Η αναζήτηση βρήκε 5975 εγγραφές

από matha
Κυρ Ιαν 20, 2019 11:00 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Του Αγίου Αθανασίου
Απαντήσεις: 18
Προβολές: 274

Re: Του Αγίου Αθανασίου

Ευχαριστώ όλους τους φίλους για τις ευχές τους.
από matha
Δευ Ιαν 14, 2019 2:06 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 236

Re: Ολοκλήρωμα

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(t)=\int_{0}^{1}\frac{\sin (t\ln x)}{\ln x}dx.}$ Είναι $\displaystyle{f'(t)=\int_{0}^{1}\frac{\partial}{\partial t}\frac{\sin (t\ln x)}{\ln x}dx=\int_{0}^{1}\cos (t\ln x)dx\stackrel{t\ln x=u}{=}}$ $\displaystyle{=\frac{1}{t}\int_{-\infty}^{0}\cos u e^{\frac{u}{t...
από matha
Κυρ Ιαν 13, 2019 12:18 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 432

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019

Πρόβλημα 4 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x_1, x_2, x_3, x_4\in[0, 1]}$, ώστε $\displaystyle{x_1+x_2+x_3+x_4=2}$. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\dfrac{x_1}{3-x_1}+\dfrac{x_2}{3-x_2}+\dfrac{x_3}{3-x_3}+\dfrac{x_4}{3-x_4}+(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)\leqslant 1}$ Λόγω κυρτότητας τ...
από matha
Σάβ Ιαν 12, 2019 9:09 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Μέγιστη απόσταση σημείων καμπύλης
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 384

Re: Μέγιστη απόσταση σημείων καμπύλης

Το πιάνω από κει που το άφησε ο Νίκος: Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε την παράσταση $\displaystyle{d^2=4(x^2+y^2),}$ υπό το δεσμό $\displaystyle{\frac{x^4}{a^4}+\frac{y^4}{b^4}=1.}$ Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz είναι $\displaystyle{1=\frac{x^4}{a^4}+\frac{y^4}{b^4}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{a^4+b^4}\i...
από matha
Σάβ Ιαν 12, 2019 7:29 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 432

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019

Πρόβλημα 4 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x_1, x_2, x_3, x_4\in[0, 1]}$, ώστε $\displaystyle{x_1+x_2+x_3+x_4=2}$. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\dfrac{x_1}{3-x_1}+\dfrac{x_2}{3-x_2}+\dfrac{x_3}{3-x_3}+\dfrac{x_4}{3-x_4}+(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)\leqslant 1}$ Λόγω κυρτότητας τ...
από matha
Σάβ Ιαν 12, 2019 7:16 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 555

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Πρόβλημα 2 Να βρείτε όλες τις τριάδες πραγματικών αριθμών $\displaystyle{(a, b, c)}$, για τις οποίες ισχύουν όλες οι πιο κάτω συνθήκες: i. $\displaystyle{abc=1}$ ii. $\displaystyle{ab+bc+ca=a+b+c}$ iii. $\displaystyle{b-a=1}$ Λίγο συντομότερα: Από την ταυτότητα $\displaystyle{(a-1)(b-1)(c-1)=abc-(a...
από matha
Τρί Ιαν 08, 2019 7:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ανισότητα με κυρτή συνάρτηση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 170

Re: Ανισότητα με κυρτή συνάρτηση

Ουσιαστικά προκύπτει επαγωγικά από την ανισότητα που αποδεικνύεται εδώ . Για τρεις αριθμούς είναι η ακόλουθη: Πρόταση: Αν $\displaystyle{f}$ κυρτή συνάρτηση στο διάστημα $\displaystyle{D}$ και $\displaystyle{a,b,c\in D}$ με $\displaystyle{a\leq b\leq c,}$ τότε ισχύει $\displaystyle{f(a-b+c)+f(b)\leq...
από matha
Δευ Ιαν 07, 2019 8:53 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Των Φώτων
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 319

Re: Των Φώτων

Χρόνια πολλά στην Φωτεινή μας και στον Φώτη μας.

Και καλή χρονιά!
από matha
Κυρ Ιαν 06, 2019 5:35 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 291

Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων

Μια ακόμα λύση: Λήμμα: Για πραγματικούς για τους οποίους έχουν νόημα τα παρακάτω, ισχύει $\displaystyle{\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{c^2-d^2}\leq \sqrt{(a+c)^2-(b+d)^2}.}$ Πράγματι, μετα από τις υψώσεις στο τετράγωνο, καταλήγουμε στην $\displaystyle{(ac-bd)^2\geq 0.}$ Η ισότητα ισχύει αν-ν τα ζεύγη $\displa...
από matha
Σάβ Ιαν 05, 2019 9:29 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Μιγαδικοί και ισόπλευρο τρίγωνο!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 393

Re: Μιγαδικοί και ισόπλευρο τρίγωνο!

Μετά τις ωραίες αποδείξεις του Αλέξανδρου και του Κώστα, παραθέτω και μία πιο γεωμετρική. Ας είναι $\displaystyle{ABC}$ το τρίγωνο Η σχέση γράφεται $\displaystyle{\left|z_1-\frac{z_1+z_2+z_3}{2}\right|+\left|z_2-\frac{z_1+z_2+z_3}{2}\right|+\left|z_3-\frac{z_1+z_2+z_3}{2}\right|=3}$. Η απόδειξη βασί...
από matha
Σάβ Ιαν 05, 2019 1:36 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Βέλτιστη σταθερά για ανισότητα με διχοτόμους!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 299

Re: Βέλτιστη σταθερά για ανισότητα με διχοτόμους!

Η σταθερά \displaystyle{\frac{3}{2}} δεν είναι η βέλτιστη. Υπάρχει λίγο περιθώριο ακόμα.
από matha
Σάβ Ιαν 05, 2019 1:29 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Ισότητα τμημάτων!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 269

Re: Ισότητα τμημάτων!

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιαν 05, 2019 12:02 pm
καταλήγω σε \displaystyle \cos A = -\frac{{{b^2} + {c^2}}}{{2({b^2} + {c^2} + bc)}}
Και εγώ καταλήγω στην ίδια σχέση Γιώργο, από την οποία προκύπτει \displaystyle{\cos A<-\frac{1}{3},} οπότε \displaystyle{A>110^o.}
από matha
Παρ Ιαν 04, 2019 9:45 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: άσκηση γεωμετρίας
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 172

Re: άσκηση γεωμετρίας

Κλασικότατη και σίγουρα την έχουμε ξαναδεί. Μια απόδειξη: $\displaystyle{MB=MC}$ από την ισότητα των τριγώνων $\displaystyle{MAB,MCD.}$ Θα δείξουμε ότι $\displaystyle{\angle BMC=60^o.}$ Ας είναι $\displaystyle{\angle BMC=2x.}$ Τότε $\displaystyle{2x\geq 60^o\iff x\geq 30^o \iff \angle AMB \leq 75^o ...
από matha
Παρ Ιαν 04, 2019 9:28 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανίσωση με θετικούς
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 317

Re: Ανίσωση με θετικούς

Από AM-GM είναι $\displaystyle{k^2+k+3\geq 3k\sqrt[3]{3},}$ άρα $\displaystyle{f(k)\geq 3\sqrt[3]{3}k^{\frac{3}{2}}.}$ Από ανισότητα των δυνάμεων είναι ακόμα $\displaystyle{a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}+d^{\frac{3}{2}}\geq 4\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{3}{2},}$ άρα $\displaystyl...
από matha
Παρ Ιαν 04, 2019 8:56 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Ισότητα τμημάτων!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 269

Ισότητα τμημάτων!

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με βαρύκεντρο $\displaystyle{G}$ και έγκεντρο $\displaystyle{I.}$ Οι $\displaystyle{AG,AI}$ τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο στα σημεία $\displaystyle{D,E,}$ αντίστοιχα. Αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές, είναι τετριμμένο ότι ισχύει $\displaystyle{AD=AE.}$ Είναι όμως δυ...
από matha
Παρ Ιαν 04, 2019 6:27 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Μιγαδικοί και ισόπλευρο τρίγωνο!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 393

Μιγαδικοί και ισόπλευρο τρίγωνο!

Οι διαφορετικοί ανά δύο μιγαδικοί \displaystyle{z_1,z_2,z_3} ικανοποιούν τις σχέσεις

\displaystyle{|z_1|=|z_2|=|z_3|=1} και \displaystyle{|z_1+z_2-z_3|+|z_2+z_3-z_1|+|z_3+z_1-z_2|=6.}

Να αποδείξετε ότι οι εικόνες τους είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου.
από matha
Παρ Ιαν 04, 2019 3:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Σύστημα 2x6
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 336

Re: Σύστημα 2x6

Μετά τις ωραίες απαντήσεις από τους φίλους Σωτήρη, Αλέξανδρο, Μιχάλη, δυο λόγια. Το σύστημα το κατασκεύασα ως Quickie . Θεωρούμε τους μιγαδικούς $\displaystyle{z_1=a+bi, z_2=c+di, z_3=e+fi.}$ Είναι $\displaystyle{z_1z_2z_3=(ace-bde-adf-bcf)+(acf+ade+bce-bdf)i.}$ Τότε το σύστημα γράφεται $\displaysty...
από matha
Πέμ Ιαν 03, 2019 8:10 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Βέλτιστη σταθερά για ανισότητα με διχοτόμους!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 299

Βέλτιστη σταθερά για ανισότητα με διχοτόμους!

Να βρεθεί η βέλτιστη σταθερά \displaystyle{k,} ώστε να ισχύει

\displaystyle{\frac{\delta _{a}+\delta _{b}}{a+b}<k}

για κάθε τρίγωνο \displaystyle{ABC.}

Με \displaystyle{\delta _{x}} συμβολίζουμε τη διχοτόμο του τριγώνου, η οποία αντιστοιχεί στην πλευρά \displaystyle{x}.
από matha
Πέμ Ιαν 03, 2019 4:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Σύστημα 2x6
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 336

Σύστημα 2x6

Να λυθεί

\displaystyle{\begin{cases}ace=bde+adf+bcf, \\ bdf=acf+ade+bce \end{cases}}.
από matha
Δευ Δεκ 31, 2018 3:15 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Διαδικτυακό Μαθηματικό Περιοδικό «Μελέτη»
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 7464

Re: Διαδικτυακό Μαθηματικό Περιοδικό «Μελέτη»

Αναρτούμε το τέταρτο τεύχος του περιοδικού για Μαθητές "Μελέτη". Το περιοδικό «Μελέτη» απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου και έχει ως θέμα τα Μαθηματικά. Ο σκοπός του είναι να κεντρίσει το ενδιαφέρον των μαθητών για τα Μαθηματικά και να δώσει νέες πρωτότυπες ιδέες και παραδείγματα στους εν...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση