Η αναζήτηση βρήκε 6088 εγγραφές

από matha
Παρ Νοέμ 20, 2020 11:58 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μέγιστος όρος αναπτύγματος!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 150

Μέγιστος όρος αναπτύγματος!

Αναπτύσσοντας το \displaystyle{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{100}} προκύπτει ένα άθροισμα με 101 προσθετέους. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος από αυτούς;
από matha
Κυρ Νοέμ 08, 2020 10:17 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχές
Απαντήσεις: 21
Προβολές: 304

Re: Ευχές

Χρόνια πολλά σε όλους τους εορτάζοντες!
από matha
Τετ Οκτ 28, 2020 1:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Απόδοση όρου
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 236

Re: Απόδοση όρου

Στο ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟΝ ΛΕΞΙΚΟΝ ΤΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΗΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ υπό ΜΕΜΑ ΚΟΛΑΪΤΗ, ΕΚΔΟΣΙΣ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟΥ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ, ΑΘΗΝΑΙ 1976

ο όρος linkage αποδίδεται ως συνάρθρωσις (Computer Scinece) και ως συνδέσμωσις (technical term).
από matha
Τρί Οκτ 13, 2020 6:52 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Shortlist 2019 - Άλγεβρα
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 769

Re: JBMO Shortlist 2019 - Άλγεβρα

Η παρούσα ανάρτηση θα ανανεωθεί αργότερα και με τα υπόλοιπα προβλήματα. Α5. Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a,b,c,d$ ώστε $abcd=1$. Να αποδειχθεί η ανισότητα $\displaystyle \frac{1}{a^3+b+c+d}+\frac{1}{a+b^3+c+d}+\frac{1}{a+b+c^3+d}+\frac{1}{a+b+c+d^3} \leqslant \frac{a+b+c+d}{4}\,.$ (Προτάθηκε α...
από matha
Δευ Οκτ 12, 2020 6:42 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Shortlist 2019 - Άλγεβρα
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 769

Re: JBMO Shortlist 2019 - Άλγεβρα

Η παρούσα ανάρτηση θα ανανεωθεί αργότερα και με τα υπόλοιπα προβλήματα. Α1. Για τους πραγματικούς αριθμούς $a$ και $b$ ισχύει ότι $a^3+b^3-6ab=-11$. Να δειχθεί ότι $-\frac{7}{3} < a+b < -2$. (Προτάθηκε από τη Σερβία) Ξαναβλέποντας καλύτερα το δεδομένο, τουλάχιστον για το δεξί φράγμα, μπορούμε να πο...
από matha
Κυρ Οκτ 11, 2020 9:18 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Shortlist 2019 - Άλγεβρα
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 769

Re: JBMO Shortlist 2019 - Άλγεβρα

Α1. Για τους πραγματικούς αριθμούς $a$ και $b$ ισχύει ότι $a^3+b^3-6ab=-11$. Να δειχθεί ότι $-\frac{7}{3} < a+b < -2$. (Προτάθηκε από τη Σερβία) Θέτοντας $\displaystyle{a+b=x, ab=y}$ η δοθείσα σχέση γράφεται $\displaystyle{x^3-3xy-6y=-11,}$ οπότε $\displaystyle{y=\frac{x^3+11}{3x+6}.}$ Από την προφ...
από matha
Κυρ Οκτ 04, 2020 6:44 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Επισύναψη εικόνας
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 203

Re: Επισύναψη εικόνας

Αφού γράψετε το κείμενο προς δημοσίευση, λίγο παρακάτω υπάρχει η επιλογή Συνημμένο. Το πατάτε και επιλέγετε προσθήκη αρχείου.
από matha
Τετ Σεπ 30, 2020 7:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΠΟΥ ΜΟΥ ΧΡΕΙΑΣΤΗΚΕ...
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 442

Re: ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΠΟΥ ΜΟΥ ΧΡΕΙΑΣΤΗΚΕ...

Με δεδομένο την ανισότητα $\displaystyle{\boxed{\cos ^2 \frac{B-C}{2}\geq \frac{2r}{R}}}$ ($\displaystyle{\color{red}\bigstar}$) είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\sqrt{\frac{2r}{R}}(a^2+b^2+c^2)\geq 4\sqrt{3}E,}$ δηλαδή ότι $\displaystyle{a^2+b^2+c^2\geq \sqrt{24s^2Rr}}$ που γράφεται ω...
από matha
Κυρ Σεπ 27, 2020 4:33 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΙΜΟ 2020
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 2412

Re: ΙΜΟ 2020

Πολλά συγχαρητήρια σε όλους!
από matha
Κυρ Σεπ 27, 2020 11:29 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Τριγωνομετρική ανίσωση με παράμετρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 180

Re: Τριγωνομετρική ανίσωση με παράμετρο

Θέτουμε $\displaystyle{q:=2\sin x\cos x,}$ όποτε $\displaystyle{|q|\leq 1}$ και το πρόβλημα μεταφράζεται στο εξής: Να βρεθούν οι τιμές του $\displaystyle{a}$, ώστε να ισχύει $\displaystyle{aq<2-q^2}$ για κάθε $\displaystyle{q}$ του $\displaystyle{[-1,1].}$ Για θετικά $\displaystyle{a}$ η συνθήκη γρά...
από matha
Κυρ Σεπ 27, 2020 11:18 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Πίνακας 2x2
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 370

Re: Πίνακας 2x2

Να βρεθεί ο 2χ2 πίνακας Μ ώστε $\displaystyle M^2=\begin{bmatrix}33 & 44 \\66 & 88 \end{bmatrix}$ Αλλιώς, από το θεώρημα Cayley-Hamilton και επειδή ο $\displaystyle{M}$ είναι φανερά μη αντιστρέψιμος, έχουμε $\displaystyle{M^2=(tr M)M}$. Αν λοιπόν είναι $\displaystyle M=\begin{bmatrix}a & b \\c & d ...
από matha
Κυρ Σεπ 13, 2020 12:49 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Απόδειξη / Κατάρριψη
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 168

Re: Απόδειξη / Κατάρριψη

Η ανισότητα ισχύει! Πρόκειται για την ανισότητα Kooi, η οποία είναι αρκετά σφιχτή ανισότητα και ισοδύναμες μορφές της είναι οι παρακάτω: $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ $\displaystyle{s^2\leq \frac{R(4R+r)^2}{2(2R-r)}}$ $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ $\displaystyle{\frac{\cos ^2 A}{1+\cos...
από matha
Τετ Ιούλ 15, 2020 10:03 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ισοσκελές τρίγωνο-2
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 333

Re: Ισοσκελές τρίγωνο-2

Από το θεώρημα τεμνόμενων χορδών βρίσκουμε αμέσως ότι $\displaystyle{DZ=\frac{b^2}{4m_b},~~EH=\frac{c^2}{4m_c}.}$ Δεδομένου ότι ισχύει η ισοδυναμία $\displaystyle{x\geq y\iff m_x\leq m_y,}$ έχουμε $\displaystyle{DZ=EH\implies \frac{b^2}{m_b}=\frac{c^2}{m_c}\implies \left(\frac{b}{c}\right)^2=\frac{m...
από matha
Δευ Ιουν 29, 2020 8:55 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 1
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 580

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 1

Pantelis.N έγραψε:
Δευ Ιουν 29, 2020 6:57 pm
Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε (3a+4b)^2\leq 25

Από Cauchy-Schwarz παίρνουμε (9+16)(a^2+b^2)\geq (3a+4b)^2

Άρα αρκεί (9+16)(a^2+b^2)\leq 25 που ισχύει εφόσον a^2+b^2=1
Η λύση σου έχει πρόβλημα. Βρες το και αν χρειαστείς βοήθεια, εδώ είμαστε.
από matha
Πέμ Ιουν 25, 2020 7:38 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άρρητη εξίσωση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 710

Re: Άρρητη εξίσωση

Θέτουμε $\displaystyle{f(x)=\sqrt[3]{2x-1}, x\geq \frac{1}{2}.}$ Τότε είναι φανερά $\displaystyle{f^{-1}(x)=\frac{x^3+1}{2}, x\geq 0}$ και η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{f(x)=f^{-1}(x).}$ Επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα, η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{f(x)=x,x\g...
από matha
Πέμ Ιουν 25, 2020 1:25 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2020
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 862

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2020

Νομίζω το ελάχιστο που μπορούμε να ζητήσουμε, ώστε να συζητήσουμε, είναι η εκφώνηση.
από matha
Τετ Ιουν 24, 2020 9:19 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Άκρες τιμές συνάρτησης!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 661

Άκρες τιμές συνάρτησης!

Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης

\displaystyle{\rm \bf f(x)=\sin (\sin ^2x)+\cos (\cos ^2x).}
από matha
Τετ Ιουν 17, 2020 7:43 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Πρόσημο αριθμού υπό συνθήκη!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 651

Πρόσημο αριθμού υπό συνθήκη!

Δίνεται αριθμός $\displaystyle{a\in \mathbb{R}}$, για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{e^a+2a-e=0.}$ Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{b=a^2-(e+2)a+e-1}$ είναι αρνητικός. $\displaystyle{\color{red}\rule{500pt}{3pt}}$ Φανερά το ερώτημα σχετίζεται με τα θέματα των σημερινών εξετάσεων. Ωστόσο τ...
από matha
Δευ Ιουν 15, 2020 7:22 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διοφαντική!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 991

Διοφαντική!

Διαβάζοντας σήμερα ένα βιβλίο, έπεσα σε μια διοφαντική, η οποία βλέπω ότι είναι λυμένη λάθος. Η αλήθεια είναι ότι δεν έχω "όμορφη" λύση, οπότε σας την παραδίδω.

\displaystyle{\rm x^3-y^3=2005(x^2-y^2).}
από matha
Κυρ Ιουν 14, 2020 10:51 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 477

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα

Ας δούμε μια απόδειξη. Το γινόμενο ισούται με $\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}\frac{2(2k-1)}{k}=2^n\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{n!}.}$ Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{(2n)!=\left(1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)\right)\left(2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)\right)=2^n \left(1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)\rig...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση