Η αναζήτηση βρήκε 6036 εγγραφές

από matha
Τρί Απρ 07, 2020 4:18 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Σύνολο τιμών Συνάρτησης!
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 13

Σύνολο τιμών Συνάρτησης!

Ας είναι $\displaystyle{\mathbb{T}}$ το σύνολο όλων των τριγώνων του επιπέδου. Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{T}\to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f(ABC)=\min \left(\frac{b}{a},\frac{c}{b}\right)}$ για κάθε τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με $\displaystyle{a\leq b\leq c.}$ Να βρεθεί το ...
από matha
Δευ Απρ 06, 2020 2:27 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Διοφαντική εξίσωση!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 415

Re: Διοφαντική εξίσωση!

Καλησπέρα έκανα μια απόπειρα να λύσω το πρόβλημα σας και βρήκα μια λύση δεν είμαι σίγουρος αν υπαρχουν κι' άλλες.Η απόδειξη που έκανα είναι στο παρακάτω link: https://m.facebook.com/groups/218401806149797?view=permalink&id=218494759473835 Δεν καταλαβαίνω. Αν θέλεις να βάλεις λύση μπορείς να το κάνε...
από matha
Κυρ Απρ 05, 2020 8:53 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Διοφαντική εξίσωση!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 415

Διοφαντική εξίσωση!

Με αφορμή την δεύτερη εξίσωση εδώ, μια παρόμοιου ύφους, αλλά σαφώς δυσκολότερη:

Να λυθεί στους φυσικούς η εξίσωση

\displaystyle{10^x+89=y^2.}
από matha
Κυρ Απρ 05, 2020 6:58 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 280

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

ΘΕΜΑ 3 Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2} $ όταν τα $x$ και $y$ διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών. Το ελάχιστο είναι το $\displaystyle{1}$ ως άμεση εφαρμογή της ανισότητας Cauchy-Schwarz και πιάνεται όταν...
από matha
Σάβ Απρ 04, 2020 7:24 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 235

Re: ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1. Να βρεθούν όλα τα $k \in \mathbb{R}$, τα οποία ικανοποιούν τη σχέση $4^k+6^k=9^k$. ΑΣΚΗΣΗ 2. Να βρεθούν όλα τα ζεύγη $(x,y)$ με $x,y\in\mathbb{Z}$, τα οποία ικανοποιούν τη σχέση $615+x^2=2^y$. Πρόκειται για δύο άσχετες τελείως ασκήσεις. :? :? Με $\displaystyle{\mod 3}$ έχουμε $\displaysty...
από matha
Παρ Απρ 03, 2020 1:04 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 135
Προβολές: 14231

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Άσκηση 38 Έστω $a,b,c,d$ πραγματικοί αριθμοί με $ad>0$ και έστω $\rho$ πραγματική ρίζα της εξίσωσης $ax^3+bx^2+cx+d=0$. Δείξτε ότι $\displaystyle{\rho \le \dfrac {c^2-4bd}{4ad} }$ Σχόλιο: Αναρτώ την άσκηση μόνο και μόνο για την τεχνική. Λύνεται σε μια-δυο γραμμές, αλλά μπορεί και να σε παιδέψει αν ...
από matha
Κυρ Μαρ 29, 2020 5:20 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τέλεια Τετράγωνα
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 392

Re: Τέλεια Τετράγωνα

Απαντάω στο ερώτημα 1. Ας είναι $\displaystyle{x-y=a,}$ οπότε $\displaystyle{x=y+a}$, η εξίσωση γράφεται, μετά από κατάλληλους μετασχηματισμούς, ως $\displaystyle{a(1+6a)=(y-2a)^2.}$ Επειδή ισχύει $\displaystyle{(1,1+6a)=1}$ έπεται το ζητούμενο. Ας είναι τώρα $\displaystyle{2x+2y+1=m}$, οπότε $\disp...
από matha
Πέμ Μαρ 26, 2020 11:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Ένα Quickie!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 118

Ένα Quickie!

Τα Quickies τα έχουμε ξανασυναντήσει π.χ. εδώ.

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

\displaystyle{K=\frac{3\cos 3x\sin x-sin 3x \cos x}{\sin ^2x}+\frac{3\sin 3x\cos x-cos 3x\sin x}{\cos ^2 x}.}
από matha
Τετ Μαρ 25, 2020 10:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: 25η Μαρτίου
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 210

Re: 25η Μαρτίου

Χρόνια πολλά στον Βαγγέλη! :)
από matha
Δευ Μαρ 23, 2020 7:12 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Ρητές λύσεις εξίσωσης
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 194

Re: Ρητές λύσεις εξίσωσης

Χρήστο, χαιρετώ! Πρώτα λύνουμε την εξίσωση $\displaystyle{k^2+\ell ^2=53,}$ από την οποία προκύπτει η αρχική αν θέσουμε $\displaystyle{k\to 2x+5, \ell \to 2y.}$ Θέλουμε τα ρητά σημεία του κύκλου $\displaystyle{k^2+\ell ^2=53.}$ Ένα τέτοιο είναι το $\displaystyle{(7,2)}$. Με τη μέθοδο που περιγράφετα...
από matha
Δευ Μαρ 23, 2020 9:09 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Ρίζα παράστασης ρητών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 180

Re: Ρίζα παράστασης ρητών

Αυτό που λέει η παραπάνω απόδειξη είναι ότι $\displaystyle{\boxed{(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})^2=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}}$, το οποίο φυσικά είναι άμεση συνέπεια της ταυτότητας $\displaystyle{\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)}=...
από matha
Σάβ Μαρ 21, 2020 3:45 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Ανισοϊσότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 199

Re: Ανισοϊσότητα

Ας παρατηρήσουμε ακόμα ότι είναι ισοδύναμη με την

\displaystyle{(xy+1)^2+(x+y-2)^2\geq 0.}
από matha
Σάβ Μαρ 21, 2020 12:04 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (29), Μικροί
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 352

Re: Τεστ Εξάσκησης (29), Μικροί

ΘΕΜΑ 3 Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης $5^x = 1+4y+y^4 .$ Αρχικά ελέγχουμε τις περιπτώσεις $\displaystyle{y=-2,-1,0,1,2}$ και διαπιστώνουμε ότι προκύπτουν οι λύσεις $\displaystyle{(0,0),(2,2).}$ Θα αποδείξουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες. Καταρχάς θα αποδείξουμε ότι ο $\displaystyle{x}$ είναι...
από matha
Τρί Μαρ 17, 2020 9:27 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ακολουθία με ακέραιους όρους!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 131

Ακολουθία με ακέραιους όρους!

Δίνεται η ακολουθία \displaystyle{(x_n)_{n\geq 0}} με \displaystyle{x_0=0} και \displaystyle{x_{n+1}=2x_n +1+\sqrt{3x_n ^2+6x_n+k}}, \displaystyle{k\in \mathbb{R}}.

Να βρεθούν όλες οι τιμές του \displaystyle{k} ώστε όλοι οι όροι της ακολουθίας να είναι ακέραιοι.
από matha
Τρί Μαρ 17, 2020 8:00 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διαιρετότητα με το 2020
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 194

Διαιρετότητα με το 2020

Μετά τη διαιρετότητα με το 1989, ακολουθεί μια με το 2020.

Αν \displaystyle{n} θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι o

\displaystyle{n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}}-n^{n^{n^{n^{n}}}}}}

διαιρείται με το \displaystyle{2020.}

:lol: :lol: :lol:
από matha
Τετ Μαρ 11, 2020 12:12 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (23), Μικροί
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 395

Re: Τεστ Εξάσκησης (23), Μικροί

ΘΕΜΑ 4 Να αποδείξετε ότι $\displaystyle a^2b^2(a^2+b^2-2) \geq (a+b)(ab-1) ,$ για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a$ και $b.$ Θέτοντας $\displaystyle{a+b=x>0, ab=y>0}$ είναι $\displaystyle{x\geq 2\sqrt{y}}$ και έχουμε να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{y^2(x^2-2y-2)\geq x(y-1)}$ δηλαδή ότ...
από matha
Τετ Φεβ 26, 2020 8:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (4), Μικροί
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 552

Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μικροί

socrates έγραψε:
Τετ Φεβ 26, 2020 12:47 am
ΘΕΜΑ 1
Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι x, y τέτοιοι ώστε x^2 + xy − 3y^2 = 2020.
Η σχέση γράφεται

\displaystyle{(2x+y)^2-13y^2=8080}

και βλέπουμε ότι ένα τετράγωνο είναι ισότιμο με \displaystyle{0,1,3,4,9,10,12 \mod 13}, ενώ \displaystyle{8080\equiv 7 \mod 13.}
από matha
Τετ Φεβ 26, 2020 8:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (3), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 472

Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 3 Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί $x$, $y$, $z$ είναι τέτοιοι ώστε $x+y+z=2.$ Να δείξετε ότι $\displaystyle{ \frac{(x-1)^2}{y}+\frac{(y-1)^2}{z}+\frac{(z-1)^2}{x}\geqslant\frac14\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{z^2+x^2}{z+x} \right). }$ Θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\sum ...
από matha
Κυρ Φεβ 02, 2020 1:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Ελάχιστο συνάρτησης!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 285

Ελάχιστο συνάρτησης!

Θεωρούμε την εξίσωση $\displaystyle{x^3-3x-p=0}$ και ορίζουμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(p)=\begin{cases}\textrm {\gr το γινόμενο της μικρότερης και της μεγαλύτερης ρίζας, αν η εξίσωση έχει τρεις πραγματικές ρίζες,} \\ \\ \textrm{\gr το τετράγωνο της ρίζας, αν η εξίσωση έχει μία μόνο πραγματική ρ...
από matha
Δευ Ιαν 27, 2020 11:19 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Αθροίσματα Τετραγώνων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 256

Re: Αθροίσματα Τετραγώνων

Υποθέτω ότι οι \displaystyle{a,b,c,d} είναι πραγματικοί.

Είναι

\displaystyle{(a+bi)^3=a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i=16-42i\implies (a^2+b^2)^3=16^2+42^2=2020.}

Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο βρίσκουμε ότι \displaystyle{(c^2+d^2)^3=24^2+38^2=2020.}

Άρα ο ζητούμενος λόγος ισούται με \displaystyle{1}.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση