζητούμενου κύκλου, χωρίς υπολογισμό της ακτίνας του, βασίζεται σε ένα γνωστό Λήμμα , σύμφωνα με το οποίο η ευθεία $EH$ στο σχήμα του Θάνάση, περνάει από το έγκεντρο $I$ του τριγώνου $\vartriangle ABC$. Επομένως, τα σημεία $E,\ H$, προσδιορίζονται ως τα σημεία τομής...
από vittasko
Παρ Ιαν 11, 2019 1:00 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κάθετη στη διχοτόμο
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 399

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

$\bullet$ Έστω ότι έχει κατασκευαστεί η ζητούμενη διατέμνουσα $SAB$ του κύκλου $(O)$ και ισχύει $OB\perp OD$, όπου $OD$ είναι η διχοτόμος της γωνίας $\angle AOS$. Στο τρίγωνο $\vartriangle OAS$ έχουμε $\displaystyle \frac{DA}{DS} = \frac{OA}{OS} = \frac{1}{2}\ \ \ ,(1)$ Η σημειοσειρά $S,\ D,\ A,\ B$...
από vittasko
Σάβ Ιαν 05, 2019 7:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ίσες γωνίες σε ορθογώνιο τρίγωνο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 344

Re: Ίσες γωνίες σε ορθογώνιο τρίγωνο

Έστω το σημείο $F\equiv BC\cap AQ$ και ας είναι $E$, η προβολή του σημείου $C$ επί της $AQ$, αντί του $H$ της εκφώνησης. Στο τρίγωνο $\vartriangle ACF$, με $H\equiv AD\cap CE$, έχουμε $FH\perp AC\Rightarrow$ $FH\parallel AB$, λόγω $AH\perp CF$ και $CH\perp AF$. Η ευθεία $BQP$ τώρα, περνάει από το ση...
από vittasko
Παρ Ιαν 04, 2019 11:21 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κατασκευή διατέμνουσας τεμνόμενων κύκλων.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 281

Κατασκευή διατέμνουσας τεμνόμενων κύκλων.

Βασισμένη σε συγγενική πρόταση του Θάνου Καλογεράκη . Δίνονται οι κύκλοι $(K),\ (L)$ με κοινή χορδή $AB$ και έστω $C,\ D$, τα σημεία τομής τους αντιστοίχως, από τυχούσα ευθεία δια του σημείου $A$ . Να κατασκευαστεί μία άλλη ευθεία δια του σημείου $A$ , τέμνουσα τους ίδιους κύκλους στα σημεία έστω $E...
από vittasko
Τρί Ιαν 01, 2019 12:08 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΕΥΧΕΣ
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 393

Re: ΕΥΧΕΣ

Καλή χρονιά με υγεία και χαρά στις οικογένειές σας. Για τα πρώτα δεκάχρονα του :logo: , εύχομαι καλή συνέχεια με δυνατή παρουσία στα μαθηματικά δρώμενα της πατρίδας μας, με αξιόλογες δημοσιεύσεις, πολύτιμες και διδακτικές όπως μέχρι τώρα. Για τους μεγαλύτερους (70+), εύχομαι να είμαστε γεροί στο σώμ...
από vittasko
Κυρ Δεκ 30, 2018 11:57 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 510

Re: Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

Καλές γιορτές με υγεία και χαρά στις οικογένειές σας για το 2019. Το έχουμε ξαναδεί Εδώ , ως Λήμμα για την πρωτοεμφανισθείσα (;) απόδειξη του Θεωρήματος Newton (b) . Κώστας Βήττας. ΥΓ. Θάνο, αν θέλεις μας λες την πηγή της πρότασης που έβαλες, αν δεν είναι δική σου έμπνευση. Θεωρούσα ως προσωπική κατ...
από vittasko
Τετ Νοέμ 14, 2018 3:24 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μεγάλες κατασκευές 16
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 501

Re: Μεγάλες κατασκευές 16

Διαβάζοντας την λύση του Σωτήρη πιο πάνω, η γενίκευση στην οποία αναφέρεται ο Γιώργος, δεν δυσκολεύει καθόλου.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Το πρόβλημα έχει πάντοτε δύο λύσεις. ( Εξαιρουμένης της περίπτωσης όταν PS\perp Oy για την οποία προκύπτει B\equiv C , όπως εύστοχα μου επεσήμανε ο Γιώργος ).
από vittasko
Παρ Νοέμ 09, 2018 10:43 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Εμβαδόν από το πουθενά
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 628

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

Όμως Κώστα, μιλάμε για κάτι λιγότερο από διακόσια χρόνια πριν!

Εντύπωση βέβαια προκαλεί και θα είχε ενδιαφέρον να δει κάποιος, αυτό που αναφέρεται πιο κάτω για την διερεύνηση.

..."ενδιαφέρουσα και μακρά"...

Κώστας Βήττας.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση