Ας είναι τα σημεία τα $\displaystyle{A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)}$. Αν $\displaystyle{x_1=x_2}$, το ζητούμενο είναι προφανές. Ας είναι λοιπόν $\displaystyle{x_1<x_2}$ και ας είναι $\displaystyle{y=ax+b}$ η ευθεία $\displaystyle{AB}$ Είναι $\displaystyle{f(x_1)>ax_1+b}$, οπότε αποκλείεται να ισχύει $\displ...

Έστω $x,y, z$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\sqrt{\frac{x}{x+y}} + \sqrt{\frac{y}{y+z}} + \sqrt{\frac{z}{z+x}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}}$ Αν δεν κάνω λάθος εδω μπορούμε να διατάξουμε τις μεταβλητές και μετά εύκολα βγαίνουμε στο ζητουμενο? Δεν είναι τόσο απλά τα πράγματα...

Αλλιώς: Ας είναι $\displaystyle{B(0,0), C(1,0), A(x,y)}$. Η συνθήκη $\displaystyle{\angle BAC>90^o}$ γράφεται $\displaystyle{BC^2>AB^2+AC^2 \iff x^2+y^2-x<0.}$ Ας είναι $\displaystyle{M(m,0)}$. Η συνθήκη $\displaystyle{MA^2=MB\cdot MC}$ γράφεται, αφού γίνουν οι πράξεις, $\displaystyle{2m^2-(2x+1)m+x...

Αλλιώς, η ζητούμενη είναι άμεση συνέπεια των γνωστών

για κάθε

Άσκηση 51 Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με $P(k)=F_k $ για κάθε $k\in \mathbb N$, όπου $F_k$ οι αριθμοί Fibonacci Αν υπήρχε τέτοιο πολυώνυμο, θα είχαμε $\displaystyle{f(k+1)=F_{k+1}}$ και $\displaystyle{f(k+2)=F_{k+2}}$ για κάθε $\displaystyle{k\in \mathbb{N}}$, οπότε θα ήταν $\displaysty...

Όπως είναι φανερό από την παραπάνω απόδειξη, δεν χρειάζεται να είναι οι γωνίες του τριγώνου σε αριθμητική πρόοδο, αλλά μόνο να είναι μία τουλάχιστον γωνία ίση με

Επίσης ας προσθέσω ότι αυτή η συνθήκη είναι ισοδύναμη με την

Για προκύπτει ότι Θα δείξουμε ότι αποδεικνύοντας ότι

για κάθε Βέβαια αυτό είναι απλούστατο μελετώντας τη συνάρτηση

Μια λύση για το 1ο των μικρών: Ισχύει $\displaystyle{(a+b+c)^4=a^4+b^4+c^4+4(ab^3+bc^3+ca^3+a^3b+b^3c+c^3a)+12abc(a+b+c)+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2).}$ Λόγω των εξίσωσεων του συστήματος προκύπτει $\displaystyle{a^4+b^4+c^4+4(a^3b+b^3c+c^3a)+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=0}$ δηλαδή $\displaystyle{a^2\left[(a+2...

Αν $a,b,c,d$ θετικοί με $abcd\ge 1$, να αποδειχθεί ότι $\dfrac {1}{a+3}+\dfrac {1}{b+3}+\dfrac {1}{c+3}+\dfrac {1}{d+3}\le 1$ Πιο σύντομα: Η ζητούμενη γράφεται ως $\displaystyle{\sum \frac{a}{a+3}\geq 1.}$ Από Cauchy Schwarz είναι $\displaystyle{\sum \frac{a}{a+3}=\sum \frac{\sqrt{a}^2}{a+3}\geq \f...

Πρόκειται για την γνωστή πρόταση



που έχει αναφερθεί και εδώ, μόνο τώρα που είναι

Πρόκειται στην πραγματικότητα για την ανισότητα $\displaystyle{\boxed{x,y,z>0 \implies \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}}}$ μέσω της αντικατάστασης $\displaystyle{x=s-a, y=s-b, z=s-c.}$ Η αποδεικτέα γράφεται μετά από τον μετασχηματισμό $\displaystyle{\frac{x}{y}=k^3...

Η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=6^x+3^x+2^x-x^2}$ είναι γνησίως αύξουσα, οπότε, επειδή η ανίσωση γράφεται $\displaystyle{f(x)\geq f(-1)}$, οι λύσεις της είναι οι αριθμοί του διαστήματος $\displaystyle{[-1, +\infty ).}$ Πράγματι, είναι $\displaystyle{f'(x)=6^x \ln 3+3^x \ln 3+2^x \ln 2-2x>6^x+3^x-2x=...

Θέμα 1ο Γ' Λυκείου: Μια ακόμα αντιμετώπιση με μια ιδέα που έχουμε ξανασυζητήσει. Θέτουμε $\displaystyle{a=1+x,b=1-x, x\in [-1,1].}$ Είναι $\displaystyle{a^3+b^3=(1+x)^3+(1-x)^3=\cdots =6x^2+2}$ και $\displaystyle{a^4+b^4=(1+x)^4+(1-x)^4=\cdots =2x^4+12x^2+2.}$ Επομένως $\displaystyle{A=-6x^4+12x^2+...

Επίσης, βλέπουμε κάποιον να ξέρει ρητά του Euler, αλλά όχι πώς γράφεται το όνομά του.

Γιώργο, από πού είναι αυτό;

Eίναι μονώνυμο το ;

Ας το δούμε και αλλιώς. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι $\displaystyle{a,b,c}$ είναι ακέραιοι. Αν $\displaystyle{x=\sqrt[3]{3}}$ είναι ρίζα, έχουμε τις ισότητες $\displaystyle{ax^2+bx+c=0, \\ 3a+bx^2+cx=0, \\ 3ax+3b+cx^2=0}$. Αυτό το σύστημα είναι ομογενές με μη μηδενικές λύσεις, οπότε ισχύει $\displa...

Δηλαδή λίγο πολύ μας λες ότι τα παρακάτω είναι βήματα που μπορούν να παραλειφθούν από την απόδειξη Έχουμε $\displaystyle \frac {\sin (169^\circ-\angle \theta)}{\sin \angle \theta}=cos 11^\circ +\frac {\sin 11^\circ}{\tan \angle \theta}$, $\displaystyle\frac {\sin 136^\circ}{\sin 33^\circ}-cos 11^\ci...

cool geometry έγραψε: ↑

Παρ Σεπ 23, 2022 12:40 pm

Από αυτές τις δύο σχέσεις λαμβάνουμε


και αφού


θα είναι

Δεν καταλαβαίνω πώς προκύπτει το ζητούμενο. Θα ήθελα να δω όλη την απόδειξη.

Είναι λογικό να θέσουμε $\displaystyle{a+b=2z, b+c=2x, c+a=2y}$, οπότε $\displaystyle{a=y+z-x, b=z+x-y, c=x+y-z}$, με $\displaystyle{x,y,z\in \left[0,\frac{1}{2}\right]}$. Θέλουμε το μέγιστο της παράστασης $\displaystyle{(x+y-z)^2+(y+z-x)^2+(z+x-y)^2}$ όταν $\displaystyle{x,y,z\in \left[0,\frac{1}{2...

Αν κάποιος εκ των $\displaystyle{a,b,c}$ ισούται με μηδέν, π.χ. ο $\displaystyle{a}$, θέλουμε να είναι ακέραιοι οι $\displaystyle{\frac{b}{c}, \frac{c}{b}}$, οπότε $\displaystyle{|b|=|c|.}$ Αν $\displaystyle{abc\ne 0}$, είναι $\displaystyle{\left|\frac{a}{b+c}\right|\geq 1, \left|\frac{b}{c+a}\right...