Στην πραγματικότητα είναι το εξής:
Αν η είναι κυρτή στο τότε το μέγιστό της είναι το , το οποίο, αν και προφανές διαισθητικά, θέλει απόδειξη.
Η αναζήτηση βρήκε 6228 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Πέμ Απρ 11, 2024 6:14 pm
- Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
- Θέμα: Αναπόδεικτο λήμμα
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 172
- Παρ Μαρ 22, 2024 8:43 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Μαθηματικές Διαδρομές_4_Σέξι Γωνία
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 325
Re: Μαθηματικές Διαδρομές_4_Σέξι Γωνία
Μάλλον έχετε αντιληφθεί λάθος τι σημαίνει διασκεδαστικά μαθηματικά.
- Πέμ Μαρ 21, 2024 11:49 pm
- Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Τρίγωνο σε έλλειψη
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 1251
Re: Τρίγωνο σε έλλειψη
Χωρίς λογισμό: Ας είναι $\displaystyle{\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1}$ η έλλειψη και ας είναι $\displaystyle{K(A\sin a, B\cos a), L(A\sin b, B\cos b), M(A\sin c, B\cos c)}$ τρία σημεία αυτής. Από τη γνωστή σχέση $\displaystyle{(KLM)=\frac{1}{2} |\left|\displaystyle {\begin{array}{*{20}{c}} x_K&y...
- Τρί Μαρ 05, 2024 6:38 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 17706
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Έχοντας περάσει μία εβδομάδα γεμάτη refresh στο site στης Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρίας, έχω να πω οτι τα χέρια μου κοντεύουν να βγάλουν φούσκες...Ας μην μας αφήνουν στην αγωνία αν δεν χρειάζεται και αν υπάρχει κάποιο πρόβλημα στην βαθμολόγηση θα ήταν καλό να λυθεί το συντομότερο δυνατόν.Πραγματικ...
- Πέμ Φεβ 22, 2024 6:33 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Εξέταση σε εξίσωση βαθμού έξι
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 333
Re: Εξέταση σε εξίσωση βαθμού έξι
Με την παρατήρηση ότι , η εξίσωση γράφεται
και τα υπόλοιπα είναι απλά.
και τα υπόλοιπα είναι απλά.
- Πέμ Φεβ 22, 2024 6:22 pm
- Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
- Θέμα: Ανισότητες από άλλες ανισότητες
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 362
Re: Ανισότητες από άλλες ανισότητες
Αποδεικνύονται αμέσως και με απλή χρήση της ανισότητας ΑΜ-ΓΜ. Π.χ. για την πρώτη: $\displaystyle{a^4+3b^4>4|ab^3|\geq 4ab^3}$ $\displaystyle{b^4+3c^4>4|bc^3|\geq 4bc^3}$ $\displaystyle{c^4+3d^4>4|cd^3|\geq 4cd^3.}$ Με πρόσθεση λαμβάνουμε το ζητούμενο. Από την απόδειξη αυτή φαίνεται ότι η διάταξη δεν...
- Τετ Φεβ 14, 2024 11:30 am
- Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
- Θέμα: Είναι το 0 σημείο καμπής;
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 323
Re: Είναι το 0 σημείο καμπής;
Ωστόσο, στο η έχει κατακόρυφη εφαπτομένη, οπότε αυτή η περίπτωση δεν αφορά τους μαθητές. Υποθέτω για αυτόν τον λόγο το θέμα τοποθετήθηκε στο συγκεκριμένο φάκελο.
- Σάβ Φεβ 10, 2024 11:33 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Ευχές
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 278
Re: Ευχές
Τι; ευχές μου στον Μπάμπη, με υγεία!
- Πέμ Φεβ 08, 2024 10:28 pm
- Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Επιτέλους κάτι κοινό
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 263
Re: Επιτέλους κάτι κοινό
Για $\displaystyle{a=3}$ θα θέλαμε να ισχύει $\displaystyle{3\sin x+\tan x\geq 4x}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)}$, η οποία όμως αποτυγχάνει στο $\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$. Για το δεύτερο ερώτημα: Κάθε τέτοιο $\displaystyle{a}$ θα ικανοποιεί την συνθήκη $\displaysty...
- Τετ Φεβ 07, 2024 10:02 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
- Απαντήσεις: 87
- Προβολές: 8213
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Πάντως δεν μπορεί να αποφύγει κάνεις να παρατηρήσει την ισχυρή παρουσία των ιδιωτικών σχολείων... :!: Δείτε εδώ . Ισχύει αυτό που λέτε. Αλλά σίγουρα δεν έχει απαραίτητα σχέση με διαφορά ποιότητας μαθήματος. Εννοείται! Οι λόγοι πρέπει να αναζητηθούν αλλού. Λ.χ. στο γεγονός ότι είναι πάγια τακτική με...
- Δευ Φεβ 05, 2024 3:14 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Ανισότητα
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 277
Re: Ανισότητα
Με χρήση της $\displaystyle{h_a=\frac{2E}{a}}$, όπου $\displaystyle{E}$ το εμβαδόν, η ζητούμενη γράφεται $\displaystyle{\sum \frac{1}{c}\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2ab}}\leq \frac{\sqrt{3}R}{4r^2}.}$ Λόγω της ανισότητας του Τσίντσιφα (βλ. American Mathematical Monthly, Problem E2471) $\displaystyle{\boxed{...
- Παρ Φεβ 02, 2024 9:51 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Υπολογισμός γινομένου
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 325
Re: Υπολογισμός γινομένου
Υποθέτω ότι επειδή είναι στον φάκελο Θαλή/Ευκλείδη υπάρχει κάτι απλούστερο, αλλά γράφω τη λύση που σκέφτηκα με το που είδα το πρόβλημα. Το ζητούμενο είναι το $\displaystyle{M=\prod_{k=0}^{14}\sin a_k}$, όπου $\displaystyle{a_k=\frac{(6k+1)\pi}{45}}$. Ας είναι $\displaystyle{x_k=\cos a_k+i\sin a_k,}$...
- Κυρ Ιαν 14, 2024 12:21 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Πολυώνυμα!
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 285
Re: Πολυώνυμα!
Η σχέση γράφεται ως
,
οπότε για το πολυώνυμο ισχύει Τότε ως γνωστόν είναι
,
οπότε για το πολυώνυμο ισχύει Τότε ως γνωστόν είναι
- Παρ Ιαν 05, 2024 11:36 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Η στιγμή του συνημιτόνου
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 361
Re: Η στιγμή του συνημιτόνου
Από τον νόμο των συνημιτόνων στα τρίγωνα $\displaystyle{ABD,BCD}$ έχουμε αντίστοιχα $\displaystyle{BD^2=4^2+5^2-2\cdot 4\cdot 5\cos A}$ και $\displaystyle{BD^2=6^2+5^2-2\cdot 5\cdot 6\cos C.}$ Από αυτές και επειδή $\displaystyle{\cos A=-\cos C}$ βρίσκουμε $\displaystyle{\cos C=\frac{1}{5}.}$ Όμως $\...
- Σάβ Δεκ 23, 2023 12:49 am
- Δ. Συζήτηση: Γενικά
- Θέμα: Ρητή προσέγγιση του ln2
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 719
Ρητή προσέγγιση του ln2
Είναι και .
Πώς θα αποδείξουμε ότι ;
Πώς θα αποδείξουμε ότι ;
- Παρ Δεκ 08, 2023 2:05 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
- Θέμα: Ζητείται η συνάρτηση
- Απαντήσεις: 26
- Προβολές: 2659
Re: Ζητείται η συνάρτηση
Άρα, $\displaystyle f(x) = \frac{{2{x^2} - 4x + 4}}{{1 - x}},x \in \mathbb{R} - \left\{ { - 1,1,2} \right\}$ Οι περιορισμοί που προκύπτουν για το $\displaystyle{x}$ κατά τη διαδικασία εύρεσης της συνάρτησης, δεν είναι απαραίτητο να περιορίσουν και το πεδίο ορισμού της. Μπορούμε την συνάρτηση να την...
- Παρ Δεκ 01, 2023 2:59 pm
- Δ. Συζήτηση: Ιστορία των Μαθηματικών
- Θέμα: Αναχρονιστική εφαπτόμενη
- Απαντήσεις: 14
- Προβολές: 1344
Re: Αναχρονιστική εφαπτόμενη
Επιτρέπεται να απαιτήσουμε ότι η εξίσωση έχει πολλαπλή ρίζα;
- Τετ Νοέμ 22, 2023 10:18 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
- Θέμα: Ποιός έχει τελικά πρόβλημα;
- Απαντήσεις: 11
- Προβολές: 1775
Re: Ποιός έχει τελικά πρόβλημα;
Βεβαίως και μπορούμε. Αυτός είναι ο ορισμός του $(x^2)^{\frac{1}{3}}$ και δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα με αρνητική ποσότητα κάτω από τη ρίζα. Να το προχωρήσω λίγο , ισχύει τότε η ιδιότητα των δυνάμεων: $(x^2)^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{2}{3}}$ ; Ναι ισχύει. Ορισμός. Όχι, δεν ισχύει. Πάντα μιλώντας για τ...
- Τετ Νοέμ 01, 2023 10:56 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
- Θέμα: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει
- Απαντήσεις: 49
- Προβολές: 6596
Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει
Άσκηση 9 Δείξτε ότι δεν υπάρχει 1-1 συναρτήση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με $f(x^2) \ge f^2 (x) + \dfrac {1}{4} $, για κάθε $x \in \mathbb R $. Επίσης, δείξτε με παράδειγμα ότι υπάρχει συνάρτηση (αναγκαστικά όχι $1-1$) που ικανοποιεί την παραπάνω ανισότητα για κάθε $x \in \mathbb R $. Για...
- Σάβ Οκτ 28, 2023 8:34 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Μια … α ΣΧΗΜΑ τιστη Γεωμετρική ανισότητα
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1078
Re: Μια … α ΣΧΗΜΑ τιστη Γεωμετρική ανισότητα
Την ίδια έχουμε, αλλά δεν μπορούσα να διαχωρίσω τον φάκελο. Γ ια παράδειγμα: Η παρακάτω σε πιο φάκελο μπαίνει ; Έστω $a,\,\,b>0\,\,$ και ${{a}^{2}}+ab+9{{b}^{2}}=1$ . Δείξτε ότι $-\displaystyle\frac{\sqrt{21}}{4}\le \displaystyle\frac{a+3b}{1+ab}\le \frac{\sqrt{21}}{4}$. Αυτή είναι σαφώς απλούστερη...