Η αναζήτηση βρήκε 6135 εγγραφές

από matha
Πέμ Ιουν 17, 2021 6:18 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εξίσωση απ' τα παλιά
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 134

Re: Εξίσωση απ' τα παλιά

Προσθέτουμε τέσσερις μονάδες στα δύο μέλη, οπότε η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{\frac{x}{x-2}+\frac{x}{x-4}+\frac{x}{x-8}+\frac{x}{x-10}=x(x-6)}$ οπότε είναι $\displaystyle{x=0}$ ή $\displaystyle{\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x-8}+\frac{1}{x-10}=x-6.}$ Ζευγαρώνουμε τα κλάσματα πρώτο-τελευτ...
από matha
Πέμ Ιουν 10, 2021 7:23 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Περί θεμάτων διαγωνισμών
Απαντήσεις: 30
Προβολές: 2355

Re: Περί θεμάτων διαγωνισμών

Συμφωνώ. Το δεύτερο έβγαινε με bashing (συγχωρέστε με δεν ξερω αντίστοιχη ελληνική λέξη). Η πρώτη ήταν σε κατάλληλο επίπεδο, ενώ την τρίτη την έβγαλα με mod13 και 5 αντίστοιχα. Γεωμετρία δεν την άγγιξα καν, δεν μπορώ να σχολιάσω. Πολυ ακατάλληλα για να κρίνουν εξάδα, τα θέματα στους διεθνής διαγωνι...
από matha
Τετ Ιουν 09, 2021 10:53 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Πιο κοντά
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 159

Re: Πιο κοντά

Όσον αφορά το πρώτο ερώτημα, το \displaystyle{x} είναι πιο κοντά στο \displaystyle{\sin x} από ό,τι στο \displaystyle{\tan x}, όπως μας εξασφαλίζει άμεσα ο Huygens

\displaystyle{2\sin x+\tan x>3x} στο \displaystyle{\left(0,\frac{\pi}{2}\right).}
από matha
Παρ Μάιος 21, 2021 7:55 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Χρόνια Πολλά
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 386

Re: Χρόνια Πολλά

Πολλές ευχές σε όλους τους εορτάζοντες. Με υγεία! :clap: :clap: :clap:

Ιδιαιτέρως θέλω να ευχηθώ στους Δόρτσιο Κώστα, Βήττα Κώστα, Ρεκούμη Κώστα.

Πάντα δημιουργικοί! :clap2: :clap2: :clap2:
από matha
Σάβ Μάιος 01, 2021 11:23 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα σε τρίγωνο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 249

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο

Δεδομένου ότι τελευταία δεν βλέπουμε τέτοιου είδους θέματα, ας γράψουμε δυο τρία πράγματα. Αφετηρία μας είναι η ανισότητα $\displaystyle{4Rm_a\geq b^2+c^2}$, από την οποία προκύπτει $\displaystyle{2R(m_a+m_b+m_c)\geq a^2+b^2+c^2.}$ Σε αυτήν εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό της διαμέσου, οπότε λαμβάνου...
από matha
Σάβ Μάιος 01, 2021 11:02 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μεγιστοποίηση για μερακλήδες
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 296

Re: Μεγιστοποίηση για μερακλήδες

Χωρίς παραγώγους, χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό του Γιώργου ( Γεια σου Γιώργο :byebye: ): $\displaystyle{SP=\sqrt{\cos ^2 \phi +\sin 2\phi +1}=\sqrt{\frac{1+\cos 2\phi }{2}+\sin 2\phi +1}=\sqrt{\frac{3}{2}+\sin 2\phi +\frac{1}{2}\cos 2\phi}\leq}$ $\displaystyle{\leq \sqrt{\frac{3}{2}+\sqrt{1+\frac{...
από matha
Σάβ Μάιος 01, 2021 4:35 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Διαιρετότητα με Fibonacci!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 517

Διαιρετότητα με Fibonacci!

Σε συνέχεια αυτού:

Ας είναι \displaystyle{\rm p>5} πρώτος. Να αποδείξετε ότι

\displaystyle{\boxed{\rm p|F_{p-1}\iff p\equiv 1,4~ mod 5}}

\displaystyle{\boxed{ \rm p|F_{p+1}\iff p\equiv 2,3~ mod 5}}
από matha
Σάβ Μάιος 01, 2021 11:35 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πασχαλιάτικη Ανισότητα 2
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 317

Re: Πασχαλιάτικη Ανισότητα 2

Ωραία απόδειξη! Ένα λίγο πιο σύντομο κλείσιμο είναι το εξής: Άρα η $(1)$ γράφεται: $\sum _{cyc} \dfrac{a^3+b^3}{ab(a^2+ab+b^2)} \geq \dfrac{6}{a+b+c} \ (2)$ Είναι $\displaystyle{\sum _{cyc} \dfrac{a^3+b^3}{ab(a^2+ab+b^2)}=\sum \frac{a+b}{ab}\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\geq }$ $\displaystyle{\geq \f...
από matha
Σάβ Μάιος 01, 2021 11:03 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πασχαλιάτικη Ανισότητα 2
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 317

Re: Πασχαλιάτικη Ανισότητα 2

Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{a^{2}}{b(a^{2}+ab+b^{2})}+\frac{b^{2}}{c(b^{2}+bc+c^{2})}+\frac{c^{2}}{a(c^{2}+ca+a^{2})} \ge \frac{3}{a+b+c}$, για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a,b,c$. Πολύ ωραία ανισότητα! Καλό Μήνα και καλό Πάσχα. Με AM-GM έχω $LHS\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{(a^{...
από matha
Παρ Απρ 16, 2021 11:15 am
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
Θέμα: ερώτηση σε άσκηση ύπαρξης
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 199

Re: ερώτηση σε άσκηση ύπαρξης

Η συνθήκη γράφεται $\displaystyle{k+\ell =m,}$ όπου $\displaystyle{k=\frac{3}{\sin a},~\ell =\frac{2}{\sin b}, ~m=\frac{5}{\sin c}.}$ Διαλέγουμε αυθαίρετα τα $\displaystyle{a,b\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}$, οπότε $\displaystyle{k\in (3,+\infty),\ell \in (2,+\infty) }$. Τότε είναι $\displaystyle...
από matha
Παρ Απρ 16, 2021 6:59 am
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Σύνολα αριθμών και συμβολισμοί
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 173

Re: Σύνολα αριθμών και συμβολισμοί

Απλώς γράφεις \displaystyle{p,q,r,s,t\in \mathbb{C}} και είσαι εντάξει.
από matha
Τετ Απρ 07, 2021 5:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ελάχιστο για ελαχίστους
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 321

Re: Ελάχιστο για ελαχίστους

Μια λύση εκτός φακέλου: Υποθέτουμε ότι το τεταρτοκύκλιο ανήκει στον κύκλο $\displaystyle{x^2+y^2=16}$ (στο 1ο τεταρτημόριο). Ας είναι $\displaystyle{S(4\sin a, 4\cos a), ~a\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}$, οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η $\displaystyle{x\sin a+y\cos a=4}$. Τότε φανερά είνα...
από matha
Δευ Απρ 05, 2021 10:13 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Γραμμική Άλγεβρα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 847

Re: Γραμμική Άλγεβρα

Βρες τη ορίζουσα Wronsky των συναρτήσεων και θα δεις αν είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.
από matha
Δευ Απρ 05, 2021 10:10 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Γινόμενο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 494

Re: Γινόμενο

Η ιδέα για την λύση είναι ότι οι παραστάσεις $\displaystyle{K=\frac{b+c}{a},L=\frac{c+a}{b},M=\frac{a+b}{c}}$ ικανοποιούν τη σχέση $\displaystyle{\boxed{KLM=K+L+M+2}}$. Στο πρόβλημά μας είναι $\displaystyle{K=x-2,L=y-2,M=z-2,}$ οπότε $\displaystyle{(x-2)(y-2)(z-2)=x-2+y-2+z-2+2,}$ δηλαδή $\displayst...
από matha
Κυρ Απρ 04, 2021 8:55 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Επίλυση τετραπλεύρου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 155

Re: Επίλυση τετραπλεύρου

Ας πούμε ότι η ορθή γωνία $\displaystyle{A}$ χωρίζεται από την διαγώνιο στις γωνίες $\displaystyle{m,n.}$ Από τον νόμο των συνημιτόνων είναι $\displaystyle{\cos m=\frac{4^2+(x+4)^2-(x+2)^2}{8(x+4)}=\cdots =\frac{x+7}{2(x+4)}}$ $\displaystyle{\cos n=\frac{7^2+(x+4)^2-x^2}{14(x+4)}=\cdots =\frac{8x+65...
από matha
Κυρ Απρ 04, 2021 12:53 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 625

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021

Πρόβλημα 4: Αν $\alpha,\beta,\gamma$, θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε $\displaystyle 2\sqrt{\beta\gamma} + 8\sqrt{\alpha\gamma} + 21\sqrt{\alpha\beta} \leqslant 12$ τότε να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης: $\displaystyle N = \frac{1}{\sqrt{\alpha}} + \frac{2}{\sqrt{\beta}} + \frac...
από matha
Σάβ Απρ 03, 2021 11:21 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 625

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021

Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών $(\alpha,\beta)$ για τα οποία, αν $\delta$ ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των $\alpha,\beta$, τότε $\displaystyle \delta^2 + 9\alpha\beta+ 9\delta(\alpha+\beta) = 7\delta\alpha\beta$ Θέτουμε $\displaystyle{a=dx, b=dy,}$ όπου $\displaystyle{(x,y)=1}$ κ...
από matha
Σάβ Απρ 03, 2021 10:56 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 712

Πρόβλημα 1: Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί $x,y,z$, τέτοιοι ώστε $x^2+y^2+z^2=3$. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle xyz(x+y+z)+2021\geqslant 2024xyz$ Είναι $\displaystyle{xyz(x+y+z)+2021=x^2yz+xy^2z+xyz^2+\underbrace{1+1+\cdots +1}_{2021 ~terms}\geq 2024\sqrt[2024]{(xyz)^4}.}$ Αρκεί λοιπόν να ισχ...
από matha
Δευ Μαρ 29, 2021 11:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Κώνος σε σφαίρα
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 547

Re: Κώνος σε σφαίρα

Δείτε και αυτό: MAXIMA AND MINIMA SOLVED BY ALGEBRA, RAMCHUNDRA,1859 Κατεβαίνει ελεύθερα από το διαδίκτυο. Έχει ενδιαφέρον να ανατρέχει κανείς σε βιβλία της εποχής αυτής. Εκπλήσσει ο τρόπος γραφής από αρκετές απόψεις. Ωστόσο, μια πιο "μοντέρνα" πρόταση αποτελεί το βιβλίο του Niven που αναφέραμε (κα...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση