Η αναζήτηση βρήκε 6016 εγγραφές

από matha
Κυρ Ιαν 19, 2020 2:00 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 213

Ανισότητα!

Ένα από τα θέματα του διαγωνισμού ΑPMO (Asian Pacific Math. Olympiad) του 2004 είναι το κλασικό πλέον $\displaystyle{\color{blue}\boxed{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)}}$ για κάθε $\displaystyle{a,b,c>0.}$ Ας αποδείξουμε το ισχυρότερο $\displaystyle{\color{red}\boxed{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq ...
από matha
Τετ Ιαν 08, 2020 11:59 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Σταθερά-Άθροισμα κύβων
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 689

Re: Σταθερά-Άθροισμα κύβων

Κάνω την αρχή! Αν η ζητούμενη ισχύει για όλους τους $\displaystyle{a,b,c\geq 0,}$ θα ισχύει και για τους $\displaystyle{a=1+x,b=1-x, c=0,}$ όπου $\displaystyle{x\in (-1,1).}$ Με αντικατάσταση στην ανισότητα προκύπτει $\displaystyle{\frac{1}{m}\geq \frac{x^3-x}{3x^2+1}}$ (την γράφουμε έτσι για να μην...
από matha
Τετ Ιαν 08, 2020 11:08 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ευκολότερη εκδοχή!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 236

Ευκολότερη εκδοχή!

Με αφορμή αυτό το θέμα:

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του ακεραίου \displaystyle{m}, ώστε να ισχύει

\displaystyle{a^3+b^3+c^3-3abc\geq m(a-b)(b-c)(c-a)}

για κάθε \displaystyle{a,b,c\geq 0.}
από matha
Κυρ Ιαν 05, 2020 8:02 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Συντομία , όχι ταχύτητα
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 341

Re: Συντομία , όχι ταχύτητα

Λίγο διαφορετικά:

Από τη σχέση

\displaystyle{\tan X=\frac{4(XYZ)}{y^2+z^2-x^2}} έχουμε

\displaystyle{\tan \theta =\frac{4\frac{(ABC)}{2}}{\frac{a^2}{4}+m_a ^2-c^2}=\frac{4(ABC)}{b^2-c^2}.}

Με αντικατάσταση βρίσκουμε

\displaystyle{\tan \theta =\frac{24}{11}.}
από matha
Δευ Δεκ 30, 2019 12:48 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Τριγωνομετρικά αθροίσματα!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 412

Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα!

Γιώργο, ίσως έχεις δίκιο (δεν έλεγξα την απόδειξή σου). Πάντως, η αρχική εκφώνηση είναι όπως την έδωσα.
από matha
Τετ Δεκ 25, 2019 7:43 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Τριγωνομετρικά αθροίσματα!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 412

Τριγωνομετρικά αθροίσματα!

Πέτυχα τις παρακάτω ισότητες, οι οποίες έχουν το άρωμα του Ramanujan. Δεν επιχείρησα να τις αποδείξω, οπότε τις παραδίδω στο κοινό του :santalogo: . $\displaystyle{\color{red}\boxed{\bf 1}}$ : $\displaystyle{ \quad \frac{\sin (2\pi /7)}{\sin ^2 (3\pi /7)}-\frac{\sin (\pi /7)}{\sin ^2 (2\pi /7)}+\fra...
από matha
Τετ Δεκ 25, 2019 12:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: 11 χρόνια mathematica.gr
Απαντήσεις: 18
Προβολές: 729

Re: 11 χρόνια mathematica.gr

Χρόνια πολλά mathematica.gr.

Ένα μεγάλο σχολείο!
από matha
Παρ Δεκ 13, 2019 7:17 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Για ποιούς φυσικούς ισχύει η ανίσωση;
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 322

Re: Για ποιούς φυσικούς ισχύει η ανίσωση;

Μια ακόμα αντιμετώπιση: Από την ανισότητα Jordan γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{\frac{2x}{\pi}<\sin x<x}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}$. Επομένως ισχύει $\displaystyle{\frac{2}{n}<\sin \frac{\pi}{n}<\frac{\pi}{n}.}$ Λόγω των συνθηκών, λαμβάνουμε $\displaystyle{\frac{2}{n...
από matha
Παρ Δεκ 06, 2019 7:07 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Περίοδος συνάρτησης
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 214

Re: Περίοδος συνάρτησης

Έχεις δίκιο Σταύρο ! Έχω γράψει λάθος τη συνάρτηση ... Να δειχθεί ότι η συνάρτηση $f(x)=\sin \alpha x + \sin \frac{\alpha}{\beta} x $ είναι περιοδική όταν $0 \neq \frac{\alpha}{\beta} \in \mathbb{Q}$ με περίοδο $\mathrm{T}=2\pi \beta$. Δεν έχω απάντηση!! Δεν νομίζω να είναι αυτή η συνάρτηση. Απάντη...
από matha
Παρ Νοέμ 22, 2019 11:22 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο παράστασης
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 373

Re: Μέγιστο παράστασης

Από ΑΜ-ΓΜ είναι $\displaystyle{\sqrt[3]{ab}\leq \frac{a+b+1}{3}}$ και $\displaystyle{\sqrt[3]{a+c}=\frac{\sqrt[3]{2\cdot 2\cdot (a+c)}}{\sqrt[3]{4}}\leq \frac{a+c+4}{3\sqrt[3]{4}}}$. Επομένως, το αριστερό μέλος είναι $\displaystyle{\leq \sum \frac{(a+b+1)(a+c+4)}{9\sqrt[3]{4}}=\frac{a^2+b^2+c^2+3(ab...
από matha
Κυρ Νοέμ 17, 2019 8:21 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ο495 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 459

Re: Ο495 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Όπως φαίνεται και από την απόδειξη του Αλέξανδρου, πρόκειται για μια χαλαρή ανισότητα. Ας δούμε και την ακόλουθη παρατήρηση. Η αποδεικτέα γράφεται (γιατί;) ως $\displaystyle{\sum \sin B\sin C \leq \sum \cos A+\frac{1}{3}\left (\sum \cos A \right)^2.}$ Λόγω της $\displaystyle{1<\sum \cos A\leq \frac{...
από matha
Τετ Νοέμ 13, 2019 6:18 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διαιρετότητα με το 1989
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 345

Διαιρετότητα με το 1989

Αν \displaystyle{n\geq 3} είναι ακέραιος, να αποδείξετε ότι

\displaystyle{1989|\Bigleft (n^{n^{n^n}}-n^{n^{n}}\Bigright)}
από matha
Δευ Οκτ 21, 2019 11:00 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Απλή ανισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 391

Re: Απλή ανισότητα

Γεια σου Γιώργη!

Δεν ξέρω γιατί τοποθέτησες την ανισότητα αυτή στο φάκελο των Διασκεδαστικών Μαθηματικών. Πάντως είναι άμεση εφαρμογή της ανισότητα Cauchy-Schwarz.
από matha
Κυρ Οκτ 06, 2019 8:58 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Κυριακάτικη ενόχληση
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 366

Re: Κυριακάτικη ενόχληση

Είναι

\displaystyle{\delta _{a}=\frac{2bc}{b+c}\cos \frac{A}{2}=\frac{2\cdot 20\cdot 35}{20+35}\cos 45^o=\frac{140}{11}\sqrt{2}=17,99908...}
από matha
Πέμ Ιούλ 04, 2019 2:06 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Η σαραντάρα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 706

Re: Η σαραντάρα

Ας παρατηρήσουμε ακόμα ότι η ζητούμενη είναι ισοδύναμη με την γνωστότατη σχέση $\displaystyle{\sin 20^o \sin 40^o \sin 80^o =\frac{\sqrt{3}}{8}.}$ ($\displaystyle{\color{red}\bigstar}$) Πράγματι, επειδή ισχύει $\displaystyle{1-\tan ^2 10^o=\frac{\cos 20^o}{\cos ^2 10^o}}$, η αποδεικτέα γράφεται $\di...
από matha
Τρί Ιούλ 02, 2019 8:27 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Τριγωνομετρική ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 496

Re: Τριγωνομετρική ανισότητα

Η ανισότητα αυτή σίγουρα δεν είναι κατάλληλη για το επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη. Ουσιαστικά πρόκειται για μια μορφή της ανισότητας Walker, σύμφωνα με την οποία σε κάθε μη αμβλυγώνιο τρίγωνο ισχύει $\displaystyle{s^2\geq 2R^2+8Rr+3r^2.}$ ($\displaystyle{\color{red}\bigstar}$) Αυτό γίνεται φανερό αν πρώτα ...
από matha
Δευ Ιουν 17, 2019 4:04 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
Θέμα: Κυρτότητα ευθείας
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 733

Re: Κυρτότητα ευθείας

Ναι, αλλά όχι σύμφωνα με τον σχολικό ορισμό. Σύμφωνα με τον γενικό ορισμό της κυρτότητας, η ευθεία είναι και κυρτή και κοίλη.
από matha
Παρ Ιουν 14, 2019 9:45 am
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 57
Προβολές: 8662

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Εχω την εντύπωση οτι η ισοδυναμία $f(x)(f(x)-x_{0}))=0\Leftrightarrow f(x))=0$ η $f(x))=x_{0}$ δεν ισχύει Συνεπώς θα πρέπει ο μαθητής να μην προχωρήσει στην γραφή αυτής της ισοδυναμίας αλλα να δικαιολογήσει την θετικότητα της f(x)καθώς και το αδύνατο της $f(x))=x_{0}$ πριν το ισοδυναμεί Γιατί δεν ε...
από matha
Δευ Ιουν 10, 2019 10:56 am
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 57
Προβολές: 8662

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Δ3i)

Είναι

\displaystyle{f'(x)=\ln (x^2-2x+2)+(x-1)\cdot \frac{2x-2}{x^2-2x+2}-1=\ln ((x-1)^2+1)+\frac{2(x-1)^2}{(x-1)^2+1}-1\geq -1}

γιατί ο λογάριθμος είναι μη αρνητικός και το κλάσμα επίσης.
από matha
Σάβ Ιουν 08, 2019 8:22 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Σύστημα με μοναδική λύση!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 593

Σύστημα με μοναδική λύση!

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι \displaystyle{n}, ώστε το σύστημα

\displaystyle{\begin{cases}x+y+z=3, \\ x^2+y^2+z^2 =3, \\ x^n+y^n+z^n =3\end{cases}}

να έχει μοναδική λύση στο \displaystyle{\mathbb{C}^3} την \displaystyle{(1,1,1).}

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση