Η αναζήτηση βρήκε 6076 εγγραφές

από matha
Τετ Ιούλ 15, 2020 10:03 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ισοσκελές τρίγωνο-2
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 62

Re: Ισοσκελές τρίγωνο-2

Από το θεώρημα τεμνόμενων χορδών βρίσκουμε αμέσως ότι $\displaystyle{DZ=\frac{b^2}{4m_b},~~EH=\frac{c^2}{4m_c}.}$ Δεδομένου ότι ισχύει η ισοδυναμία $\displaystyle{x\geq y\iff m_x\leq m_y,}$ έχουμε $\displaystyle{DZ=EH\implies \frac{b^2}{m_b}=\frac{c^2}{m_c}\implies \left(\frac{b}{c}\right)^2=\frac{m...
από matha
Δευ Ιουν 29, 2020 8:55 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 1
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 295

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 1

Pantelis.N έγραψε:
Δευ Ιουν 29, 2020 6:57 pm
Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε (3a+4b)^2\leq 25

Από Cauchy-Schwarz παίρνουμε (9+16)(a^2+b^2)\geq (3a+4b)^2

Άρα αρκεί (9+16)(a^2+b^2)\leq 25 που ισχύει εφόσον a^2+b^2=1
Η λύση σου έχει πρόβλημα. Βρες το και αν χρειαστείς βοήθεια, εδώ είμαστε.
από matha
Πέμ Ιουν 25, 2020 7:38 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άρρητη εξίσωση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 172

Re: Άρρητη εξίσωση

Θέτουμε $\displaystyle{f(x)=\sqrt[3]{2x-1}, x\geq \frac{1}{2}.}$ Τότε είναι φανερά $\displaystyle{f^{-1}(x)=\frac{x^3+1}{2}, x\geq 0}$ και η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{f(x)=f^{-1}(x).}$ Επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα, η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{f(x)=x,x\g...
από matha
Πέμ Ιουν 25, 2020 1:25 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2020
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 320

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2020

Νομίζω το ελάχιστο που μπορούμε να ζητήσουμε, ώστε να συζητήσουμε, είναι η εκφώνηση.
από matha
Τετ Ιουν 24, 2020 9:19 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Άκρες τιμές συνάρτησης!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 132

Άκρες τιμές συνάρτησης!

Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης

\displaystyle{\rm \bf f(x)=\sin (\sin ^2x)+\cos (\cos ^2x).}
από matha
Τετ Ιουν 17, 2020 7:43 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Πρόσημο αριθμού υπό συνθήκη!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 274

Πρόσημο αριθμού υπό συνθήκη!

Δίνεται αριθμός $\displaystyle{a\in \mathbb{R}}$, για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{e^a+2a-e=0.}$ Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{b=a^2-(e+2)a+e-1}$ είναι αρνητικός. $\displaystyle{\color{red}\rule{500pt}{3pt}}$ Φανερά το ερώτημα σχετίζεται με τα θέματα των σημερινών εξετάσεων. Ωστόσο τ...
από matha
Δευ Ιουν 15, 2020 7:22 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διοφαντική!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 478

Διοφαντική!

Διαβάζοντας σήμερα ένα βιβλίο, έπεσα σε μια διοφαντική, η οποία βλέπω ότι είναι λυμένη λάθος. Η αλήθεια είναι ότι δεν έχω "όμορφη" λύση, οπότε σας την παραδίδω.

\displaystyle{\rm x^3-y^3=2005(x^2-y^2).}
από matha
Κυρ Ιουν 14, 2020 10:51 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 298

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα

Ας δούμε μια απόδειξη. Το γινόμενο ισούται με $\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}\frac{2(2k-1)}{k}=2^n\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{n!}.}$ Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{(2n)!=\left(1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)\right)\left(2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)\right)=2^n \left(1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)\rig...
από matha
Παρ Ιουν 12, 2020 5:36 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Από ένα Ρουμάνο στο Τέξας
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 556

Re: Από ένα Ρουμάνο στο Τέξας

T2.png Έμεινε αναπάντητη για μερικές μέρες, οπότε βάζω μια απόδειξη σε αυτή την ανισότητα που αποτέλεσε θέμα του τεστ επιλογής στις Η.Π.Α. για την Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα του 2000 και προτάθηκε από τον Ρουμάνο στο Τέξας, ήτοι τον $\displaystyle{T_2}$. Η απόδειξη σχετίζεται με την απόδειξη της α...
από matha
Παρ Ιουν 12, 2020 4:57 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Γωνία από σχέση πλευρών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 134

Re: Γωνία από σχέση πλευρών

Η συνθήκη γράφεται ως $\displaystyle{f(a)=0,}$ όπου $\displaystyle{f(a)=55a^2+2(21b-56c)a+15b^2-48bc+58c^2.}$ Η διακρίνουσα του τριωνύμου ισούται με $\displaystyle{-24(8b-3c)^2,}$ άρα ισχύει $\displaystyle{8b=3c.}$ Τότε έχουμε $\displaystyle{a=\cdots =\frac{7b}{3},}$ οπότε από την προηγούμενη ισότητ...
από matha
Τρί Μάιος 19, 2020 7:13 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Εξετάσεις GRE και Πανελλαδικές
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 492

Re: Εξετάσεις GRE και Πανελλαδικές

Η ύλη του GRE που αναφέρεται, όπως φαίνεται, αφορά πτυχιούχους. Βλέπουμε αρκετό λογισμό μιας και πολλών μεταβλητών, αρκετή γραμμική άλγεβρα, θεωρία ομάδων, δακτυλίων, σωμάτων κτλ.
Τι σχέση μπορεί να έχει αυτή η εξέταση με την ύλη που διδάσκεται στα σχολεία μας; Αδυνατώ να κάνω τη σύνδεση. :?
από matha
Σάβ Μάιος 16, 2020 7:30 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 719

Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Φαντάζομαι ότι οι θεματοδότες πήραν το θέμα από το βιβλίο του ‎George Pólya, How to Solve it (Πώς να το λύσω) το οποίο είχε κυκλοφορήσει νωρίτερα. Πράγματι, στα προβλήματα που παραθέτει ο συγγραφέας στο τέλος του βιβλίου, το 14ο είναι το εξής: $\displaystyle{\rule{230pt}{5pt}}$ Να βρείτε τις τιμές τ...
από matha
Σάβ Μάιος 16, 2020 11:49 am
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Σ-Λ
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 408

Re: Σ-Λ

Δεδομένου ότι βρισκόμαστε σε σχολικό φάκελο, τροποποιώ ελαφρώς την πρόταση του Σταύρου και αποδεικνύω το εξής: Πρόταση: Αν $\displaystyle{f:(a,b)\to \mathbb{R}}$ συνάρτηση για την οποία ισχύει $\displaystyle{f(x)f'(x)=0~~\forall x\in (a,b)}$, τότε η συνάρτηση είναι σταθερή στο $\displaystyle{(a,b).}...
από matha
Πέμ Μάιος 14, 2020 9:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Μέγιστα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 204

Re: Μέγιστα

1)Για $0<x<1,0<y<1$ να βρεθεί το μέγιστο της $\displaystyle K=\frac{x(1-x)y(1-y)}{1-xy}$ Ας είναι $\displaystyle{a=x+y, b=xy,}$ οπότε $\displaystyle{b\in (0,1)}$ και $\displaystyle{a\geq 2\sqrt{b}.}$ Τότε έχουμε $\displaystyle{K=\frac{b(1+b-a)}{1-b}\leq \frac{b(1+b-2\sqrt{b})}{1-b}.}$ Η συνάρτηση $...
από matha
Σάβ Μάιος 09, 2020 9:20 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Ρητή συνάρτηση και πολυώνυμο!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 292

Ρητή συνάρτηση και πολυώνυμο!

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ρητή συνάρτηση \displaystyle{\rm f(x)} με πραγματικούς συντελεστές, ώστε

\displaystyle{\rm f\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=P(x),}

όπου \displaystyle{\rm P(x)\in \mathbb{R}[x]} μη σταθερό πολυώνυμο.
από matha
Τετ Μάιος 06, 2020 8:23 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Ένα άθροισμα!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 281

Ένα άθροισμα!

Να υπολογίσετε το άθροισμα

\displaystyle{\rm S(n)=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\cos ^n \left(\frac{k\pi}{n}\right).}
από matha
Κυρ Μάιος 03, 2020 8:01 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μη αρνητικό πολυώνυμο!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 451

Re: Μη αρνητικό πολυώνυμο!

Το πρόβλημα αυτό είναι του Laurențiu Panaitopol (1940-2008), γνωστού Ρουμάνου μαθηματικού σε σχέση με μαθηματικούς διαγωνισμούς. Το πρόβλημα αποτέλεσε μάλιστα το 4ο θέμα στο τεστ επιλογής της Ρουμανίας για την Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα του 1987. Η απόδειξη που έχω είναι σχεδόν ίδια με αυτήν στην π...
από matha
Πέμ Απρ 30, 2020 4:55 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μη αρνητικό πολυώνυμο!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 451

Μη αρνητικό πολυώνυμο!

Έστω $\displaystyle{P(x)=a_n x^n +a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1 x+a_0,~a_n>0, a_0> 0}$, πολυώνυμο άρτιου βαθμού, για το οποίο ισχύει $\displaystyle{a_1 ^2+a_2 ^2 +\cdots a_{n-1}^2\leq \frac{4\min (a_0,a_n)^2}{n-1}}$. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{P(x)\geq 0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}.}$
από matha
Τετ Απρ 29, 2020 3:32 pm
Δ. Συζήτηση: Εκπαιδευτικά Θέματα
Θέμα: ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ ΤΟΥ mathematica.gr ΓΙΑ ΤΟ ΠΟΛΥΝΟΜΟΣΧΕΔΙΟ
Απαντήσεις: 226
Προβολές: 6798

Re: ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ ΤΟΥ mathematica.gr ΓΙΑ ΤΟ ΠΟΛΥΝΟΜΟΣΧΕΔΙΟ

Υπογράφω την παραπάνω ανακοίνωση.
Αθανάσιος Μάγκος, Μαθηματικός.
από matha
Δευ Απρ 27, 2020 2:51 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Quickie!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 398

Re: Quickie!

Ακριβώς! Εξ ου και η έμπνευση. :)

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση